Aktienscreening mit Hilfe quantitativer Methoden

5.3.2  Der M - A Prozess (Moving Average)  25

5.3.3  Der ARM - A Prozess  26

5.4  Der ARCH - Prozess (Autoregressive conditional heterosc )  27

5.5  Der ARCH(1 ) Prozess  28

5.6  Kritik an ARCH - Prozessen  30

6.  Durchführung eines Aktienscreenings  30

6.1  Vorbemerkungen  30

6.2  Beschreibung der Durchführungsschritte  31

6.3  Ergebnis der Optimierung  34

7.  Schlussbetrachtung  37

  Literaturverzeichnis  IV

Abkürzungsverzeichnis

AR Autoregressive ARCH Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ARMA Autoregressive/Moving Average BOVESPA Bolsa de Valores de São Paulo bspw. beispielsweise bzw. beziehungsweise CAPM Capital Asset Pricing Model DAX Deutscher Aktienindex EGARCH Exponential General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Kap. Kapitel KBV Kurs - Buchwert - Verhältnis KGV Kurs - Gewinn - Verhältnis MA Moving Average NGARCH Non Linear Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. PEG - Ratio Price - Earnings - Growth - Ratio REW Renditerwartungswert Tab. Tabelle TGARCH Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity z.B. zum Beispiel

I

  Abbildungsverzeichnis  

  Abbildung 1 : Gegenüberstellung von Renditen und Schätzungen  19

  Abbildung 2 : Gasverbrauch im United Kingdom  23

  Abbildung 3 : Ergebnis der Box - Cox Transformation und angepasste  

  Trendgerade  23

  Abbildung 4 : Trendbereinigte Reihe  24

  Abbildung 5 : Nachbildung der Saisonkomponente  24

  Abbildung 6 : Residuen nach Entfernung der Saison- und Trendkomponente  25

  Abbildung 7 : Aktienrenditen - Chart und Volatilitätscluster  27

  Abbildung 8 : Modellierung der Volatilität einer Renditezeitreihe  29

II

  Tabellenverzeichnis  

Tabelle 1  : Regressionsdaten  17

Tabelle 2  : Regressionsauswertung  18

Tabelle 3  : Daten der ausgefilterten Aktien  33

Tabelle 4  : Schätzungen der Varianzen und Kovarianzen  34

Tabelle 5  : Ergebnisse der Portfoliooptimierung  36

III

1. Einleitung

Der Begriff Portfolio bezeichnet, bezogen auf die Finanzwelt, eine Bündelung von verschiedenen Finanzinvestitionen, im englischen Sprachraum Assets genannt. Der große und allgemeine Bereich der Assets kann wiederum in verschiedenste Asset - Klassen unterteilt werden. Zu diesen zählen, neben vielen anderen, Aktien als Einzeltitel, festverzinsliche Wertpapiere, strukturierte Produkte, in welchen wiederum verschiedene Finanzinstrumente zu einer neuen Einheit verschmolzen werden, oder auch alternative Investments wie z.B. Film-fund -, Immobilienfund - Rohstofffund - oder Schiffsanteile.

Die Bündelung verschiedener Assets aus verschiedenen Asset - Klassen führt durch die mit ihr einhergehende Diversifizierung zu einer Minimierung des Verlustrisikos bzw. Stabilisierung der zu erwartenden Gesamtrendite. Dies wurde erstmals 1952 von dem amerikanischen Wirtschaftswissenschaftler und späteren Nobelpreisträger Harry M. Markowitz in seinem Werk „Portfolio Selection“ nachgewiesen.

Der Auswahl von einzelnen Aktientiteln kommt im Bereich der Portfoliozusammenstellung eine zentrale Bedeutung zu. Die Aktie als Anlageobjekt bietet, bedingt durch mögliche Kurssteigerungen ggf. in Kombination mit regelmäßigen Dividendenzahlungen, die Chance zur Erzielung einer überdurchschnittlichen Rendite. Des Weiteren kann der Investor z.B. durch Tätigen von Leerverkäufen auch Nutzen aus fallenden Kursen ziehen. Diesen Vorteilen steht jedoch die Gefahr überdurchschnittlicher Verluste gegenüber. Unzählige Faktoren, wie beispielsweise sozioökonomische, ökologische und psychologische Einflüsse, wirken stetig auf den Kursverlauf ein und können, besonders auf lange Sicht, nicht prognostiziert werden. Hinzu kommt, dass auch der Betrag der zu erwartenden Dividenden nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, da dieser von der Gewinnentwicklung, Investitionstätigkeit der zu betrachtenden Periode und Geschäftspolitik der Unternehmung abhängig ist.

Die Vielfalt der zur Verfügung stehenden Aktientitel in Industrie- und Schwellenländern bietet aus Sicht des potentiellen Investors ein breites Spektrum an Auswahlmöglichkeiten. Mit dieser geht jedoch auch eine steigende Komplexität, den Auswahlprozess betreffend, einher. 1

¹ Vgl. Schlienkamp, C. (1998), S. 253.

1

Den hieraus resultierenden Schwierigkeiten begegnet die Wissenschaft seit den 50er Jahren mit einer zunehmenden Mathematisierung des Wertpapierauswahlprozesses. Die entstandenen mathematisch - statistischen Prognosemodelle sind sehr leistungsfähig in den Bereichen der Risikooptimierung und Parameterschätzung und deshalb tief im modernen Investmentprozess verankert. Da jedoch ein Zufallsprozess wie beispielsweise der Kursverlauf einer Aktie naturgemäß nur begrenzt genau vorhergesagt werden kann und Prognosefehler unvermeidbar sind, können auch intuitive Modelle sehr leistungsfähig sein. 2

Vor der Entwicklung eines Modells zur Portfoliooptimierung steht die Frage, welche Ziele der potentielle Investor verfolgt und welche Restriktionen mit diesen Zielen einhergehen. Gesucht ist also die Zielfunktion. Im Folgenden soll der Ansatz von A.D. Roy beschrieben werden.

2. Die Zielfunktion von Roy

2.1 Grundidee der Zielfunktion von Roy

Folgende Zielfunktion stammt von A.D.Roy und wurde von diesem 1952 publiziert. Kern ist die „Safety-First-Regel“, welche voraussetzt, dass der Investor in erster Linie daran interessiert ist, besonders schlechte Ergebnisse zu vermeiden. ³ Mathematisch formuliert bedeutet dies: ( ) . (2.1) Min R R P → < D P

Es soll also die Wahrscheinlichkeit P , dass die „Desasterrendite“ D R größer als die Portfoliorendite P R ist, minimiert werden. Existieren von der Zufallsvariable R der Erwartungswert ( ) und die Varianz ² σ , so lässt das in (2.1) formu- R E P P P

lierte stochastische Optimierungsproblem mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung in ein deterministisches Programm überführen. Verteilungsunabhängig gilt für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz ² σ die Ungleichung:

Übertragen auf das Problem der Portfoliooptimierung ergibt sich:

² Vgl. Schlienkamp, C. (1998), S. 253.

³ Vgl. A.D. Roy (1952), S.432 ff.

2

Da die Wahrscheinlichkeit für das Desasterereignis minimiert werden soll, ist

das Ziel:

Dies ist äquivalent zu:

(2.2)

Das Portfolio mit dem höchsten Rendite/Risiko Verhältnis bietet also pro Risi-

koeinheit die höchste erwartete Rendite und ist damit allen anderen Portfolios

überlegen. ⁴ Nun soll die Berechnung des Varianzterms konkretisiert werden.

2.2 Herleitung des Portfolio - Varianz Terms

Bezeichnet man die Gewichte, mit denen die einzelnen Wertpapiere i R im Port-

x ,kann die erwartete Portfoliorendite ( ) folio vertreten sind mit i geschrie- R E P

ben werden als:

(2.3)

Für die Varianz der Portfoliorendite ergibt sich somit folgende Gleichung:

 

[ ] ^{2 2} ⇒ σ )) ( * * ... ) ( * * ) ( * * ( R E x R x R E x R x R E x R x E − + + − + − =

2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n p

[ ] . ^{2 2} ⇒ ))) ( ( * ... )) ( ( * )) ( ( * ( R E R x R E R x R E R x E − + + − + − = σ

2 2 2 1 1 1 n n n p

Es gilt:

⁴ An dieser Stelle sei erwähnt, dass, interessanterweise, die von A.D. Roy beschrieben Idee im

Kern völlig identisch mit dem bekannten Modell von Harry M. Markowitz ist und auch im selben

Jahr publiziert wurde.

3

und

Also kann die Portfoliovarianz so formuliert werden:

(2.4)

Durch geeignete Diversifizierung lässt sich, wie eingangs beschrieben, das Risiko minimieren. Dass dies aber nur bis zu einem bestimmten Punkt möglich sein kann, soll nun gezeigt werden.

2.3 Beweis für die Risikountergrenze

Es wird angenommen, dass jede Aktie mit dem Gewicht 1/n im Portfolio vertreten ist. Des Weiteren wird bei der Summierung der Kovarianzterme von der durchschnittlichen Kovarianz, welche DD σ genannt werden soll, ausgegangen. Die Varianz des Portfolios ist dann:

n verschiedene Kovarianzterme gibt, deren Anzahl aber verdoppelt

Da es

werden muss, wird DD ) 1 ( * − - mal aufsummiert. Daraus ergibt sich: n n σ

Wird nun der Grad der Diversifizierung extrem erhöht, vereinfacht sich der Term zu:

4