Inhaltsverzeichnis i

Inhaltsverzeichnis   

Prolog.   1

I  I I ℝ ℝ I Herleitung der Integration für Funktionen von 2 ℝ nach ℝ  

  ℝ ℝ ℝ bezogen auf das Riemannintegral 3 ℝ  

  ℝ  3

1  Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in ℝ ℝ ℝ  

1.1  Herleitung des bestimmten Integrals  3

1.2  Das Riemannintegral  6

1.3  Geometrische Deutung des Integrals.  7

1.4  Eigenschaften des bestimmten Integrals  8

1.4.1  Intervalladditivität.  8

1.4.2  Intervallgrenzenvertauschung  8

1.4.3  Linearität im Integranden.  8

1.4.4  Ungleichungen für Integrale  9

1.5  Mittelwertsatz der Integralrechnung.  9

1.6  Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.  10

1.7  Definition der Stammfunktion  11

1.8  Berechnung des bestimmten Integrals  12

  ℝ ℝ 2 Herleitung der Integration stetiger Funktionen in 2 ℝ ℝ  

bezogen  auf das Riemannintegral.  14

3  Berechnung des Doppelintegrals durch Zerlegung der  

doppelten  Integration in zwei einfache Integrationen.  19

3.1  Beweis zur Vertauschung zweier Grenzübergänge  23

3.2  Satz von Fubini.  26

3.2.1  Beispiel zum Satz von Fubini (Berechnung eines  

Doppelintegrals  )  27

Inhaltsverzeichnis ii

4  Herleitung von Doppelintegralen mit beliebigen  

Integrationsbereichen   28

4.1  Doppelintegrale mit Integrationsbereich N, der einem  

Normalbereich  entspricht.  28

4.1.1  Definition des Normalbereiches.  28

4.1.2  Doppelintegrale über Normalbereichen.  29

4.1.3  Beispiel zum Doppelintegral über einem Normalbereich.  30

4.2  Doppelintegrale mit Integrationsbereich, der einem  

beliebigen  Bereich entspricht  31

4.2.1  Berechnung des Flächeninhalts einer beliebigen Fläche  31

4.2.2  Herleitung des Doppelintegrals einer stetigen Funktion in  

  ℝ über einer beliebigen Fläche 34  2

5  Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige  

Funktionen   36

5.1  Integral einer stückweise stetigen Funktion in ℝ ℝ 36 ℝ ℝ  

  ℝ ℝ 5.2 Integral einer stückweise stetigen Funktion in 2 ℝ 39 ℝ  

II  Flächen- , Volumenberechung und Grenzwertprozesse  

II   II

in  den verschiedenen Schulstufen.  41

1  Primarstufe.  42

1.1  Flächenberechnung  42

1.2  Volumenberechnung  48

I   50

2  Sekundarstufe  I

I   I

2.1  Flächenberechnung  50

2.1.1  Berechung des Flächeninhaltes des Kreises.  51

2.2  Volumenberechnung  56

Inhaltsverzeichnis iii

II   56

3  Sekundarstufe  II

II   II

3.1  Flächenberechnung  57

3.2  Volumenberechnung  58

Epilog   60

Literaturverzeichnis   62

Abbildungsverzeichnis iv

Abbildungsverzeichnis

Seite

Abb. 1: Untersumme als Treppenkurve mit k I und x ∆ .....................4

Abb. 2: Obersumme als Treppenkurve mit k S und x ∆ ....................5

Abb. 3: Riemann - Summe als Treppenkurve ..................................6

Abb. 4: Grafische Darstellung des Integrals

( ) z = f x,y über R ......................14 Abb. 5: Grafische Darstellung von Rechtecksbereich R in der ( ) x,y - Ebene ..........................15 Abb. 6:

Abb. 7: Unterteilter Rechtecksbereich R in m n i gleichgroße i i Rechtecke ik R .....................................................................16

I x y ∆ ∆ Abb. 8: Quader aus dem Minimum ik und Maximum i i S x y ∆ ∆ über dem Rechteck ik R .....................................17 i i

ik

( ) z f x, y = Abb. 9: Quader mit der Deckfläche über R in m Schichten parallel zur ( ) x,z - Ebene zerschnitten ..............19

( ) z f x, y = Abb. 10: Quader mit der Deckfläche über R in m Schichten parallel zur ( ) y,z - Ebene zerschnitten ..............22

Abb. 11: Normalbereich N bezüglich der x - Achse...........................28 Abb. 12: Normalbereich N bezüglich der y - Achse ..........................29 Beliebige Fläche F mit Flächeninhalt ( ) A F .........................31 Abb. 13:

Abb. 14: Zerlegung Z des Rechtecks in Teilrechtecke.......................32 ( ) A F der Fläche F ............................................................33 Abb. 15:

Z

( ) A F der Fläche F ............................................................33 Abb. 16:

Z

( ) z = f x,y über F ......................34 Abb. 17: Grafische Darstellung von Grafische Darstellung einer Funktion f auf [ ] a,b .................37 Abb. 18:

Abb. 19: Zerlegung der Funktion f in 4 Teilintervalle .........................38

Abbildungsverzeichnis   

T  in der ( )  

Aufteilung  in Teilbereiche n Abb. 20: x,z - Ebene  

Abb.  21: Flächeninhalt in verschiedenen Einheiten.  

Abb.  22: Leichtere Bestimmung durch kleinere Einheit  

Abb.  23: Tangram mit unterschiedlichen Figuren  

  (Radatz, 1991, S.171)  

Abb.  24: Handabdruck auf Kästchenpapier in zwei Einheiten  

Abb.  25: Handabdruck mit Unter- und Obersumme in B  

Abb.  26: Handabdruck mit Unter- und Obersumme in C  

Abb.  27: Einheit A, B und C im Verhältnis zueinander  

Abb.  28: Verschiedene Körper bestehend aus Einheitswürfel  

  (Radatz, 1991, S.38)  

Abb.  29: Einbeschriebene und umbeschriebene Rechtecke  

  (Aits, 1980, S.211)  

Abb.  30: Seitenlängen und Flächeninhalte der äußeren und inneren  

Rechtecke  (Aits, 1980, S.212)  

Abb.  31: Die Zahl Pi (Legermüller, 2007, S.211)  

Abb.  32: Zusammengesetzte Körper (Maroska, 1996,  

Schmid  , 1997, S.111)  

Rechteck  über  

Abb.  33: a,b mit der Höhe c.  

Quader  über  

Abb  34: a,b c,d mit der Höhe n  

Prolog 1

Prolog

Historisch liegen die Wurzeln der Integralrechnung in der Ermittlung von Flächeninhalten, da man es sich zur Aufgabe machte, den Flächeninhalt auch solcher ebenen Gebilde zu ermitteln, die nicht durch Polygone begrenzt werden. Methodische Ansätze finden sich zwar bereits bei Archimedes, Cavalieri und Barrow, die systematische Entwicklung aber beginnt erst mit der Entdeckung des Zusammenhangs von Differentiation und Integration durch Leibniz und Newton um 1670. Durch sie wurde die Integralrechung im eigentlichen Sinne als „calculus summatorius“ und später als „calculus integralis“ begründet. Leibniz war es dann auch, der am 29. Oktober 1675 das Integralzeichen ∫ festlegte. Es stellt ein

stilisiertes S dar, welches dem Wort Summe entnommen wurde. Der Zusammenhang zwischen Summation und Integration ist schon mit der Herleitung gegeben, wie später deutlich wird. Eine Präzisierung des Integralbegriffs für stetige Funktionen nahm erstmals Cauchy (1823) in Angriff. Riemann (1854) erweiterte diesen auf etwas allgemeinere Funktionen. Einen andersartigen, wesentlich flexibleren und sehr umfassenden Integralbegriff führte Lebesque (1902) ein. (vgl. Wolff, 1967, S.61 und Königsberger, 1999, S.191f)

Die vorliegende Examensarbeit beschränkt sich im Wesentlichen auf das Integral stetiger Funktionen in ℝ bezogen auf das Riemannintegral, das in Kapitel I 1 hergeleitet und durch einige Eigenschaften, den Mittelwertsatz der Integralrechnung, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Definition der Stammfunktion beschrieben wird. In Kapitel I 2 wird die Herleitung auf die Integration stetiger Funktionen in ² ℝ

erweitert und somit ein direkter Vergleich zum Integral stetiger Funktionen in ℝ geschaffen.

Anschließend wird in Kapitel I 3 gezeigt, wie man das Doppelintegral durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache Integrationen berechnen kann, was uns zum Satz von Fubini führt.

Prolog 2

Die Herleitung von Doppelintegralen mit beliebigen Integrationsbereichen wird in Kapitel I 4 behandelt. Dafür werden zuerst Doppelintegrale mit Integrationsbereich N, der einem Normalbereich entspricht, betrachtet. Danach wird mit Hilfe der Berechnung des Flächeninhalts einer beliebigen Fläche die Herleitung des Doppelintegrals einer stetigen Funktion in ² ℝ

über einer beliebigen Fläche formuliert. Als Abschluss dieses ersten Abschnitts der vorliegenden Examensarbeit wird die Integration stetiger Funktionen auf stückweise stetige Funktionen in ℝ und ² ℝ erweitert.

Im zweiten Abschnitt dieser Examensarbeit wird das Vorkommen von Flächen-, Volumenberechung und Grenzwertprozessen in den verschiedenen Schulstufen anschaulich dargestellt und erläutert. In Kapitel II 1 wird die Primarstufe, in Kapitel II 2 die Sekundarstufe I und in Kapitel II 3 die Sekundarstufe II betrachtet.

I Herleitung der Integration für Funktionen von nach bezogen auf das 3 ℝ ℝ ℝ ℝ

Riemannintegral

ℝ 2 ℝ Herleitung der Integration für Funktionen von I I nach ℝ bezogen auf das Riemannintegral ℝ

Um die Integration für stetige Funktionen in 2 ℝ herleiten zu können, muss

man vorher die Herleitung des bestimmten Integrals stetiger Funktionen in ℝ betrachten.

Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in ℝ . ℝ 1

1.1 Herleitung des bestimmten Integrals

( ) y f x = Unter dem bestimmten Integral einer Funktion , die im abgeschlossenen Intervall [ ] ( ) a,b a b ; a,b < ∈ ℝ definiert ist, versteht man

eine Zahl A, die man auf folgende Weise erhält.

Definiert sei eine stetige, positive und beschränkte Funktion f auf einem kompakten Intervall.

f : a,b

a,b zerlegt man in n gleichgroße Teilintervalle [ ] Das Intervall [ ] x ,x ,

k 1 k ⁻ sodass a x x x x b gilt. = < < < < = …

0 1 n 1 n ^- Daf stetig auf [ ] a,b , nimmt f auf jedem Teilintervall [ ] x ,x ein absolutes

k 1 k −

Minimum und ein absolutes Maximum an, die wie folgt definiert sind.

Maximum =

und

Minimum =

In [ ] ( ) x ,x I f x S gilt also stets: ≤ . ≤

k 1 k k k −

Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in . 4 ℝ ℝ

S bzw. k I multipliziert man mit der Länge der Teilintervalle Die Werte k

Alle gewonnenen n Produkte k S x und k I x werden nun addiert. Man ∆ ∆ i i

erhält eine Obersumme und eine Untersumme, die nach Darboux wie folgt definiert sind.

Obersumme =

und

Untersumme =

[ ] Da ( ) f x 0 x a,b O und n U geometrisch gesehen Summen , sind n ≥ ∀ ∈

von Flächeninhalten von Rechtecken und lassen sich als Inhalte der unter U gehörigeiner Treppenkurve gelegenen Fläche deuten. Die zu

n

O gehörige Treppenkurve Treppenkurve verläuft unterhalb und die zu ⁿ ( ) y f x verläuft oberhalb der Kurve . =

∆ ∆ Abb. 1: Untersumme als Treppenkurve mit k I und x

Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in . 5 ℝ ℝ

∆ ∆ Abb. 2: Obersumme als Treppenkurve mit k S und x

Die angestrebte Zahl A liegt somit zwischen der Ober- und Untersumme. ⇒ U A O ≤ ≤

n n

Wenn man jetzt die Zerlegung des Intervalls [ ] a,b verfeinert mit n n ≤ ɶ ,

erhält man eine neue Obersumme n Oɶ und eine Untersumme n Uɶ für die ⇒ U U A O O folgendes gilt: ≤ ≤ ≤ ≤

n n ^{ɶ ɶ} n n

Anstatt das Intervall [ ] a,b immer weiter zu verfeinern, berechnet man nun

O und n U für den Fall, dass den Grenzwert der gewonnenen Summen ⁿ die Längen der Teilintervalle ( ) x ∆ gegen Null streben und folglich n gegen

Unendlich geht.

O und n U einen gemeinsamen Grenzwert G. Da f stetig ist, haben n

O und n U ist gleich der angestrebten Dieser gemeinsame Grenzwert von n

Zahl A und heißt bestimmtes Integral von a bis b der Funktion ( ) f x .

b

( ) = = ∫ G A f x dx

a

(vgl. Ansorge, 1994, S.337ff oder Strubecker, 1980, S.31ff)

Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in . 6 ℝ ℝ

1.2 Das Riemannintegral

Riemann hat dies verallgemeinert und wählt in jedem Teilintervall [ ] x , x

k -1 k

P und definiert die Riemann - Summeinen beliebigen Punkt k

Dann liegt die Riemann - Summe zwischen den dazugehörigen unteren ⇒ und oberen Darboux - Summen. U R O n ≤ ≤ ∀ ∈ ℕ

n n n

Abb. 3: Riemann - Summe als Treppenkurve

Der Grenzwert der Riemann - Summe ist ebenfalls das bestimmte Integral der betreffenden Funktion f in dem gegebenen Intervall [ ] a,b und ist uns

bekannt als das Riemann - Integral.

⇒

(vgl. Königsberger, 1999, S.216 oder Walter, 2001, S.202)

Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in . 7 ℝ ℝ

1.3 Geometrische Deutung des Integrals

Die geometrische Deutung des bestimmten Integrals einer stetigen Funktion lautet wie folgt: b

∫ f(x) dx ist zahlenmäßig gleich dem Flächeninhalt, des von Das Integral

a

der Kurve der Funktion f, der x-Achse und den beiden Geraden a = x und

begrenzten Gebietes in der ( ) x,y - Ebene. Dies gilt unter der b = x f x im Intervall [ ] Voraussetzung, dass ( ) a,b stetig ist und ( ) f x 0 ≥ .

(vgl. Merziger, 2002, S.301)

Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in . 8 ℝ ℝ

1.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals

Jetzt kommen wir zu einigen Eigenschaften des bestimmten Integrals, deren Richtigkeit jedoch hier nicht bewiesen wird. Die Beweise zu den aufgeführten Eigenschaften findet man in den Quellenangaben. Diese Eigenschaften werden teilweise in den nachfolgenden Beweisen verwendet.

1.4.1 Intervalladditivität

≤ ≤ , f über [ ] a,b ,[ ] a,c und [ ] c,b integrierbar, dann gilt: Sei a c b

b

∫ a

(vgl. Neunzert, 1996, S.112f)

1.4.2 Intervallgrenzenvertauschung

> und f über [ ] b,a integrierbar, so setzt man: Sei a b

b a

( ) ( ) ∫ ∫ f x dx f x dx = − :

a b

Wenn a b

(vgl. Neunzert, 1996, S.113)

1.4.3 Linearität im Integranden

Seien f und g über [ ] a,b integrierbar, a b < und c,d ∈ ℝ , dann gilt:

1) Homogenität: c f

2) Additivität:

3) Linearität: c f d g i integrierbar und + i b

∫ a

(vgl. Neunzert, 1996, S.114)