Abstract

Reliability prediction of electronic components using failure rates is a vital substep of analysis techniques for electronic hardware system reliability and safety prediction. In the present work reliability prediction standards for electronic components are reviewed.

With respect to overall system reliability, multiplicative models, that are used in MIL-HDBK-217F, SAE (PREL), Telcordia (SR-332), CNET (RDF2000), Siemens (SN 29500) or GJB/Z 299, are explained. They may be distinguished from additive models that are used in PRISM, 217Plus and FIDES.

It is shown in detail how the standards model the influence of mechanical stress on reliability. The implications of the different models are discussed. Most standards do not define a single influence factor dedicated to mechanical stress characterization. Extreme mechanical translational stress environments are not covered by most modern standards.

All models used in standards are based on statistical analysis of experimental data, mainly multiple regression analysis. Explanations of these regression analyses are given by discussing various examples.

The standards are compared by calculating the failure rate for low, middle and high mechanical stress of a single component. This comparison illustrates the advantages and limitations of the standards, with respect to processing mechanical stress information.

Some commonly used software tools are applied, namely Reliability Workbench V10.1.1 (Isograph), Reliability Studio 2007 (RELEX), Toolkit Version 7 (ITEM), RAM-Comander (A.L.D.) and System Reliability Version 1.2 (PRISM) are exposed. They are calculating the reliability of a system by simultaneously using one or more of the standards detailed in the text.

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Abstract

Zuverlässigkeitsvorhersagen elektronischer Komponenten mittels Ausfallraten sind ein wesentlicher Bestandteil von Analysemethoden zur Bestimmung der Systemzuverlässigkeit und -sicherheit auf Hardwareebene. In dieser Arbeit werden Standards zur Zuverlässigkeitsvorhersage elektronischer Komponenten dargestellt.

Hinsichtlich der Systemzuverlässigkeit werden multiplikative Modelle beschrieben, die in den Standards MIL-HDBK-217F, SAE (PREL), Telcordia (SR-332), CNET (RDF2000), Siemens (SN 29500) oder GJB/Z 299 zum Tragen kommen. Ebenso werden additive Modelle dargestellt, die in den Standards PRISM, 217Plus und FIDES Anwendung finden.

Es werden statistische Methoden aufgezeigt, die es ermöglichen, Parameter der Zuverlässigkeitsmodelle zu ermitteln. Diese werden anhand von Beispielen mit einfachen und multiplen Regressionsanalysen erklärt.

Es wird detailliert beleuchtet, wie die Standards aufgebaut sind und welche Einflüsse sie berücksichtigen. Besonderes Augenmerk gilt dabei der Parametrisierung und Modellierung mechanischer Belastung. Es werden sowohl diskrete als auch funktionale Zusammenhänge dargelegt und diskutiert.

Die Standards werden anhand einer Beispielkomponente gegenüber gestellt und der Aussagewert bezüglich schwacher, mittlerer und starker mechanischer Belastung erörtert. Daraus resultieren Einsatzbereiche und -grenzen der Standards, die in der Arbeit benannt werden.

Vorgestellt werden Softwareprogramme von Isograph (Reliability Workbench V10.1.1), RELEX (Reliability Studio 2007), ITEM (Toolkit Version 7), A.L.D. (RAM-Comander V7.0) und PRISM (System Reliability Version 1.2), die der Zuverlässigkeitsberechnung dienen. Die Programme verwenden einen oder mehrere der beschriebenen Standards zur Ermittlung der Komponenten- und Systemzuverlässigkeit.

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Inhalt

1  Einleitung  15

1.1  Hinführung  15

1.2  Ziele und Struktur  16

2  Hintergründe  17

2.1  Beispiel  18

2.2  Ausfallartenanalyse  19

2.2.1  Induktive Ausfallartenanalyse: FMEA, FMECA, ETA  19

2.2.2  Deduktive Ausfallartenanalyse: FTA  20

2.3  Systemzustandsanalyse  21

2.4  Ausfallratenanalyse  21

3  Mathematische Grundlagen  23

3.1  Statistische Beschreibung der Zuverlässigkeit  23

3.2  Verteilungsfunktionen  26

3.2.1  Exponentialverteilung  26

3.2.2  Weibullverteilung  26

3.2.3  Normalverteilung  27

3.2.4  Log-Normal-Verteilung  27

3.3  Von der Komponenten- zur Systemzuverlässigkeit  31

3.3.1  Serienschaltung  31

3.3.2  Parallelschaltung  32

3.3.3  Heiße, warme und kalte Redundanz  33

3.3.4  Weitere redundante Elementanordnungen  34

4  Die Komponentenausfallrate  36

4.1  Typische Modellannahmen  36

4.1.1  Die konstante Ausfallrate  37

4.1.2  Allgemeiner Modellaufbau  37

4.1.3  Darstellungsweisen der Ausfallrate  38

4.2  Gewinnung von Daten zur Zuverlässigkeitsmodellierung  39

4.2.1  Auswertung von Feld- oder Testdaten  39

4.2.2  Physikalisch motivierte Parametrisierung des  

Ausfallverhaltens   40

4.2.3  Bestimmung der Variablen  40

4.2.4  Korrelationsanalysen  42

4.3  Einfache Regressionsanalysen  43

4.3.1  Qualitative Faktoren  43

4.3.2  Quantitative Faktoren  45

4.3.3  Anwendung der Korrelationsanalyse  46

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4.3.4

4.3.5 4.3.6 4.4

4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5

5

5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.6

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6

6.1.7 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5

7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8

8.1 8.2 9

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

9.6 9.7 9.8

Tabellenverzeichnis

Tabelle 3.1: Wichtige mathematische Zusammenhänge zur

Zuverlässigkeitsberechnung (Meyna & Pauli, 2003). 25

Tabelle 4.1: Darstellungsweisen von Ausfallraten und deren Umrechnung (British BT, 1990). 39

Tabelle 4.2: Auszug aus «Semiconductor Industry Association Quarterly Report». Werte sind angegeben in PPM (parts per million) (Seidl & Garry, 1990). 45 Tabelle 4.3: Korellationsmatrix mit den Merkmalen  ,  und ln  .

Tabelle 4.4: Exponentielle Regressionsfunktion und Lernfaktor. Tabelle 4.5: Fiktive Ausfallraten ( , ) Halbleiterelemente bezogen auf den Temperaturbereich Tabelle 4.6: Der Zusammenhang zwischen j

Tabelle 4.7: Messungen der Ausfallrate von Widerständen (Zhongsen Yan, 1992). 58

Tabelle 4.8: Die Lösungen der multiplen Regressionsanalyse (Zhongsen Yan, 1992). 59

Tabelle 5.1: Zeitliche Entwicklung des MIL-HDBK-217 Standards (Coppola, 1984; Michael G. Pecht, 1994). 63

Tabelle 5.2: Umweltfaktoren des MIL-HDBK-217 Standards (MIL-217, 1991). 66

Tabelle 5.3: Umweltfaktoren für bipolare Transistoren nach (MIL-217, 1991). 68

Tabelle 5.4. Die Umgebungsbedingungen des PREL 5.0 Standards und spezifische Werte für Kondensatoren (Binroth et al., 1984). 70

Tabelle 5.5: Umweltfaktoren des Telcordia SR-332 Standards. 72

Tabelle 5.6: Vergleich der Umweltfaktoren der Standards Telcordia SR-332 und MIL-HDBK-217F.

Tabelle 5.7: Mechanischer und klimatischer Umweltfaktor E Standards (BT, 1990).

Tabelle 6.1: Standardswerte der Prozessfaktoren (RAIC, 2006, Table 2.4.1-1). Tabelle 6.2: Die Stützstellen des in Abbildung 6.3 dargestellten Graphen. Tabelle 6.3: Proportionalität des Faktors Mechanical Tabelle 7.1: Übersicht über die Eigenschaften und Funktionen der beschriebenen Standards (ECSS, 2006; IEEE-Guide, 2003). Tabelle 9.1: Parameter für die Zuverlässigkeitsberechnung von Kondensatoren nach 217Plus. 119

Tabelle 9.2: Standardwerte für typische Umwelt und Einsatzprofile nach 217Plus (RAIC, 2006). 120

Tabelle 9.3: Durch den FIDES-Standard abgedeckte Komponenten (FIDES, 2004). 121

Tabelle 9.4: Sensitivitätskoeffizienten von Komponenten bezüglich Überbelastung (FIDES, 2004). Tabelle 9.5:

placement Tabelle 9.6: Matrix zur Bestimmung des application Tabelle 9.7: Matrix zur Bestimmung des ruggedizing Tabelle 9.8: Bauteilspezifische Faktoren eines Keramik-Kondensators (FIDES, 2004). 125

Tabelle 9.9: Beschleunigungsfaktoren von Keramik-Kondensatoren (FIDES, 2004). 125

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Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1.1: Verteilung der Ausfälle von Air-Force Boardsystemen, die auf Komponentenversagen zurückzuführen sind (Slenski, 2002 Figure 1). 15

Abbildung 2.1: Die gebräuchlichsten technischen Risiko- und Zuverlässigkeitsanalysen (VDA, 1996). 17

Abbildung 2.2: Beispiel eines sicherheitskritischen Systems. Darstellungsweise nach DIN 19 227 Teil 2. 18

Abbildung 2.3: Darstellungsweise einer System-FMEA (VDA, 1996). 19

Abbildung 2.4: Darstellung einer Ereignisablaufanalyse nach (DIN-25419, 1985). 20

Abbildung 2.5: Darstellung einer Fehlerbaumanalyse nach DIN-25424 (1981). 20 Abbildung 2.6: Schematische Darstellung einer Systemzustandsanalyse als Markow-Prozess (VDI-4008, 1999). 21

Abbildung 2.7: Top-down-Aufstellung des Zuverlässigkeits-Blockdiagramms eines komplexen Systems (Birolini, 1997). 23

Abbildung 3.1.(b): Gängige Verteilungsfunktionen zur Zuverlässigkeitsanalyse (Birolini, 1997).

Abbildung 3.2: Serienschaltung von n Widerständen im Blockdiagramm. Abbildung 3.3: Parallelschaltung von n Widerständen im Blockdiagramm. Abbildung 3.4: Ausfallrate eines Systems bestehend aus n Elementen mit        konstanten Einzelausfallraten 1 2 ... . 33 0,01

Abbildung 3.5: Beispiele für redundante Anordnungen von Systemfunktionen bzw. Systemelementen in Funktions-Blockdiagrammen (Birolini, 1997). 35

Abbildung 4.1: Typischer Verlauf der Ausfallrate, dargestellt durch die Addition zweier Weibull-Verteilungen. 37

Abbildung 4.2: Mögliche Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen X und Y. 42 Abbildung 4.3: Ausfallraten eines Bauteils in Abhängigkeit von der Anzahl an Funktionstests (Screening-Level).

Abbildung 4.4 Die logarithmierten Ausfallraten über der Zeit. Abbildung 4.5 Verlauf der Lernkurven Bipolar Bauteile (Seidl & Garry, 1990).

Abbildung 4.6: Der zeitliche Verlauf, der nach den Lernfaktoren π Li (t) gewichteten Größen λ i (t).

Abbildung 4.7: Verlauf des Temperaturfaktors ()

Abbildung 6.1: Verteilung der Fehlerursachen elektronischer Systeme (RAC, 2000). 79

Abbildung 6.2: Schematische Vorgehensweise zur Abschätzung der Ausfallrate nach 217Plus (RAIC, 2006). 83

Abbildung 6.3: Grafische Darstellung eines Beispiels zur Spektralanalyse von zufälligen Vibrationsbeschleunigungen (RAC, 2000, Figure J-1). 90

Abbildung 6.4: Funktionsverlauf des Umweltfaktors in Abhängigkeit von Vibrationsbelastungen bei einer Temperaturdifferenz  . 92 0 T

Abbildung 6.5: Aufschlüsselung der ausgewerteten Komponenten nach Ländern für FIDES (MBDA, 2007). 94

Abbildung 6.6: Die Einflussfaktoren im FIDES-Standard (FIDES, 2004). 95

Abbildung 6.7: Der Einfluss mechanischer Vibrationsbelastung auf die Zuverlässigkeit am Beispiel drei verschiedener Komponenten nach FIDES. 99

Abbildung 7.1: Ausfallraten [FIT] eines Keramikkondensators in Abhängigkeit mechanischer Belastung. Berechnet nach den Standards MIL-HDBK-217F, SR-332, RDF2000, HRD5, 217Plus und FIDES. 105

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Abbildung 9.1: Die Struktur des Systems «ABC Computer System (…)», dargestellt durch «Reliability Workbench V10.1.1» von Isograph.

Abbildung 9.2: Systemstruktur der ITEM «Toolkit Version 7»-Software. Abbildung 9.3: Die Systemdarstellung (links) und ein Eingabefenster (rechts) der A.L.D. «RAM-Commander V7.0»-Software. 127

Abbildung 9.4: Darstellung des Systems «Pentium Pro» durch die Software «Reliability Studio 2007» von RELEX. 127

Abbildung 9.5: Auf der linken Seite des Fensters der «PRISM V1.2»-Software befindet sich die Systemdarstellung. 128

Abbildung 9.6: Ein Eingabefenster der PRISM V1.2-Software zur Parameterfestlegung auf Komponentenebene. 128

Abbildung 9.7: Ausfallraten eines Systems in Abhängigkeit von Umweltbedingungen nach MIL-HDBK-217F. 129

Abbildung 9.8: Ausfallraten verschiedener Systemkomponenten bei der Umgebungsbedingung «AIF» (Airborne Inhabited Fighter). 130

Abbildung 9.9: Pareto-Darstellung aller Systemkomponenten mit Hilfe der Software «RAM-Commander V7.0» von A.L.D.. 130

Abbildung 9.10: Die Abhängigkeit der Ausfallrate verschiedener Untersysteme von den Umgebungsbedingungen Ground Benign, Ground Fixed und Ground Mobile. 131

Glossar

Häufig benutzte Symbole

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Elektronische Geräte sind in unserem Leben allgegenwärtig. Dass diese Systeme eine Erleichterung darstellen, fällt besonders dann auf, wenn sie nicht mehr funktionieren.

Meist ist solch ein Ausfall aber nicht dem gesamten Gerät zuzuschreiben, sondern er beschränkt sich auf ein Element, welches seine Funktion nicht mehr erfüllt; sei es ein durchgeschlagener Kondensator oder eine Bus-Verbindung, die keine elektrische Leitfähigkeit mehr besitzt.

Die Ursachen für solche Ausfälle sind vielseitig: Mangelnde Qualitätskontrollen bei der Fertigung, Fehlbedienung durch den Benutzer, Überbelastung, hohe Luftfeuchte oder mechanische Belastung können die Lebensdauer einer Komponente beeinflussen. Wie Abbildung 1.1 zeigt, ist die hardwareabhängige Ausfallhäufigkeit eines Systems auch abhängig von den eingebauten Komponentenarten.

zurückzuführen sind (Slenski, 2002 Figure 1).

1.2 Ziele und Struktur

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Zuverlässigkeitsvorhersage elektronischer Komponenten. Es sollen Verfahren vorgestellt werden, die beanspruchen, eine Vielzahl von möglichen Umweltbedingungen und deren Einfluss auf die Komponenten- und Systemzuverlässigkeit zu quantifizieren.

Besondere Aufmerksamkeit gilt der Berücksichtigung mechanischer Belastungen, die z.B. beim Start einer Rakete auftreten.

Als wichtige Grundlage gehen Zuverlässigkeitsvorhersagen in die in Kapitel 2 beschriebenen technischen Risikoanalysen ein, die Gefährdungen und Risiken minimieren sollen. Hier dienen Ausfallwahrscheinlichkeiten zur Quantifizierung der Sicherheit und Zuverlässigkeit von Hardware.

Die mathematische Definition der in Kapitel 2 erwähnten Ausfallwahrscheinlichkeit und der Ausfallrate wird neben anderen, für das Verständnis notwendigen Grundlagen, in Kapitel 3 erläutert. Dazu werden für die Beschreibung der Ausfallrate typische Verteilungen aufgezeigt.

In Kapitel 4 wird die Exponentialverteilung, eine in Kapitel 3 vorgestellte Verteilung, als vereinfachende Modellannahme eingeführt. Sie wird von allen Standards zur Beschreibung der Ausfallrate angenommen. Zudem soll geklärt werden, wie die Ausfallrate und diverse Einflussfaktoren aus einer Sammlung von Feld- oder Testdaten gewonnen werden können.

Die in Kapitel 3 und Kapitel 4 beschriebenen Grundlagen sind nötig, um die in Kapitel 5 beschriebenen klassischen Standards deuten und interpretieren zu können. Hier sollen multiplikative Standards wie MIL-HDBK-217, SAE (PREL), Telcordia (SR-332), CNET (RDF2000), BT (HRD5) und Italtel (IRPH) vorgestellt und deren Aufbau detailliert dargelegt werden. Insbesondere wird beschrieben, wie mechanische Belastung in multiplikativen Standards und diskreten Faktoren berücksichtigt wird.

Kapitel 6 beschreibt drei moderne Standards, namentlich PRISM, 217PLUS und FIDES. Sie unterscheiden sich vor allem durch den additiven Aufbau gegenüber den in Kapitel 5 dargestellten multiplikativen Standards. Bei den Standards PRISM, 217PLUS und FIDES wird mechanische Belastung in Form stetiger Funktionen modelliert. Diese Funktionen werden aus den Modellen extrahiert und diskutiert.

In Kapitel 7 werden die in Kapitel 5 und Kapitel 6 beschriebenen klassischen und modernen Standards miteinander verglichen. Dazu dienen Fachartikel und ein exemplarischer Vergleich eines Keramikkondensators, der unter verschiedenen mechanischen Einflüssen steht.

Abgerundet wird die Arbeit durch Kapitel 8 mit einer Zusammenfassung der Arbeit und einem Ausblick auf zukünftige mögliche Arbeiten.

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2 Hintergründe

Um das Thema greifbarer zu machen, ist es sinnvoll, Zuverlässigkeitsvorhersagen elektronischer Komponenten in einem erweiterten Kontext einzuordnen, um anschließend das Thema umso mehr auf einige wenige Fragestellungen zu beschränken.

Fundamentale Bedeutung haben Zuverlässigkeitsvorhersagen im Rahmen von technischen Risikoanalysen (VDA, 1996). Quantitative Aussagen über die Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. Zuverlässigkeit dienen als Grundlage zur Berechnung des Risikos. Abbildung 2.1 fasst in der Industrie gängige Analyseformen zusammen.

Abbildung 2.1: Die gebräuchlichsten technischen Risiko- und Zuverlässigkeitsanalysen (VDA, 1996).

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Anzumerken ist dabei, dass die Verwendung einer Analyseform eine andere nicht ausschließt. So bilden Ausfallratenanalysen beispielsweise einen integralen Bestandteil von Fehlerbaumanalysen zur quantitativen Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines unerwünschten Ereignisses.

In Abschnitt 2.1 wird zunächst ein Beispiel für ein System in der Verfahrenstechnik gegeben. Es beinhaltet mechanische, hydraulische und elektrische Elemente.

Entsprechend Abbildung 2.1 wird in Abschnitt 2.2 die Ausfallartenanalyse, in Abschnitt 2.3 die Systemzustandsanalyse und in Abschnitt 2.4 die Ausfallratenanalyse vorgestellt.

Es zeigt sich, dass in allen Fällen auch auf das Ausfallverhalten der Komponenten, insbesondere der elektronischen Bauteile als unterste Betrachtungseinheit eingegangen wird.

2.1 Beispiel

Das System in Abbildung 2.2 soll als Beispiel dienen, um die Vorgehensweisen der verschiedenen Analyseformen zu beschreiben.

Abbildung 2.2: Beispiel eines sicherheitskritischen Systems. Darstellungsweise nach DIN 19 227 Teil

2.

Die Funktion dieses Systems soll sein, eine Flüssigkeit mit Hilfe von Brennstoff (z.B. Gas) soweit zu erhitzen, dass Dampf entsteht und dieser abgeführt werden kann.

Dabei kann der Prozess zur Dampferzeugung auch als Regelkreis verstanden werden, bei dem der Brennstoff, durch die Absperrarmatur (1) geregelt, zum Brenner (2) fließt und durch Flammenbildung die Flüssigkeit im Dampfkessel (3) erhitzt. Als Regelgröße dient das Signal des Drucksensors (4), welcher den erzeugten Dampfdruck P an den Regler (5) weiterleitet. Durch dieses Signal und mit Hilfe zusätzlicher Energie (z.B. elektrische) ergibt sich so eine Stellgröße für den Absperrmotor (6).

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Um das Risiko einer Kesselexplosion durch Überschreiten des Druckes P Krit zu minimieren, seien zwei Absperrarmaturen (7) mit Sicherheitsfunktion eingebaut. Ab einem kritischem Druck P Krit öffnen sich automatisch die Armaturen und senken somit den Systemdruck. Bei dieser zweifachen (redundanten) Anordnung spricht man auch von «öffnender Redundanz» (ISO-3511-3, 1984).

2.2 Ausfallartenanalyse

Die Ausfallartenanalyse als ein Teil der Risikoanalyse lässt sich weiter untergliedern in induktive und in deduktive Analysen. Erstere befassen sich mit der Frage: «Welche Fehler können auftreten und welche Konsequenzen haben diese?», wohingegen die deduktive Vorgehensweise sich mit unerwünschten Fehlern auseinandersetzt und nach den möglichen Ursachen fragt (VDA, 1996).

2.2.1 Induktive Ausfallartenanalyse: FMEA, FMECA, ETA

FMEA- (Failure Mode and Effect Analysis, zu Deutsch: Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse) sind «systematische Untersuchungen der möglichen Ausfälle bezüglich ihrer Auswirkung auf die Funktionstüchtigkeit und Sicherheit des betreffenden Elements und der von diesem beeinflussten Elemente» (Birolini, 1991).

Die System-FMEA dient dazu, das zu analysierende System in geeignete Betrachtungseinheiten zu unterteilen. «Unter Berücksichtigung der jeweiligen Betriebsparameter werden hierfür alle denkbaren Fehlerarten und -ursachen ermittelt und deren Auswirkungen auf die jeweils übergeordneten Betrachtungseinheiten beschrieben. Dies ermöglicht die Festlegung wirkungsvoller Verbesserungs- und Kompensationsmaßnahmen» (VDI-4003, 2007). Die Darstellungsweise einer FME-Analyse wird in Abbildung 2.3 illustriert.

Abbildung 2.3: Darstellungsweise einer System-FMEA (VDA, 1996).

19 Fraunhofer EMI

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FMECA (Failure Mode and Criticality Analysis) als Variation der FMEA erweitert die FMEA um die Bewertung von kritischen Zustände (VDI-4003, 2007).

Bei der Ereignisablaufanalyse (Event Tree analysis, ETA, Abbildung 2.4) geht man von einem Ereignis aus, welches das System beeinflussen kann, und untersucht die Folgen dieser Einwirkung. Ziel ist es, alle möglichen Ereignisse mit ihren Folgen auf das System in einem Ereignisablaufdiagramm darzustellen:

Abbildung 2.4: Darstellung einer Ereignisablaufanalyse nach (DIN-25419, 1985).

2.2.2 Deduktive Ausfallartenanalyse: FTA

Die Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA, Abbildung 2.5) ist eine deduktive Herangehensweise, welche eine systematische Untersuchung der Auswirkung von Ausfällen und Fehlern erlaubt. Dabei geht man vom unerwünschten Ereignis aus und setzt es u.a. mit UND- bzw. ODER-Verknüpfungen interner Ausfälle oder auch externer Einflüsse zusammen.

Abbildung 2.5: Darstellung einer Fehlerbaumanalyse nach DIN-25424 (1981).

Fehlerbaumanalysen haben gegenüber induktiven Vorgehensweisen den Vorteil, dass sie auch Situationen berücksichtigen, in welchen das unerwünschte Ereignis durch das Zusammenwirken mehrerer Ausfälle oder Fehler zustande kommt. Sie sind aber weniger systematisch und geben weniger Gewähr, dass alle Ausfallbzw. Fehlerarten berücksichtigt worden sind (VDI-4003, 2007).

20 Fraunhofer EMI

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Unter Verwendung der Ereigniswahrscheinlichkeiten der Ausfälle oder Einflüsse,  , kann bei der dargestellt durch die Verzweigungswahrscheinlichkeiten () i t

Ereignisablaufanalyse wie der Fehlerbaumanalyse eine Eintrittswahrscheinlichkeit des unerwünschten Fehlers berechnet werden (DIN-25419, 1985; DIN-25424, 1981).

2.3 Systemzustandsanalyse

Die Systemzustandsanalyse wird üblicherweise als Markow Modell veranschaulicht, dessen dargestellter Prozess zu der Gruppe der so genannten regenerativen stochastischen Prozesse gehört (VDI-4008, 1999). Dabei werden in einem Diagramm die Zustände von Komponenten, die entweder ausgefallen oder in Betrieb sind, als Kreise dargestellt. Der Wechsel zwischen zwei Zuständen wird durch einen Übergangsbogen, der mit einem Richtungspfeil versehen ist, repräsentiert. Durch das Markow-Modell lässt sich die gesamte Konfiguration eines fehlertolerierenden Systems in einer einzigen Grafik darstellen (siehe Abbildung 2.6).

Abbildung 2.6: Schematische Darstellung einer Systemzustandsanalyse als Markow-Prozess (VDI-

4008, 1999).

Die quantitative Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Zustands errechnet sich aus den Übergangsraten vom einen zum anderen Zustand. Die Übergangsraten 

bzw.  können konstant («Memory-Less»), aber auch zeitabhängig sein.

Der Vorteil dieser Darstellungsart ist, dass ebenso Zustände eines funktionierenden Systems darstellbar sind. «Somit ist es auch möglich, durch eine Addition der Wahrscheinlichkeiten dieser Zustände entweder die

Systemzuverlässigkeit (Reliability) oder die Systemverfügbarkeit (Availability) als eine Funktion der Zeit zu berechnen» (Börcsök, 2004).

2.4 Ausfallratenanalyse

Die Ausfallratenanalyse (siehe Abbildung 2.7), auch vorausgesagte Zuverlässigkeit oder Zuverlässigkeitsvorhersage genannt, errechnet die Systemzuverlässigkeit aus

21 Fraunhofer EMI

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den Ausfallraten der einzelnen Elemente und deren Anordnung (Birolini, 1991). Die mathematische Erklärung der Ausfallrate erfolgt in Kapitel 3.

Für die Betrachtungsweise ist es sinnvoll, das technische System schrittweise zuerst in Anlagen, danach in Baugruppen und Bauteilen aufzugliedern, um letztendlich an die Elementebene zu gelangen.

Die Ausfallrate gibt das Verhältnis aus der Ausfallanzahl im Intervall [t, t+dt] zur Anzahl der Betrachtungseinheiten, die zur Zeit t noch nicht ausgefallen sind, wieder. In den vorherrschenden Modellen wird die Ausfallrate als zeitlich nicht veränderbar gesetzt, was die Berechnungen erheblich vereinfacht, siehe Abschnitt 4.1.1.

Die Parts-Count-Methode verkürzt die Berechnung zusätzlich, indem sie die Anordnung der Elemente als Serienschaltung betrachtet, siehe auch Abschnitt 3.3.1. Außerdem wird eine Unempfindlichkeit der Komponenten gegenüber äußeren Einflüssen vorausgesetzt, d.h. es gibt für eine Komponente nur eine konstante Ausfallrate. Das ermöglicht eine schnelle, aber grobe Abschätzung der Systemausfallrate.

Im Gegensatz dazu werden bei der Parts-Stress-Methode Umwelteinflüsse und Elementanordnung berücksichtigt. Dies erhöht den Rechenaufwand, bietet aber in den meisten Fällen ein genaueres Ergebnis.

Die Ausfallrate eines neu entwickelten Bauteils kann letztgültig nur experimentell oder durch Simulationen bestimmt werden. Dennoch gibt es auch andere Methoden, wie beispielsweise das Abschätzen durch Erfahrungswerte oder der Vergleich mit ähnlichen Bauteilen, siehe Kapitel 4.

Typische Ausfallraten für bekannte und in der Industrie oft verwendete Bauteile sind in speziellen Handbüchern aufgeführt und stammen meist aus empirischen Untersuchungen. Die wichtigsten Handbücher für elektronische und elektromechanische Komponenten sind: IEC 61709, MIL-HDBK-217 und SN29500, siehe Kapitel 5.

Abbildung 2.7: Top-down-Aufstellung des Zuverlässigkeits-Blockdiagramms eines komplexen Systems

(Birolini, 1997).

3 Mathematische Grundlagen

In diesem Kapitel sollen zuerst mathematische Grundlagen erklärt werden, die für das Verständnis zur Beschreibung der Zuverlässigkeit nötig sind (Abschnitt 3.1). Die Ausfall- und Überlebenswahrscheinlichkeit, die Ausfalldichte, die Ausfallrate und der Erwartungswert werden mathematisch definiert.

Anschließend wird in Abschnitt 3.2 auf das zeitliche Verhalten der Zuverlässigkeit eingegangen, indem gängige Formen der Ausfallrate beschrieben und diskutiert sowie in Abbildung 3.1. dargestellt werden.

In Abschnitt 3.3 wird auf die Verschaltungsweise von Komponenten eingegangen, die einen entscheidenden Einfluss auf die Systemzuverlässigkeit haben kann. Dabei unterscheidet man hauptsächlich die serielle und parallele Art der Verschaltung.

3.1 Statistische Beschreibung der Zuverlässigkeit

Üblicherweise wird die Zuverlässigkeit als Ausfallrate () ht ausgedrückt. Sie gibt an,

wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Komponente, die bis zum Zeitpunkt

23 Fraunhofer EMI

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nächsten Reparatur (Mean Time between Failures, MTBF) dar.

Die Ausfallrate ist nicht zu verwechseln mit der Ausfalldichte () wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Komponente im Zeitraum 

ausfällt. Allerdings wird dabei nicht direkt berücksichtigt, ob die Komponente bereits bis zum Zeitpunkt t ausgefallen ist oder nicht.

Die Ausfalldichte kann als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (probability density function) über  

dichtefunktionen der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie über halbunendlichen Intervallen zur Verfügung, um Zuverlässigkeitsvorhersagen zu bilden.

Will man nun wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Komponente bis zum Zeitpunkt t ausfällt, so lässt sich dies errechnen, indem man die

Ausfalldichten über das Zeitintervall von

Diese Wahrscheinlichkeit nennt man auch Ausfallwahrscheinlichkeit (failure probability).

Die Überlebenswahrscheinlichkeit (survival probability) bildet das Gegenstück zur Ausfallwahrscheinlichkeit. Sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass  eine Komponente bis zum Zeitpunkt t überlebt und ist damit ( ) 1 . ( ) S t F t

Man beobachtet allgemein, dass sich z.B. aus ()

und ()

in analoger Weise für alle anderen Verteilungen ebenfalls.

Tabelle 3.1 gibt einen Überblick über die mathematischen Definitionen und Zusammenhänge.

Tabelle 3.1: Wichtige mathematische Zusammenhänge zur Zuverlässigkeitsberechnung (Meyna &

Pauli, 2003).

3.2 Verteilungsfunktionen

Durch mathematische Überlegungen und Vergleich mit empirischen Daten, haben sich einige in Abbildung 3.1. mathematisch beschriebenen und dargestellten Verteilungsfunktionen besonders bewährt. Sie werden nachfolgend im Einzelnen vorgestellt. Es zeigt sich anhand von Abbildung 3.1., dass für die meisten der Verteilungen eine der Darstellungen nach Abschnitt 3.1 besonders gut geeignet ist, z.B. die Exponentialfunktion für die Ausfallrate.

3.2.1 Exponentialverteilung

Die Exponentialfunktion als Überlebenswahrscheinlichkeit liefert eine konstante   Ausfallrate . Diese Eigenschaft erleichtert Berechnungen zur ) (t h

Zuverlässigkeit (siehe Abschnitt 3.3) durch folgende Punkte (Birolini, 1997):

- Gedächtnislosigkeit: Eine momentan funktionierende Komponente «weiß» nicht, wie lange sie schon gearbeitet hat. Das bedeutet, dass sie im nächsten

Zeitintervall t

Ausfallwahrscheinlichkeit ist konstant und beträgt: t

- Konstante Ausfallrate auf Systemebene: Die Ausfallrate von Systemen mit seriell angeordneten Elementen errechnet sich aus der Summe der Einzelausfallraten. Sie ist demnach auch konstant. (siehe Abschnitt 3.3.1)

Seit den Studien (Davis, 1952), (Epstien & Sobel, 1953) und (Epstien & Sobel, 1954) über die exponentielle Verteilung der Überlebenswahrscheinlichkeiten von elektronischen Bauteilen ist diese Art der Verteilung am weitesten verbreitet. Doch selbst aktuelle Studien (Murphy, Carter, & Brown, 2002) zeigen, dass die Exponentialverteilung für eine Vielzahl von elektronischen Systemen wie Radar-, Flugzeug-, Raumfahrt-, Kommunikations- oder Computersystemen angenommen werden kann.

Dennoch ist diese Art der Verteilung nicht passend, um Verschleißerscheinungen, Korrosion oder Materialermüdung abzubilden. Diese Ausfallursachen lassen sich mit anderen Formen besser beschreiben.

3.2.2 Weibullverteilung

Die Weibull-Verteilung als Überlebenswahrscheinlichkeit kann auch als «Verallgemeinerung der Exponentialverteilung» (Birolini, 1997) betrachtet  b  und  werden. Mit den Werten ist sie eine Exponentialverteilung. 1 1/ T

Diese Art der Verteilung wurde bereits 1951 von W. Weibull im Zusammenhang mit der Untersuchung von Alterungserscheinungen an Metallen für sinnvoll erachtet (Weibull, 1951). Für Werte b>1 ergeben sich steigende Ausfallraten, die auf Materialermüdung oder Verschleiß zurückgeführt werden können. Fallende Ausfallraten werden hervorgerufen für Werte b<1. Diese Konstellation ermöglicht die mathematische Beschreibung von sog. «Frühausfällen», deren Ursache häufig mangelnde Fertigungs- und Montagequalität sind.

Somit lassen sich empirische Untersuchungen über den Verlauf der Ausfallrate bei Produkten nachbilden. Sie ergaben eine stark abfallende Ausfallrate am Anfang, einem nahezu konstanten Mittelteil und einen leicht steigenden Verlauf am Ende der Laufzeit. Diese Eigenschaft nahezu jeder Komponente und jedes Systems ist

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auch unter dem Namen «Badewannenkurve» bekannt und als Überlagerung mehrerer Ausfallursachen zu deuten, vgl. Abschnitt 4.1.1 (Meyna & Pauli, 2003).

Für Werte b>3 ähnelt der Verlauf der Weibullverteilung stark dem der Normalverteilung. Für b>5 wird die Funktion allerdings rechtsschief.

Die Vorteile dieser Verteilung liegen vor allem in der zufriedenstellenden Genauigkeit von Ausfallanalysen und Ausfallvorhersagen bei der Verwendung sehr kleiner Datensätze (Abernethy, 1998). Zudem lassen sich durch den Funktionsverlauf des Graphen sehr einfach einzelne Ausfallursachen deuten und interpretieren (Nelson, 1967).

Meeker (1988), Kececioglu (1991) und Abernethy (1998) diskutierten den Nutzen dieser Verteilung um Ausfallraten von Elektronenröhren, Kondensatoren aber auch Kugellagern und auslaufenden Batterien zu modellieren. In (Harter & Moore, 1976) ist eine umfangreiche Referenzliste auf Arbeiten zu finden, die sich mit der Anwendung der Weibull-Verteilung auf diverse technische Bauteile auseinander gesetzt haben.

3.2.3 Normalverteilung

Die Normalverteilung darf streng genommen nicht zur Beschreibung der Verteil-

ungsdichte dienen. Schließlich erfüllt sie nicht die Voraussetzung Allerdings kann der Rechenfehler mit der Bedingung Anwendung vernachlässigt werden. So ist z.B. (Meyna & Pauli, 2003).

Charakteristisch für die Verteilung der Dichtefunktion der Normalverteilung ist die

funktion der Summe einer großen Anzahl statistisch unabhängiger Zufallsgrößen unter relativ allgemeinen Bedingungen gegen eine Normalverteilung konvergiert» (Birolini, 1991). Durch die Normalverteilung lassen sich also Ausfälle darstellen, die rein zufällig ablaufen und deren Ausfalldichte symmetrisch verteilt ist.

Nach Nelson (1990) ist die Normalverteilung auch geeignet, um physikalische System- oder Komponenteneigenschaften wie Belastung, Festigkeit, Dehnung und Stoßfestigkeit zu modellieren.

3.2.4 Log-Normal-Verteilung

Die Log-Normal-Verteilung erfüllt die Voraussetzung ( 0) 0 die gleichen Parametersymbole  und , die aber, im Gegensatz zur

Normalverteilung, komplizierter zu interpretieren sind (Meyna & Pauli, 2003).

Diese Art der Verteilung ist geeignet zur Beschreibung von Reparaturzeiten, aber auch als Verteilungsfunktion der Lebensdauer von Bauteilen im Falle zeitraffender Zuverlässigkeitsprüfungen, sowie überall dort, «wo die Zusammenwirkung einer großen Anzahl statistisch unabhängiger Zufallsgrößen sich multiplikativ auswirkt» (Birolini, 1991).

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