Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis   III

Tabellenverzeichnis III   

Abk  urzungsverzeichnis  IV

1.  Einleitung  1

2.  Einf uhrung in die Bewertung von Optionen  3

2.1.  Die Black und Scholes Differentialgleichung  4

2.1.1.  Preisprozess des betrachteten Basiswertes  5

2.1.2.  Herleitung der Bewertungsgleichung  9

2.1.3.  Pfadabh angige Optionen  11

2.2.  Risikoneutrale Bewertung  13

2.2.1.  Die geometrisch Brownsche Bewegung unter dem risiko-  

neutralen  Wahrscheinlichkeitsmaß  14

2.2.2.  Risikoneutrale Bewertung anderer Assetgruppen  16

3.  Asiatische Optionen  17

3.1.  Einf uhrung in die Funktionsweise asiatischer Optionen  17

3.1.1.  Auszahlungsstruktur  17

3.1.2.  Mittelwertbildung  20

3.2.  Hedging und Anwendung asiatischer Optionen  22

3.2.1.  Absicherung von Wechselkursrisiken mit asiatischen fixed  

strike  Optionen  23

3.2.2.  Kurssicherung durch asiatische average strike Optionen  26

3.3.  Put-Call-Parit at asiatischer Optionen  28

4.  Bewertung asiatischer Optionen  31

4.1.  Geometrische asiatische Optionen  33

4.1.1.  Geometrische asiatische Optionen mit diskreter Mittel-  

wertbildung   34

I

4.1.2.  Kontinuierliche Mittelwertbildung  38

4.2.  Arithmetische asiatische Optionen  40

4.2.1.  Approximation durch logarithmische Normalverteilung  42

4.2.2.  Geometric Conditioning  45

4.3.   

Aquivalenz  von fixed und average strike Optionen  52

4.4.  Monte-Carlo-Simulation  54

4.4.1.  Monte-Carlo-Simulation - Vorgehensweise in Matlab  56

4.4.2.  Resultate der Monte-Carlo-Simulation  57

5.  Schlussbemerkungen  58

A.  Mathematischer Anhang  61

A.1.  Wichtige Theoreme  61

A.2.  Zusammenfassung verwendeter Integralregeln  62

B.  Anhang - Beispielberechnung von Abschnitt 3.2.1  63

C.  Anhang - Partielle Differentialgleichung  64

D.  Anhang - Herleitung zu den Bewertungsgleichungen  66

D.1.  Asiatische fixed strike Call-Option mit diskreter, geometrischer  

Mittelwertbildung   66

D.2.  Asiatische Optionen mit kontinuierlicher, geometrischer Mittel-  

wertbildung   71

D.3.  Asiatische Optionen mit arithmetischer Mittelwertbildung  72

D.3.1.  Approximation durch Annahme der Log-Normalverteilung  72

D.3.2.  Geometric Conditioning  75

Literatur   77

II

Abbildungsverzeichnis

3.1. Auszahlung einer asiatischen fixed strike Call-Option mit diskreter Mittelwertbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2. Kursverlauf einer Aktie, kontinuierlicher und diskreter arithmetischer Mittelwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tabellenverzeichnis

2.1. Preisprozesse von Aktien und W¨ ahrungen. . . . . . . . . . . . . 16 3.1. Optionspreisvergleich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.1. Ergebnisvergleich: Monte-Carlo-Simulation - Approximationen. . 58 B.1. Ausgangswerte f¨ ur das Beispiel zur Absicherung von Wechselkursrisiken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B.2. Kurssicherungsstrategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III

Abk¨ urzungsverzeichnis

∈ Element von

∞ Unendlich

Integral

ln Nat¨ urliche Logarithmusfunktion

Produktzeichen

∼ Verteilt

Summenzeichen

e, exp Exponentialfunktion

1 Identit¨ atsfunktion

α Konstante

β(.) Symbol f¨ ur verwendete Mittelwertmethode

γ Marktpreisrisiko

^∂f Partielle Ableitung von f nach a

∂a

standardnormalverteilte Zufallsvariable

ζ Cost-of-carry

Call/Put-Operator (Call:Θ = +1 / Put:Θ = −1) Θ

µ Erwartete Momentanrendite einer Aktie

IV

π Kreiszahl, Ludolphsche Zahl

Π t Wert eines Portfolios zum Zeitpunkt t

ρ ij Korrelation zwischen i und j

σ Volatilit¨ at des Basiswertpreises

σ Zeichen der Mengenalgebra

Φ(·) Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen

ϕ Anzahl der Aktien im Portfolio

ω Ergebnis aus Ω

Ω Ergebnismenge

a Subskript f¨ ur arithmetische Mittelwertbildung

A nc,a (T ) Diskret ermittelter arithmetischer Mittelwert zum Zeitpunkt T

A nc,g (T ) Diskret ermittelter geometrischer Mittelwert zum Zeitpunkt T

A c,a (T ) Kontinuierlich ermittelter arithmetischer Mittelwert zum Zeitpunkt T

A c,g (T ) Kontinuierlich ermittelter geometrischer Mittelwert zum Zeitpunkt T

A (.) (t i ) Mittelwert zum Zeitpunkt t i

AC (.) (t) Wert einer Standard asiatischen Call-Option zum Zeitpunkt t

AP (.) (t) Wert einer Standard asiatischen Put-Option zum Zeitpunkt t

ACF S (.) (t) Wert einer asiatischen fixed strike Call-Option zum Zeitpunkt t

V

AP F S (.) (t) Wert einer asiatischen fixed strike Put-Option zum Zeitpunkt t

ACAS (.) (t) Wert einer asiatischen average strike Call-Option zum Zeitpunkt t

AP AS (.) (t) Wert einer asiatischen average strike Put-Option zum Zeitpunkt t

B(.) Risikolose Anlage im Geldmarkt

cos Kosinusfunktion

c Subskript f¨ ur kontinuierliche Mittelwertbildung

dt Infinitesimal kleines Zeitintervall

¨ d· Anderung einer Variablen im Intervall dt

E[·|F(t)] Auf die Informationsmenge zum Zeitpunkt t bedingter Erwartungswert

E[·] Erwartungswertsoperator unter dem realen Maß

E[·] Erwartungswertsoperator unter dem synthetischen, risikoneutra-

len Maß

E[.] P

f (. | .) Bedingte Dichtefunktion von zwei miteinander korrelierten Zufallsvariablen

f (.) Dichtefunktion einer Zufallsvariablen

f ^∗ (.) Dichtefunktion einer bivariaten Normalverteilung

F (.) Verteilungsfunktionen einer normalverteilten Zufallsvariable

VI

F σ-Algebra auf Ω

F(t) Filtrierung

g Subskript f¨ ur geometrische Mittelwertbildung

G(.) Wert einer Option in Abh¨ angigkeit von .

i Fortlaufender Index

I(t) Pfadabh¨ angige Variable zum Zeitpunkt t

J (.) Bezeichnung eines Integrals

k Variable zur Kennzeichnung des k-ten Moments

K Basispreis einer Option

l(.) Dichtefunktionen einer logarithmisch normalverteilten Zufallsvariable

L(t) Radon-Nikodym-Ableitung

nc Subskript f¨ ur diskrete Mittelwertbildung

N (·) Normalverteilung

P Reales Wahrscheinlichkeitsmaß

P(A) Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Eintritt des Ereignisses A unter dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß

P Synthetisches, risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß

P(A) Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Eintritt des Ereignisses A unter dem

risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß

VII

q Konstante Dividendenrendite

r Risikoloser Zinssatz

r f Ausl¨ andischer, risikoloser Zinssatz

R i Rekursive Variable, wie auch H i

sin Sinusfunktion

s, u, τ Zeitvariablen

t Gegenw¨ artiger Zeitpunkt

t 0 , 0 Ausgabezeitpunkt der Optionen

t i In den Mittelwert einbezogener Zeitpunkt i, mit i = 1, 2, ..., N

T F¨ alligkeit der Optionen

T − t Restlaufzeit

Menge an vorgegebenen Zeitpunkten T

u(.) Funktion von .

U(·) Gleichverteilung

U i Gleichverteilte Zufallsvariable

W (t) Elementarer Wiener Prozess, standardisierte Brownsche Bewegung

W (t) Standardisierte Brownsche Bewegung unter dem risikoneutralen

Maß

VIII

x Variable

X (.) (t) Kurs eines Assets zum Zeitpunkt t

Y (n) Zufallsvariable mit n = 1, ..., N

Z(t) Zufallsvariable

Z Dichtefunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable

IX

1. Einleitung

Asiatische Optionen z¨ ahlen zu den bekanntesten und meist verwendeten exotischen Optionen im Over-the-Counter Handel. ¹ Ihre erwartete Auszahlung h¨ angt vom Mittelwert der Preise, die der Basiswert im betrachteten Zeitraum realisiert hat, ab, daher werden sie in die Kategorie der pfadabh¨ angigen Optionen eingeordnet. Der Mittelwert kann arithmetisch oder geometrisch gebildet werden, wobei die geometrische Bildungsweise in der Praxis den Ausnahmefall darstellt.

Der Name asiatische Optionen wurde diesen Derivaten von Mitarbeitern der Investmentbank Bankers Trust verliehen, die diesen Optionstyp zum ersten Mal handelten. Der Anwendungsbereich war die Absicherung von Wechselkursrisiken japanischer Firmen, die ihren Jahresabschluss auf Basis durchschnittlich realisierter Wechselkurse aufstellten. ² Damit ist bereits eines der wichtigsten Anwendungsgebiete asiatischer Optionen, die Absicherung von Wechselkursrisiken, genannt. Weitere Anwendungsm¨ oglichkeiten sind unter Anderem die Absicherung durchschnittlicher Aktien- und Rohstoffpreise und die Sicherung eines bestimmten Zinsniveaus. Letzterer Verwendungsbereich wird in der Literatur nur relativ selten genannt.

Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Betrachtung asiatischer Optionen europ¨ aischen Typs. Da der eigentliche Absicherungszweck einer asiatischen Option bei Aus¨ ubung vor F¨ alligkeit verloren geht, wird auf die Betrachtung asiatischer Optionen amerikanischen Typs verzichtet. ³ In Abschnitt 2 wird zun¨ achst eine Einleitung in die Bewertung von Optionen gegeben, wobei die Black-Scholes-Differentialgleichung hergeleitet wird und die wichtigsten Eigenschaften des zugrundeliegenden Preisprozesses des Basiswertes definiert werden. Eine Erweiterung auf pfadabh¨ angige Optionen erfolgt im Anschluss. Aus den Ergebnissen dieser Herleitungen, l¨ asst sich zeigen, dass eine Bewertung von Optionen durch Diskontieren der erwarteten Optionsauszahlung mit dem risi- ¹ Vgl. Ye (2007),S. 2.

² Vgl. Vorst (1996), S. 176.

³ Vgl. Kemna und Vorst (1989), S. 114.

1

kolosen Zinssatz unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß erfolgen kann. Eine detaillierte Einf¨ uhrung in asiatische Optionen erfolgt in Abschnitt 3.1. Es werden die Auszahlungsstrukturen asiatischer fixed und average strike Optionen definiert und auf die arithmetische und geometrische Mittelwertbildung eingegangen. Darauf folgt eine Darstellung der Hedging- und Anwendungsm¨ oglichkeiten asiatischer Optionen. Die Put-Call-Parit¨ aten f¨ ur asiatische fixed und average strike Optionen werden in Abschnitt 3.3 hergeleitet. In Abschnitt 4 werden Bewertungsgleichungen f¨ ur asiatische Optionen hergeleitet und dargestellt. W¨ ahrend geschlossene Bewertungsgleichungen f¨ ur asiatische Optionen mit geometrischer Mittelwertbildung relativ schnell gefunden werden k¨ onnen, ist das Aufstellen von geschlossenen Bewertungsgleichungen bei arithmetischer Mittelwertbildung nicht m¨ oglich. Daher ist es notwendig Approximationen aufzustellen, was die Bewertung dieser Optionsart besonders interessant macht.

Bei den ersten Versuchen, asiatische Optionen mit arithmetischer Mittelwertbildung zu bewerten, wurde davon ausgegangen, dass ein arithmetischer Mittelwert von logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen auch log-normalverteilt ist (s. Turnbull und Wakeman (1991), Levy (1992) oder Sankarasubramanian und Vijh (1993)). Bessere Bewertungsergebnisse konnten durch das “(Geometric) Conditioning” ⁴ erzielt werden (s. Curran (1994), Rogers und Shi (1995) oder Lord (2006)). Eine andere M¨ oglichkeit bietet die Bewertung anhand numerischer Methoden, wie die Monte-Carlo-Simulation (s. Kemna und Vorst (1989)) oder die numerische L¨ osung einer partiellen Differentialgleichung durch die Finite-Differenzen-Methode (s. Dewynne und Wilmott (1995), Rogers und Shi (1995) oder B. Alziary und Koehl (1997)). Eine Darstellung s¨ amtlicher o.a. Bewertungsans¨ atze w¨ urde den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen, daher werden im Folgenden lediglich die Approximation mit der Annahme, dass ein arithmetischer Mittelwert von logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen auch log-normalverteilt ist sowie das “Geometric Conditioning” und die Monte-Carlo-Simulation dargestellt. In der Forschung wird asiatischen average strike Optionen nur wenig Aufmerksamkeit gewidmet. Die Darstellung einer

⁴ F¨ ur eine Begriffserl¨ auterung s. Abschnitt 4.2.2.

2

Bewertungsgleichung ist deshalb nicht f¨ ur alle Approximationen m¨ oglich. Ein Preisverh¨ altnis zwischen asiatischen fixed und average strike Optionen, das in Abschnitt 4.3 hergeleitet wird, erm¨ oglicht auch in diesen F¨ allen eine Bewertung. In Abschnitt 4.4.2 werden Werte asiatischer fixed strike Optionen, die anhand der dargestellten Approximationen berechnet wurden, Ergebnissen einer Monte-Carlo-Simulation gegen¨ ubergestellt. Hierdurch ist ein Qualit¨ atsvergleich der Approximationen m¨ oglich, wobei die Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation als Qualit¨ atsstandard gelten. Abschließend wird ein Ausblick auf die aktuellen Forschungsschwerpunkte des Themengebietes asiatische Optionen gegeben.

2. Einf¨ uhrung in die Bewertung von Optionen

Im Bereich der Finanzwirtschaft sind Optionen bedingte, abgeleitete Termingesch¨ afte (auch als Derivate bezeichnet), die sich grunds¨ atzlich auf einen Basiswert wie eine Anleihe, Aktie oder W¨ ahrung beziehen und das Recht f¨ ur den Inhaber der Option verbriefen, diesen Basiswert (underlying asset) zu einem bestimmten Preis (Aus¨ ubungspreis) an oder bis zu einem festgelegten Zeitpunkt (F¨ alligkeit oder Verfalldatum) zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Option, die das Recht verbrieft, den Basiswert zum Aus¨ ubungspreis zu kaufen, wird als Call bezeichnet, w¨ ahrend eine Option, die die M¨ oglichkeit er¨ offnet, den Basiswert zum Aus¨ ubungspreis zu verkaufen, Put genannt wird. Optionen k¨ onnen europ¨ aischen oder amerikanischen Typs sein. Die Aus¨ ubung europ¨ aischer Optionen ist nur am Verfalldatum m¨ oglich. Im Gegensatz dazu k¨ onnen amerikanische Optionen w¨ ahrend ihrer gesamten Laufzeit ausge¨ ubt werden. Optionen verbriefen f¨ ur den Inhaber des Kontraktes nur Rechte und keinerlei Verpflichtungen, weshalb sie einen Wert besitzen, der bestimmt werden kann.

Der Wert einer Standard-Option ist zum Zeitpunkt ihrer F¨ alligkeit T ausschließlich von ihrer Auszahlung abh¨ angig, die sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen Preis des Basiswertes und der H¨ ohe des Aus¨ ubungspreises der

3

Option berechnet. Bezeichnet t den gegenw¨ artigen Zeitpunkt, X(t) den aktuellen Preis eines Basiswertes und K den Aus¨ ubungspreis, so kann der Wert einer beliebigen Option als Funktion von t und X(t) durch G(X, t) ausgedr¨ uckt werden. Zum Zeitpunkt der F¨ alligkeit mit t = T kann der Wert bzw. die Auszahlung einer Standard-Option unter Verwendung eines Call/Put Operators Θ (Call: Θ = +1 / Put: Θ = −1) durch

berechnet werden. Der Wert einer Option in einem beliebigen Zeitpunkt t, mit 0 ≤ t < T , h¨ angt vom Preis des Basiswertes in T ab. Da sich dieser nicht eindeutig vorhersagen l¨ asst, erfolgt die Bewertung unter Unsicherheit. Der Kursverlauf des Basiswertes einer Option kann durch zeitstetige oderdiskrete Zufallsprozesse modelliert werden. Black und Scholes (1973) f¨ uhrten ein Modell zur Bewertung von Optionen unter der Annahme ein, dass der Preis des Basiswertes einem zeitstetigen Zufallsprozess folgt. J. C. Cox und Rubinstein (1979) vereinfachten das von Fischer Black und Myron Scholes entwickelte Modell unter der Verwendung von Binomialprozessen. Dieser zeitdiskrete Zufallsprozess wird im Weiteren nicht verfolgt. 5

2.1. Die Black und Scholes Differentialgleichung

Das urspr¨ ungliche Modell zur Bewertung von Optionen nach Fischer Black und Myron Scholes (Black -Scholes-Modell) stellt eine Bewertungsgleichung f¨ ur Optionen dar, deren Wert nur von dem Preis einer dividendenlosen Aktie X und der Zeit t abh¨ angt. Es ist m¨ oglich die Bewertungsgleichung durch zwei unterschiedliche Methoden herzuleiten. Zum Einen kann zur Bewertung eines Derivats ein Duplikationsportfolio, bestehend aus einem Bond und einer Aktie, aufgestellt werden. Zum Anderen wird ein Portfolio mit einer Aktien- und einer

⁵ F¨ ur weiterf¨ uhrende Literatur zur Bewertung von Optionen mit dem Binomialmodell wird

bspw. auf Shreve (2005) verwiesen.

4

Optionsposition so gebildet, dass dieses risikolos wird. Der letztgenannte Weg wird weiter verfolgt.

Zur Herleitung der Black -Scholes-Differentialgleichung werden die folgenden Annahmen getroffen:

1. Es existiert eine Anlage im Geldmarkt B(t), die mit dem risikolosen Zinssatz r, der konstant und identisch f¨ ur alle Laufzeiten ist, verzinst wird. Die Wert¨ anderung des Geldmarktkontos in einer infinitesimalen Zeiteinheit dt wird durch dB(t) = rB(t)dt beschrieben.

2. Risikolose Arbitragem¨ oglichkeiten bestehen nicht.

3. Der Wertpapierhandel findet zu jedem Zeitpunkt t ∈ [0, T ] statt und alle Wertpapiere sind beliebig oft teilbar.

4. Transaktionskosten, Steuern etc. werden nicht ber¨ ucksichtigt.

5. Der Markt ist reibungslos.

6. Leerverk¨ aufe von Wertpapieren sind m¨ oglich und unbeschr¨ ankt. 6

Im Folgenden wird der Prozess, dem der Preis einer Aktie folgt, definiert und Eigenschaften dieses Prozesses erl¨ autert. Erweiterungen des Modells f¨ ur die Bewertung von Optionen auf W¨ ahrungen und Aktien mit Dividenden sind m¨ oglich und werden im Anschluss an die Herleitung der Black -Scholes-Fundamentalgleichung vorgenommen.

2.1.1. Preisprozess des betrachteten Basiswertes

Um das Konzept der Zufallsprozesse zur Beschreibung von Kursverl¨ aufen eines Basiswertes zu verwenden, ist es zun¨ achst notwendig, einen f¨ ur den Basiswert geeigneten Prozess zu finden bzw. zu definieren. Im klassischen Optionsbewertungsmodell von Fischer Black und Myron Scholes wird eine geometrisch Brownsche Bewegung zur Modellierung des Kursverlaufs einer dividendenlosen

⁶ Vgl. Sandmann (2000), S. 266 f.

5

Aktie verwendet. Unter Annahme dieses Prozesses erf¨ ullt der Kurs einer Aktie die stochastische Differentialgleichung

dX(t) = µ X(t) dt + σ X(t) dW (t), mit t ∈ [0, T ] . (2.2)

Die Drift µ ist die erwartete Momentanrendite der Aktie in einer infinitesimalen Zeiteinheit dt. Schwankungen der Rendite um ihren Erwartungswert werden durch die Volatilit¨ at σ dargestellt. Die standardisierte Brownsche Bewegung, die auch Wiener-Prozess genannt wird, dW (t), kann als zus¨ atzliche Streuung auf dem Kursverlauf von X(t) verstanden werden. 7

Definition 2.1.1 Standardisierte Brownsche Bewegung.

Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann existiert f¨ ur jedes Elementarereignis ω ∈ Ω des Zufallsexperiments ein stochastischer Prozess W (t) mit t ≥ 0, der die folgenden Eigenschaften erf¨ ullt:

1. W (t) ist normalverteilt mit N (0, t).

2. Die Zuw¨ achse W (t) − W (s) sind f¨ ur 0 ≤ s < t unabh¨ angig von W (s).

3. Die Verteilung des Zuwachses W (t)−W (s) h¨ angt nur von der L¨ ange des Zeitintervalls t − s ab und ist mit N (0, t − s) normalverteilt.

Dieser stochastische Prozess heißt standardisierte Brownsche Bewegung mit einem Anfangswert von W (0) = 0.

Dabei ist Ω die Ergebnismenge aller m¨ oglichen Ausg¨ ange eines Zufallsexperiments, F die σ-Algebra aller Teilmengen von Ω, deren Wahrscheinlichkeiten definiert sind und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf F. 8

⁷ Vgl. Shreve (2004), S. 154 sowie Hull (2006), S. 330.

⁸ Vgl. Shreve (2004), S. 94 ff..

6

Weiterhin kann f¨ ur die Kovarianz zweier Beobachtungen s und t (mit 0 ≤ s < t) der standardisierten Brownschen Bewegung gezeigt werden:

Cov

Die Martingaleigenschaft der Brownschen Bewegung Erwartungen ¨ uber zuk¨ unftige Werte einer Zufallsvariable werden auf der Basis von verf¨ ugbaren Informationen getroffen und als bedingte Erwartungswerte bezeichnet. Eine Definition ¨ uber die verf¨ ugbare Menge an Informationen zu

jedem Zeitpunkt t muss erfolgen. Eine geeignete Schreibweise daf¨ ur bietet das mathematische Konzept der Filtrierung.

Definition 2.1.2 Filtrierung einer Brownschen Bewegung. Eine Filtrierung f¨ ur die Brownsche Bewegung ist eine Familie von σ-Al- gebren F(t) t ≥ 0,die die folgenden Bedingungen erf¨ ullt:

1. F¨ ur 0 ≤ s < t ist jede Familie F(s) zum Zeitpunkt t auch in F(t) enthalten.

2. Die Brownsche Bewegung W (t) heißt an die Filtrierung angepasst,

3. Die Differenz W (u) − W (t) mit 0 ≤ t < u ist unabh¨ angig von F(t).

Es sind mindestens so viele Informationen in jedem Zeitpunkt t vorhanden, wie aus der Brownschen Bewegung beobachtet werden k¨ onnen. Diese Informationen lassen keine R¨ uckschl¨ usse auf zuk¨ unftige Ver¨ anderungen der Brownschen Bewegung zu.

7

Theorem 2.1.1 Die Brownsche Bewegung ist ein Martingal. Sei (Ω, F, P) der Wahrscheinlichkeitsraum und F(t) die Filtrierung einer Brownschen Bewegung W (t) (s. Definition 2.1.2). W (t), mit 0 ≤ s ≤ t ≤ T , ist ein Martingal, wenn

gilt. Dies l¨ asst sich f¨ ur 0 ≤ s ≤ t zeigen:

E [(W (t)|F(s))] = E

Die Brownsche Bewegung ist demnach ein stochastischer Prozess, bei dem der Erwartungswert einer Beobachtung, dem Wert der zuletzt get¨ atigten Beobachtung entspricht. Der Verlauf des Prozesses zeigt keine erkennbaren Trends. 9

Die Markov-Eigenschaft

K¨ unftige Werte stochastischer Prozesse, die die Markov Eigenschaft erf¨ ullen, sogenannte Markov-Prozesse, sind nicht von vergangenen Werten abh¨ angig. Die Art und Weise, wie der aktuelle Wert des stochastischen Prozesses ent-standen ist, spielt also keine Rolle. Prognosen zuk¨ unftiger Werte des Markov-Prozesses sind unsicher und m¨ ussen durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden. 10

Die Markov-Eigenschaft ist konform mit der schwachen Form der Kapitalmarkteffizienz. Dies bedeutet, dass der aktuelle Aktienpreis s¨ amtliche Informationen vergangener Preise widerspiegelt.

⁹ Vgl. Shreve (2004), S. 74 ff..

¹⁰ Vgl. Hassler (2007), S. 53; sowie Hull (2006), S. 326 f..

8