1 DIE ZERLEGUNGSMETHODE VON ADOMIAN 2

Wir betrachten zu Beginn der Ausf¨ uhrungen allgemeine nichtlineare Funktionalgleichungen der Gestalt

x = c + N (x) , x, c ∈ H (1.1)

und bezeichnen diese als die kanonische Form. Dabei ist N : H → H ein nichtlinearer Operator auf dem Hilbertraum H und c ein bekanntes Element in H. Die Idee der Zerlegungsmethode beruht auf der Linearisierung der nichtlinearen Terme. Diese werden durch Adomian Polynome approximiert, wobei der nichtlineare Charakter von N erhalten bleibt.

Wir nehmen nun an, dass x und N (x) auf folgende Art linear zerlegt werden k¨ onnen:

Dabei ist (x i ) i≥0 eine Folge in H und (A i ) i0 die Folge der Adomianpolynome die abh¨ angig von x 0 , x 1 , ... , x i sind. Durch Einsetzen der Zerlegungen (1.2) und (1.3) in (1.1) erh¨ alt man die modifizierte Funktionalgleichung

Die rechten Terme von (1.2) und (1.3) sind bisher noch unbestimmte Ausdr¨ ucke, daher kann man bespielsweise f¨ ur den Ansatz (1.2) folgende Plausibilit¨ atsbetrachtungen anstellen:

Sei f : R → R eine reelle Funktion in C ² [a, b] , d.h. f ist 2-mal stetig differenzierbar

auf I := [a, b] , weiterhin gelte M := sup

Falls f in (a, b) eine Nullstelle x ∈ R besitzt, dann konvergiert nach dem Fixpunktsatz von Banach das Newton-Verfahren gegen x ∈ (a, b) und es gilt

f (x) = 0 ⇐⇒ x = lim

Dies kann man umformulieren in

1 DIE ZERLEGUNGSMETHODE VON ADOMIAN 3

y 0 := x 0 , y n+1 := x n+1 − x n = − f (xn)

und erh¨ alt damit eine Vorstellung wie eine Zerlegung von x gem¨ aß (1.2) aussehen k¨ onnte. Allgemein h¨ angt die Zerlegung von x nat¨ urlich vom gew¨ ahlten Verfahren ab.

Um Konvergenz der Zerlegung (1.4) gegen die L¨ osung von (1.1) zu gew¨ ahrleisten, m¨ ussen die Summanden im linken Term von (1.4) den Summanden im rechten Term von (1.4) entsprechen. Man erh¨ alt:

Da x 0 = c = const. terminiert x 1 durch A 0 , das auschließlich von x 0 abh¨ angt. Allgemein terminiert x n+1 durch A n , das ausschließlich von den bereits berechneten x 0 , . . . , x ⁿ abh¨ angt. Die schnelle Konvergenz von (1.4) gegen die L¨ osung von (1.1) erh¨ alt man durch fortlaufende Summation der Adomian-Polynome gem¨ aß (1.2) und (1.3). Offen bleibt die Frage welche spezielle Gestalt die Adomian-Polynome in (1.3), (1.4) und (1.5) haben. Diese kann man wie folgt beantworten.

1.1 Adomian-Polynome

Man f¨ uhrt eine analytische Hilfsfunktion y und H mit unabh¨ angigem reellen Parameter λ ein. Anschließend entwickelt man die Funktion y(λ) in eine Taylorreihe im Punkt λ = 0 und erh¨ alt damit eine Darstellung von y(λ) als Potenzreihe. Wir erinnern daran, dass eine Funktion analytisch genannt wird, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Einsetzen und differenzieren in (1.3) liefert dann eine explizite Darstellung der Adomian-Polynome.

Die Taylorentwicklung der Funktion y(λ) an der Stelle λ = 0 liefert zun¨ achst

y(λ) = y(0) + λy (0) + 1

Setzt man nun

i!x i = y ⁽ⁱ⁾ (λ)| λ=0

so erh¨ alt man f¨ ur y(λ) den Ausdruck

1 DIE ZERLEGUNGSMETHODE VON ADOMIAN 4

und es gilt: y(0) = x 0 , y(1) = x, d ⁿ dλ n y(λ)| λ=0 = n!x n

Zus¨ atzlich f¨ uhrt man die Potenzfunktion H mit Koeffizienten (A i ) i≥0 und Parameter λ ein.

Als Zwischenschritt substituieren wir nun x durch die Funktion y(λ) in (1.1) und erhalten das verallgemeinerte Problem

y(λ) = c + N (y(λ)) (1.7)

Man beachte, dass (1.7) mit λ = 1 und Annahme (1.2) der Gleichung (1.1) entspricht. Weiterhin wird unter Verwendung von (1.5) und (1.6) die Gleichung (1.4) zu

y(λ) = c + H(λ) (1.8)

Um ¨ Aquivalenz der Gleichungen (1.7) und (1.8) zu erhalten, muss N (y(λ)) = H(λ) gelten.

Diese Bedingung ist genau dann erf¨ ullt, wenn N und H in allen ihren Ableitungen ¨ ubereinstimmen. Durch Differentiation von Gleichung (1.9) im Punkt λ = 0 k¨ onnen die Adomian- Polynome extrahiert werden. Man setzt d ^k dλ k N (y(λ))| λ=0 , k = 0, 1, 2, . . . f¨ ur die kte Ableitung von N (y) nach λ an der Stelle λ = 0, bemerken noch das d k

gilt und erhalten damit die ersten A k s zu

d ⁽⁰⁾ dλ 0 N (y)| λ=0 = N (x 0 ) ⇒ N (x 0 ) = 0!A 0

d ⁽¹⁾ dλ 1 N (y)| λ=0 = x 1 N (x 0 ) ⇒ x 1 N (x 0 ) = 1!A 1

1 DIE ZERLEGUNGSMETHODE VON ADOMIAN 5

d ⁽²⁾ 1 N (x 0 ) ⇒ 2x 2 N (x 0 ) + x ² dλ 2 N (y)| λ=0 = 2x 2 N (x 0 ) + x 2 1 N (x 0 ) = 2!A 2

d ⁽³⁾ 1 N (x 0 ) dλ 3 N (y)| λ=0 = 6x 3 N (x 0 ) + 6x 1 x 2 N (x 0 ) + x 3

⇒ 6x 3 N (x 0 ) + 6x 1 x 2 N (x 0 ) + x 3 1 N (x 0 ) = 3!A 3

. . .

Die allgemeine Form lautet dann

Wie man der Formel (1.10) entnimmt, sind f¨ ur die Berechnung der Adomian-Polynome ausschließlich die n-ten Ableitungen der zusammengesetzten Funktion N (y) notwendig. Da diese zunehmend komplizierter zu ermitteln sind wenn der Grad der Ableitung steigt, bietet sich an dieser Stelle ein kleiner Exkurs zu diesem Thema an. Zun¨ achst erinnern wir an die von Fa` a di Bruno bewiesene Formel f¨ ur die Ableitung beliebigen Grades einer zusammengesetzten Funktion.

Dazu f¨ uhren wir folgende Bezeichnungen ein

Seien N und y ausreichend oft differenzierbare Funktionen, dann gilt f¨ ur n ≥ 1:

Die Summation in Gleichung (1.11) erfolgt dabei ¨ uber alle L¨ osungen von nichtnegativen

ganzen Zahlen k 1 , . . . , k n f¨ ur die k 1 + 2k 2 + · · · + nk n = n gilt. Sei beispielsweise n = 3 dann folgt k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 3. Als L¨ osungen dieser Gleichung erh¨ alt man:

(i) k 1 = k 2 = 0, k 3 = 1

⇒ k = 1 : 3!