Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  1

2.  Kompetenzen von Kindern im zweiten Schuljahr.  3

2.1  Kompetenzen zum Halbieren und Verdoppeln.  3

2.2  Kompetenzen zu Zahlzerlegungen  5

2.3  Kompetenzen zu Rechenstrategien  6

3.  Diagnostische Möglichkeiten beim Verdacht auf  

Rechenst  örung.  7

3.1  Begriffsklärung  7

3.2  Typen diagnostischer Verfahren  8

3.2.1  Etikettierungstest am Beispiel des Zareki.  9

3.2.2  Klassifizierungstest am Beispiel von OTZ und DEMAT  10

3.2.3  Prozessorientierte Diagnostik am Beispiel der Erstüberprüfung  12

3.2.4  Der Bielefelder Rechentest (BIRTE)  13

3.3  Diagnostik der Kompetenzen „Halbieren und Verdoppeln“, „Zahlzerlegungen“  

und  „Rechenstrategien“  15

3.3.1  Diagnose der Kompetenz „Halbieren und Verdoppeln“  15

3.3.2  Diagnose der Kompetenz „Zahlzerlegungen“  17

3.3.3  Diagnose der Kompetenz „Rechenstrategien“  20

4.  Fragen und Design der Studie  22

4.1  Forschungsfrage.  22

4.2  Forschungsdesign.  24

5.  Darstellung der Befunde  25

5.1  Vergleich der Ergebnisse.  25

5.1.1  Vergleich der gesamten Testergebnisse von BIRTE und Erstüberprüfung  26

5.1.2  Vergleich der Testergebnisse von BIRTE und Erstüberprüfung beim Halbieren  

und  Verdoppeln.  29

5.1.3  Vergleich der Testergebnisse von BIRTE und Erstüberprüfung bei den  

Zahlzerlegungen.   32

5.1.4  Vergleich der Testergebnisse von BIRTE und Erstüberprüfung bei den  

Rechenstrategien   35

5.2  Fallanalysen  39

5.2.1  Max beim Halbieren und Verdoppeln.  39

5.2.2  Lea bei den Zahlzerlegungen  42

5.2.3  Tabea bei den Rechenstrategien.  44

5.3  Ergebniszusammenfassung  46

6.  Schlussbemerkung.  47

7.  Literaturverzeichnis  51

8.  Anhang  53

1. Einleitung

Immer häufiger werden Aussagen dieser Art gemacht und es wird immer mehr von Rechenschwäche, Rechenstörung oder auch Dyskalkulie gesprochen. Mit der Literatur zu diesen Themen muss sehr behutsam umgegangen werden. Es gibt viele unseriöse Artikel, die im Internet oder anderen Medien veröffentlicht werden. Immer wieder wird von „Ursachen“ für Rechenstörung gesprochen. Mit dem Begriff „Ursachen“ sollte man jedoch vorsichtig umgehen und besonders mit den teilweise abstrusen „Ursachen“. Wenn auf einer zuerst seriös erscheinenden Internetseite steht, dass eine Rechenstörung von Geburt an vorherbestimmt ist, müssen wir uns über Aussagen, wie sie die oben zitierte Schülerin macht, nicht wundern. Eine Vielzahl von Beiträgen zeugt davon, dass die Gesellschaft ein allgemeines Interesse an dem Thema hat. Die häufig falsche Aufklärung und Beratung vermittelt größtenteils das Bild einer „Krankheit“, wie bei der oben zitierten Schülerin. Es gibt viele unerforschte Bereiche auf diesem Gebiet, die mit Sicherheit nicht aufgeklärt werden können. Jedoch ist die Forschung bereits soweit fortgeschritten, dass Kinder in der Grundschule mit Hilfe von Testverfahren auf Rechenstörung untersucht werden können. Die Förderung kann somit frühzeitig beginnen. Hierzu gibt es verschiedene Arten und Formen von Tests. Einer dieser Tests wurde an der Universität Bielefeld entwickelt: Der Bielefelder Rechentest „BIRTE“. Mit BIRTE sollen Kinder mit Rechenstörungen frühzeitig erkannt werden, um eine entsprechende Förderung zu erhalten. BIRTE beinhaltet verschiedene Module zu unterschiedlichen Aufgabentypen, die für Schüler ¹ Mitte des zweiten Schuljahres zu lösen seien sollten. Es handelt sich dabei um produkt- und prozessorientierte Aufgaben. Im Unterschied zu anderen Testverfahren ermittelt BIRTE keine leistungsstarken Schüler, sondern gibt nur Aufschluss darüber, welche Kinder rechenschwach sein könnten. Zurzeit wird der Mathetest BIRTE evaluiert. Der Test, der von Fachpersonal persönlich an der Universität Bielefeld (Erstüberprüfung) durchgeführt wird, soll in der Zukunft am Computer erfolgen. Dabei sind die Aufgaben sehr ähnlich. BIRTE soll sehr viel von der erfolgreichen prozessorientierte Erstüberprüfung übernehmen. Der Unterschied besteht darin, dass die Kinder vor einem Computer sitzen und die Arbeitsaufträge per Computerstimme übermittelt bekommen. Die Lösungen werden per Tastatur oder Maus von den Kindern in den Computer eingegeben. Der Computer misst die Zeit, das heißt, wie lange die Kinder für ihre Eingabe brauchen. Es sitzt ihnen somit keine Person gegenüber, die

¹ männliche und weibliche Bezeichnungen beinhalten jeweils das andere Geschlecht mit

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sie genau nach ihrem Lösungsweg fragt. Aber ist dieses überhaupt entscheidend? Interessant für diese Evaluierung ist, ob bei beiden Verfahren - persönlich und per Computer - die gleichen Ergebnisse zustande kommen. Gibt es irgendwo Unterschiede oder Gemeinsamkeiten? Womit könnten diese zusammenhängen? In welchen Bereichen kann der Computer als Diagnostikinstrument eingesetzt werden und inwieweit lassen sich damit die Probleme der Kinder - mit größeren mathematischen Schwierigkeiten - näher beschreiben? Solche Fragen wurden bisher nicht untersucht. Mit diesen Fragestellungen befasst sich die folgende Bachelorarbeit. Diese vorliegende empirische Arbeit steht unter dem Thema: Studien mit Zweitklässlern zum Halbieren & Verdoppeln sowie zu Zahlzerlegung und zum Rechnen in zwei verschiedenen Versuchsumgebungen.

Die empirischen Untersuchungen beginnen mit Interviews - in Form der Erstüberprüfung -, diese werden in zwei zweiten Klassen einer Bielefelder Grundschule durchgeführt. Die Untersuchung umfasst 47 Kinder. Ein Interviewleitfaden mit BIRTE-Aufgaben und ausgewählten Beobachtungsschwerpunkten ist mit Hilfe von Literatur erstellt. In diesem Interviewleitfaden werden die Aufgabentypen „Halbieren, Verdoppeln“, „Zahlenhäuser“ und „Rechenstrategien“ behandelt. Die Interviews werden per Videoaufzeichnungen festgehalten und im Anschluss mit Hilfe des Interviewleitfadens und der Videoaufzeichnungen ausgewertet. Zwei Wochen nach diesen Interviews lösen die Kinder die entsprechenden Aufgabentypen aus BIRTE am Computer. Die Lösungen der Kinder und die in Anspruch genommene Zeit für die einzelnen Aufgaben werden gespeichert und im Anschluss ausgewertet.

In Kapitel 2 werden die Kompetenzen in den Bereichen „Halbieren & Verdoppeln“, „Zahlzerlegung“ und „Rechenstrategien“ von Kindern im zweiten Schuljahr beschrieben. Auf theoretischer Ebene wird in Kapitel 3 auf die Begriffe „Rechenschwäche“, „Rechenstörung“ und „Dyskalkulie“ eingegangen und im Anschluss werden Typen von Diagnoseverfahren am Beispiel von Demat, OTZ und Zareki erläutert. BIRTE als Diagnostikmittel wird in diesem Kapitel ebenfalls dargestellt. Zum Abschluss dieses 3. Kapitels wird auf die Diagnostik der in Kapiteln 2 beschriebenen Kompetenzen „Halbieren & Verdoppeln“, „Zahlzerlegung“ und „Rechenstrategien“ eingegangen. Es wird thematisiert, welche Funktionen die Aufgabentypen haben und in welchem Zusammenhang sie mit einer Rechenstörung stehen.

Die Praxis der Untersuchungen wird in Kapitel 4 beschrieben. Hier wird zunächst das Forschungsdesign und die Forschungsfrage vorgestellt.

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In Kapitel 5 werden die Befunde aus den empirischen Untersuchungen beschrieben und verglichen. Zusammenhänge der verschiedenen Vorgehensweisen - einmal das persönliche Interview und ein anderes Mal der Test am Computer - werden erläutert und interpretiert. Im Anschluss sind in Kapitel 5.2 drei Einzelfallanalysen zu jedem Aufgabentyp durchgeführt und die Ergebnisse interpretiert. Am Ende dieses Kapitels kommt es zu der Zusammenfassung der vorgenommenen und ausgewerteten Untersuchungen.

Zum Abschluss wird im 6. Kapitel ein Resümee der empirischen Untersuchung gezogen. Hierbei wird die Forschungsfrage mit den gewonnenen Ergebnissen beantwortet. Des Weiteren wird die Bachelorarbeit an dieser Stelle reflektiert und persönliche Erkenntnisse, welche während der Studien gewonnen werden, geschildert. Auch die Frage nach einem weiteren Vorgehen auf diesem Gebiet wird beantwortet.

2. Kompetenzen von Kindern im zweiten Schuljahr

Es gibt verschiedene Kompetenzen, die Kinder im zweiten Schuljahr beherrschen sollten, diese sind im Lehrplan verbindlich festgeschrieben. Drei dieser Kompetenzen sind in den folgenden Kapiteln beschrieben. Zuerst das „Halbieren und Verdoppeln“ (Kapitel 2.1), schließlich die „Zahlzerlegung“ (Kapitel 2.2) und zum Schluss die „Rechenstrategien“ (Kapitel 2.3).

2.1 Kompetenzen zum Halbieren und Verdoppeln

Das Verdoppeln und Halbieren wird bereits im ersten Schuljahr thematisiert. Hier werden die Begriffe „das Doppelte“ und „die Hälfte“ erarbeitet. „Der Mathematikunterricht im ersten Schuljahr soll […] eine sichere Verständnisgrundlage dieser Begriffe legen“ (Rottmann 2006, 27). Bereits im arithmetischen Anfangsunterricht soll den Kindern vermittelt werden, dass „6 […] als „Doppel-Drei““ (Radatz u.a. 1996, 49) zu verstehen ist. Das „Erarbeiten und Auswendiglernen aller Aufgaben zum Verdoppeln und Halbieren im Zahlenraum bis 20“ (Schipper 2007, 111) ist am Ende des ersten Schuljahres besonders wichtig für „die Festigung und Vertiefung des Zahl- und Operationsverständnisses“ (Schipper 2007, 111). Eine wichtige Funktion des Verdoppelns und Halbierens besteht auch darin, heuristische Strategien zu entwickeln. Aufgrund dessen ist ein richtiges Verständnis der Begriffe auch für die folgende Schullaufbahn von wichtiger Bedeutung. Die arithmetische Handlung, die mit den Begriffen verbunden ist, soll gefestigt und anschließend automatisiert werden. Das Ziel ist, dass Schüler über ein großes Repertoire an auswendig gewussten Halbierungs- und Verdopplungsaufgaben

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verfügen, um diese für heuristische Strategien nutzen zu können. Auch für die Erweiterung des Zahlenraumes ist die Fähigkeit des Verdoppelns und Halbierens sehr nützlich (nach Radatz, Schipper 2004, 66). Verdopplungsaufgaben gehören im Zahlenraum bis 10 „zu den ersten Aufgaben, die die Kinder auswendig wissen und wissen sollen“ (Radatz u.a. 1996, 83). Mit diesem Wissen können sie nicht nur Verdopplungsaufgaben schneller lösen, sondern auch die jeweiligen Nachbaraufgaben mit Hilfe des „Fast-Verdoppelns“: „4+5=8+1 („Doppel-Vier plus eins“) oder 4+3=8-1 („Doppel-Vier minus eins“)“ (Radatz u.a. 1996, 83). Aber auch für das Einmaleins im zweiten Schuljahr ist das Beherrschen des Verdoppelns und Halbierens von wichtiger Bedeutung, „weil diese Operationen Grundlage für das Ableiten unbekannter Einmaleinssätze von den bekannten Königsaufgaben sind“ (Radatz u.a. 1998, 89). Den meisten Kindern fällt das Halbieren viel schwerer als das Verdoppeln, dieses liegt häufig daran, „dass den Kindern der Zusammenhang beider Operationen nicht klar geworden ist, sodass sie „probierendes Verdoppeln“ nicht zum Lösen von Halbierungen nutzen können“ (Radatz u.a. 1996, 100). Aufgrund dessen sollte die Umkehrbarkeit beider Operationen den Kindern immer wieder deutlich gemacht werden. Das Verdoppeln können manche Kinder ganz einfach in eine Additonsaufgabe umwandeln, dieses ist bei dem Halbieren jedoch nicht möglich aufgrund von zwei Unbekannten (die Hälfte von 14: 14 = _ + _). Auch das ziffernweise Halbieren bzw. Verdoppeln stellt Probleme dar, da die Kinder so keine richtigen Vorstellungen von den Handlungen entwickeln können. „Dieses Verfahren lässt sich problemlos anwenden bei Verdopplungen von Zahlen wie 2, 13, 42 … oder Halbierungen von 4, 8, 24, 48 … Es gelingt vielen Kindern aber nicht, Zahlen wie 6, 17, 28 … zu verdoppeln oder Zahlen wie 12, 16, 32 … zu halbieren“ (Radatz u.a. 1996, 100). Auch im Lehrplan für die Grundschule sind die Kompetenzen des Halbierens und Verdoppelns verankert. „Im Verlauf der Grundschulzeit gewinnen die Schülerinnen und Schüler tragfähige und vielfältige Vorstellungen von Zahlen, insbesondere von: […] ihren Beziehungen zu anderen Zahlen ([…], das Doppelte - die Hälfte, …)“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 75). Die Schüler sollen „die Grundrechenarten miteinander verbinden, dabei Zahlbeziehungen (z. B. das Doppelte - die Hälfte) und Operationseigenschaften aufdecken“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 77). Auch unter dem Punkt „schnelles Rechnen“ wird im Lehrplan das Verdoppeln und Halbieren erwähnt. Die Schüler sollen in den Klassen 1 und 2 „Fertigkeiten im schnellen Rechnen zunächst im Zahlenraum bis 20, dann bis 100 ausbauen“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 78). Um diese Fertigkeiten zu entwickeln müssen die Schüler das Halbieren und

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Verdoppeln genauso beherrschen, wie das Zerlegen und Zusammensetzen, womit sich das folgende Kapitel beschäftigt.

2.2 Kompetenzen zu Zahlzerlegungen

Wie bereits im vorherigen Kapitel erwähnt, gehört die Zahlzerlegung zu einer verbindlichen Kompetenz der Kinder im zweiten Schuljahr. Die Kinder erschließen sich „die operative Struktur der Zahlen und schaffen sich so die notwendigen Grundlagen für flexible und anspruchsvolle Rechenstrategien“ (Radatz u.a. 1996, 49). Das Zerlegen von Zahlen - im Zahlenraum bis 10 - beginnt bereits zu Anfang des ersten Schuljahres. Es erfolgt „zunächst durch konkret Handlungen in Verbindung mit Mengen und später auch anhand von Bildern“ (Padberg 2005, 41). Kinder sollen von der enaktiven Ebene über die ikonische zur symbolischen Ebene gelangen. Diese symbolische Ebene beinhaltet jedoch noch nicht das Pluszeichen, sondern ist in Form von z. B. Zahlenhäusern zu verstehen. Diese Fähigkeit der Zahlzerlegung soll zur Vorbereitung auf die Addition und Subtraktion dienen (nach Padberg 2005, 41 f.). „Durch ständige Wiederholung und abwechslungsreiches Üben werden die Zerlegungen dieser Zahlen automatisiert“ (Padberg 2005, 42). Die Zahlzerlegung dient zum Ende des ersten Schuljahres zur „Festigung und Vertiefung des Zahl- und Operationsverständnisses“ (Schipper 2007, 111). Neben den Verdopplungs- und Halbierungsaufgaben kommt der Zahlzerlegung „als Basis für die Herleitung anderer Aufgaben eine besondere Bedeutung zu“ (Rottmann 2006, 27). Die Zahlzerlegung bildet „eine wichtige Grundlage bei der Überwindung der Zählstrategien beim Addieren und Subtrahieren zugunsten heuristischer Strategien“ (Padberg 2005, 42). Wenn ein Kind bei der Aufgabe 6+8 sofort weiß, dass von der 6 bis zur 10 4 fehlen, kann das Kind die Aufgabe müheloser und schneller lösen. „Das Zerlegen und Zusammensetzten kommt in stärkerem Maße erst beim Zehnerübergang zum Tragen, …“ (Radatz u.a. 1996, 83) und auch bei Aufgaben mit Zehnerüberschreitung ist dieses Verfahren keins, dass immer benutzt werden sollte. Es soll den Kindern als ein Verfahren unter vielen dargestellt werden, nicht als universelle Lösung für alle Aufgaben. Jedoch „ist das Auswendigwissen der Zerlegungen aller Zahlen bis 10 eine äußerst wichtige Vorraussetzung“ (Schipper 2007, 112) für das schrittweise Rechnen, welches - gerade für schwache Schüler - eine sinnvolle Strategie ist.

Gemäß des Lehrplanes sind Unterrichtsgegenstände in Klasse 1 und 2 - unter dem Punkt „Zahlvorstellungen“ -: „die Zahlen bis 20 unter verschiedenen Gesichtspunkten darstellen und zueinander in Beziehung setzten, bündeln und zerlegen, Zahleigenschaften aufdecken“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 77). Hier sieht man, dass die

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Zahlzerlegung auch im Lehrplan verankert ist, also auch hier in den ersten beiden Schuljahren eine wichtige Rolle spielt.

Auch für die spätere Schullaufbahn spielt die Fähigkeit des Zerlegens von Zahlen eine wichtige Rolle. Kinder, die die Zahlzerlegung größtenteils automatisiert haben, können diese Fähigkeit für Rechenstrategien nutzen. Die Kompetenzen von Rechenstrategien werden im folgenden Kapitel behandelt.

2.3 Kompetenzen zu Rechenstrategien

Bereits im ersten Schuljahr sollen im arithmetischen Anfangsunterricht die Beziehungen der einzelnen Zahlen zueinander erarbeitet und genutzt werden: 6-2=4, weil 2+4=6 (nach Radatz u.a. 1996, 49). Es soll den Kindern ab dem ersten Schuljahr „die Beziehung zwischen Addition und Subtraktion (Bilden und Lösen von Umkehraufgaben) bewusst“ (Hartmann 2004, 11) gemacht werden. Sie sollen die Strategie zum Lösen von Aufgaben nutzen. Brita Hartmann meint, „Auf welchem Niveau Kinder Umkehraufgaben bilden, lösen und zum Begründen von Rechenergebnissen verwenden, hängt (…) im Wesentlichen von ihrem inhaltlichen Verständnis der Subtraktion ab“ (Hartmann 2004, 11). Auch um das Zahl- und Operationsverständnis von Schülern am Ende der ersten Klasse zu festigen und zu vertiefen (nach Schipper 2007, 111) sollen sie „Analogien zwischen dem Rechnen im ersten und im zweiten Zehner verstehen“ (Schipper 2007, 111). Außerdem spielen das „Bilden und Lösen von Tausch- und Umkehraufgaben (…) im Prozess des Einprägens der Additions- und Subtraktionsgleichungen bis 10 eine wichtige Rolle“ (Hartmann 2004, 11). Wenn Kinder auch im zweiten Schuljahr alle Aufgaben zählend rechnen kann sich dieses „negativ auf das Auswendiglernen“ (Schipper 2007, 112) von Aufgaben auswirken, da die Kinder beim nennen der Lösung häufig schon die Aufgabe vergessen haben. Die Fähigkeit, besonders viele Aufgaben des kleinen Einspluseins automatisiert zu haben, ist eine wichtige Kompetenz, die Kinder im zweiten Schuljahr haben sollten.

Die Kinder sollen lernen, dass nicht nur das Ergebnis selbst im Mathematikunterricht wichtig ist, sondern auch die Ergebnisbegründung. Am Ende des ersten bzw. am Anfang des zweiten Schuljahres sollen die Kinder ausreichend Erfahrungen mit folgenden Aufgabentypen gemacht haben: Umkehraufgabe, Tauschaufgabe, Analogieaufgabe etc.. Ihnen soll zum Beispiel bewusst werden, dass nicht die Lösung der Aufgabe 31-2 in der Reihe der Analogieaufgaben die wesentliche Leistung ist, sondern die Erkenntnis darüber, dass 31-2=29 ist, weil 11-2=9 und 21-2=19 ist (vgl. Radatz u.a. 1998, 57). Diese Rechenstrategien sollen die Kinder erkennen und zu ihrem Vorteil nutzen können. Kinder sollten im Mathematikun-

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terricht „verschiedene heuristische Rechenstrategien kennen lernen“ (Thiel 2002, 21) und diese flexibel nutzen können.

Auch im Lehrplan sind die Rechenstrategien festgehalten. „Das Durcharbeiten von Zusammenhängen (z.B. Aufgabe und Tauschaufgabe) […] fördern die Weiterentwicklung der Kompetenzen im Zahlenrechnen.“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 76). Hier werden Rechenstrategien (Tauschaufgabe) benannt und die Vorteile des Erkennens und Beherrschens von Rechenstrategien angesprochen. Es ist sehr wichtig, diese Aufgabentypen durchzuarbeiten und den Kindern bewusst zu machen. Auch lernschwache Kinder können die Tauschaufgabe zum Lösen von Aufgaben nutzen (nach Hartmann 2004, 11). Des Weiteren wird unter dem Unterpunkt „Operationsvorstellungen“ im Lehrplan aufgeführt, „Grundvorstellungen der Addition und der Subtraktion (für das Abziehen und das Ergänzen) entwickeln und ausbauen“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 77). Auch hier wird darauf verwiesen, dass diese Kompetenzen für die folgende Schullaufbahn der Kinder sehr wichtig sind. Unter die verbindlichen Anforderungen nach Klasse 2 fallen die Kenntnisse darüber, dass die Schüler „die Aufgaben des kleinen Einspluseins automatisiert und deren Umkehrung sicher verfügen“ (Ministerium für Jugend, Schule und Kinder 2003, 85). Hier wird darauf verwiesen, dass die Kinder auch die Umkehraufgaben - als eine weitere Rechenstrategie - beherrschen sollen.

3. Diagnostische Möglichkeiten beim Verdacht auf Rechenstö-

rung

Zunächst werden in diesem fünften Kapitel die Begriffe „Rechenschwäche“, „Rechenstörung“ und „Dyskalkulie“ kurz beschrieben, da es für diese Begriffe keine treffende und einheitliche Definition gibt. Im Anschluss daran werden verschiedene Typen von Diagnoseinstrumenten anhand von Beispielen verdeutlicht und zum Ende des Theoriekapitels wird die Diagnose von denen in Kapitel 2.1, 2.2 und 2.3 beschriebenen Kompetenzen analysiert.

3.1 Begriffsklärung

Nach Lorenz und Radatz (1993, 16) kann von einer Rechenschwäche ausgegangen werden, wenn über den Mathematikunterricht hinaus Förderbedarf notwendig ist. „Im Sinne dieser Definition ist etwa 20% aller Kinder eines Jahrgangs eine Rechenschwäche zuzuschreiben“ (Schipper 2005, 22). Jedoch ist für diese Rechenschwäche keine außerschulische Therapie

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notwendig, sondern die Schule ist dafür zuständig, die Kinder zu fördern (nach Schipper 2005, 22).

Bei der Rechenstörung liegen schwerwiegende und lang andauernde Beeinträchtigung in dem Mathematiklernen vor. Die Kinder mit einer Rechenstörung sind eine Teilgruppe der vorher beschriebenen Kinder mit einer Rechenschwäche. Die Abgrenzung ist jedoch sehr schwierig und erst ab der zweiten Klasse möglich, weil erst zu dieser Zeit die „zählenden Rechner“ auffallen. In der ersten Klasse ist das zählende Rechnen eine „normale“ Strategie, um Aufgaben zu lösen. Ab der zweiten Klasse jedoch fällt die Strategie des verfestigten zählenden Rechnens unter die „Symptome für Rechenstörungen“ (nach Schipper 2005, 23). Folgende Beobachtungen weisen nach Schipper auf zählende Rechner hin:

Von Ursachen für eine Rechenstörung kann man nicht sprechen, besser ist der Begriff „Risikofaktoren“. Eine Rechenstörung hat nicht immer eine bestimmte Ursache, so dass man beispielsweise sagen kann, wenn ein Kind eine Rechts-Links-Schwäche besitzt, hat es auf jeden Fall auch eine Rechenstörung. Es muss immer individuell das Kind und das Umfeld betrachtet werden. Es soll deutlich werden, dass eine Anzahl verschiedene Faktoren für eine Rechenstörung verantwortlich sein können. Eine Rechenstörung haben ca. 4 % bis 5 % aller Schüler ab der zweiten Klasse (nach Schipper 2005, 23). Auch hier ist die Schule für die Förderung zuständig, jedoch kann durch den schulischen Förderunterricht der Förderbedarf kaum noch gedeckt werden (nach Schipper 2005, 23).

„Spricht man von „Dyskalkulie“ werden weitere Leistungen wie die allgemeine Intelligenz oder die Lese-Rechtschreibkompetenz des Kindes herangezogen und mit der Leistung im Rechnen verglichen“ (Krajewski, 2003, 16). Nur wenn eine Rechenstörung festgestellt wird und das Kind gem. § 35a SGB VIII seelisch behindert bzw. von einer solchen Behinderung bedroht ist, darf von Dyskalkulie gesprochen werden (nach Schipper 2005, 24). In diesem Fall haben die Kinder ein Anrecht auf eine außerschulische Förderung und werden auch finanziell unterstützt.

3.2 Typen diagnostischer Verfahren

Es gibt viele unterschiedliche Verfahren, um die mathematischen Fähigkeiten von Kindern festzustellen. Das Problem ist, dass man aus den Testergebnissen keinen Förderplan erstellen

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kann. Aufgrund dessen sind diese Verfahren für die Schule unbrauchbar, da es die Aufgabe der Schule ist, die Kinder zu fördern und ihnen die Mathematik näher zu bringen. „Diagnostik der Stärken und Schwächen der einzelnen Kinder ist unverzichtbarer Bestandteil jeder Mathematikstunde“ (Schipper 2007, 115). Die Schule ist nicht dafür da, den Kindern eine Schwäche im Mathematiklernen „zu attestieren“. Die Testverfahren „sind jedoch nicht in der Lage, die Art der Auffälligkeit zu beschreiben“ (Schipper 2007, 107 ff.). Die Lehrer können nur auf Inhaltsbereiche, die den Kindern schwer fallen, Rückschlüsse ziehen. Sie können die Kinder jedoch nicht gezielt fördern.

Nach Schipper „gibt es gegenwärtig drei prinzipiell unterschiedliche Typen von Diagnoseverfahren, die sich hinsichtlich ihrer Zielsetzung und bezüglich der aus den Ergebnissen ableitbaren Konsequenzen stark unterscheiden“ (Schipper 2005, 27). Diese werden im folgenden Teil anhand von Beispielen beschrieben.

3.2.1 Etikettierungstest am Beispiel des Zareki

Bei dem ersten Verfahren, dem Etikettierungstest, wird festgestellt, ob ein Kind eine Dyskalkulie hat oder nicht. Dieser Test ist sehr entscheidend für Verwaltungsverfahren. Denn nur wenn dieser Test sagt, dass das Kind eine Dyskalkulie hat, bekommt es „öffentliche finanzierte Hilfe nach § 35a SGB VIII (Eingliederungshilfe für seelisch behinderte Kinder und Jugendliche) gewährt“ (Schipper 2007, 108). Diese Form von Test weist nicht auf spezielle Probleme von Kindern hin. „Erst recht können keine konstruktiven Erkenntnisse bzw. Maßnahmen (beispielsweise die Erstellung eines Förderplans) aus diesen Tests gezogen werden“ (Schipper / Wartha 2007, 2). Genau aus diesem Grund ist der Etikettierungstest kein geeigneter Test für die Schule. Diese Tests werden „meist von Psychologen entwickelt“ (Schipper / Wartha 2007, 2) und zielen „eher auf basale Fähigkeiten (…), deren Einflüsse auf mathematische Kompetenzen unterstellt werden, als auf Rechenkompetenzen selbst“ (Schipper / Wartha 2007, 2) ab.

Ein sehr gutes Beispiel für einen solchen Etikettierungstest ist der Zareki (von Aster 2003). Er soll eine Dyskalkulie bei Kindern im Grundschulalter diagnostizieren können. „Bei der Anerkennung von öffentlichen finanzierten Fördermaßnahmen durch die Jugend- und Sozialämter gilt der Zareki daher vielfach als der Standardtest“ (Rottmann 2005, 32). Das Problem des Zareki ist, dass er die Vorgehensweise der Lösungsprozesse der Kinder in seiner Auswertung nicht berücksichtigt. Solch ein Test ist „für den schulischen Einsatz unbrauchbar, denn die Funktion schulischer Diagnostik ist nicht, die Kinder „abzustempeln“ („Dyskalkuliker“) und so eine Grundlage für Selektion und Segregation zu schaffen“

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(Schipper 2007, 108). Die Kinder mit einer Rechenschwäche sollen in der Schule gezielt gefördert und nicht ausgegrenzt werden, dieses ist jedoch mit einer solchen Form von Test nicht möglich. „Der ZAREKI eignet sich (möglicherweise) als standardisiertes Testinstrument für die quantitative Diagnose von Schülerfehlern“ (Rottmann 2005, 32), ist jedoch nicht geeignet für den schulischen Gebrauch.

Ein weiteres Problem des Zareki ist, „dass dieser Test so geeicht ist, dass alleine aus statistischen Gründen 15 Prozent der Gesamtpopulation eine Dyskalkulie attestiert bekommt“ (Schipper 2005, 27). Dieser Wert ist sehr hoch gegriffen und kommt natürlich den außerschulischen Fördereinrichtungen finanziell zugute. Auf die Schule wirft dieser hohe Prozentsatz jedoch ein schlechtes Licht in dem Sinne, dass die Schule ihre Probleme anscheinend nicht selbst in den Griff bekommt (nach Schipper 2005, 27 ff.). Am Ende des Zareki werden die Testergebnisse der Schüler in Prozentrang-Tabellen einsortiert. Die Einteilung „der Testergebnisse zu Prozenträngen suggeriert eine Objektivität, die nicht gegeben ist“ (Rottmann 2005, 32).

3.2.2 Klassifizierungstest am Beispiel von OTZ und DEMAT

Das zweite Diagnoseverfahren ist der Klassifizierungstest. Diese Art von Test ist produktorientiert. Das bedeutet, dass auch bei dem Klassifizierungstest - genau wie bei dem oben beschriebenen Etikettierungstest - nur die richtigen bzw. falschen Lösungen von Bedeutung sind. Die Art und Weise der Lösungen werden auch hier in der Ergebnisauswertung nicht berücksichtigt. Jedoch wird im Gegensatz zum Etikettierungstest „hierbei allerdings auf die Vergabe eines „Etiketts“ verzichtet“ (Schipper / Wartha 2007, 2). „Dieser Typ von Diagnoseverfahren kann helfen, frühzeitig auf Risikokinder aufmerksam zu werden“ (Schipper 2007, 108). Besonders am Anfang der ersten Klasse kann dieses von Vorteil sein, da man zu diesem Zeitpunkt die Kinder und ihre Leistungen noch gar nicht kennt. Mit einem Klassifizierungstest kann man sich einen ersten Eindruck über den Leistungsstand der Lerngruppe machen. „Hinweise auf die Art der Probleme und damit auf Förderansätze lassen sich in der Regel auch bei diesem Verfahren nicht ableiten“ (Schipper / Wartha 2007, 2). Somit ist auch dieses Verfahren ein ungünstiges Verfahren für die Schule, da in der Schule gefördert werden soll.

Ein Beispiel für einen Klassifizierungstest ist der OTZ - Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (van Luit / van de Rijt / Hasemann 2001). Dieser Test ist produktorientiert, verzichtet jedoch „auf die Vergabe eines Stempels „Dyskalkulie““ (Schipper 2005, 28). „Beobachtungen bezüglich der Lösungsstrategie sind erfreulicherweise

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in den Ergebnis- bzw. Protokollbögen vorgesehen, werden aber in der Auswertung nicht berücksichtig“ (Huth 2005, 33). Auch hier zählen im Endeffekt nur die richtigen bzw. falschen Lösungen und somit ist auch dieser Test keine Grundlage für einen Förderplan. Es muss beachtet werden, „dass ein solcher produktorientierter Test nur auf Probleme aufmerksam machen kann, jedoch nicht in der Lage ist, das Problem selbst näher zu beschreiben“ (Schipper 2003, 108). Der Test ist für 5 - 7 ½-Jährige, es gibt zwei Parallelversionen mit je 40 Aufgaben - 8 Teile mit je 5 Aufgaben. Nach dem Test „werden die Ergebnisse des einzelnen Kindes unter Berücksichtigung seines Alters fünf verschiedenen Niveaus der Zahlbegriffsentwicklung - von A bis E - zugeordnet“ (Schipper 2007, 108). Die Kinder, die den Gruppen D und E zugeordnet werden, werden als Risikokinder betitelt. Für diese Kinder ist eine spezielle Förderung vonnöten. Aber auch die Kinder, die in die Gruppe A fallen, „bedürfen in gleicher Weise der Förderung, selbstverständlich aber anderer Förderung im Sinne von Herausforderung“ (Schipper 2005, 28). Diese Informationen können zu Beginn der ersten Klasse für die Lehrer hilfreich sein, denn so bekommen sie Informationen über den Leistungsstand - im Fach Mathematik - der neuen Lerngruppe. In den Voruntersuchungen zeugte der Test von einer hohen Reliabilität, das heißt, dass die Testergebnisse des OTZ sehr genau und sicher sind (nach van Luit / van de Rijt / Hasemann 2001, 10). Der OTZ kann jedoch - zum Nachteil für die Schule - nicht in der Gruppe durchgeführt werden und dauert ungefähr 30 Minuten pro Kind. Das Hauptproblem für die Schule ist jedoch, dass aufgrund der Testergebnisse kein individueller Förderplan für das Kind erstellt werden kann.

Auch der Demat ist ein Beispiel für einen Klassifizierungstest, der produktorientiert ist. Er kann zwar „zur Diagnose einer Dyskalkulie herangezogen werden“ (Krajewski / Liehm / Schneider 2004, 9), ist aber hauptsächlich für das Auffinden von Risikokindern gedacht. Des Weiteren ist der Demat ein Test, der als Gruppentest mit der gesamten Klasse durchgeführt werden kann - auch dieses spricht für den Klassifizierungstest. Es gibt ihn für jedes Grundschuljahr: Demat 1+ (für Ende der ersten und Anfang der zweiten Klasse), Demat 2+ (für Ende der zweiten und Anfang der dritten Klasse), Demat 3+ (für Ende der dritten und Anfang der vierten Klasse) und Demat 4+ (für Ende der vierten und Anfang der fünften Klasse). Alle Tests der Demat-Reihe sind an die Lehrpläne angepasst. Am Ende jedes Tests werden mit Hilfe von Schablonen die Testergebnisse abgelesen und in Prozentränge eingeteilt. Der Test gibt sowohl Auskünfte über leistungsschwache als auch über leistungsstarke Schüler. „Durch Betrachtung der Untertestleistungen in einem Fehlerprofil können zudem erste Tendenzen gefunden werden, in welchen speziellen Teilbereichen

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Schwächen liegen“ (Krajewski / Schneider 2003, 86), aber auch hier lassen sich aus den Ergebnissen des Tests keine Förderpläne erstellen. Aufgrund dessen, dass eine genaue Zeitangabe vorgegeben ist und es keinerlei Hilfestellung geben darf, ist das Testergebnis weitestgehend vom Diagnostiker unabhängig und hat demnach eine hohe Objektivität. Auch das Gütekriterium „Reliabilität“ wird bei diesem Test voll erfüllt - es wird sehr genau und sicher gemessen. Das Problem liegt bei der Validität. Misst dieser Test wirklich das, was er zu messen vorgibt? Hierfür wurden Mathematiknoten der Lehrer zum Vergleich herangezogen. Es gibt eine „Korrelation von r = .66 (p < .01; N = 681)“ (Krajewski / Liehm / Schneider 2004, 30). Ein Korrelationskoeffizient von r = .66 spricht jedoch nur für einen mittleren Zusammenhang (nach Willimczik 1999, 75). „Der Determinationskoeffizient gibt den Anteil der gemeinsamen Varianz der beiden Variablen an“ (Willimczik 1999, 76), dieser beträgt hier d = 0.4356, also hat der Demat und die Mathematiknote eine gemeinsame Varianz von 43,56 % und eine spezifische Varianz von 56,44 %. Hier können also durchaus Bedenken an der Validität geäußert werden.

3.2.3 Prozessorientierte Diagnostik am Beispiel der Erstüberprüfung

Typ drei der Diagnoseverfahren ist die prozessorientierte Diagnostik. Bei diesem Verfahren werden die Lösungsstrategien der Kinder genau beobachtet und die Defizite im Lösungsverhalten analysiert. „eine solche Diagnose soll (…) die individuellen kindlichen Prozesse der Lösungen von Aufgaben aufdecken“ (Schipper 2007, 108). Das „laute Denken“ und das genaue Beobachten der kindlichen Handlung spielen hierbei eine große Rolle. „den Kindern werden Aufgaben gestellt, deren Bearbeitung in besonderer Weise geeignet ist, auf Symptome für Rechenstörung aufmerksam zu machen“ (Schipper 2007, 108). Dieses Auswählen von geeigneten Aufgaben, das Beobachten des kindlichen Lösungsverhaltens und schließlich das Bewerten des Lösungsvorganges wird durch die Diagnostiker vorgenommen und stellt somit „hohe Anforderungen an Lehrerinnen und Lehrer als Diagnostiker“ (Schipper 2007, 109). Für die prozessorientierte Diagnostik ist es besonders wichtig, dass die Diagnostiker „Fundierte fachdidaktische Kompetenzen in dem zu untersuchenden Inhaltsbereich“ (Schipper 2007, 109) aufweisen. Das Ziel einer prozessorientierten Diagnostik und der Schule ist es, einen Förderplan erstellen zu können. Dieses bedarf „ein tieferes Verständnis der Lern- und Lösungsprozesse des einzelnen Kindes“ (Schipper 2007, 109). Der Diagnostiker muss das Kind und seine Lösungsschritte verstehen und herausfinden, warum das Kind auf diese Lösung kommt. Ein weiterer Vorteil der prozessorientierten Diagnostik ist, dass es „keiner externen Experten und keiner aufwändigen Testvorbereitungen“ (Schipper

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2007,  109) bedarf. Diese Form von Diagnostik kann in den Stillarbeitsphasen in der Schule  

durchgef  ührt werden, indem der Lehrer herum geht und sich von Schülern Lösungswege - mit  

Hilfe  des „lauten Denkens“ - beschreiben lässt. „Eine prozessorientierte Diagnostik ist eine  

inhaltlich  und von der Form der Durchführung her in den Unterricht integrierte Diagnostik“  

  (Schipper 2007, 109) Außerdem nennt man sie auch eine „passgenaue Diagnostik“ (Schipper  

2007,  109), da sie nicht für alle Kinder gleich ist, sondern individuell - sowohl von dem  

Zeitpunkt  als auch von der Aufgabenstellung (nach Schipper 2007, 109) Aufgrund dessen,  

dass  es sich hier nicht um einen einmaligen Test handelt, sondern um immer wieder an das  

Kind  angepasste Aufgaben und dadurch um eine regelmäßig durchgeführte Diagnostik, wird  

auch  von „dauerhaft begleitende und unterstützende Diagnostik“ (Schipper 2007, 109)  

gesprochen.  Die Objektivität, also dass das Testergebnis von dem Diagnostiker unabhängig  

ist,  spielt bei der prozessorientierten Diagnostik keine besonders große Rolle. Es wird mehr  

Wert  auf Validität - der Test soll das messen, was er zu messen vorgibt - und das  

p  ädagogisch-fachdidaktische Können des Diagnostikers gelegt (nach Schipper 2007, 109)  

Deshalb  spricht man auch von einer „dialogische Diagnostik“ (nach Schipper 2007, 109)  

Im  Großen und Ganzen kann man sagen, dass es eine geeignete Diagnose für die Schule ist,  

da  man „direkt einen Förderplan für das Kind ableiten“ (Schipper 2005, 29) kann. „Dieses  

prozessorientierte  Verfahren kann und soll in Schule praktiziert werden“ (Schipper 2005, 29)  

und  ist genau das Verfahren, welches in der Bielefelder Beratungsstelle praktiziert wird  

  (Erstüberprüfung) „Allerdings stellt diese Art der Diagnostik sehr hohe Anforderungen an  

den  Testleiter bzw. die Lehrkraft“ (Schipper / Wartha 2007, 3) Sie müssen „Fundierte  

didaktische  Kompetenzen in den zu untersuchenden Inhaltsbereichen“ (Schipper / Wartha  

2007,  3) aufweisen, „ebenso Voraussetzung für die Durchführung und Auswertung der  

Diagnose  wie methodisches und praktisches Wissen über qualitative Verfahren“ (Schipper /  

Wartha  2007, 3) mitbringen. Über diese Kompetenzen verfügen derzeit jedoch nicht alle  

Lehrer  und somit bringt auch dieses Verfahren für die Schule Probleme mit sich.  

3.2.4  Der Bielefelder Rechentest (BIRTE)  

Aufgrund  der oben beschriebenen Probleme sowohl bei den Etikettierungs- und  

Klassifizierungstests  als auch bei der prozessorientierten Diagnostik „wird derzeit der  

Bielefelder  Rechentest als computergestütztes Diagnoseverfahren“ (Wartha 2008, 2) an der  

Universit  ät Bielefeld am Institut für Didaktik der Mathematik entwickelt. Der Bielefelder  

Rechenschw  äche-Test „BIRTE“ soll „möglichst viele Bestandteile der bewährten  

prozessbezogenen  Diagnostik der Bielefelder Beratungsstelle am IDM übernehmen“  

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(Schipper / Wartha 2007, 3). Nur die Probleme der prozessorientierten Diagnostik sollen natürlich bei BIRTE behoben werden. Das Problem der Objektivität bei der prozessorientierten Diagnostik soll mit Hilfe von BIRTE ausgeschaltet und das Testergebnis vom Diagnostiker unabhängig bestimmt werden.

BIRTE wird am Computer durchgeführt und ist für Schüler der zweiten Hälfte des zweiten Schuljahres ausgelegt. BIRTE besteht aus folgenden „10 Modulen, die nach derzeitigem Stand der Forschung Hinweise auf Rechenstörungen liefern“ (Schipper / Wartha 2007, 3): - Orientierung im Zahlenraum - Quasisimultane Zahlauffassung - Ordinales und kardinales Zahlverständnis - Repertoire an auswendig gewussten Aufgaben - Strategienutzung bei Addition und Subtraktion - Rechenaufgaben der Typen E±E, ZE±E, ZE±Z, ZE±ZE, jeweils mit und ohne Zehnerübergang - Rechts-links-Unterscheidung - Räumliches Vorstellungsvermögen - Größenvorstellungen

- Grundvorstellungen zu Rechenoperationen (Textaufgaben). „Im Mittelpunkt der Beobachtungen stehen folgende Bereiche: 1. Verfestigtes zählendes Rechnen (…) 2. Probleme bei der räumlichen Wahrnehmung (…) 3. Intermodalitätsprobleme“ (Wartha 2008, 2 ff.).

Dieses sind entscheidende Punkte, die auf eine Rechenschwäche hinweisen können. BIRTE überprüft zum Beispiel für Punkt 1, ob ein Kind die nötigen Voraussetzungen (Beherrschen der Zahlzerlegungen bis 10, Halbieren und Verdoppeln der Zahlen bis 10 und das Verstehen der Strukturen von Material) für das Bilden von Rechenstrategien beherrscht (nach Schipper / Wartha 2007, 3 ff.). Unter Punkt 2 „Probleme bei der räumlichen Wahrnehmung“ überprüft BIRTE, ob die Kinder „links“ bzw. „rechts“ sowohl bei sich selbst als auch bei ihrem Gegenüber benennen können, da dieses ein wichtiger Bestandteil verschiedener mathematischer Handlungen ist (nach Schipper / Wartha 2007, 4). Bei dem „Intermodalitätsproblem“ (Punkt 3) „steht das Ausbilden von Grundvorstellungen als notwendige Voraussetzung für Übersetzungen zwischen Darstellungsformen im Vordergrund“ (Wartha 2008, 2).

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BIRTE kann im Klassenverband, aber auch nur mit einzelnen Schülern durchgeführt werden. Das Programm speichert alle Eingaben der Schüler und hält die Zeit fest, wie lange die Schüler für die jeweilige Eingabe gebraucht haben. Die Eingabe kann per Maus oder Tastatur erfolgen. „Das Programm wird betriebssystemunabhängig mit einer Java-Oberfläche entwickelt“ (Schipper / Wartha 2007, 6) und „ist auf allen handelsüblichen Computern (…) lauffähig“ (Schipper / Wartha 2007, 6). Nach Beendigung des Tests kann man sich über eine Replay-Funktion das Vorgehen der Schüler in Echtzeit anschauen, welches für schulpraktische und wissenschaftliche Zwecke von Nutzen sein kann (nach Schipper / Wartha 2007, 6). „Die Auswertung kann auf Schüler- und auf Gruppen- (Klassen-) Ebene erfolgen“ (Schipper / Wartha 2007, 6). Man kann außerdem wählen, ob man den kompletten Test ausgewertet haben möchte oder nur einzelne Module (nach Schipper / Wartha 2007, 6). „Die Analysen umfassen einerseits Informationen über Anzahl und Art der Fehler, Erklärungen für Fehler, die benötigten Bearbeitungszeiten und den daraus resultierenden Interpretationen und Bewertungen“ (Schipper / Wartha 2007, 6). Somit wird der Lehrkraft die schwierige Aufgabe des Diagnostizierens von Schülerfehlern erleichtert und zum Teil abgenommen. Natürlich „ersetzt ein softwaregestütztes Diagnoseverfahren eine prozessorientierte Diagnose nicht“ (Wartha 2008, 4), jedoch erhält der Lehrer „gezielte Hinweise auf weiterführende Fragen an das betreffende Kind“ (Wartha 2008, 4). Aufgrund dessen spart BIRTE im Gegensatz zu der prozessorientierten Diagnostik einiges an Zeit und Arbeit ein und übernimmt einen Großteil der Lehrerfortbildung im Bereich „Diagnostik“ (nach Wartha 2008, 4).

3.3 Diagnostik der Kompetenzen „Halbieren und Verdoppeln“,

„Zahlzerlegungen“ und „Rechenstrategien“

Die Diagnose der in Kapitel 2 beschriebenen Kompetenzen kann und wird auf unterschiedlichste Arten und Weisen praktiziert. Im folgenden Kapitel wird genauer auf die Diagnose des „Halbierens und Verdoppelns“ (Kapitel 3.3.1), der „Zahlzerlegung“ (Kapitel 3.3.2) und der „Rechenstrategien“ (Kapitel 3.3.3) eingegangen.

3.3.1 Diagnose der Kompetenz „Halbieren und Verdoppeln“

Der erste Aufgabentyp aus BIRTE, der im folgenden Teil beschrieben wird, ist das „Halbieren und Verdoppeln“. Wie bereits in Kapitel 2.1 beschrieben, ist dieses eine entscheidende Fähigkeit, die Kinder im zweiten Schuljahr beherrschen sollten. Überprüft wird das Können auf symbolischer Ebene. Zum Anfang eines Moduls beginnt BIRTE mit einem Beispiel. Beim Halbieren und Verdoppeln wird per Computerstimme die

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Aufgabe wie folgt erklärt: „Diese Aufgabe heißt Verdoppeln und Halbieren. Du sollst das Doppelte einer Zahl eingeben. Ein Beispiel: die Zahl heißt Drei (Abb. 1). Das Doppelte ist sechs. Die Sechs wird eingetragen (Abb. 2)“.

Abb. 1: Bildschirm „Verdoppeln und Halbieren“ Beispiel

Abb. 2: Bildschirm „Verdoppeln und Halbieren“ Beispiel

Im Folgenden werden die Zahlen 4, 6, 7, 11, 15, 24 und 17 überprüft. Die Gefahr besteht darin, dass Kinder die zweistelligen Zahlen ziffernweise verdoppeln und so keine Vorstellungen vom Verdoppeln bekommen (vgl. Kapitel 2, 4). Bei den zweistelligen Zahlen 11 und 24 können die Kinder relativ schnell ziffernweise verdoppeln, jedoch bekommen sie damit bei der Zahl 15 und besonders bei der Zahl 17 Probleme. Wenn Kinder bei den Zahlen 11 und 24 relativ schnell ihre Eingabe machen und bei den Zahlen 15 und 17 gar keine, eine falsche Eingabe oder sehr lange Zeit benötigen, ist dieses ein Hinweis darauf, dass sie vielleicht ziffernweise verdoppeln. Mit diesem Vorwissen kann die Lehrerin gezielter bei Schwierigkeiten nachhaken und falsche Strategien beseitigen. Geben die Kinder ihre Ergebnisse alle sehr schnell und richtig ein, ist dieses ein Zeichen dafür, dass sie die Verdopplungsaufgaben bereits auswendig beherrschen.

Das Halbieren wird ohne Beispiel mit folgenden Worten begonnen: „Jetzt sollst du die Hälfte einer Zahl angeben“. Die Kinder sollen die Hälfte von 8, 14, 18, 60, 70, 46 und 52 bilden. Hier besteht das gleiche Problem wie beim Verdoppeln, wenn die Kinder versuchen, ziffernweise zu halbieren (vgl. Kapitel 2.1). Mit dem Ziffernweise-Verfahren haben sie kein Problem bei der 8 und der 46, jedoch bei allen anderen Zahlen und besonders bei der 52

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bekommen die Schüler Schwierigkeiten. Das ziffernweise Halbieren kann also auch hier wieder sehr gut an der Bearbeitungszeit und den Eingaben der Kinder erkannt werden. Bei der Erstüberprüfung an der Universität Bielefeld wird das Halbieren und Verdoppeln ebenfalls getestet, jedoch kann bei dieser prozessorientierten Diagnostik individuell auf das Kind eingegangen werden. Es sind Beispielaufgaben in einem Aufgabenkatalog angegeben, diese können von dem Diagnostiker beliebig erweitert werden. Kann ein Kind zum Beispiel die Zahl 78 richtig halbieren, müssen in diesem Fall keine weiteren Halbierungsaufgaben gestellt werden. Weiß ein Kind jedoch nicht, was die Hälfte von 40 ist, müssen einfachere Aufgaben gestellt werden.

Auch beim Demat 2+ wird das Halbieren und Verdoppeln getestet. Die Form ist BIRTE sehr ähnlich, nur dass es sich hier nicht um Zahlenhäuser handelt, sondern von der Zahl die verdoppelt oder halbiert werden soll geht ein Pfeil zu einem leeren Kästchen. Über der Aufgabe steht „Nimm das Doppelt!“ bzw. „Nimm die Hälfte!“ als Arbeitsauftrag mit jeweils einem Beispiel. Es werden jedoch nur jeweils 3 Zahlen, die alle zweistellig sind, behandelt. Beim Verdoppeln sind es die Zahlen 43, 24 und 38 und beim Halbieren die 26, 30 und 58. Es sind also weitaus weniger Zahlen als bei BIRTE. Aufgrund dessen, dass die Kinder zweistellige Zahlen halbieren und verdoppeln sollen, kann man vielleicht Rückschlüsse auf das ziffernweise Halbieren bzw. Verdoppeln schließen. Wenn die Kinder die Zahlen 43 und 24 sehr schnell verdoppeln und bei der 38 viel länger brauchen oder sie gar nicht verdoppeln können, weist dieses darauf hin, dass sie ziffernweise verdoppeln. Genauso ist es beim Halbieren: wenn die Kinder nur die Zahl 26 zügig und ohne Problem halbieren können, kann vermutet werden, dass sie ziffernweise halbieren. Es ist jedoch schwierig eine Diagnose zu stellen, wenn die Kinder keine Aufgabe gelöst haben. Vielleicht können sie im kleineren Zahlenraum halbieren und verdoppeln, dieses kann mit dem Demat 2+ nicht festgestellt werden. Aber gerade die Fähigkeit Zahlen im Zahlenraum bis 20 zu halbieren und verdoppeln ist sehr wichtig für spätere Rechenstrategien und das mathematische Verständnis der Kinder (vgl. Kapitel 2.1). Gerade diese wichtige Kompetenz wird beim Demat 2+ nicht überprüft. Im Demat 1+, Zareki und OTZ wird das Halbieren und Verdoppeln gar nicht getestet.

3.3.2 Diagnose der Kompetenz „Zahlzerlegungen“

Die „Zahlzerlegung“ ist der nächste Aufgabentyp aus BIRTE, der in diesem Kapitel beschrieben wird. „Die Zahlzerlegung zum vollen Zehner und aller Zahlen bis zehn sind eine notwendige Voraussetzung für den Erwerb von Rechenstrategien, insbesondere des schrittweisen Rechnens“ (Schipper / Wartha 2007, 4). Dieses zeigt, wie wichtig die

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Zahlzerlegung auch für die zukünftige Schullaufbahn der Kinder ist. Das Automatisieren der Zahlzerlegungen gehört zu einem sehr wichtigen Bestandteil des Wissens der Schüler (vgl. Kapitel 2.2), aufgrund dessen wird auch dieser Wissensbestand der Schüler in BIRTE überprüft. Wenn die Schüler diese Aufgaben nicht innerhalb kürzester Zeit lösen können, „so ist das ein Erklärungshinweis für besondere Schwierigkeiten beim Rechnen und zugleich ein Ansatzpunkt für Fördermaßnahmen“ (Wartha 2008, 3). Überprüft wird das Können der Zahlzerlegung in Form von Zahlenhäusern - eine rein symbolische Notation. Auch zu Anfang dieses Moduls kommt bei BIRTE ein Beispiel. Es wird per Computerstimme folgendes erklärt: „Diese Aufgabe heißt Zahlenhäuser. Hier ist das Haus der 10. Zusammen immer 10 (Abb. 3). Zur 7 wird die fehlende 3 eingetragen (Abb. 4). Nach der Eingabe drückst du auf okay“.

Abb. 3: Bildschirm „Zahlenhäuser“ Beispiel

Abb. 4: Bildschirm „Zahlenhäuser“ Beispiel

In Abbildung 5 sieht man die erste Aufgabe, die an die Kinder gestellt wird. Sie sollen hier die fehlende 7 eingeben. „Das Ergebnis kann über das Nummernfeld mit Maus oder über die Tastatur des PCs eingegeben werden“ (Wartha 2008, 3). Korrigieren können die Kinder ihre Eingabe mit Klicken auf den roten Pfeil, der nach links zeigt. „Mit Klicken auf den Pfeil nach rechts wird die nächste Aufgabe präsentiert“ (Wartha 2008, 3).

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Abb. 5: Bildschirm „Zahlenhäuser“

Die Kinder haben für ein Zahlenhaus (7 Items) maximal 60 Sekunden Zeit, nach Ablauf dieser Zeit wird automatisch ein neues Zahlenhaus oder der nächste Aufgabentyp gestartet. Dem Zahlenhaus der 10 folgen noch die Zahlenhäuser der 20, der 8 und der 9. Diese werden nicht mehr anhand von konkreten Beispielen erläutert, sondern nur noch mit den Worten „Jetzt kommt das Haus der …!“. Dieser Aufgabentyp soll überprüfen, ob die Kinder die Zahlzerlegung beherrschen und automatisiert haben. Durch den Vergleich der Bearbeitungszeiten mit der Größe der gesuchten Zahl können Rückschlüsse darauf gezogen werden, ob ein Kind die Aufgaben zählend löst. Wenn ein Kind bei der Aufgabe „von der 1 bis zur 10“ deutlich länger braucht als bei der Aufgabe „von der 8 bis zur 10“ liegt der Verdacht nahe, dass das Kind die Aufgabe zählend löst (nach Wartha 2008, 4). Somit kann man mit diesem Aufgabentyp erste Vermutungen anstellen, ob ein Kind ein „zählender Rechner“ ist und in diesem Bereich besser gefördert werden muss. Bei der Erstüberprüfung an der Universität Bielefeld wird die Zahlzerlegung ebenfalls getestet. Zerlegt werden in der Regel die Zahlen 10, 20 und beliebig wählbare Zahlen kleiner als 10. Auch bei diesen Aufgaben ist sehr vorteilhaft, dass individuell auf das Kind eingegangen werden kann. Es kann bereits im Verlauf der Erstüberprüfung diagnostiziert und so strategisch weitere Aufgaben ausgewählt werden. Im Gegensatz zu BIRTE wird hier nicht auf symbolischer Ebene getestet, sondern zunächst mit konkreten Handlungen ("Lege Deine beiden Hände ausgestreckt auf den Tisch - Daumen an Daumen. Ich lege den Stift zwischen Deine Finger und Du sagst dann, wie viele Finger links vom Stift und wie viele Finger rechts vom Stift sind.") und schließlich „durch die Ausbildung mentaler Vorstellungsbilder“ (Schipper 2005, 41) in folgender Form: "Jetzt decke ich Deine Hände zu und sage die erste Zahl. Du sagst dann die zweite".

Im Demat 1+ wird die Fähigkeit der Zahlzerlegung ebenfalls überprüft. In diesem Klassifizierungstest findet dieses in Form von symbolischer Notation statt. Es sind Rechenaufgaben mit Platzhaltern (5 + _ = 15), die die Fähigkeit der Zahlzerlegung überprüfen

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sollen. Hier wird also nicht nur auf symbolischer Ebene überprüft, sondern bereits mit dem Pluszeichen (vgl. Kapitel 3, 4). Dieses erhöht den Schwierigkeitsgrad für die Kinder. Außerdem wird in einem solchen Aufgabenformat eher die Fähigkeit des Addierens und Subtrahierens getestet und nicht der Zahlzerlegung. Die Zahlzerlegung der 10, die sehr wichtig ist unter anderem für das schrittweise Rechnen, wird im Demat 1+ nicht überprüft. Die Zahlzerlegung wird im Demat 2+, Zareki und OTZ nicht getestet.

3.3.3 Diagnose der Kompetenz „Rechenstrategien“

Mit dem Aufgabentyp „Rechenstrategien“ befasst sich der letzte Teil dieses Kapitels. Bereits in Kapitel 2.3 ist beschrieben, welche wichtige Funktion die Fähigkeit des Beherrschens von Rechenstrategien hat. Natürlich wäre es sehr schön, „wenn alle Kinder alle Strategien jeweils optimal angepasst an die vorgegebene Zahlenkonstellation nutzen könnten (flexibles Rechnen)“ (Schipper 2005, 43), jedoch ist dieses natürlich nicht immer der Fall und gerade „Für verfestigte zählende Rechner ist das eine völlig unrealistische Vorstellung“ (Schipper 2005, 43). Aufgrund dieser Wichtigkeit beschäftigt sich ein weiterer Aufgabentypus von BIRTE mit Rechenstrategien. Auch hier wird wieder mit einem Beispiel begonnen. Den Kindern wird per Computerstimme folgendes mitgeteilt: „Jetzt kommen Rechenaufgaben. Zum Beispiel: 4 + 2 (Abb. 6), das Ergebnis ist 6, wenn du das Ergebnis eingetragen hast (Abb. 7), klicke auf „weiter“. Jetzt bist du dran“.

Abb. 6: Bildschirm „Rechenstrategien“ Beispiel

Abb. 7: Bildschirm „Rechenstrategien“ Beispiel

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Im Anschluss an dieses Beispiel werden den Kindern drei verschiedene Aufgabenblöcke präsentiert. Der erste beinhaltet Tausch- und Umkehraufgaben (14 + 7, 7 + 14, 21 - 7, 21 -14) (Abb. 8), der zweite Analogieaufgaben in der Addition (8 + 6, 18 + 6, 38 + 6) und der dritte Analogieaufgaben in der Subtraktion (12 - 8, 22 - 8, 72 - 8). Die Aufgaben der einzelnen Aufgabenblöcke erscheinen nacheinander, sodass das Kind die vorherigen Aufgaben und Ergebnisse noch sehen kann.

Abb. 8: Bildschirm „Rechenstrategien“ Aufgabenblock 1

Mit Hilfe der Aufgaben wird überprüft, in welcher Weise die Kinder über die nötigen Rechenstrategien verfügen. Braucht ein Kind bei der zweiten Aufgabe 7 + 14 genauso lange wie bei der ersten Aufgabe 14 + 7, ist dieses ein Zeichen dafür, dass es die Aufgabe erneut gerechnet und nicht die Strategie „Tauschaufgabe“ genutzt hat. Braucht es bei der zweiten Aufgabe sogar länger als bei der ersten, so kann dieses ein Zeichen dafür sein, dass das Kind die Aufgaben zählend mit Hilfe des Weiterzählens berechnet. Es kann natürlich auch sein, dass ein Kind zwar die Tauschaufgabe erkennt, aber die folgende Umkehraufgabe nicht. All diese Schwächen können mit Hilfe von BIRTE erkannt und im Anschluss gezielt abgestellt werden. Bei den folgenden zwei Aufgabenblöcken ist es sehr wichtig, dass die Kinder die Analogien erkennen und sie nutzten (vgl. Kapitel 2.3). Die Aufgaben stehen auch in diesem Teil untereinander (Abb. 9) und es können somit die Analogien besser erkannt werden.

Abb. 9: Bildschirm „Rechenstrategien“

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Braucht das Kind bei der zweiten und dritten Aufgabe genauso lange wie für die erste, so ist dieses ein Zeichen dafür, dass das Kind nicht erkannt hat, dass es sich hier um Analogien handelt.

Auch bei der Erstüberprüfung an der Universität Bielefeld wird die Fähigkeit über Rechenstrategien getestet. Jedoch kann hier gezielter auf das Kind eingegangen werden, in dem zum Beispiel Materialien (z.B. Rechenrahmen) zur Verfügung gestellt werden. Auch die Wahl der Aufgaben wird individuell vom Kind abhängig gemacht. Auf die genaue Problematik des Kindes kann somit direkt eingegangen werden.

Im Zareki und Demat 1+ werden zwar auch Additions- und Subtraktionsaufgaben behandelt, es wird jedoch nicht getestet, inwieweit die Kinder über Strategien verfügen. Im Demat 2+ werden Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 100 mit zweistelligen Zahlen getestet. Hier wird jedoch ebenfalls nicht die Flexibilität mit Rechenstrategien untersucht, sondern „die Flexibilität beim Umgang mit

Lösungsalgorithmen“ (Krajewski / Liehm / Schneider 2004, 14), deshalb erscheinen im Demat 2+ die Additions- und Subtraktionsaufgaben gemischt und der Platzhalter wechselt unsystematisch (nach Krajewski / Liehm / Schneider 2004, 14). Deshalb liegt das Augenmerk der Beobachtungen also nicht auf dem Können von Rechenstrategien, obwohl dieses eine wichtige Fähigkeit von Kindern in diesem Alter ist (vgl. Kapitel 4). Im OTZ wird die Fähigkeit von Rechenstrategien ebenfalls nicht überprüft.

4. Fragen und Design der Studie

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich nicht ausschließlich mit der theoretischen Sicht über die Kompetenzen des „Halbierens und Verdoppelns“, der „Zahlzerlegung“ und der „Rechenstrategien“ und der Diagnose von Rechenstörungen - speziell der Diagnose der genannten Kompetenzen -, sondern soll auf der Grundlage von empirischer Untersuchungen herausfinden, welche Zusammenhänge bzw. Unterschiede zwischen verschiedenen Diagnoseverfahren herrschen.

Im folgenden Kapitel wird die zugrunde liegende Forschungsfrage genauer erläutert (Kapitel 4.1) und das Forschungsdesign geschildert (Kapitel 4.2).

4.1 Forschungsfrage

Es ist bereits bekannt, dass die Diagnose von Rechenstörungen ein schwieriges Thema ist. Viele Testverfahren diagnostizieren Rechenstörungen, sie können den betroffenen Kindern im

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Anschluss jedoch nicht helfen das Problem zu beheben, indem zum Beispiel ein Förderplan auf Grundlage der Testergebnisse erstellt wird (vgl. Kapitel 3.2.1 und 3.2.2). Dieses Problem hat die prozessorientierte Diagnostik nicht. Jedoch herrscht hier ein anderes Problem: die Diagnostiker müssen bei dieser Art von Diagnose qualifizierte didaktische Kompetenzen in den jeweiligen Inhaltsbereichen haben und Voraussetzungen für die Durchführung und Auswertung des Tests mitbringen. Dieses sind sehr hohe Ansprüche an die heute aktiven Lehrer, da diese sehr häufig in den genannten Bereichen nicht genügend ausgebildet sind (vgl. Kapitel 3.2.3). Aufgrund dieser Probleme wird an der Universität Bielefeld am Institut für Didaktik der Mathematik der Bielefelder Rechenschwäche-Test „BIRTE“ entwickelt. BIRTE soll der Schule helfen, eine qualifizierte Diagnose zu erstellen, das heißt, es soll auf Grundlage der Testergebnisse möglich sein, einen individuell angepassten Förderplan für jedes Kind erstellen zu können, ohne hierbei an die Lehrer zu hohe Ansprüche zu stellen (vgl. Kapitel 3.2.4). BIRTE soll viele Aspekte der bewährten prozessorientierten Diagnostik übernehmen. Die Situation in der der Test stattfindet ist jedoch eine ganz andere. Die Kinder sitzen vor einem Computer und es gibt niemanden, der sie direkt nach ihrem Lösungsweg fragt und individuell auf sie eingehen kann. Aber ist dieses überhaupt entscheidend für das Ergebnis der Diagnose und für die Erstellung eines Förderplans? Ist vielleicht folgende Hypothese zutreffend?: Wenn Kinder in der zweiten Klasse die gleichen mathematischen Aufgaben am Computer (BIRTE) und im persönlichen Interview (Erstüberprüfung) lösen, dann besteht kein signifikanter Zusammenhang zwischen BIRTE und Erstüberprüfung (Hypothese 0). Somit würden die Ergebnisse aus BIRTE nicht das mathematische Können der Kinder wieder spiegeln, da sie vielleicht mit dem Medium Computer in dem Alter noch nicht vertraut sind. Oder trifft vielleicht eher Hypothese 1 (H 1 ) in das heutige Zeitalter? Wenn Kinder in der zweiten Klasse die gleichen mathematischen Aufgaben am Computer (BIRTE) und im persönlichen Interview (Erstüberprüfung) lösen, dann besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen BIRTE und Erstüberprüfung (H 1 ). Diese Hypothesen werden für die drei Aufgabentypen „Halbieren und Verdoppeln“, „Zahlzerlegung“ und „Rechenstrategien“ in den empirischen Untersuchungen überprüft, da sie zurzeit schwierig an- oder abzulehnen sind und sich nur mutmaßen lassen. In der aktuellen Forschung gibt es kaum empirische Befunde über die Validität von computergestützten Testverfahren. Aus diesen genannten Überlegungen haben sich für die Bachelorarbeit folgende Fragestellungen entwickelt:

-Erzielen beiden Verfahren - Erstüberprüfung und BIRTE - die gleichen Ergebnisse?

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-Gibt es bei den Testergebnissen Unterschiede oder Gemeinsamkeiten und womit könnten diese zusammenhängen?

-In welchen Bereichen kann der Computer als Diagnostikinstrument eingesetzt werden und inwieweit lassen sich damit die Probleme der Kinder - mit größeren mathematischen Schwierigkeiten - näher beschreiben?

Solche Fragen wurden bisher noch nicht untersucht und mit diesen Fragestellungen befasst sich die vorliegende Bachelorarbeit. Die empirische Arbeit steht unter dem Thema: Studien mit Zweitklässlern zum Halbieren & Verdoppeln sowie zu Zahlzerlegung und zum Rechnen in zwei verschiedenen Versuchsumgebungen. Diese Inhaltsbereiche sind drei wichtige Kompetenzen, die Kinder in der zweiten Klasse beherrschen sollten; sie sind sehr entscheidend für das weitere mathematische Verständnis der Kinder (vgl. Kapitel 2). Das Halbieren und Verdoppeln, die Zahlzerlegung und die Rechenstrategien können auf unterschiedliche Weise getestet werden, diese verschiedenen Diagnoseverfahren sind bereits in Kapitel 3.3 beschrieben.

4.2 Forschungsdesign

Die empirischen Untersuchungen beginnen im April 2008. An einer Bielefelder Grundschule haben sich die Schüler zwei zweiter Klassen bereit erklärt an den Untersuchungen für die Bachelorarbeit teilzunehmen. Zuvor wird die Zustimmung der Eltern durch Einverständniserklärungen, sowohl für Tonband- als auch für Videoaufzeichnungen, eingeholt. Die endgültige Versuchsgruppe beläuft sich auf 47 Kinder, mit denen die mündlichen Interviews Mitte April starten. Die Versuchspersonen befinden sich zu dieser Zeit in der zweiten Hälfte der zweiten Klasse.

Für die Interviews ist ein Interviewleitfaden mit BIRTE-Aufgaben und ausgewählten Beobachtungsschwerpunkten ausgearbeitet. Enthalten sind die Aufgabentypen „Halbieren und Verdoppeln“, „Zahlenhäuser“ und „Rechenstrategien“. Die empirischen Untersuchungen beinhalten nur einzelne Aufgabentypen aus BIRTE, da der gesamte Test zu umfangreich wäre. Während des Interviews werden Beobachtungen und Anmerkungen kurz schriftlich festgehalten. Es wird genau beobachtet, wie die Kinder rechnen und die Aufgaben lösen - ein gezieltes Nachfragen kann hierbei sehr hilfreich sein. Die Interviews werden in der gleichen Form, wie die prozessorientierte Diagnostik an der Universität Bielefeld (Erstüberprüfung) durchgeführt und werden im folgenden Teil auch mit Erstüberprüfung betitelt. Sie werden per Video aufgezeichnet und im Anschluss mit Hilfe der Interviewleitfäden und der Videoaufzeichnungen ausgewertet. In der Schule stehen Räume zur Verfügung, in denen die

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Diagnose ruhig und ungestört verlaufen kann, so dass die Kinder nicht von äußeren Einflüssen abgelenkt werden.

Im Mai 2008 - zwei Wochen nach den Interviews - lösen die gleichen Kinder die entsprechenden Aufgabentypen aus BIRTE am Computer. Die Lösungen der Kinder und die benötigte Zeit für die einzelnen Aufgaben werden gespeichert und im Anschluss ausgewertet. Die empirischen Untersuchungen werden in der beschriebenen Reihenfolge durchgeführt, da die Kinder und der Diagnostiker sich in dem persönlichen Einzelgespräch erst einmal kennen lernen können. Es ist einfacher, das Vertrauen der Kinder im Einzelgespräch zu erlangen, als in einer großen Gruppe. Aufgrund der genannten Gründe wird zuerst das Interview durchgeführt und im Anschluss der Computertest „BIRTE“.

Es handelt sich bei beiden Testverfahren um die gleichen Aufgaben, jedoch wird bei den Auswertungen davon ausgegangen, dass sich die Kinder die Ergebnisse nicht gemerkt haben. Dieses ist begründet dadurch, dass die Kinder zu dem Zeitpunkt der Interviews nicht wissen, dass gleiche Aufgaben in einem weiteren Test abgefragt werden und ihnen die richtigen Ergebnisse der Aufgaben im Interview nicht genannt werden.

5. Darstellung der Befunde

Im folgenden Kapitel werden die Befunde dargestellt, interpretiert und bewertet. In Kapitel 5.1 werden die Ergebnisse der beiden Testverfahren zunächst verglichen und die Zusammenhänge und Unterschiede zwischen BIRTE und Erstüberprüfung festgehalten. Der Abschnitt 5.2 „Fallanalyse“ befasst sich mit Einzelfallstudien einzelner Kinder. Zum Abschluss werden in der „Ergebniszusammenfassung“ (Kapitel 5.3) die Schlüsse aus den Untersuchungen zusammengetragen.

5.1 Vergleich der Ergebnisse

Die Ergebnisse der gesamten Tests und Ergebnisse der einzelnen Aufgabentypen werden in den Kapiteln 5.1.1 bis 5.1.4 beschrieben und verglichen. Um die Ergebnisse von BIRTE und der Erstüberprüfung besser vergleichen und den Zusammenhang ermitteln zu können, sind Mehrfeldertafeln angelegt. Dafür sind die Kinder in drei Leistungsbereiche aufgeteilt - unterer Leistungsbereich, mittlerer Leistungsbereich und oberer Leistungsbereich. Für die Einteilung in die Leistungsbereiche sind die relativen Lösungshäufigkeiten der einzelnen Kinder der Größe nach sortiert und anschließend in drei

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