Inhaltsverzeichnis I

Inhaltsverzeichnis   

1.  Aufbau der Arbeit  1

2.  Portfoliotheoretische Grundlagen.  3

2.1.  Portfolio-Selection-Modell (Markowitz)  3

2.1.1.  Annahmen  4

2.1.2.  Rendite, Risiko und Korrelation.  5

2.1.3.  Effiziente Portfoliokonstellationen  7

2.2.  Shortfall-Ansatz (Roy)  9

2.3.  Index-Modell (Sharpe)  10

2.3.1.  Systematisches Risiko  12

2.3.2.  Unsystematisches Risiko  14

3.  Optionen  15

3.1.  Einordnung von Optionen innerhalb des Derivatemarktes.  15

3.2.  Optionsdefinition.  16

3.3.  Optionspositionen.  17

3.3.1.  Long-Call  19

3.3.2.  Short-Call.  19

3.3.3.  Long-Put  20

3.3.4.  Short-Put.  21

3.4.  Preisbildung.  21

3.4.1.  Innerer Wert und Zeitwert  21

3.4.2.  Einflussfaktoren des Optionspreises  23

3.4.2.1.  Black-Scholes-Modell  23

3.4.2.2.  Sensitivitätskennzahlen  25

3.4.2.2.1.  Delta  25

3.4.2.2.2.  Gamma  26

3.4.2.2.3.  Omega  27

Inhaltsverzeichnis I

3.4.2.2.4.  Rho  28

3.4.2.2.5.  Theta  28

3.4.2.2.6.  Vega  29

4.  Portfoliooptimierung durch Optionen.  30

4.1.  Ausgangssituation  30

4.2.  Optimierungsstrategien durch Optionen  31

4.2.1.  Covered-Call-Writing (CCW)  31

4.2.2.  Portfolio Insurance Konzepte  33

4.2.2.1.  Protective-Put-Buying (PPB)  34

4.2.2.1.1.  Fixed-Hedge  37

4.2.2.1.2.  Delta-Hedging.  39

4.2.2.2.  Kombinationen von CCW und PPB  41

4.2.2.2.1.  Collar  41

4.2.2.2.2.  Gamma-Hedging.  42

4.2.2.3.  Long-Call mit sicherer Anlage (90/10-Strategie)  43

5.  Fazit  46

Abbildungsverzeichnis   

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Einordnung von Optionen in den Derivatemarkt.  

Abbildung  2: Gewinn- und Verlustdiagramme der vier Optionspositionen.  

Abbildung  3: Gewinn-/Verlustdiagramm eines Covered-Short-Call  

Abbildung  4: Portfolio Insurance mit Protective-Puts  

Abbildung  5: Symmetrische versus asymmetrische Renditeverteilung  

Abbildung  6: Gewinn-/Verlustdiagramm eines Collars  

Abbildung  7: Portfolio Insurance mit Calls und einer Festzinsanlage  

Abbildung  8: Die langfristige Performance von PPB-Strategien (1926-2005)  

Abbildung  9: Die langfristige Performance von CCW-Strategien (1926-2005)  

Tabellenverzeichnis III   

Tabellenverzeichnis   

Tabelle 1:  Fixed-Hedge eines beispielhaften Portfolio zum Anlagezeitpunkt t 0  38

Tabelle 2:  Fixed-Hedge eines beispielhaften Portfolio zum Anlagezeitpunkt t 1  38

Abkürzungsverzeichnis IV

Abkürzungsverzeichnis

AG Aktiengesellschaft CCW Covered-Call-Writing c.p. ceteris paribus DAX Deutscher Aktienindex OTC Over the counter PPB Protective-Put-Buying

Symbolverzeichnis

Symbolverzeichnis

Beta COV Kovarianz E Erwartungswert e Euler’sche Zahl Störgröße k Korrelationskoeffizient ln Logarithmus zu Basis e ∂ Partielle Ableitung Standardabwichung ² Varianz SW Shortfall-Wahrscheinlichkeit T Anlageperioden U Nutzen Rendite z Zielrendite

1. Aufbau der Arbeit

1. Aufbau der Arbeit

Im Rahmen der momentan stark volatilen Kapitalmärkte und insbesondere im Hinblick auf den Umstand, dass der DAX seit Beginn des Jahres 2008 in der Spitze um beinahe 25 Prozent eingebrochen ist, erscheint die Fragestellung nach einer „Portfoliooptimierung durch den Einsatz von Optionen“ aktueller denn je. Die vorliegende Arbeit hat die Zielsetzung, die verschiedenen Konzepte der Portfoliooptimierung durch Optionen darzustellen, zu analysieren und letztendlich eine Konklusion zu ziehen, ob und für wen der Einsatz von Optionen zur Portfoliooptimierung sinnvoll ist.

Damit eine detaillierte und wissenschaftlich fundierte Analyse und Beurteilung der Portfoliooptimierung durch Optionen vorgenommen werden kann, beschränken sich die fortfolgenden Ausführungen, aufgrund des limitierten Umfangs der Arbeit, auf die Betrachtung und die Analyse der Portfoliooptimierung durch Optionen von Aktienportfolios.

Zu Beginn wird innerhalb des zweiten Kapitels das Fundament für ein portfoliotheoretisches Grundverständnis - durch die Darlegung des Portfolio-Selection-Modells von Markowitz, dem Shortfall-Ansatz von Roy und dem Index Modell von Sharpe - geschaffen. Anschließend wird eine Systematisierung des Portfolio-Risikobegriffs, in seine beiden Komponenten - systematisches sowie unsystematische Risiko - vorgenommen.

Im Dritten Kapitel werden die Grundlagen zum Verständnis der Wirkungsweise von Optionen innerhalb der Portfoliooptimierung geschaffen. Zunächst wird eine Einordnung der Optionen innerhalb des Derivatemarktes angestellt, bevor die Optionen, sowie ihre vier Grundoptionspositionen - aus denen sich die Optimierungsstrategien im vierten Kapitel zusammensetzen - definiert und näher erläutert werden.

Im Anschluss werden die preisdeterminierenden Einflussfaktoren von Optionen anhand der Black-Scholes-Formel analysiert, bevor darauf basierend, die Sensitivitätskennziffern von Optionen hergeleitet werden. Im vierten Kapitel wird durch die Veranschaulichung und Analyse der verschiedenen Portfoliooptimierungsstrategien durch den Einsatz von Optionen, eine Synthese, der in den Kapiteln zwei und drei erworbenen Grundkenntnisse, vorgenommen. Dabei werden sowohl antizyklische Chancenstrategien, wie das Covered-Call-Writing (CCW), als auch Portfolio-Insurance-Konzepte, wie das

1. Aufbau der Arbeit

Protective-Put-Buying (PPB), die Kombinationsmöglichkeiten des PPB und CCW, sowie die Kombination von Long-Calls mit sicheren Anlagen (90/10-Strategie), erläutert.

Innerhalb des Protective-Put-Buyings werden die Möglichkeiten der Strategieimplementierung, durch die Verwendung eines Fixed-Hedges bzw. des Delta-Hedgings, erläutert. Die Kombinationsmöglichkeiten des CCW und des PPB werden anschließend anhand des Collars und seines Spezialfalls - dem Gamma-Hedging - näher analysiert.

Zum Abschluss der Arbeit wird innerhalb des Fazits in Kapitel Fünf, eine Konklusion gezogen, die klären soll, ob und für wen Portfoliooptimierungsstrategien durch Optionen geeignet sind.

2. Portfoliotheoretische Grundlagen

2. Portfoliotheoretische Grundlagen

Die Portfolio-Theorie bildet die Grundlage des modernen Managements von Finanzinvestitionen. ¹ Sie basiert auf den Erkenntnissen des Portfolio-Selection-Modells von Harry Markowitz und analysiert die Ertragsaussichten einer Kapitalanlage unter Berücksichtigung des damit einhergehenden Risikos. Die Portfoliotheorie ist gegenüber der bis in die 50er Jahre verbreiteten eindimensionalen Auffassung des Anlageproblems als innovativ zu charakterisieren. Zum einen basiert die Portfoliotheorie auf einer

zweidimensionalen Ertrags-Risiko-Auffassung und zum anderen werden Alternativanlagen nicht isoliert, sondern stets im Portfolio-Kontext, also unter Einbeziehung anderer Investitionsmöglichkeiten betrachtet. 2

2.1. Portfolio-Selection-Modell (Markowitz)

Das Portfolio-Selection-Modell basiert auf den empirischen Beobachtungen von Harry Markowitz, dass Investoren ihr Vermögen auf mehrere Anlagetitel aufteilen und grundsätzlich risikoavers sind. ³ Eine solche Diversifikation ist nur dann sinnvoll, wenn nicht ausschließlich von der zu erzielenden Rendite ausgegangen wird, da sonst nur der Anlagetitel mit der höchsten Rendite als Investitionsobjekt in Frage kommen würde. Somit ist die Annahme einer monovariablen Zielfunktionmit der zu erwartenden Rendite als einzige Variable - nicht zielführend. ⁴ Stattdessen basiert das Portfolio-Selection Modell auf drei wesentlichen Annahmen (2.1.1.), die eine Portfolioanalyse anhand der Parameter Rendite, Risiko und den Koeffizienten der Korrelation (2.1.2.) ermöglichen. Basierend auf der Kenntnis dieser Parameter, lassen sich effiziente Portfoliokonstellationen ermitteln (2.1.3.).

¹ Vgl. Breuer, et al. (1999), S. 5.

² Vgl. Garz, H. et al. (1998), S. 17.

³ Vgl. Farrel, J.L. (1997), S. 18-19.

⁴ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 6-7.

2. Portfoliotheoretische Grundlagen

2.1.1. Annahmen

Das Portfolio-Selection Modell von Markowitz basiert auf drei wesentlichen Annahmen. Diese sind das Zweipunktmodell, die Kenntnis der Parameter der diskreten Rendite und das Vorliegen einer Normalverteilung ⁵ :

• Zweipunktmodell:

Die Betrachtung des Portfolios ist auf zwei Zeitpunkte, t=0,1 beschränkt. Zum Zeitpunkt t=0 wird die Asset-Allokation durch den Anleger unter Einbeziehung der zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Informationen vorgenommen und bis zum Zeitpunkt t=1 nicht verändert. Zum Zeitpunkt t=0 wird der anfängliche Anlagebetrag W 0 als bekannt vorausgesetzt.

Somit geht es bei der Portfolio-Selektion nach Markowitz darum, für einen bekannten Anlagebetrag W 0 die relativen Anteile der Assets innerhalb des Portfolios einmalig zum Zeitpunkt t=0 zu bestimmen. Demnach wird also eine Zweizeitpunktbetrachtung und nicht ein Einperiodenmodell ⁶ - bei dem zu allen Zeitpunkten 0 7

• Kenntnis der Parameter der diskreten Rendite ⁸ :

Aufgrund der Betrachtung der diskreten Zeitpunkte t=0,1 und der Portfolioeigenschaft der diskreten und normalverteilten Rendite der einzelnen Assets, ergibt sich die diskrete Rendite des Portfolios, als gewichtetes Mittel der ( ) B * 1 * − + = R x R x R , mit x als diskreten Renditen der Einzelanlagen, als

A P

Gewichtung des Assets A, sowie mit 1-x als Gewichtung des Assets B. Somit können die Verteilungsparameter der Portfoliorendite direkt aus den Renditen der Einzelanlagen ermittelt werden. 9

• Vorliegen einer Normalverteilung ¹⁰ :

Eine stetige Zufallsvariable, deren Dichte eine glockenförmige, symmetrische Gestalt besitzt und normalverteilt ist, kann durch die beiden zentralen Parameter von X - durch den Erwartungswert ( von X) und der Varianz ( ² von X) -

⁵ Vgl.Spremann, K. (2006), S. 177-182.

⁶ Vgl. Breuer, W., Schumacher, F. (2005), S. 86.

⁷ Vgl. Garz, H. et al. (1998), S. 21.

⁸ Vgl. Zöfel, P. (2003), S. 47.

⁹ Vgl. Spremann, K. (2006), S. 179-180.

¹⁰ Vgl. Albrecht, P., Maurer, R.(2005) S. 99-100.

2. Portfoliotheoretische Grundlagen

eindeutig beschrieben werden. ¹¹ Wenn wie bei dem Portfolio-Selektion-Modell mehrere gemeinsam normalverteilte Assets im Kontext betrachtet werden, dann kann aufgrund der Portfolioeigenschaft der einzelnen Assets, auch auf eine Normalverteilung des Portfolios geschlossen werden. Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig charakterisieren zu können, werden neben den Erwartungswerten der Rendite und den Varianzen auch noch die Kovarianzen aller Paare von Zufallsgrößen betrachtet. 12

Aufgrund dieser drei Annahmen - Zweizeitpunktbetrachtung, Kenntnis der Parameter der diskreten Rendite, sowie normalverteilte Renditen - genügt es, den Erwartungswert der Rendite ( von X), die Varianz der Rendite ( ² von X), sowie die Koeffizienten der Korrelation zwischen den Einzelanlagen zu bestimmen, um effiziente Portfoliokonstellationen ermitteln zu können. 13

2.1.2. Rendite, Risiko und Korrelation

Die erwartete Portfoliorendite ( p ) ergibt sich aufgrund der zuvor getroffenen Annahmen unter 2.1.1., als Summe der Einzelrenditen der jeweiligen n Portfolioanteile (x i ) und kann als p = ¦ μ , mit x

i

= 1 i

p = erwartete Portfoliorendite, x i = Anteil des Wertpapiers i am Portfolio, i = Erwartungswert der Rendite des i-ten Wertpapiers und n = Anzahl der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere, beschrieben werden. 14

Das erwartete Portfoliorisiko wird durch die Varianz als statistisches Streuungsmaß

der erwarteten Renditen gemessen und durch

σ ² = Varianz der Rendite des Portfolios p,

p

T = Anzahl der beobachteten Renditen des Portfolios, R pt = Rendite des Portfolios p in der Periode t und p = Erwartungswert der Portfoliorendite, beschrieben. 15

¹¹ Vgl. Dichtl, H. et al. (2008), S. 70-77.

¹² Vgl. Spremann, K. (2006), S. 84-87.

¹³ Vgl. Spremann, K. (2006) S. 182.

¹⁴ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 7.