Optionsbewertung nach Black und Scholes - Modell und Praxisbezug

UNIVERSITÄT HOHENHEIM
Fakultät für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Institut für Betriebswirtschaftslehre
Lehrstuhl Rechnungswesen und Finanzierung

,,Optionsbewertung nach Black und Scholes - Modell und Praxisbezug"

Seminararbeit

im Rahmen des Seminars
,,Investitions- und Finanzierungstheorie"
Wintersemester 2002/2003

Eingereicht am Lehrstuhl für Rechnungswesen und Finanzierung

Thomas Grohmann
Studiengang Wirtschaftswissenschaften

Hohenheim, 17.Oktober 2002

1. Einleitung 1

2. Das Black-Scholes-Merton-Modell 1

2.1 Modell für das Verhalten von Aktienkursen 1

2.1.1 Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung 2
2.1.2 Erweiterung des Wiener-Prozesses 2
2.1.3 Der Prozess für Aktienkurse 2

2.2 Prämissen 3
2.3 ´Pricing by duplication´ und die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung 4

2. Die Black-Scholes-Preisformel 6

3. Die Volatilität des Aktienkurses 8

4.1 Schätzung der Volatilität anhand historischer Daten 8
4.2 Implizite Volatilität 9

4. Die griechischen Buchstaben 9

5.1 Delta _ 10
5.2 Gamma _ 11
5.3 Theta _ 12
5.4 Vega 13
5.5 Rho _ 14

6. Praxisbezug 14

7. Literaturverzeichnis 16

1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Optionsbewertung nach Black und Scholes. Dabei wird eine direkte Herleitung der Black-Scholes-Preisformel zur Bewertung einer Kaufoption europäischen Typs auf eine Aktie vorgestellt.
Zunächst wird die im Modell unterstellte Aktienkursverlaufshypothese näher erläutert (Abschnitt 2.1). Aus der formalen Darstellung der Kursdynamik resultiert eine einfache Verteilungsannahme für den zukünftigen Aktienkurs. In Abschnitt 2.2 werden die Prämissen aufgezeigt, die den Untersuchungen von Black, Scholes und Merton zugrunde liegen. Anschließend folgt die Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes-Preisformel darstellt. Diese bildet seit den siebziger Jahren die Grundlage der Optionstheorie und hat auch die finanztheoretische Forschung grundlegend verändert. Ihre Verdienste und die Bedeutung des Black-Scholes-Modells wurden schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt.
In Abschnitt 5 gehe ich auf die griechischen Buchstaben ein, die auf anschauliche Art und Weise die Abhängigkeit des Optionspreises von verschiedenen Parametern, die der Preisformel zugrunde liegen, verdeutlichen. Abschließen werde ich meine Arbeit mit einem Ausblick auf den Praxisbezug des Modells.

2. Das Black-Scholes-Merton-Modell
2.1 Modell für das Verhalten von Aktienkursen

Da Derivative von der Entwicklung des ihnen zugrunde liegenden Vermögensgegenstandes abhängen, ist es zunächst wichtig, den Verlauf dieses Vermögensgegenstandes zu definieren. Bei Aktienoptionen bedeutet dies, dass zunächst der Prozess, dem Aktien folgen, beschrieben werden muss.
Hierbei wird ein stochastischer Prozess mit kontinuierlichem Zeitablauf und kontinuierlichen Variablen zugrunde gelegt.¹ Soll heißen, dass Veränderungen jederzeit stattfinden können, und dass die Variable jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereiches annehmen kann.² Der Verlauf, dem die Aktie (Variable) dabei folgt, ist unabhängig von der historischen Entwicklung der Variablen. Die einzige relevante Information ist der momentane Kurs. Diese Tatsache, dass für die Prognose der zukünftigen Kursentwicklung lediglich der gegenwärtige Wert der Variablen von Relevanz ist, nennt man Markov-Eigenschaft.³ Vorhersagen über die Zukunft sind damit unsicher und müssen mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen umschrieben werden.⁴

2.1.1 Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung

[...]

1 Hull (2001), S. 311

2 Beim Binomialmodell wird hingegen ein stochastischer Prozess mit diskretem Zeitablauf und diskreten Variablen vorausgesetzt, d.h., die Variable kann nur bestimmte Werte zu bestimmten Zeitpunkten annehmen

3 Hull (2001), S. 312

4 Hahnenstein/Wilkens/Röder (2001), S. 356