3 Kategorien Funktion: 0.....1.Kategorie 1......2.Kategorie 2......3.Kategorie

Die Wahrscheinlichkeit für eine 0-Antwort ist zuerst dominant, jedoch sinkt jene Eigenschaftsausprägung ab.

Mittlerer Bereich der Eigenschaftsausprägung bedeutet: Es steigt die Kurve an.

Der mittlere Bereich der Eigenschaftsausprägung definiert die Wahrscheinlichkeit für die mittlere, also die 1er Antwort.

Die Eigenschaftsausprägung sinkt vielmehr wieder ab, da im oberen Eigenschaftsbereich die Wahrscheinlichkeit ansteigt.

Kategorienfunktion für ein dreikategorielles Item:

Die mittlere Antwortkategorie muß eine nicht-monotone, eingipfelige Kategorienfunktion haben. Grund:

Es gibt sowohl rechts als auch links von ihr eine andere Antwortkategorie. Die Antwortwahrscheinlichkeit muß ja in die richtige Richtung zunehmen.

Kategorienfunktion für ein vierkategorielles Item :

Die mittleren Antwortkategorien sind nicht monoton eingipfelig. Extremkategorien:

monoton sinkende bzw. monoton steigende Kategorienfunktion diese soll beibehalten werden.

Parametrisierung:

Es stellt sich die Frage, welche Kennwerte des Kurvenverlaufs man als Modellparameter berücksichtigt.

Funktion der Parametrisierung:

Lage und Höhe der Gipfelpunkte der mittleren Kategorien. Breite der Hügel für die mittleren Kategorien. Steilsten Anstieg jeder Kurve, oder ähnliches Parameter.

Itemparameter des Rasch Modells:

Der Itemparameter entspricht dem Abszissenwert des Wendepunktes der logistischen Funktion.

Wendepunkt: Punkt, in dem die 50% -Wahrscheinlichkeitsgrenze überschritten wird, Punkt mit dem steilsten Anstieg,

Punkt, in dem sich die beiden Kategorienkurven überschneiden-3

Itemparameter :markiert jenen Punkt auf der latenten Dimension, der das latente Kontinuum

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in zwei Abschnitte zerteilt:

Links von diesem Schnittpunkt ist die Wahrscheinlichkeit für eine 0-Antwort am höchsten, rechts davon ist die Wahrscheinlichkeit für eine 1-Antwort. Prinzip:

Modellparameter markieren die Schnittpunkte der Kategorienfunktion - Ist gut auf einen mehrkategoriellen Fall generaliserbar.

Die Kurvenschnittpunkte segmentieren das latenten Kontinuum nicht nur in zwei abschnitte, sondern in so viele, wie es Kategorien gibt. Das ordinale RaschModell zeigt ganz deutlich, wie mit abgestuften Antwortkategorien umgegangen wird.

Die Antwortkategorien müssen so auf die zu messende Antwortkategorie projiziert werden, daß jeder Kategorie ein Abschnitt auf der latenten Variable entspricht. Die Größe oder Länge des Abschnitts kennzeichnet die Größe der jeweiligen Antwortkategorie.

Schnittpunkte liegen dichter beieinander als die der Kategorie 1, d.h. ist ihr kleinerer Abschnitt auf dem Kontinuum zugeordnet. Kategorie 2 ist somit kleiner als Kategorie 1. Ordnung der Antwortkategorien:

Die zugehörigen Abschnitte sind entlang dem zu messenden Kontinuum geordnet: Der Abschnitt für eine höhere Antwortkategorie liegt stets weiter rechts, es ist eine höhere Eigenschaftsausprägung für eine Antwort in dieser Kategorie erforderlich Sind die Antwortkategorien entgegen der präexperimentellen Hypothese nicht geordnet, so ergeben sich keine Abschnitte auf dem latenten Kontinuum, die die angenommene Ordnung widerspiegeln.

Auf der Abszisse: Sind die Schnittpunkte zweier benachbarter Kategorienfunktion definiert sind. Kategorie:

Es gibt bei dieser keinen eigenen Abschnitt auf der Abszisse.

Der Schnittpunkt mit der höheren Kategorie liegt links vom Schnittpunkt mit der niedrigeren Kategorie.

Ordinale Modelle:

Ordinale Testmodelle: Der Umgang mit abgestuften Antwortkategorien

Projektion der Antwortvariablen auf die zu messende Personeneigenschaft erfolgt so, dass jeder Kategorie ein Abschnitt auf der latenten Variable entspricht. Größe der Länge des Abschnittes kennzeichnet die Größe der jeweiligen Antwortkategorie. Die Schnittpunkte der Kategorie 2 liegen dichter beieinander als die der Kategorie 1, d.h. ist ein kleinerer Abschnitt auf dem Kontinuum zugeordnet. Kategorie 2 ist somit kleiner als Kategorie 1.

Ordnung der Antwortkategorien:

Antwortkategorien sind entlang eines Kontinuums geordnet. Die höhere Antwortkategorie liegt auf dem Kontinuum stets weiter rechts. Somit ist eine höhere Eigenschaftsausprägung für eine Antwort in dieser Kategorie erforderlich.

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Ergeben sich keine geordneten Antwortkategorien auf dem Kontinuum, dann kann die Ordnung auch nicht wider gespiegelt werden.

Die Schnittpunkte sind durch jeweils zwei benachbarte Kategorienfunktionen definiert. Die Kategorie erhält keinen „eigenen“ Abschnitt auf der Abszisse, wenn ihr Schnittpunkt mit der höheren Kategorie links vom Schnittpunkt mit der niedrigsten Kategorie liegt. Zusammenfassend kann also davon gesprochen werden, daß mit der Parametrisierung der Schnittpunkte benachbarter Kategorienfunktionen die „Größe der Antwortkategorien“ und die „Ordnung der Kategorien“ angegeben werden kann, d.h. es kann überprüft werden, ob die Itemantworten Ordinalskalenqualität besitzen, oder nicht

Formalisierung des ordinalen Mixed Rasch Modells: Schwelle:

Die Schnittpunkte zweier benachbarter Antwortkategorien definieren die Schwelle zwischen diesen Antwortkategorien.

Am Punkt der Schwelle findet der Übergang von einer Kategorie zur anderen statt. Die Wahrscheinlichkeit, in der folgenden Kategorie zu antworten, ist von diesem Punkt an größer als die Wahrscheinlichkeit, in der vorangegangenen Kategorie zu antworten. Die Abszissenwerte dieser Schnittpunkte definieren die Lage der Schwellen auf dem latenten Kontinuum.

Auf der Schwelle selbst haben beide Antwortkategorien dieselbe Wahrscheinlichkeit: Es steht auf der Schwelle genau 50:50, in welche die Kategorie die Antwort fällt. Schwellenwahrscheinlichkeit: q x

Def.: läßt sich mit Hilfe der beiden benachbarten Kategorienwahrscheinlichkeiten p ^x-1 und px definieren. Schwellenwahrscheinlichkeit: Ist der relative Anteil der „höheren 2 Kategorienwahrscheinlichkeit an beiden Katgeorienwahrscheinlichkeiten“: Q x = p x / p x -1 + p x .

^It die Kategorie x wahrscheinlicher als die Kategorie x-1, so überschreitet man die Schwelle mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 0.5. Ist dagegen links von der Schwelle gelegene Kategorienwahrscheinlichkeit größer, so überschreitet man die Schwelle mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner als 0.5. Schwellenwahrscheinlichkeit:

Def.: Bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich las Wahrscheinlichkeit einer Antwort in Kategorie x unter der Bedingung, dass die Antwort in x-1, oder in x liegt: Q x = p(x|X-1, oder x)

Nach der Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten, sind beide Definitionen identisch Dichotomen Itemantworten:

Schwelle: liegt zwischen der Kategorie 0 und Kategorie 1. Schwelle: Ist als Schnittpunkt der beiden Kategoriefunktionen definiert. Lokation des Items: Ist mit der Lage auf dem latenten Kontinuum identisch Dichotomes Item: Schwellenwahrscheinlichkeit ist gleich der Wahrscheinlichkeit einer 1-Antwort

Sie ist somit durch die logistische Funktion des Rasch Modells definiert. q v i x = exp (θ v -σ i ) / 1+ exp (θv-σI ) = p(X v I = 1 )

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