Das durch joulesche Wärme entstehende Temperaturfeld einer Eisenkugel im homogenen elektrischen Feld mit Wasser als Dielektrikum

simple case, which can be treated analytically, with the analytic results. The analytic treatment is based on Krasny-Ergen, Wilhelm, who already published his calculations on the temperature field of a sphere in a homogeneous electric field in 1935 in the annals of physics. To achieve a comparison as intuitive as possible, the results of Krasny-Ergen are evaluated numerically by matlab.

2 Einleitung

Der Effekt als solches lässt sich durch die Oberflächenladungen auf beiden Seiten der Kugel erklären, die durch die geladenen Kondensatorplatten durch Influenz entstehen. Da die Kugel infolge des Wechselfeldes pro Sekunde viele male umgeladen wird, müssen die Ladungen durch die Kugel fließen und erzeugen dort mehrmals pro Sekunde joulesche Wärme.

Bei der hier vorliegenden Betrachtung handelt es sich um eine stationäre Analyse, die auf zwei wesentlichen Annahmen basiert: Erstens hat die Kugel im Vergleich zum Abstand der Kondensatorplatten einen vernachlässigbaren Radius und zweitens ist die Wellenlänge des Feldes noch immer groß in Bezug auf die Geometrie. Wir werden sehen, dass beides in der Geometrie von comsol nur teilweise erfüllt ist.

Um überhaupt ein stationäres Temperaturfeld erhalten zu können, werden die beiden Kondenstorplatten ständig auf eine bestimmte Temperatur heruntergkühlt. Die Berechnung erfolgt mithilfe der Laplaceschen Differentialgleichung für das elektrische Potential,

(2.1)

der Gleichung für die joulesche Wärme,

(2.2)

und der Wärmeleitungsgleichung,

(2.3)

wobei in Polarkoordinaten mit Ursprung des Koordinatensystems im Mittelpunkt der Kugel gerechnet wird. Dabei kommen geeignete Nebenbedingungen, wie der Übergang des elektrischen Feldes in das homogene Feld bei Abwesenheit der Kugel für r gegen Unendlich, der Übergang des Temperaturfeldes in das Temperaturfeld, das sich ebenfalls bei Abwesenheit der Kugel ergibt, ebenfalls im Limes für r gegen Unendlich. Zusätzlich ist an der Kugeloberfläche noch die Stetigkeit der elektrischen Stromes und des Wärmestroms zu gewährleisten.

Die für das Verständnis notwendigen Rechnungen werden im Rahmen der Theorie/Modellbildung im folgenden grob umrissen. Anschließend werden wir darlegen, wie sich diese Geometrie in Comsol implementieren lässt. Die Ergebnisse werden nachfolgend mit den theoretischen Resultaten verglichen. Schließlich kommen wir zu einer Diskussion der Ergebnisse.

3 Theorie/Modellbildung

3.1 Das Temperaturfeld bei Abwesenheit der Kugel

Folgt man der Darstellung in (Krasny-Ergen, 1935, S. 278f), so erkennt man, dass bei Abwesenheit der Kugel die joulesche Wärmequelle q überall im Gebiet gleich ist, nämlich

denn die Feldstärke ist überall die des homogenen Feldes und es herrscht überall die Leitfähigkeit des Dielektrikums. Außerdem gilt überall die im Gebiet die Wärmeleitungsgleichung

wobei q die Wärmequelle aus der jouleschen Wärme ist und lambda die Wärmeleitfähigkeit des Dielektrikums. Aufgrund der beiden Kühlplatten ergeben sich noch die beiden Randbedingungen

Da T von x und y nicht abhängt handelt es sich hier um ein eindimensionales Wärmeleitungsproblem in z Richtung. Damit ergibt sich:

Diese Gleichung lässt sich nun problemlos nach z integrieren und man erhält die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

Wir können nun a und b aus den Randbedingungen (3.3) bestimmen, denn wir haben zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, und erhalten zusammen mit dem Wert von q aus (3.1) das folgende Temperaturfeld:

Dieses Temperaturfeld ist später wichtig, weil das Temperaturfeld der Kugel im Unendlichen in dieses Temperaturfeld übergehen muss.

3.2 Das elektrische Potential bei Anwesenheit der Kugel

Wir folgen nun wieder der Darstellung in (Krasny-Ergen, 1935, S. 279f) um das Potential bei Anwesenheit der Kugel herzuleiten. Da es sich um ein Potential handelt, muss folglich überall die Laplacesche Gleichung

(3.7)

gelten, diese erhält jedoch einige Randbedingungen: Zum einen muss das Potential in großer Entfernung zur Kugel in das Potential des homogenen Feldes übergehen, was bedeutet

außerdem muss das Potential beim Durchgang durch die Kugeloberfläche stetig bleiben, was bedeutet:

Nun muss noch berücksichtigt werden, dass auch die Normalkomponente des Gesamtstroms stetig bleiben muss, dieser setzt sich aus Leitungsstrom und Verschiebungsstrom zusammen:

Die Lösung dieses Randwertproblems zitiert Krasny-Ergen nach Abraham Becker (Becker nach Krasny-Ergen, 1935, S. 280):

Die Lösung dieses inhomogenen Potentials ist also in Polarkoordinaten gegeben, mit exakt bestimmten (komplexen) Konstanten F und G, die hier aber nicht genauer ausgeführt werden sollen.

3.3 Das Temperaturfeld bei Anwesenheit der Kugel

Im Folgenden wird unter Bezugnahme auf (Krasny-Ergen, 1935, S.280f) dargestellt, wie sich aus den vorangehenden Ergebnissen ein Temperaturfeld für die Kugel herleiten lässt. Durch Kombination von Wärmeleitungsgleichung und joulescher Wärmequelle erhalten wir die Differentialgleichung

Auch diese Gleichung erhält wieder Randbedingungen: In großer Entfernung von der Kugel muss dieses Temperaturfeld in das Temperaturfeld bei Abwesenheit der Kugel übergehen:

An der Kugeloberfläche muss außerdem die Normalkomponente des Wärmestroms stetig bleiben, also

Ein partikuläres Integral der Differentialgleichung (3.12) können wir angeben als

Eine Lösung des Randwertproblems können wir erhalten, indem wir zu S eine Lösung U der zu (3.12) gehörigen homogenen Differentialgleichung addieren, die die Nebenbedingungen (3.13) und (3.14) erfüllt, also

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