Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  1

1.1.  Das Modell  1

1.2.  Konstante Kontaktrate  2

2.  Existenz  4

2.1.  Existenz allgemeiner L osungen von (1.1)  4

2.1.1.  Theorie der Funktionaldifferentialgleichungen  4

2.1.2.  Existenz und Eindeutigkeit von L osungen  14

2.1.3.  Spezialfall f ur c 0  20

2.2.  Ergebnisse aus der Funktionalanalysis  23

2.2.1.  Kompakte Operatoren in Banachr aumen  23

2.2.2.  Kegel in Banachr aumen  24

2.2.3.  Spezielle Eigenschaften kompakter Operatoren in Banach-  

r  aumen  27

2.2.4.  Fixpunkts atze  34

2.3.  Existenz periodischer L osungen  40

2.3.1.  Eigenschaften des Operators N  40

i

Inhaltsverzeichnis

2.3.2.  Kriterien f ur die Existenz einer periodischen L osung von  

  (1.1)  48

3.  Grenzwerte und Stabilit at  59

3.1.  Grenzwerte  59

3.2.  Stabilit at  65

3.2.1.  Stabilit atsbetrachtungen linearer Funktionaldifferentialglei-  

chungen   65

3.2.2.  Gest orte Systeme linearer Funktionaldifferentialgleichungen  73

3.2.3.  Stabilit atsbetrachtungen der Gleichung (1.1)  83

4.  Biologische Interpretation  89

A.  Hilfss atze  91

A.1.  Elementare Aussagen  91

A.2.  Hilfsaussagen aus der Funktionalanalysis  92

ii

1. Einleitung

Gegenstand dieser Arbeit ist eine skalare nichtlineare Funktionaldifferentialgleichung, die den Anteil einer Bev¨ olkerung beschreibt, der mit einer von Insekten ubertragenen Krankheit infiziert ist. In erster Linie sollen hierbei Voraussagen ¨

uber den Verlauf der Infektion in der Bev¨ olkerung getroffen werden. Sowohl die ¨

Krankheit selbst als auch die erkrankte Bev¨ olkerung unterliegen einigen, weiter unten n¨ aher spezifizierten Bedingungen.

1.1. Das Modell

Im folgenden wird das Modell besprochen, das Grundlage f¨ ur die Ableitung der Gleichung ist:

a) Die Infektion kann in beide Richtungen ¨ ubertragen werden, d.h. also eine anf¨ allige Person kann sich gleichermaßen bei einem ¨ Ubertr¨ ager, beispielsweise einem Mosquito, infizieren, wie auch ein infizierter Mensch den Virus auf ein Insekt ¨ ubertragen kann.

b) Die Infektion hat weder Tod noch Immunit¨ at zur Folge, d.h. nach ¨ uberstandener

Infektion ist die Person sofort wieder anf¨ allig.

c) Die Gr¨ oße der betrachteten Bev¨ olkerung ist konstant. Geburten, Todesf¨ alle sowie Auswanderungen werden vernachl¨ assigt.

d) Nach der Infektion des ¨ Ubertr¨ agers vergeht eine konstante Zeit T , bis sich diese entwickelt hat, und das Insekt selbst infekti¨ os ist.

e) Die ¨ Ubertr¨ ager sind homogen in der betrachteten Bev¨ olkerung verteilt.

f) Die Heilungsrate bei infizierten Menschen ist konstant c.

1

1. Einleitung

g) Die Anzahl der ¨ Ubertr¨ ager zur Zeit t fluktuiert saisonal, d.h. sie ist proportional zu dem Anteil infizierter Personen in der Bev¨ olkerung zum Zeitpunkt t − T und zwar mit einem periodischen Proportionalit¨ atsfaktor b(·).

Sei nun y(t) der Anteil der infizierten Personen zum Zeitpunkt t, z(t) die Anzahl der infizierten ¨ Ubertr¨ ager zum Zeitpunkt t. Da die Gesamtbev¨ olkerung nach

b) ausschließlich aus infizierten und anf¨ alligen Personen besteht, folgt, daß der Anteil der letzteren 1 − y(t) ist. Voraussetzung e) bedeutet nun, daß sich die Anzahl der neu Infizierten pro Zeiteinheit ergibt zu (1 − y(t))z(t). Die ¨ Anderung

des Infiziertenanteils entspricht der Differenz aus neu erkrankten Personen und geheilten Personen. Mit den Bedingungen f) und g) folgt dann sofort:

y (t) = b(t)y(t − T )[1 − y(t)] − cy(t) (1.1)

wobei c, T positive Konstanten sind und b eine positive, periodische Funktion der minimalen Periode ω ist.

Als erstes wurde diese Gleichung auf die Existenz periodischer L¨ osungen in [3] untersucht, wo auch lokale Stabilit¨ atsaussagen solcher periodischer, aber auch nichtperiodischer L¨ osungen in Abh¨ angigkeit der Heilungsrate c getroffen wurden. Das Ziel dieser Arbeit soll sein, [3] unter Miteinbeziehung der Existenzaussagen f¨ ur Funktionaldifferentialgleichungen und der weiteren ben¨ utzten Aussagen aus dieser Theorie, sowie der verwendeten Aussagen aus der Spektraltheorie kompakter Operatoren in Banachr¨ aumen, neu darzustellen. Hierbei soll der biologische Hintergrund nicht unber¨ ucksichtigt bleiben.

1.2. Konstante Kontaktrate

In einer fr¨ uheren Arbeit von Cooke ([5]) wurde das gleiche Modell mit konstanter Kontaktrate b behandelt. Dort wurde in erster Linie mit Hilfe des LaSalle’schen Invarianzprinzips f¨ ur autonome Funktionaldifferentialgleichungen folgendes Theorem bewiesen:

Theorem 1.1 Betrachte (1.1) mit konstantem b und der Anfangsbedingung x 0 = φ. F¨ ur c ≥ b > 0 ist die L¨ osung y = 0 asymptotisch stabil und die Menge G = {φ ∈ C([−T, 0], IR) : 0 ≤ φ(Θ) ≤ 1 f¨ ur − T ≤ Θ ≤ 0} ein Gebiet der Anziehung.

F¨ ur 0 ≤ c < b ist die L¨ osung y = 1 − c asymptotisch stabil und die Menge

b

˜ G = {φ ∈ C([−T, 0], IR) : 0 < φ(Θ) ≤ 1 f¨ ur − T ≤ Θ ≤ 0} ein Gebiet der Anziehung.

2

Dieses Resultat impliziert, daß es f¨ ur eine konstante Kontaktrate b keine nichttrivialen periodischen L¨ osungen gibt. Es stellt sich vielmehr das zu erwartende Ergebnis ein. Ist die Heilungsrate gr¨ oßer als die Kontaktrate zwischen ¨ Ubertr¨ ager

und Mensch, wird die Epidemie f¨ ur sehr große Zeiten aussterben. Ist dagegen die Kontaktrate gr¨ oßer, n¨ ahert sich der Anteil der infizierten Personen an der Bev¨ olkerung einem sog. endemischen Level (= 1 − c

Schwelle erreicht, bei deren ¨ Uberschreiten sich das Verhalten der Epidemie f¨ ur t −→ ∞ umkehrt.

In den folgenden Kapiteln soll (1.1) mit fluktuierender, also periodischer Kontaktrate b(·) betrachtet werden.

3

2. Existenz

In diesem Kapitel werden vollst¨ andige Aussagen ¨ uber die Existenz periodischer

L¨ osungen von (1.1) gemacht. Hierzu wird zuerst die Frage beantwortet, inwieweit allgemeine L¨ osungen von (1.1) existieren.

2.1. Existenz allgemeiner L¨ osungen von (1.1)

Zun¨ achst f¨ uhre ich den Leser ein in die Theorie der Existenz, Eindeutigkeit und Fortsetzbarkeit f¨ ur Funktionaldifferentialgleichungen. Hierbei wird die Frage gekl¨ art, welche Bedingungen die rechte Seite einer solchen Gleichung erf¨ ullen muß, damit sie eine eindeutige L¨ osung zu einer bestimmten Anfangsbedingung hat. Hierbei versuche ich, wenn m¨ oglich, die Analogien zu gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen anzudeuten. In den darauf folgenden Abschnitten werden die gewonnenen Resultate auf (1.1) angewendet.

2.1.1. Theorie der Funktionaldifferentialgleichungen

Im folgenden sei T ≥ 0 eine reelle Zahl, IR n der n-dimensionale Vektorraum uber den reellen Zahlen mit der euklidischen Norm | · | sowie C([a, b], IR n ) der ¨

Banachraum stetiger Funktionen, die [a, b] in den IR n abbilden, versehen mit der Supremumsnorm φ = sup θ∈[a,b] φ(θ). Im Verlaufe dieser Arbeit setze ich C := C([−T, 0], IR n ).

Definition 2.1 F¨ ur σ ∈ IR, α ≥ 0 und x ∈ C([σ − T, σ + α], IR n ) ist f¨ ur jedes t ∈ [σ, σ + α] die Funktion x t wie folgt definiert:

x t : [−T, 0] −→ IR n ; θ −→ x(t + θ).

4

Definition 2.2 Sei D ⊂ IR × C und f : D −→ IR n . Dann heißt

x (t) = f (t, x t ) (2.1)

eine (verz¨ ogerte) Funktionaldifferentialgleichung auf D. F¨ ur σ ∈ IR und α ≥ 0 heißt eine Funktion x L¨ osung von (2.1) auf [σ − T, σ + α], wenn gilt:

i) x ∈ C([σ − T, σ + α], IR n )

ii) ∀t ∈ [σ, σ + α] : (t, x t ) ∈ D

iii) ∀t ∈ [σ, σ + α] : x (t) = f (t, x t ).

F¨ ur gegebenes σ ∈ IR, φ ∈ C nennt man x(σ, φ) eine L¨ osung von (2.1) durch (σ, φ), falls ein α > 0 existiert, so daß x(σ, φ) eine L¨ osung von (2.1) auf [σ − T, σ + α] ist, und x σ (σ, φ) = φ. Letzteres bedeutet, daß ∀θ ∈ [−T, 0] gilt x(σ, φ)(σ + θ) = x σ (σ, φ)(θ) = φ(θ).

Diese Definitionen k¨ onnen auf unstetige Anfangsbedingungen verallgemeinert werden, was wir zu einer sp¨ ateren Stelle (siehe Abschnitt 3.2.2) in dieser Arbeit ben¨ otigen werden. Hierzu bezeichne F ([a, b], IR n ) den Raum der beschr¨ ankten, nicht notwendigerweise stetigen Funktionen von [a, b] nach IR. Wir setzen analog zu oben F := F ([−T, 0], IR n ).

Definition 2.3 F¨ ur σ ∈ IR, α ≥ 0 und x ∈ F ([σ − T, σ + α], IR n ) ist f¨ ur jedes t ∈ [σ, σ + α] die Funktion x t wie folgt definiert:

x t : [−T, 0] −→ IR n ; θ −→ x(t + θ).

Definition 2.4 Sei E ⊂ IR × F und f : E −→ IR n . Dann heißt

x (t) = f (t, x t ) (2.2)

eine (verz¨ ogerte) Funktionaldifferentialgleichung auf E. F¨ ur σ ∈ IR und α ≥ 0 heißt eine Funktion x L¨ osung von (2.2) auf [σ − T, σ + α], wenn gilt:

i) x ∈ F ([σ − T, σ + α], IR n )

ii) ∀t ∈ [σ, σ + α] : (t, x t ) ∈ E

iii) ∀t ∈ [σ, σ + α] : x (t) = f (t, x t ).

5

2. Existenz

F¨ ur gegebenes σ ∈ IR, ψ ∈ F nennt man x(σ, ψ) eine L¨ osung von (2.1) durch (σ, ψ), falls ein α > 0 existiert, so daß x(σ, ψ) eine L¨ osung von (2.1) auf [σ − T, σ + α] ist, und x σ (σ, ψ) = ψ.

Zun¨ achst beweise ich zwei Lemmata.

Lemma 2.1 Ist x ∈ C([σ − T, σ + α], IR n ), dann ist die Abbildung t −→ x t , [σ, σ + α] −→ C stetig.

Beweis:

Sei x ∈ C([σ − T, σ + α], IR n ). Da [σ − T, σ + α] ein kompaktes Intervall ist, ist x gleichm¨ aßig stetig auf [σ − T, σ + α], d.h.

∀ > 0 ∃δ > 0 ∀θ ∈ [−T, 0] ∀t, τ ∈ [σ, σ + α] : δ > |t − τ | = |t + θ − (τ + θ)| =⇒ |x t (θ) − x τ (θ)| = |x(t + θ) − x(τ + θ)| < <.

2 Also ist auch x t − x τ = sup θ∈[−T,0] |x t (θ) − x τ (θ)| < <.

Lemma 2.2 Seien D ⊂ IR × C offen und f : D −→ IR n stetig. Dann sind ∀ (σ, φ) ∈ IR × C die folgenden Aussagen ¨ aquivalent:

i) x ist L¨ osung von Gleichung (2.1) durch (σ, φ) ii) x ist L¨ osung der Integralgleichung t

f¨ ur ein α > 0 mit {(t, x t ) : σ ≤ t ≤ σ + α} ⊂ D.

Beweis:

i)⇒ii): Sei x L¨ osung von (2.1) durch (σ, φ), d.h. es gibt ein α > 0 derart, daß x ∈ C([σ − T, σ + α], IR n ) L¨ osung im Sinne der Definition ist, und mit Lemma 2.1, daß x t stetig in t ist. Also ist auch f (t, x t ) stetig auf [σ, σ + α]. Daraus erh¨ alt man, daß x stetig auf [σ, σ + α] ist, und somit t t

ii)⇒i): Sei x L¨ osung von (2.3). Dann ist x differenzierbar auf [σ, σ + α], x t stetig in t, also wieder f (t, x t ) stetig auf [σ, σ + α], also x stetig differenzierbar mit t

6

Mit lim t→σ− x(t) = x σ (0) = φ(0) = x(σ) = lim t→σ+ x(t) folgt schließlich noch x ∈ C([σ − T, σ + α], IR n ). 2

Nun sind die n¨ otigen Definitionen und Hilfsmittel bereitgestellt, um die beiden Hauptresultate dieses Abschnittes zu beweisen, die Existenz und Eindeutigkeit einer L¨ osung von (2.1) zu einer Anfangsbedingung φ. Der Existenzbeweis ist eine Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes (Theorem A.1) auf einen noch zu definierenden Operator T . Dazu ist allerdings noch die Einf¨ uhrung einiger Notationen, sowie der Beweis von drei Lemmata n¨ otig. Zun¨ achst formuliere ich jedoch das Theorem. Hierbei sei C ⁰ (V, IR n ) ⊂ C(V, IR n ) der Raum aller stetigen, beschr¨ ankten Funktionen von V ⊂ Ω, V offen, nach IR n , der mit der Norm f V = sup (t,φ)∈V |f (t, φ)| ein Banachraum wird.

Theorem 2.1 (Existenz) Sei Ω ⊂ IR × C offen und f 0 ∈ C(Ω, IR n ) gegeben. Dann gilt: ∀(σ, φ) ∈ Ω gibt es eine L¨ osung der Gleichung

x (t) = f 0 (t, x t )

durch (σ, φ).

Allgemeiner gilt: ∀ W ⊂ Ω kompakt ∃ Umgebung V ⊂ Ω von W mit f 0 ∈ C ⁰ (V, IR n ). Weiterhin ∃ Umgebung U ⊂ C ⁰ (V, IR n ) von f 0 , ∃α > 0 ∀(σ, φ) ∈ W, f ∈ U ∃ L¨ osung x(σ, φ) von (2.1) durch (σ, φ) auf dem Intervall [σ −T, σ +α].

Beweis:

Die Vorgehensweise ist die folgende: In einem ersten Schritt f¨ uhre ich eine, wie sich sp¨ ater herausstellen wird, bequemere Notation, sowie eine weitere Integralgleichung ein. Ich zeige, daß das L¨ osen dieser Gleichung wiederum ¨ aquivalent dazu ist, eine L¨ osung von (2.3) zu finden. Anschließend definiert man einen Ope-rator T , der ein y ∈ C([−T, α], IR n ) auf die rechte Seite dieser Integralgleichung abbildet, und zeigt, daß T kompakt ist. In einem letzten Schritt wendet man auf T , wie schon erw¨ ahnt, den Schauderschen Fixpunktsatz an: 1.Schritt:

Ist nun x eine L¨ osung von (2.1) durch (σ, φ) und f stetig, dann erf¨ ullt x nach Lemma 2.2 auch (2.3). D.h.

∀t ∈ [−T, 0] : x(t + σ) = x σ (t) = φ(t),

σ+t t

∀t ∈ [0, α] : x(t + σ) = φ(0) +

Definition 2.5 F¨ ur jedes (σ, φ) ∈ IR × C sei ˜ φ ∈ C([σ − T, ∞), IR n ) definiert durch

∀t ∈ [−T, 0] : ˜ φ σ (t) = φ(t) und ˜ φ(t + σ) = φ(0), t ≥ 0.

7

2. Existenz

Lemma 2.3 x ist eine L¨ osung von (2.1) genau dann, wenn es ein α > 0 und ein y ∈ C([−T, 0], IR n ) gibt mit t

wobei gilt

x(t + σ) = ˜ φ(t + σ) + y(t), t ∈ [−T, α]. (2.5)

Beweis:

“⇐=”: Folgt direkt aus der Definition 2.5, der Definition von y und der obigen Substitution.

“=⇒”: Es gilt offensichtlich y(t) = x(t + σ) − ˜ φ(t + σ) und somit ⎧

y(t) =

2.Schritt:

Seien nun α, β > 0 beliebige reelle Zahlen und B(0, β) := {ψ ∈ C : ψ ≤ β} die abgeschlossene Kugel um die 0 ∈ C mit Radius β. Wir definieren folgende Menge

A(α, β) := {y ∈ C([−T, α], IR n ) : y 0 = 0; y t ∈ B(0, β); t ∈ [0, α]}

und beweisen das eher technische

Lemma 2.4 Sei Ω ⊂ IR × C und f 0 ∈ C(Ω, IR n ). Dann gilt: ∀W ⊂ Ω kompakt ∃ Umgebung V ⊂ Ω von W mit f 0 ∈ C ⁰ (V, IR n ). Außerdem gibt es α, β, M > 0 und eine Umgebung U ⊂ C ⁰ (V, IR n ) von f 0 mit

∀(σ, φ) ∈ V, f ∈ U : |f (σ, φ)| < M.

Ferner gilt ∀(σ 0 , φ 0 ) ∈ W, t ∈ [0, α], y ∈ A(α, β) : (s + σ 0 , ( ˜ φ σ 0 +s ) 0 + (y s ) 0 ) ∈ V .

Beweis:

Da W kompakt und f 0 stetig ist, folgt ∃M ∈ IR∀(σ 0 , φ 0 ) ∈ W : |f 0 (σ 0 , φ 0 )| < M, denn stetige Funktionen auf Kompakta besitzen Maximum und Minimum. Des

weiteren gilt: ∀(σ 0 , φ 0 ) ∈ W ∃¯ α, ¯ β, > 0 mit der Eigenschaft ∀ (t, ψ) ∈ [0, ¯ α] ×

8

B(0, ¯ β)|f 0 (σ 0 + t, φ 0 + ψ)| < M − . Denn angenommen, das Gegenteil w¨ are der Fall: ∀¯ α, ¯ α] × B(0, ¯ β, > 0 ∃(t, ψ) ∈ [0, ¯ β), (σ 0 , φ 0 ) ∈ W : |f 0 (σ 0 + t, φ 0 +

ψ)| ≥ M − . Dann gibt es Nullfolgen (t n ) n∈I N , ( n ) n∈I N , (ψ n ) n∈I N und eine Folge ((σ 0n , φ 0n )) n∈I N ⊂ W mit |f 0 (σ 0n + t n , φ 0n + ψ n )| ≥ M − n . Da W kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge (σ ⁰ⁿ i , φ ⁰ⁿ i ) −→ (ˆ σ, ˆ φ) ∈ W . F¨ ur diese Teilfolge

gilt offensichtlich auch obige Ungleichung |f 0 (σ ⁰ⁿ i + t n i , φ ⁰ⁿ i + ψ n i )| ≥ M − n i . uberdies f 0 stetig ist, folgt Da ¨

Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Annahme, denn (ˆ σ, ˆ φ) ∈ W . Setzt man α] × B(0, ¯ nun V := {(σ 0 + t, φ 0 + ψ) : (σ 0 , φ 0 ) ∈ W, (t, ψ) ∈ [0, ¯ U := {f ∈ C ⁰ (V, IR n ) : f − f 0 V < <}, dann ist f 0 ∈ C ⁰ (V, IR n ). Außerdem folgt f¨ ur alle (σ, φ) ∈

V > f − f 0 V = sup

Also ist f¨ ur alle (σ, φ) ∈ V : |f (σ, φ)| < < + |f 0 (σ, φ)| < < + M − = M.Es bleibt noch die zweite Aussage zu zeigen:

Sei 0 < β < ¯ β. Man zeigt, daß man α > 0 derart w¨ ahlen kann, daß α <

¯ φ σ 0 +t ) 0 − φ 0 < ¯ ( ˜

∀t ∈ [0, α], y ∈ A(α, β) wie folgt absch¨ atzen:

y t + ( ˜ φ σ 0 +t ) 0 − φ 0 < β + ¯ φ σ 0 +t ) 0 − φ 0 ≤ ≤y t + ( ˜ β − β.

Also ist y t + ( ˜ φ σ 0 +t ) 0 − φ 0 ∈ B(0, ¯ β) =⇒ (s + σ 0 , ( ˜ φ σ 0 +s ) 0 + (y s ) 0 ) ∈ V . Hierzu ben¨ utzt man, daß

W ⊂ IR × C ⊂ {(σ, φ) : σ : [−T, 0] → IR konstant, φ ∈ C([−T, 0], IR n )} ⊂ {γ : [−T, 0] −→ IR n+1 stetig}.

Somit l¨ aßt sich mit

(σ, φ) W := |σ| + φ und γ n+1 := sup

W in C([−T, 0], IR n+1 ) einbetten. Da nun W kompakt ist, folgt mit dem Satz von Arz´ ela-Ascoli

2. Existenz

Da nun definitionsgem¨ aß ( ˜ φ σ 0 +t ) 0 f¨ ur alle t ∈ [−T, ∞) entweder mit φ 0 ¨ ubereinstimmt,

oder gleich φ 0 (0) ist, folgt die gew¨ unschte Aussage aus

( ˜ φ σ 0 +t ) 0 − φ 0 =

sup Mit dem folgenden Lemma f¨ uhre ich den Operator T ein, dessen Fixpunkte L¨ osungen der Gleichung (2.4) darstellen.

Lemma 2.5 Sei Ω ⊂ IR × C offen und f 0 ∈ C(Ω, IR n ) gegeben. Dann ist f¨ ur alle kompakten W ⊂ Ω und die Umgebungen U, V , sowie der Konstanten α, β, M aus Lemma 2.4 der Operator

stetig, und es gibt ein kompaktes K ⊂ C([−T, α], IR n ) mit T : W ×U ×A(α, β) −→ K. Des weiteren gilt: Mα ≤ β =⇒ T : W × U × A(α, β) −→ A(α, β).

Beweis: 0

f (s + σ, ˜ φ σ+s + y s )ds gilt, ist offensichtlich Da T (σ, φ, f, y)(0) = 0 =

0

T : W × U × A(α, β) −→ C([−T, α], IR n ). Außerdem ist wegen f ∈ U ⊂ t

f (s + σ, ˜ C ⁰ (V, IR n ) die Abbildung t −→ φ σ+s + y s )ds stetig in t ∈ [0, α].

0

Seien nun t, τ ∈ [0, α] und oBdA t > τ

|T (σ, φ, f, y)(t) − T (σ, φ, f, y)(τ )|

t τ

=

=

und

|T (σ, φ, f, y)(t)| ≤ M |t| ≤ Mα.

Setzt man nun

10

dann folgt hieraus und aus der Definition von T , daß T : W ×U ×A(α, β) −→ K. Jetzt zeigt man, daß K kompakt ist. Dazu verwenden wir den Satz von Arz´ ela-Ascoli. Wir m¨ ussen also zeigen, daß K abgeschlossen, beschr¨ ankt und gleichstetig ist. Die Beschr¨ anktheit folgt direkt aus der Definition. Die Gleichstetigkeit ist f¨ ur den Fall t, τ ∈ [−T, 0] trivialerweise erf¨ ullt, f¨ ur t, τ ∈ [0, α] folgt sie aus der Definition von K. Sei also oBdA t ∈ [0, α] und τ ∈ [−T, 0], dann folgt aus

|g(t) − g(τ )

g ∈ C([−T, α], IR n ) von K, das Gew¨ unschte. Wir betrachten einen Ber¨ uhrpunkt ˆ

d.h. f¨ ur jedes > 0 gibt es ein g ∈ K mit sup t∈[−T,α] |ˆ g(t) − g(t)| < <. Also ist

∀t ∈ [−T, α] : |ˆ g(t)| − |g(t)| ≤ |ˆ g(t) − g(t)| ≤ sup

Hieraus folgt ∀t ∈ [−T, 0] : |ˆ g(t)| < |g(t)| + = =⇒ |ˆ g(t)| = 0. F¨ ur t ∈ [0, α] : |ˆ g(t)| < |g(t)| + ≤ Mα + =⇒ |ˆ g(t)| ≤ Mα. Und schließlich ∀t, τ ∈ [0, α] :

g(τ )| = |ˆ g(t) + g(t) + g(t) − g(τ ) + g(τ ) − ˆ |ˆ g(t) − ˆ

g ∈ K =⇒ K kompakt. =⇒ ˆ

Sei ((σ k , φ k , f k , y k )) k∈I N eine Folge aus W × U × A(α, β) und (σ k , φ k , f k , y k ) −→ (σ 0 , φ 0 , f 0 , y 0 ) ∈ W × U × A(α, β).

Nun ist aber die Folge (T (σ k , φ k , f k , y k )) k∈I N ⊂ K und somit existiert eine konvergente Teilfolge (T (σ k i , φ k i , f k i , y k i )) i∈I N mit T (σ k i , φ k i , f k i , y k i ) −→ γ ∈ K f¨ ur i → ∞. Gem¨ aß des Folgenkriteriums gilt f k (x n ) −→ f k (x 0 ) f¨ ur x n → x ⁰ gleichm¨ aßig f¨ ur k ∈ IN . Also erh¨ alt man

|f k (x k ) − f 0 (x 0 )| = |f k (x k ) − f k (x 0 ) + f k (x 0 ) − f 0 (x 0 )|

≤ |f k (x k ) − f k (x 0 )| + |f k (x 0 ) − f 0 (x 0 )| −→ 0, mit k → ∞.

Also gilt f¨ ur alle s ∈ [0, α]

f k (s + σ k , ( ˜ φ σ k +s ) k + (y s ) k ) −→ f 0 (s + σ 0 , ( ˜ φ σ 0 +s ) 0 + (y s ) 0 ), k → ∞.

Des weiteren gilt f¨ ur alle s ∈ [0, α], k ∈ IN : |f k (s + σ k , ( ˜

M . Nach dem Satz ¨ uber die majorisierte Konvergenz von Lebesgue kann man schließen

t

γ(t) = lim

=

=

2. Existenz

Also ist T (σ 0 , φ 0 , f 0 , y 0 ) = γ, und zwar unabh¨ angig von der Wahl der Teilfolge, d.h. jede konvergente Teilfolge konvergiert gegen γ. Da K kompakt ist, besitzt jede Teilfolge von (T (σ k , φ k , f k , y k )) k∈I N eine Teilfolge, die gegen γ konvergiert. Also konvergiert jede Teilfolge von (T (σ k , φ k , f k , y k )) k∈I N gegen γ. Also gilt: T (σ k , φ k , f k , y k ) −→ γ f¨ ur k → ∞. Hieraus fogt die Stetigkeit von T . Die letzte Aussage folgt, da aus Mα ≤ β offensichlich K ⊂ A(α, β) folgt. 2

3.Schritt:

Wir haben also bisher gezeigt, daß es unter den Bedingungen des Theorems eine Umgebung V ⊂ Ω von W gibt mit f 0 ∈ C ⁰ (V, IR n ), sowie eine Umgebung U ⊂ C ⁰ (V, IR n ) von f 0 und ein α > 0 derart, daß f¨ ur alle (σ, φ) ∈ W, f ∈ U der Operator T (σ, φ, f, ·) : A(α, β) −→ A(α, β) stetig ist. Mit der zur Abgeschlossenheit von K analogen Argumentation folgt: A(α, β) ist abgeschlossen. Betrachtet man beliebige x, y ∈ A(α, β), λ ∈ [0, 1], dann folgt f¨ ur alle t ∈ [0, α]

λx t + (1 − λ)y t ≤ λx t + (1 − λ)y t ≤ λβ + (1 − λ)β = β.

Also ist λx + (1 − λ)y ∈ A(α, β) und somit A(α, β) konvex. Nun ist f¨ ur Mα ≤ β:

T (W × U × A(α, β)) ⊂ K ⊂ W × U × A(α, β).

Da K kompakt ist, ist T (W ×U ×A(α, β)) relativ kompakt, und somit T kompakt (siehe hierzu auch Seite 23). Mit Theorem A.1 folgt die Existenz eines Fixpunktes y ∈ A(α, β) von T und zusammen mit den ¨ Uberlegungen unmittelbar vor dem

Existenztheorem die Behauptung. Da f 0 ∈ U , folgt aus W := {(σ 0 , φ 0 )} die erste 2 Aussage.

Theorem 2.2 (Eindeutigkeit) Sei Ω ⊂ IR × C offen und f ∈ C(Ω, IR n ) gegeben. f erf¨ ulle bzgl. des zweiten Arguments eine Lipschitzbedingung auf jeder kompakten Teilmenge von Ω. Dann gilt: ∀(σ, φ) ∈ Ω gibt es genau eine L¨ osung der Gleichung (2.1) durch (σ, φ).

Beweis:

Seien x und y L¨ osungen von (2.1) zur Anfangsbedingung (σ, φ). Dann folgt aus Lemma 2.2 einerseits x σ − y σ = 0, andererseits f¨ ur t ∈ [σ, σ + α]

t t

12

Gem¨ aß Lemma 2.2 ist t → x t stetig. D.h. es gibt eine kompakte Teilmenge W ⊂ Ω mit {(t, x t ) : t ∈ [σ, σ + α]} ⊂ W und {(t, y t ) : t ∈ [σ, σ + α]} ⊂ W . Ist α ∈ (0, α) derart, daß 0 < L¯ α < 1, L die Lipschitzkonstante von f auf W , und ¯ dann ist f¨ ur alle t ∈ [σ, σ + ¯ α] t t

|x(t) − y(t)| = t ≤

t≤σ+¯ α

≤ ¯ αL sup

= ¯ αL

sup Hieraus folgt

t∈[σ,σ+¯ α]

Also ist |x(t) − y(t)| = 0. Analog argumentiert man f¨ ur die Intervalle α, σ + (k + 1)¯ α], k ≥ 1 bis gilt (k + 1)¯ α ≥ α. 2 [σ + k ¯

13

2. Existenz

2.1.2. Existenz und Eindeutigkeit von L¨ osungen

Wir beantworten jetzt die Frage, ob konkret (1.1) L¨ osungen unter einer bestimmten Anfangsbedingung besitzt. Genauer setzen wir σ = 0 und fragen nach L¨ osungen durch

x 0 = φ (2.6)

auf einem Existenzintervall [−T, α]. F¨ ur die Existenz reicht es gem¨ aß dem vorherigen Abschnitt, zu zeigen, daß f stetig ist auf einer offenen Menge Ω ⊂ IR × C, und daß (0, φ) ∈ Ω ist. Die Eindeutigkeit einer solchen L¨ osung ist gegeben, wenn f außerdem auf jeder kompakten Teilmenge von Ω einer Lipschitzbedingung in φ gen¨ ugt.

Betrachtet wird nun (1.1), also ein f : IR × C −→ IR mit

f (t, φ) := b(t)φ(−T )[1 − φ(0)] − cφ(0). (2.7)

Hierbei ist b : [0, ∞) −→ IR ⁺ eine stetige, positive, periodische Funktion mit der minimalen Periode ω. Es gibt also ein ˆ b > 0 mit der Eigenschaft, daß ∀t ∈ [0, ∞) : |b(t)| ≤ ˆ b ist. Sei ¨ uberdies B(0, r) := {φ ∈ C : φ < r}. Dann gilt f¨ ur φ, ψ ∈ B(0, r)

|f (t, φ) − f (t, ψ)|

= |b(t)φ(−T )[1 − φ(0)] − cφ(0) − (b(t)ψ(−T )[1 − ψ(0)] − cψ(0))| ≤ |b(t)| |φ(−T ) − ψ(−T )| + |b(t)| |φ(−T )φ(0) − ψ(−T )ψ(0)| + c|ψ(0) − φ(0)| ≤ ( ˆ b + c)φ − ψ + ˆ b|φ(−T )φ(0) − φ(−T )ψ(0) + φ(−T )ψ(0) − ψ(−T )ψ(0)| ≤ ( ˆ b + c)φ − ψ + ˆ b(|φ(−T ) + ψ(0)|)φ − ψ < ( ˆ b + c + 2 ˆ br)φ − ψ = Kφ − ψ.

Also erf¨ ullt f auf einer offenen Teilmenge von IR × C eine Lipschitzbedingung mit der Konstanten K.

Definition 2.6 Sei f in Gleichung (2.1) stetig und x eine L¨ osung von (2.1) auf dem Intervall [σ, a), a > 0. ˆ

x auf [σ − T, b) definiert ist, auf [σ − T, a) mit x ¨ derart, daß ˆ

auf [σ, b) Gleichung (2.1) l¨ ost. Des weiteren gibt es eine Fortsetzung der L¨ osung x, wenn sich x stetig auf das abgeschlossene Intervall [σ, a] fortsetzen l¨ aßt. x heißt nichtfortsetzbar, wenn keine solche Fortsetzung existiert. [σ, a) ist dann das maximale Existenzintervall.

Analog zu den gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen folgt aus dem Zornschen Lemma, angewendet auf die Menge der Graphen aller L¨ osungen durch φ, die

14

Existenz einer solchen nichtfortsetzbaren L¨ osung, sowie die Tatsache, daß das maximale Existenzintervall (halb-)offen sein muß.

Lemma 2.6 Betrachte das AWP (1.1)-(2.6) und sei ∀t ∈ [−T, 0] : 0 ≤ φ(t) ≤ 1. Dann gilt f¨ ur alle t aus dem Existenzintervall: 0 ≤ y(t) ≤ 1. Konkret gelten folgende Resultate, wobei w ∈ (0, ∞] das Supremum des maximalen Existenzintervalls bezeichne:

a) c > 0 und φ(0) ≤ 1 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) ≤ 1 und ∀t ∈ (0, w) : y(t) < 1.

b) c > 0 und φ(t) ≥ 0 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) ≥ 0. Gilt außerdem φ(0) > 0 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) > 0.

c) c = 0 und φ(0) ≤ 1 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) ≤ 1. Gilt außerdem φ(0) < 1 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) < 1 und y (t) ≥ 0.

d) c = 0 und 0 ≤ φ(t) ≤ 1 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) ≤ 1. Gilt außerdem φ(0) < 1 =⇒ ∀t ∈ [0, w) : y(t) < 1 und y (t) ≥ 0.

Beweis:

Sei y(t) = y(0, φ)(t) die L¨ osung von (1.1) zu der Anfangsbedingung φ. Es sei ∀t ∈ [−T, 0] : 0 ≤ φ(t) ≤ 1. Die Existenz einer solchen L¨ osung auf dem Existenzintervall [0, w) wurde oben bewiesen.

Zu a): Es gilt c > 0, φ(0) ≤ 1. Als erstes zeigen wir: ∃ > 0 ∀t ∈ (0, ,) : y(t) < 1. Denn f¨ ur den Fall φ(0) < 1 gilt dies aufgrund der Stetigkeit von y sicher; im Falle φ(0) = 1 folgt:

und somit die Existenz eines solchen .

Sei U := {t ∈ (0, w) : y(t) = 1}. Wir nehmen an, daß U = ∅ ist. Wir setzen S := inf U . Aus der Definition von S erh¨ alt man: ∀t ∈ (0, S) : y(t) < y(S) = 1. Nun gilt jedoch y (S) = −cy(S) = −c < 0, was aufgrund der Stetigkeit von y an der Stelle t = S nicht m¨ oglich ist. Also ist U = ∅. Zu b): Sei c > 0 und ∀θ ∈ [−T, 0] : φ(θ) ≥ 0. Angenommen, es gibt s > 0 mit y(s) < 0, dann gilt f¨ ur S := inf{s ∈ (0, w) : y(s) < 0}:

Hieraus folgt die Existenz eines > 0, sodaß f¨ ur alle t ∈ (S − , S) gilt: y(t) < y(S) < 0, und dies ist ein Widerspruch zur Definition von S. Also gilt: ∀t ∈

15

2. Existenz

[0, w) : y(t) ≥ 0.

Sei nun noch zus¨ atzlich φ(0) > 0. Wir betrachten ein Intervall [a, b] ⊂ [0, w). Wegen a) gilt: ∀t ∈ [a, b] : y(t) ≤ 1 =⇒ ∀t ∈ [a, b] : y (t) ≥ −cy(t) =⇒ ∀t ∈ [a, b] : y (t)

y(t) ≥ −

Φ ist auf ganz [0, w), also auch auf dem Intervall [a, b] stetig differenzierbar, denn y ist L¨ osung von (1.1). Es gilt also ∀t ∈ [a, b]:

Das heißt also f¨ ur alle t ∈ [a, b] ist e ct y(t) ≥ e ca y(a) und somit y(t) ≥ e −ct e ca y(a). Wenn nun y(a) > 0 erf¨ ullt ist, folgt offensichtlich: ∀t ∈ [a, b] : y(t) > 0. Da dies f¨ ur beliebige Intervalle in IR + 0 gilt, gilt es auch f¨ ur a = 0. F¨ ur jedes dieser

Intervalle, f¨ ur dessen Endpunkt b > 0 gilt, gibt es wieder ein Intervall [b, c] mit y(t) > y(b) > 0 ∀t ∈ [b, c] usw. Somit folgt: φ(0) > 0 =⇒ y(t) > 0 f¨ ur t ∈ [0, w). Es bleibt noch der Fall c = 0. Zun¨ achst c):

Wir betrachten die Gleichung y (t) = b(t)y(t − T )[1 − y(t)]. Offensichtlich sind y ≡ 0 und y ≡ 1 station¨ are L¨ osungen. Sei nun y(0) = φ(0) = 1. Die Funktion, die f¨ ur t ∈ [0, w) gleich 1 ist, und f¨ ur t ∈ [−T, 0] mit φ ¨ ubereinstimmt, ist eine

L¨ osung von obiger Gleichung zur Anfangsbedingung y 0 = φ. Sei nun φ(0) < 1. Wegen der Stetigkeit von y gilt: ∃s > 0 ∀t ∈ [0, s) : y(t) < 1. Angenommen, {t ∈ [0, w) : y(t) ≥ 1} = ∅, dann gibt es ein gr¨ oßtes s, das letzteres erf¨ ullt. Wir definieren also S := sup{s ∈ [0, w) : y(t) < 1 f¨ ur t ∈ [0, s)} < ∞. Somit muß y(S) = 1 gelten, denn sonst g¨ abe es ein t > S mit y(t) < 1, im Widerspruch zur Definition von S. Andererseits gilt f¨ ur t ∈ [0, S) :

y (t) + y(t)b(t)y(t − T ) = b(t)y(t)

t t

=⇒ y (t) exp

=⇒

=⇒

=⇒ y(t) exp

=⇒ y(t) = 1 − (1 − φ(0)) exp

16

Aufgrund der Stetigkeit von y und der rechten Seite existiert der Grenzwert von obigem Integral f¨ ur t −→ S und ist gleich y(S):

S

y(S) = lim

Widerspruch zu oben. Also gilt ∀t ∈ [0, w) : y(t) < 1. Außerdem folgt aus y(t) ≤ 1 und der Gleichung (1.1) sofort y (t) ≥ 0. Schließlich beweisen wir noch d):

Wegen c) ist y(t) ≤ 1 f¨ ur t ≥ 0, also auch f¨ ur t ∈ [0, T ]. Da nach Voraussetzung φ ≥ 0 ist, folgt nach Einsetzen in die aus (1.1) entstandene Gleichung:

=⇒ ∀t ∈ [0, T ] : 1 ≥ y(t) ≥ y(0) ≥ 0. Eine Induktion liefert dies f¨ ur alle t ∈ [−T, w). Betrachte ein Intervall der L¨ ange T , n¨ amlich [nT, (n + 1)T ]. F¨ ur n = 1 wurde bereits gezeigt, daß ∀t ∈ [0, T ] : 1 ≥ y(t) ≥ 0. Sei dies schon f¨ ur ein Intervall [(n − 1)T, nT ] bewiesen. Dann folgt f¨ ur ein t ∈ [nT, (n + 1)T ] aufgrund von c) und der Induktionsvoraussetzung:

und somit: ∀t ∈ [nT, (n + 1)T ] : y(t) ≥ y(nT ) ≥ 0. 2

Eine L¨ osung y des Anfangswertproblems (1.1)-(2.6), deren Anfangsbedingung 0 ≤ φ(t) ≤ 1, ∀t ∈ [−T, 0] erf¨ ullt, erf¨ ullt 0 ≤ y(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, w). Dies wird bei der folgenden Frage nach der Existenz von L¨ osungen auf dem Intervall [−T, ∞) von Bedeutung sein.

Theorem 2.3 Sei Ω wie oben und f ∈ C(Ω, IR n ). Es sei x eine nichtfortsetzbare L¨ osung von (2.1) auf [σ − T, b). Dann gibt es f¨ ur jede kompakte Menge W in Ω ein t W derart, daß ∀t ∈ [t W , b) : (t, x t ) ∈ W .

Beweis:

Sei T > 0, und b < ∞, denn der Fall b = ∞ ist trivial. Wir nehmen an, die Schlußfolgerung des Theorems sei falsch. Dann gilt: ∀t W ≥ σ ∃t ∈ [t W , b) : (t, x t ) ∈ W . Man findet also eine Folge (t k ) k∈I N derart, daß

2. Existenz

Da W kompakt ist, gibt es ein ψ ∈ C mit (t k , x t k ) −→ (b, ψ) ∈ W . F¨ ur ein beliebiges ∈ (0, T ) folgt hieraus

0 ≤ sup

Da f¨ ur alle t ≥ σ gilt x t (θ) = x(t + θ), −T ≤ θ ≤ 0, folgt aus der Stetigkeit von x auf [σ, b) f¨ ur alle θ ∈ [−T, 0)

Da ψ ∈ C ist, existiert der lim θ→0− ψ(θ) und ist gleich ψ(0). Hieraus folgt

lim x(t) = lim x(b + θ) = lim ψ(θ) = ψ(0) = x b (0).

t→b− θ→0− θ→0−

D.h. mit x(b) := ψ(0) kann x zu einer stetigen Funktion auf [σ − T, b] fortgesetzt werden. Da (b, x b ) ∈ Ω ist, kann man gem¨ aß Theorem 2.1 eine L¨ osung von

(2.1) durch (b, x b ) finden. Es gibt also eine Fortsetzung ˆ x gem¨ aß Definition 2.6, Widerspruch zur Voraussetzung.

Eine Anwendung dieses Resultats ist das folgende Theorem, das zwar st¨ arkere Bedingungen an f stellt, jedoch auf Kompaktheitsbedingungen verzichtet.

Theorem 2.4 Sei Ω wie oben und f ∈ C(Ω, IR n ). f bilde abgeschlossene, beschr¨ ankte Teilmengen von Ω auf beschr¨ ankte Mengen in IR n ab. Es sei x eine nichtfortsetzbare L¨ osung von (2.1) auf [σ−T, b). Dann gibt es f¨ ur jede abgeschlossene, beschr¨ ankte Menge U in Ω ein t U derart, daß ∀t ∈ [t U , b) : (t, x t ) ∈ U .

Beweis:

Sei T > 0, und b < ∞. Wir nehmen erneut an, das Theorem sei falsch. Dann gilt: ∀t U ≥ σ ∃t ∈ [t U , b) : (t, x t ) ∈ U . Man findet also wie oben eine Folge (t k ) k∈I N derart, daß

t k −→ b − mit k −→ ∞ , und ∀k ∈ IN : (t k , x t k ) ∈ U.

Da U beschr¨ ankt ist, gibt es ein m ∈ IR + 0 ∀k ∈ IN : x t k ≤ m. Weil x

auf [σ − T, b) stetig ist, ist x auf [σ − T, b) beschr¨ ankt. Also gibt es f¨ ur alle t ∈ [σ, b) ein m ∗ > 0 mit der Eigenschaft x t ≤ m ∗ . Betrachte nun die Menge V := {(t, x t ) ∈ Ω : σ ≤ t < b}. Wegen der Voraussetzungen an f gibt es ein M = M (m ∗ , f) ≥ 0, so daß f¨ ur alle (τ, φ) ∈ ¯ V gilt |f (τ, φ)| ≤ M . Also ist f¨ ur alle t, τ ∈ [σ, b)

t τ

|x(t) − x(τ )| =

18

Also erf¨ ullt x eine Lipschitzbedingung auf [σ, b), ist also insbesondere gleichm¨ aßig stetig. Da stetige Funktionen auf Kompakta, hier [σ − T, σ], gleichm¨ aßig stetig sind, ist x gleichm¨ aßig stetig auf [σ − T, b). F¨ ur ein vorgegebenes > 0 und θ 1 , θ ² derart, daß |t + θ 1 − (t + θ 2 )| = |θ 1 − θ 2 | < δ, t ≥ σ beliebig, gilt

|x t (θ 1 ) − x t (θ 2 )| = |x(t + θ 1 ) − x(t + θ 2 )| < <.

Somit ist die Familie ¯ V

gleichstetig und definitionsgem¨ aß abgeschlossen und beschr¨ ankt. Nach Arz´ ela-Ascoli ist ¯ ge; nach Theorem 2.3 muß es t ∈ [σ, b) geben mit (t, x t ) ∈ V . Widerspruch zur 2 Definition von V .

Wendet man diese Erkenntnisse auf unsere konkrete Situation an, erh¨ alt man

Theorem 2.5 Die Gleichung (1.1) hat auf dem Intervall [−T, ∞) eine eindeutige L¨ osung durch φ ∈ C mit 0 ≤ φ(t) ≤ 1 f¨ ur t ∈ [−T, 0].

Beweis:

Betrachtet man eine Menge B(0, r) = {φ ∈ C : φ ≤ r} und ein φ ∈ B(0, r), dann folgt aus

|f (t, φ)| = |b(t)φ(−T )[1 − φ(0)] − cφ(0)| ≤ |b(t)| |φ(−T )|(1 + |φ(0)|) + c|φ(0)| ≤ |b(t)||φ(1 + φ) + cφ < ˆ br + ˆ br ² + cr < ∞,

daß f die Bedigungen des Theorems erf¨ ullt. Nehmen wir nun an, daß es keine L¨ osung auf dem Intervall [0, ∞) von (1.1) gibt und betrachten das maximale Existenzintervall [0, w). Sei U := {(t, y t ) ∈ Ω : 0 ≤ y t (θ) ≤ 1 ∀θ ∈ [−T, 0]}, dann ist U ⊂ Ω sicher beschr¨ ankt und abgeschlossen. Dann gibt es gem¨ aß Theorem 2.4 ein t U ∀t ≥ t U : (t, x t ) ∈ U . Also ist f¨ ur alle t ≥ t U − T : x(t) < 0 oder x(t) > 1. 2 Widerspruch zu Lemma 2.6.

Also hat (1.1) eindeutige L¨ osungen auf [−T, ∞) durch einen entsprechenden Anfangswert φ, und f¨ ur diese L¨ osungen gilt 0 ≤ y(t) ≤ 1, ∀t ≥ 0, falls 0 ≤ φ(t) ≤ 1, ∀t ∈ [−T, 0] gilt.

19

2. Existenz

2.1.3. Spezialfall f¨ ur c = 0

Bevor ich nun auf die Existenz periodischer L¨ osungen des AWPs (1.1)-(2.6) eingehe, betrachten wir noch den Spezialfall c = 0. D.h. also die Heilungsrate ist null; wenn eine Person infiziert ist, bleibt sie es auch. Wie in Kapitel 1.2 beschrieben, geht der Anteil der Infizierten im Falle einer konstanten Kontaktrate f¨ ur c = 0 gegen 1, die ganze Bev¨ olkerung steckt sich auf lange Sicht an. Diese Entwicklung ist f¨ ur eine konstante Kontaktrate biologisch nicht allzu erstaunlich. Wie verh¨ alt sich y nun f¨ ur eine periodische Kontaktrate, bei fehlender Heilungsrate? Das folgende Theorem beantwortet diese Frage. Vorab sei erw¨ ahnt, daß die so entstandene rechte Seite von (1.1)

f (t, φ) = b(t)φ(−T )[1 − φ(0)]

den Bedingungen von Theorem 2.1 und Theorem 2.2 gen¨ ugt. Denn aus den ¨ Uberlegungen auf Seite 14 folgt die lokale Lipschitzbedingung in φ ∈ B(0, r) durch Spezialisierung auf den Fall c = 0. Und aus

|f (t, φ)| = |b(t)φ(−T )[1 − φ(0)]| ≤ ˆ bφ(1 + φ) < ˆ br + ˆ br ² < ∞

folgt zusammen mit Lemma 2.6c) und d) und Theorem 2.4 die L¨ osbarkeit auf dem Existenzintervall [−T, ∞) (siehe dazu Theorem 2.5). Somit kann das folgende Resultat f¨ ur fehlende Heilungsrate c bewiesen werden.

Theorem 2.6 Sei y auf [−T, ∞) L¨ osung des Anfangswertproblem

y (t) = b(t)y(t − T )[1 − y(t)], y 0 = φ (∗),

wobei b wie auf Seite 14 definiert sei. Weiterhin sei ∀t ∈ [−T, 0] : φ(t) ≥ 0, φ(0) ≤ 1. Dann gilt:

a) ∀t ≥ 0 : y(t) = 0 ⇐⇒ ∀t ∈ [0, T ] : b(t)φ(t − T ) = 0 und φ(0) = 0.

b) φ(0) = 1 =⇒ ∀t ≥ 0 : y(t) = 1.

c) φ(0) < 1 und es gilt entweder φ(0) = 0 oder ∀t ∈ [0, T ] : b(t)φ(t − T ) = 0 =⇒ y(t) ist monoton steigend und lim t→∞ y(t) = 1.

Beweis:

Als erstes zeigen wir a):

“ =⇒ ”: Sei y(t) = 0 f¨ ur t ≥ 0. Da 0 station¨ arer Punkt ist, gilt y (t) = 0 f¨ ur t ≥ 0, und somit auch y (t) = 0 f¨ ur t ∈ [0, T ] =⇒ b(t)φ(t − T ) = 0 f¨ ur t ∈ [0, T ].

20

“⇐=”: Sei φ(0) = 0 und φ(t − T ) = 0 f¨ ur t ∈ [0, T ]. Nach Einsetzen in die rechte Seite erh¨ alt man y (t) = 0 f¨ ur t ∈ [0, T ] und somit y(t) = 0 f¨ ur t ∈ [0, T ]. Wir betrachten nun (∗) mit der Anfangsbedingung y T ≡ 0. Aufgrund der Eindeutigkeit folgt, daß y identisch null ist f¨ ur t ≥ T , und somit: ∀t ≥ 0 : y(t) = 0 Nun zu b): Aus y(0) = 1 folgt nach Lemma 2.6c) y(t) ≤ 1 f¨ ur t ≥ 0. In (∗) eingesetzt, folgt ∀t ≥ 0

=⇒ y(t) = 1 f¨ ur t ≥ 0.

Es bleibt noch c) zu beweisen:

Die Monotonie folgt direkt aus (∗) und Lemma 1.1 (siehe (2.8)). Also bleibt nur noch das asymptotische Verhalten zu zeigen.

1.Fall: Sei φ(0) < 1 und b(t)φ(t − T ) = 0 f¨ ur t ∈ [0, T ] =⇒ ∃t ∗ ∈ [0, T ] : b(t ∗ )φ(t ∗ − T ) > 0. F¨ ur ein solches t ∗ ist y (t ∗ ) = 0, f¨ ur y(t ∗ ) = 1, oder y (t ∗ ) > 0. Im ersten Fall sind wir fertig, da y (t) ≥ 0. Sei nun y (t ∗ ) > 0. Aufgrund der Stetigkeit von y gibt es eine Umgebung U von t ∗ in der gilt: y (t) > 0. Also ist ∀t ∈ U, t < t ∗ : 0 ≤ y(t) < y(t ∗ ). Außerdem gibt es wegen der Monotonie und der Beschr¨ anktheit von y ein B ∈ (0, 1] : lim t→∞ y(t) = B. Wir zeigen nun, daß B = 1:

Angenommen dies ist nicht der Fall. Dann folgt ∀t ≥ t ∗ + T

t t

y(t) = y(t ∗ + T ) +

≥

≥ y(t ∗ )

Da f¨ ur t ∗ + T ≤ s ≤ t : b(s) > 0 ist, folgt lim t→∞

y(t) −→ ∞ mit t −→ ∞. Widerspruch zu Lemma 2.6.

2.Fall: Sei nun φ(0) < 1 und φ(0) = 0 =⇒ φ(0) > 0 =⇒ ∀t ≥ T folgt

t t

y(t) = y(T ) +

2. Existenz

22

2.2. Ergebnisse aus der Funktionalanalysis

Bevor wir uns der Frage widmen, ob es periodische L¨ osungen f¨ ur (1.1)-(2.6) gibt, m¨ ussen einige Resultate aus der Funktionalanalysis, speziell ¨ uber kompakte Ope-ratoren in Banachr¨ aumen besprochen werden. Diese werden das Auffinden periodischer L¨ osungen wesentlich vereinfachen. Besondere Bedeutung kommt hierbei einem bekannten Theorem von Krein-Rutmann zu, das aussagt, daß ein auf einem Kegel in einem Banachraum kompakter Operator einen Eigenwert auf dem Spektralkreis hat. Im Anschluß werden einige Fixpunkts¨ atze kompakter Operatoren behandelt, die wir im weiteren Verlauf dieser Arbeit ben¨ otigen. Zun¨ achst aber einige vorbereitende Definitionen und ¨ Uberlegungen. Wird nicht ausdr¨ ucklich etwas anderes behauptet, handelt sich im folgenden stets um reelle Banachr¨ aume.

2.2.1. Kompakte Operatoren in Banachr¨ aumen

Definition 2.7 Im folgenden seien X, Y Banachr¨ aume und T : X −→ Y stetig. Dann heißt T kompakt, wenn T jede beschr¨ ankte Teilmenge von X auf eine relativ kompakte Teilmenge in Y abbildet.

Folgerungen:

a) Sei T : X −→ Y stetig. Dann gilt: T kompakt ⇐⇒ f¨ ur jede beschr¨ ankte Folge (x n ) ⊂ X enth¨ alt (T x n ) eine konvergente Teilfolge.

b) Sei S ein kompakter Operator, und T sei ein beschr¨ ankter, stetiger Opera-tor. Dann ist auch S◦T kompakt. F¨ ur lineare Operatoren gilt insbesondere: Sei Z ein weiterer Banachraum, T ∈ L(X, Y ) und S ∈ L(Y, Z). Dann ist S ◦ T schon kompakt, wenn T oder S kompakt ist.

Diese einfachen Folgerungen werden wir an einigen Stellen w¨ ahrend dieser Arbeit ben¨ otigen. Nun wenden wir uns der Spektraltheorie kompakter Operatoren zu:

uber C und L ∈ L(X) = L(X, X). Dann Definition 2.8 Sei X ein Banachraum ¨ heißt

a) ρ(L) = {λ ∈ C : (λ − L) −1 existiert in L(X)} die Resolventenmenge von L

23

2. Existenz

b) σ(L) = C\ρ(L) das Spektrum von L.

F¨ ur reelle Banachr¨ aume gelten die entsprechenden Bezeichnungen. Man definiert noch folgende Teilmengen des Spektrums:

F¨ ur kompakte L gilt σ p (L) = σ(L) = σ(L ), wobei L der adjungierte Operator zu L ist (siehe hierzu [8], Korollar VII.4.2). Schließlich definieren wir noch den Spektralradius eines L ∈ L(X).

Definition 2.9 r(L) := sup{|λ| : λ ∈ σ(L)} heißt Spektralradius von L ∈ L(X). ^{1 1} n .

2.2.2. Kegel in Banachr¨ aumen

Definition 2.10 Sei X ein reeller Banachraum. K ⊂ X heißt Kegel, wenn K abgeschlossen ist, es ein 0 = x ∈ K gibt, und folgende Bedingungen erf¨ ullt sind

a) x, y ∈ K, α, β ≥ 0 =⇒ αx + βy ∈ K

b) 0 = x ∈ K =⇒ −x ∈ K.

In einem Banachraum X mit einem Kegel K wird durch die Relation x ≤ y : ⇐⇒ y −x ∈ K, x, y ∈ K eine teilweise Ordnung eingef¨ uhrt. Man schreibt x < y, wenn gilt: y − x ∈ Int K. Hiermit lassen sich die folgende Definition und die anschließenden Lemmata formulieren.

Definition 2.11 Sei X ein reeller Banachraum, K ⊂ X ein Kegel mit IntK = ∅. Dann heißt ein stetiger Operator L : X −→ X

a) positiv, wenn L(K) ⊂ K gilt.

b) streng positiv, wenn L positiv ist und es f¨ ur alle 0 = x ∈ K ein n ∈ IN gibt mit L n x ∈ Int K.

c) strikt positiv, wenn L positiv ist und aus x > 0 folgt: Lx > 0.

24

Nach diesen ersten Definitionen k¨ onnen wir nun folgende ¨ außerst n¨ utzliche Lemmata beweisen, die auf [17] zur¨ uckgehen.

Lemma 2.7 Sei X ein Banachraum, K ein Kegel in X. F¨ ur ein u ∈ K und ein x ∈ X gebe es ein τ ∈ IR : x ≤ τ u.Dann existiert ein t ∈ IR mit t = min{τ ∈ IR : x ≤ τ u, x ∈ X, u ∈ K}.

Beweis:

Sei G := {τ ∈ IR : x ≤ τ u, x ∈ X, u ∈ K}. Nach Voraussetzung ist G = ∅. Wir nehmen nun an, daß G nach unten unbeschr¨ ankt ist. Dann gibt es eine Folge t n ∈ G, n ∈ IN mit t n → −∞. Wir setzen z tn = t n u − x ∈ K. Da G keine untere Schranke besitzt und wegen der Eigenschaften eines Kegels, genauer der Abgeschlossenheit und der Eigenschaft aus Definition 2.10a), gilt dann

Widerspruch zu u ∈ K (siehe Definition 2.10b)). Also hat G ein Infimum t und es gilt

∀ > 0 ∃τ ∈ G mit t ≤ τ < t + .

Sei nun > 0 beliebig. Dann folgt f¨ ur ein solches τ aus x ≤ τ u offensichtlich x ≤ (t + )u, also t u + u − x ∈ K. L¨ aßt man nun gegen 0 konvergieren, folgt aus der Abgeschlossenheit von K: t u − x ∈ K. Hieraus folgt inf G ∈ G und 2 damit das Gew¨ unschte.

Eine direkte Folgerung aus obigem Lemma ist das folgende

Lemma 2.8 Sei x ∈ K, y ∈ K \ {0}. Es gebe ein τ > 0 : x ≥ τ y.Dann existiert ein t ∈ IR mit t = max{τ ∈ IR ⁺ : x ≥ τ y, x ∈ K, y ∈ K \ {0}}.

Beweis:

Sei τ > 0 und τ y ≤ x. Dann ist

Gem¨ aß Lemma 2.7 gibt es ein l = min{γ ∈ IR : y ≤ γx}. Offensichtlich ist l > 0, denn w¨ are l = 0, w¨ urde −y ∈ K folgen. F¨ ur den Fall l < 0 w¨ are mit x auch |l|x ∈ K und somit

2. Existenz

was ein Widerspruch zu y ∈ K ist. Mit ˜

t mit ty ≤ x, dann w¨ urde die Existenz eines ˜ l < l mit Angenommen es g¨ abe t > ˜

y ≤ ˜ lx folgen; im Widerspruch zur Definition von t.

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit ist unter einem “gr¨ oßten” bzw. “maximalen” Element in IR bez¨ uglich u ∈ K und x ∈ X stets das Maximum im Sinne von Lemma 2.8 zu verstehen.

26

2.2.3. Spezielle Eigenschaften kompakter Operatoren in

Banachr¨ aumen

An dieser Stelle beweise ich drei Theoreme ¨ uber kompakte Operatoren in Ba-

nachr¨ aumen, die sp¨ ater im Beweis des Hauptresultats dieses Kapitels ben¨ otigt werden. Die ersten beiden wurden als erstes von Krein-Rutmann [18] bewiesen und behandeln die Existenz eines Eigenwertes bestimmter Operatoren auf deren Spektralradius. Schließlich zeige ich noch ein Resultat ¨ uber monoton steigende, kompakte Operatoren.

Theorem 2.7 (Krein-Rutmann) Sei X ein reeller Banachraum, K ein Kegel in X und L ein linearer, kompakter Operator; L sei positiv, d.h. L(K) ⊂ K. Außerdem gebe es ein y ∈ K und ein α > 0 derart, daß Ly ≥ αy. Dann hat L mindestens einen Eigenvektor x ∈ K zu einem Eigenwert λ ≥ α.

Beweis:

Betrachtet wird die Menge T := K ∩ {x ∈ X : x ≤ 1}. Zu einem festen v ∈ K mit v > y definieren wir die Abbildung L n durch

Diese ist wohldefiniert, da wegen x ∈ K und v > y ∈ K gilt: L(x + v ) = 0.

n

Offensichtlich gilt L n : T −→ T , denn

i) Zun¨ achst zeige ich, daß f¨ ur alle n ∈ IN der Operator L n einen Fixpunkt hat. Als Durchschnitt zweier konvexer Menge ist T konvex. Da L linear ist, gilt weiterhin

Wegen der Kompaktheit von L kann man f¨ ur jede beschr¨ ankte Folge (x k ) k∈I N in T aus (Lx k ) k∈I N und somit auch aus (L n x k ) k∈I N eine konvergente Teilfolge

27

2. Existenz

ausw¨ ahlen. F¨ ur x, z ∈ T und x − z < < gilt weiterhin

L n x − L n z =

Also ist L n stetig. Da T abgeschlossen ist, folgt aus dem Schauderschen Fixpunktsatz (Theorem A.1): ∀n ∈ IN ∃x n ∈ T : L n x n = x n . ii) F¨ ur ein solches x n gilt dann aufgrund der Definition von L n : x n = 1, und

Wieder aufgrund der Linearit¨ at von L folgt Lx n + L v und L v

Wegen L(K) ⊂ K folgt f¨ ur x, z ∈ K mit x ≥ z:

x − z ∈ K =⇒ L(x − z) = Lx − Lz ∈ K =⇒ Lx ≥ Lz

Also folgt aus den Voraussetzungen und der Definition von v

Gem¨ aß Lemma 2.8 gibt es ein maximales β n mit x n ≥ β n y. Mit der oben gezeigten Monotonie von L in K folgt dann

Wegen der Maximalit¨ at von β n gilt:

28

Wie oben gesehen ist f¨ ur alle n ∈ IN :

Betrachtet man die wegen x n = 1 beschr¨ ankte Folge (x n ) n∈I N , dann ist die Folge (x n + v

ist, gibt es eine konvergente Teilfolge

L(x n i +

Da ja ( v

folgt wiederum L(x n i + v

folgt das Gew¨ unschte, denn wie aus obiger Ungleichung (2.11) leicht ersichtlich ist, gilt λ ≥ α. 2

Bemerkung:

Man kann auch zeigen, daß aus der Existenz eines p ∈ IN mit L p y ≥ αy die

¹ Existenz eines Eigenwertes λ ≥ α p folgt. Dies beweise ich separat, da es ausschließlich f¨ ur den Beweis des folgenden Theorems ben¨ otigt wird, im weiteren Verlauf der Arbeit jedoch nur der Fall p = 1 von Bedeutung ist. Beweis:

Wie wir oben gesehen haben, hat f¨ ur jedes n ∈ IN L n einen Fixpunkt x n , f¨ ur den sowohl x n ≥ ¹ Lx n als auch x n ≥ ¹ Lv gilt. Wegen der Monotonieeigenschaft

λn nλn

von L folgt aus

mit vollst¨ andiger Induktion, daß x n ≥

x n ≥

=

Mit Lemma 2.8 folgt wieder die Existenz eines maximalen β n mit x n ≥ β n y und somit

2. Existenz

Aus der Definition von β n folgt β n ≤ α

Rest folgt analog zum obigen Fall p = 1.

Theorem 2.8 (Krein-Rutmann) Sei X ein reeller Banachraum, K ein Kegel in X mit Int K = ∅ und L ein linearer, kompakter, streng positiver Operator. Dann gilt

a) L hat einen eindeutig bestimmten Eigenvektor y ∈ Int K mit y = 1.

b) F¨ ur den entsprechenden Eigenwert λ > 0 gilt: λ = r(L).

Beweis:

i) In einem ersten Schritt zeigt man, daß ein streng positiver Operator die Bedingungen von Theorem 2.7 bzw. der anschließenden Bemerkung von Seite 29 erf¨ ullt.

Sei also x ∈ K und L linear, streng positiv und kompakt. Dann gilt: ∀x ∈ K ∃n = n(x) ∈ IN : L n x ∈ Int K; also gibt es ein y ∈ K mit L n x ≥ y und es gibt ein ausreichend kleines α > 0 mit der Eigenschaft: L n x ≥ αx. Also gibt es nach Theorem 2.7 und der nachfolgenden Begr¨ undung einen Eigenvektor v und

¹ ein λ ≥ α n mit Lv = λv.

ii) Wegen der Linearit¨ at von L gilt f¨ ur einen solchen Eigenvektor auch L n v = λ n v, denn: Sei L n−1 v = λ n−1 v, dann zeigt eine leichte Induktion L n v = L n−1 (Lv) = L n−1 (λv) = λL n−1 v = λλ n−1 v = λ n v. Da dies f¨ ur alle n gilt, und L streng positiv ist, ist L n v ∈ Int K, also auch ¹ λ n L n v ∈ Int K. Hieraus folgt nun, daß der Eigenvektor v von L in Int K liegt.

iii) Als n¨ achstes zeigt man, daß die Menge aller L¨ osungen der Gleichung Ly = λy eindimensional ist. W¨ are dies nicht der Fall, g¨ abe es ein w = v in X, das obige Gleichung erf¨ ullt, nicht aber der Darstellung w = cv gen¨ ugt, also nicht kollinear zu v ist. Sei OBdA w ∈ K. Da v ∈ Int K, gibt es ein gen¨ ugend kleines t > 0 mit v ≥ tw. Gem¨ aß Lemma 2.8 gibt es wieder ein gr¨ oßtes t 0 derart, daß v ≥ t 0 w. F¨ ur beliebiges x ∈ K gibt es ein n ∈ IN mit L n x ∈ Int K. Also folgt f¨ ur beliebiges x ∈ K die Existenz eines gen¨ ugend kleinen α > 0 mit L n x − αv ∈ K. Somit

∃α > 0 : L n (v − t 0 w) ≥ αv ≥ αt 0 w.

Hieraus und aus der Linearit¨ at von L n folgt dann

30

Widerspruch zur Maximalit¨ at von t 0 . Also gibt es ein c ∈ IR mit w = cv. Da w und v in K liegen , muß gelten c > 0.

iv) Nun zeigen wir, daß λ ein einfacher Eigenwert ist. Wir nehmen das Gegenteil an. Wegen iii) gibt es dann ein z ∈ X und ein m > 1, m ∈ IN derart, daß (L − λI) m z = 0 (∗) und Lz = λz. F¨ ur dieses z muß gelten z = cv f¨ ur alle c ∈ IR, denn w¨ are z = cv, w¨ urde folgen

Lz = Lcv = cLv = cλv = λcv = λz

im Widerspruch zur Annahme. Betrachten wir nun das kleinste m, f¨ ur das (∗) gilt. Also gibt es ein w ∈ X, w = 0 mit (L − λI) m−1 z = w. F¨ ur dieses w folgt dann

(L − λI)w = (L − λI)(L − λI) m−1 z = (L − λI) m z = 0.

Also ist w Eigenvektor zum Eigenwert λ. Wie in iii) gesehen, muß es ein c > 0 geben mit w = cv. Definiert man nun

rechnet man leicht nach, daß f¨ ur dieses u gilt: Lu = λu − v. Denn es ist

uber n: L n u = λ n u−nλ n−1 v f¨ ur beliebiges Hieraus folgt mit Hilfe einer Induktion ¨

n. Man erh¨ alt dies unter der Voraussetzung L n−1 u = λ n−1 u − (n − 1)λ n−2 v mit der Umformung

L n u = L(L n−1 u) = L(λ n−1 u − (n − 1)λ n−2 v)

= λ n−1 Lu − (n − 1)λ n−2 Lv = λ n−1 (λu − v) − nλ n−2 λv + λ n−2 λv = λ n u − λ n−1 v − nλ n−1 v + λ n−1 v = λ n u − nλ n−1 v.

Daraus folgt nun, daß u ∈ K. Denn, da L(K) ⊂ K, w¨ are andernfalls L n u =

λ n u − nλ n−1 v ∈ K. Also ist auch

λ

eine Nullfolge ist, folgt −v ∈ K. Widerspruch. u

n n∈I N

Also ist v ∈ IntK und −u ∈ K. Also gibt es ein gen¨ ugend kleines α > 0 mit: v ≥ −αu. Mit Lemma 2.8 erh¨ alt man die Existenz eines gr¨ oßten β mit v ≥ −βu. Also ist

K L(v + βu) = Lv + βLu = λv + β(λu − v) = λv + βλu − βv ∈ K

Somit ist v + βu −

v) In einem vorletzten Schritt zeige ich, daß L genau einen Eigenvektor v in

31

2. Existenz

Int K besitzt. Die Argumentation verl¨ auft sehr ¨ ahnlich zu den obigen Schritten. Nimmt man das Gegenteil an, so gibt es ein λ mit

Lv = λv, Lv = λ v mit v ∈ IntK, v = 1.

Wie in iv) gesehen, ist λ = λ. Sei also OBdA λ < λ. Man findet wieder ein kleines α > 0 mit v − αv ∈ K und ein entsprechendes gr¨ oßtes β mit v − βv ∈ K. Mit L(K) ⊂ K folgt dann wieder

Da λ > 0, ist auch v − β

Widerspruch.

vi) Schließlich zeige ich noch, daß alle positiven Eigenwerte μ von L kleiner als λ sind, d.h. |μ| < λ. Wir betrachten also ein μ > 0 und ein y ∈ X mit Ly = μy. Aus iv) wissen wir, daß μ = λ und aus v), daß y ∈ K. Mit der gleichen Argumentation wie in iv) folgt die Existenz eines β > 0 derart, daß v + βy ∈ K und ∀α > β : v + αy ∈ K. Analog zu Schritt v) folgt hieraus

μ Da

β auch L ² linear, kompakt und wegen L n v = (L ² )

Somit k¨ onnen wir das bisher Gesagte auch auf den Operator L ² anwenden. Da nun offensichtlich auch

L ² v = λ ² v und L ² y = μ ² y

erf¨ ullt ist, folgt μ ² < λ ² . Zusammen mit μ < λ erh¨ alt man |μ| < λ. 2

Theorem 2.9 (Amann, [1]) Sei X ein Banachraum und K ein Kegel in X. y ∈ K mit ˆ y ≥ ¯ y] := {x ∈ K : x − ¯ y ∈ K und ˆ y − Des weiteren seien ¯ y und [¯ y, ˆ y, ˆ

x ∈ K} ein nichtleeres Intervall. Sei nun f : K −→ E ein monoton steigender y ≤ f (¯ y) und Operator, der auf jedem Intervall in K kompakt ist, derart, daß ¯ f (ˆ y) ≤ ˆ y.

Dann hat f einen minimalen Fixpunkt ¯ x = lim k→∞ f k (¯ y), d.h ¯ x kann durch die Iteration ¯

y und x k+1 = f (x k ), k = 0, 1, 2, . . . x 0 = ¯

berechnet werden. Die Folge (x k ) k∈I N ist monoton steigend.

32

Beweis:

Wegen der Monotonie gilt f¨ ur jedes y ∈ [¯ y, ˆ y] : f (¯ y) ≤ f (y) ≤ f (ˆ y) und somit:

∀y ∈ [¯ y, ˆ y ≤ f (¯ y) ≤ f (y) ≤ f (ˆ y) ≤ ˆ y]) ⊂ [¯ y, ˆ y] : ¯ y =⇒ f ([¯ y, ˆ y].

Wir betrachten nun die Folge (x k ) k∈I N 0 mit x k+1 = f (x k ) und x 0 = ¯

sichtlich ist (x k ) k∈I N 0 ⊂ f ([¯ y, ˆ y]). F¨ ur jedes k ∈ IN 0 ist x k ≤ ˆ

Kompaktheit von f kann man aus (x k ) k∈I N 0 eine konvergente Teilfolge (x k i ) i∈I N ausw¨ ahlen, f¨ ur die gilt x k i −→ ¯ x mit i → ∞. Da f steigend ist, liefert eine leichte

Induktion sofort, daß (x k ) k∈I N 0 steigend ist, denn: x 1 = f (x 0 ) = f (¯ y) ≥ ¯ y = x ⁰ und mit x k ≥ x k−1 folg:t

x k+1 = f (x k ) ≥ f (x k−1 ) = x k , ∀k ∈ IN 0 .

Somit hat (x k ) k∈I N genau einen Grenzwert; Denn die Teilfolge (x k i ) i∈I N ist steigend, und es gilt ∀i ∈ IN : x k i ≤ ¯ x. Ein weiterer Grenzwert ˜ x w¨ are auch Grenzwert einer Teilfolge (x k j ) j∈I N mit der Eigenschaft: x k j ≤ ˜ x, ∀j ∈ IN . Sei oBdA x, dann ∃j 0 ∈ IN ∀j ≥ j 0 : x k j > ¯ x. Nun gibt es sicher i ∈ IN : k i > k j 0 . ¯ x < ˜

Aus der Monotonie folgt dann x k i > x k j 0 > ¯ folgt:

x k −→ ¯ x mit k −→ ∞.

Wegen der Stetigkeit von f folgt:

f (x k ) −→ f (¯ x) mit k −→ ∞.

Da nun aber ∀k ∈ IN : x k+1 = f (x k ) und x k+1 −→ ¯ Intervall [¯ y, ˆ y] ist abgeschlossen und daher ist ¯ Nun zeigen wir, daß ¯ weitere Fixpunkte von f in [¯ y, ˆ also x ≥ ¯ y ein solcher Fixpunkt. Betrachte nun das Intervall [¯ y, x]. Da f (x) = x

ist, folgt mit dem analogen Argument wie oben f ([¯ y, x]) ⊂ [¯ y, x].

Da die obige Folge (x k ) k∈I N somit in f ([¯ y, x]) enthalten ist, ist sie relativ kompakt und konvergiert gegen den Fixpunkt ¯ x. Aus der Abgeschlossenheit des Intervalls folgt x ≥ ¯ x. Offensichtlich gilt:

f k (¯ y) = f k−1 (f (¯ y)) = f k−1 (x 1 ) = . . . = f (x k−1 ) = x k .

2 Und somit sind alle Aussagen gezeigt.

Bemerkung: Definiert man g : [¯ z, ˆ

z] ⊂ K − (K − sei der entsprechende negative Kegel) −ˆ y, ˆ z := −¯ y, wobei dann [¯ z, ˆ

gilt, und wendet hierauf das eben bewiesene Theorem an, dann folgen folgende Aussagen: x mit lim k→∞ f k (ˆ y) = ˆ f k (ˆ y) x und fallend. f hat einen maximalen Fixpunkt ˆ

k∈I N

33

2. Existenz

2.2.4. Fixpunkts¨ atze

Dieser Abschnitt befaßt sich mit den im weiteren Verlauf der Arbeit ben¨ otigten Fixpunkts¨ atzen von Operatoren auf Banachr¨ aumen. Ich beweise zwei weniger bekannte Aussagen ¨ uber Fixpunkte in Kegeln in X, die auf Smith ([25]) bzw. Schmitt ([10]) zur¨ uckgehen.

Theorem 2.10 (Smith) Sei X ein Banachraum, K ein Kegel in X, und K 1 = {y ∈ K : y ≤ 1}. Sei N : K −→ X ein Operator, f¨ ur den gelte:

a) y ∈ K 1 und Ny = y =⇒ y ∈ Int K 1 .

b) N ist monoton steigend auf K 1 .

c) y ∈ Int K 1 , λ ∈ (0, 1) =⇒ ∃η = η(y, λ) > 0 : N (λy) ≥ λ(1 + η)Ny.

Dann hat N h¨ ochstens einen Fixpunkt ( = 0) in K 1 .

Beweis:

Angenommen es gibt mindestens zwei Fixpunkte in K 1 . Seien nun x, y ∈ K 1 , x = y solche Fixpunkte. Dann gilt wegen a): x, y ∈ Int K 1 . Da x = y k¨ onnen nicht x − y und y − x beide zugleich in K liegen. Sei oBdA x − y ∈ K. Zun¨ achst zeige ich, daß es ein γ ∈ (0, 1) gibt derart, daß x − γy ∈ K; denn w¨ are dies nicht der Fall, so w¨ urde gelten ∀γ ∈ (0, 1) : x − γy ∈ K. Betrachte nun die Folge (z γ i ) i∈I N mit z γ i = x − γ i y, γ i ∈ (0, 1), und γ i −→ 1 mit i −→ ∞. Somit ist z γ i ∈ K, und offensichtlich z γ i −→ x − y. Wegen der Abgeschlossenheit von K folgt dann x − y ∈ K, im Widerspruch zu oben.

Da x ∈ Int K gibt es sicher ein gen¨ ugend kleines μ > 0 mit x − μy ∈ K. Nun wird gezeigt, daß ein solches μ < γ ist. Denn angenommen, das Gegenteil w¨ are der Fall, dann w¨ are

Widerspruch. Nach Lemma 2.8 gibt es nun aber ein gr¨ oßtes λ, so daß ∀μ > 0 mit x ≥ μy folgt: λ ≥ μ. Aufgrund obiger ¨ Uberlegungen ist 0 < λ < γ < 1. Wegen

b) gilt x = Nx ≥ Nλy und wegen c) gibt es ein η = η(y, λ) >∈ (0, 1) : N (λy) ≥ λ(1 + η)Ny und somit gilt

x = Nx ≥ N (λy) ≥ λ(1 + η)Ny = λ(1 + η)y

=⇒ x − λ(1 + η)y ∈ K. Widerspruch zur Maximalit¨ at von λ. 2

34

Theorem 2.11 Sei X ein Banachraum, K ein Kegel in X. Des weiteren sei A : K −→ K ein kompakter Operator mit A(K) ⊂ K. Außerdem gelte:

a) Es gibt ein k ∈ K, k = 1 und ein r ∈ IR ⁺ derart, daß f¨ ur alle L¨ osungen y ∈ K der Gleichung

y = Ay + λk, 0 < λ < ∞

y = r gilt.

b) Es gibt ein R > r derart, daß f¨ ur alle L¨ osungen z ∈ K der Gleichung

z = λAz, 0 < λ < 1

z = R gilt.

Dann hat A einen Fixpunkt x ∈ K mit r ≤ ≤x ≤ R.

Beweis:

Da r > 0, gibt es sicher ein α > 0 mit 0 < r − α < r. Wir definieren f¨ ur ein solches α folgenden Operator B : K −→ K: ⎧

r − α

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Bx =

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Da A kompakt ist, ist A stetig. Aus der Stetigkeit von A folgt:

rx

lim Bx =

x→0+

Bx = lim

x→r−

lim Bx =

x→R+

Schließlich gilt wegen

2. Existenz

B ist auch kompakt, denn f¨ ur eine beschr¨ ankte Folge (x i ) i∈I N mit x i ∈ [r − α, r) ist auch (x ∗

kann man aus

der Kompaktheit von A kann man auch aus

Teilfolge ausw¨ ahlen. Also kann man auch aus (Bx i ) i∈I N eine konvergente Teilfolge ausw¨ ahlen. Die anderen F¨ alle sind klar.

Nun zeige ich, daß es ein R 1 ≥ R gibt, sodaß B(G R 1 ) ⊂ G R 1 gilt f¨ ur G R 1 := {x ∈ X : x ≤ R 1 }. Hierzu benutze ich die Existenz eines M > 0 mit Ax ≤ M x. rx

rx

Denn dann ist

Bx ≤

Definiert man nun R 1 := max{Mr + 1, MR}, kann man oBdA M ≥ 1 annehmen, womit R 1 ≥ R ist. Betrachtet man nun die Menge K R 1 = G R 1 ∩ K, dann gilt B(G R 1 ) ⊂ G R 1 . Ferner ist K R 1 , als Schnittmenge zweier in X abgeschlossener Mengen, sicher abgeschlossen und als Durchschnitt zweier konvexer Mengen konvex. Da K R 1 gem¨ aß Definition beschr¨ ankt ist, folgt aus dem Schauderschen Fixpunktsatz (Theorem A.1) die Existenz eines Fixpunktes x ∈ K R 1 . Nun zeige ich noch, daß dieser Fixpunkt r ≤ ≤x ≤ R erf¨ ullt. Dazu schließe ich die anderen vier F¨ alle aus. 1.Fall: Sei nun x = 0. Dann folgt x = Bx = r−α k = 0 =⇒ k = 0. Widerspruch

r zu k = 1. 2.Fall: 0 < x ≤ r − α =⇒ rx

Da nun 0 <

36

Widerspruch.

3.Fall: r − α ≤ ≤x < r. Dann ist analog zu oben rx

Da nach Voraussetzung

2.

4.Fall: F¨ ur x > R gilt x = A

R

∈ (0, 1) ist, folgt zusammen mit b), daß Da

x

Also bleibt nur noch die M¨ oglichkeit r ≤ ≤x ≤ R. 2

Eine direkte Anwendung dieses Resultates ist das folgende Fixpunkttheorem, das wir sp¨ ater im Beweis von Lemma 2.15 ben¨ otigen. Ich beweise dieses Theorem nur f¨ ur eine offene Kugel mit Radius R anstatt f¨ ur offene Nullumgebungen G, weil im weiteren Verlauf die eingeschr¨ ankte Fassung ausreicht. Der Beweis des Orginaltheorems ist in [23] nachzulesen, ben¨ otigt allerdings einige Aussagen aus der Theorie der Abbildungsgrade.

Theorem 2.12 (Schmitt) Sei X ein Banachraum, K ein Kegel in X und G eine offene, beschr¨ ankte, nichtleere Umgebung der 0 in X. N : K −→ K sei kompakt und positiv mit N (0) = 0 und habe eine Fr´ echetableitung in K. Des weiteren gelte

a) F¨ ur alle L¨ osungen x ∈ K der Gleichung x = λN x, 0 < λ < 1 gilt: x ∈ ∂G.

b) Es gibt ein k ∈ K, k = 1 und ein α > 1 mit N (0)k = αk. F¨ ur ein x = 0, das N (0)x = x erf¨ ullt, gilt x ∈ K.

Dann hat N einen nichttrivialen Fixpunkt in ¯ G ∩ K.

Beweis:

Sei G := {x ∈ X : x < R}. Dann sieht man sofort, daß die Bedingung

37

2. Existenz

a) Theorem 2.11b) erf¨ ullt. Man muß also noch zeigen, daß ein k, das durch b) gegeben wird, Theorem 2.11a) gen¨ ugt. Es muß somit die Existenz eines r < R gezeigt werden, so daß f¨ ur jede L¨ osung der Gleichung x = Nx + λk, 0 < λ < ∞ gilt: x = r.

Wir nehmen nun das Gegenteil an: F¨ ur jedes r ∈ (0, R) gibt es eine L¨ osung x ∈ K obiger Gleichung mit x = r. Betrachten wir eine monoton fallende Folge (r n ) n∈I N mit lim n→∞ r n = 0, dann gibt es also Folgen (x n ) n∈I N ⊂ K und (λ n ) n∈I N ⊂ (0, ∞) mit der Eigenschaft: