Inhaltsverzeichnis

1  Einführung.  1

1.1  Problemstellung  1

1.2  Ziele  1

1.3  Aufbau/Methodik  2

2  Grundlagen  3

2.1  Einperiodiges Modell.  3

2.1.1  Allgemeiner Modellaufbau  3

2.1.2  Arbitragefreie Bewertung  4

2.1.2.1  Arbitragefreiheit  4

2.1.2.2  Law Of One Price  5

2.1.3  Risikoneutrale Bewertung  6

2.1.4  Terminzinsen  6

2.1.5  Short Rate.  7

2.2  Bewertung in einem Binomialbaum.  8

2.3  Überblick über Ein-Faktor-Modelle.  11

3  Das Modell von Black-Derman-Toy.  12

3.1  Modellierung des Short Rate Baums.  12

3.2  Kalibrierung des BDT Zinsmodells  13

3.2.1  Direkte Volatilitäten der Short Rates  13

3.2.2  Volatilitäten der Kassazinsen in t 1  14

3.3  Beispiel zur Kalibrierung des BDT-Modells  18

3.4  Berechnung von Short Rates aus einer Zinsstrukturkurve  23

4  Ausblick auf weitere Modelle.  27

4.1  Heath-Jarrow-Morton-Modell  27

4.2  Libor-Market-Modell  29

5  Fazit  31

Literaturverzeichnis   32

II

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Bewertung im Binomialbaum  

Abbildung  2: Baummodell  

Abbildung  3: Übersicht Einfaktor-Modelle.  

Abbildung  4: Basisinformationen.  

Abbildung  5: Short Rate Baum  

Abbildung  6: Baum der Diskontfaktoren  

Abbildung  7: Gegebene Zinsstruktur  

III

Preis einer Nullkuponanleihe mit Fälligkeit in W

B W ()

t W f s (,) stetiger Terminzins

t W d f s (,) diskreter Terminzins

t PA () Preis eines Assets zum Zeitpunkt t = T

T

Z F Z l ⁽⁾ () Zahlung des l-ten Wertpapiers im Zustand j

j

IV

1 Einführung

1.1 Problemstellung

Die Zeiten, in denen Anleger ihr Geld ausschließlich in Geldvermögenskonten, festverzinsliche Wertpapiere, Aktienportfolios oder Fonds investierten, sind vorbei. Moderne Finanzinstrumente lassen risikofreudige Anleger an Zinsentwicklungen oder Aktienmarktbewegungen mit Hilfe von Zertifikaten und strukturierten Produkten aller Art teilhaben.

Bei strukturierten Produkten liegt für die Anbieter solcher Anlageklassen das Problem in der Bewertung von Zinsprodukten, welche durch stochastische Prozesse und Modelle ermittelt wird.

1.2 Ziele

Mit dieser Arbeit wird untersucht, wie durch stochastische Modelle Zinsprodukte bepreist werden können.

Dabei beschränkt sich diese Thesis auf die Funktionsweise und die Grenzen des Zinsstrukturmodells von Black-Derman-Toy (BDT), welches 1990 ¹ für Goldman Sachs entwickelt wurde.

¹ Vgl. Branger, Schlag: Zinsderivate S.57-85

1

1.3 Aufbau/Methodik

Zu Beginn dieser Arbeit werden Grundlagen geschaffen, um die Thematik besser erfassen zu können.

Zunächst werden allgemeine Notationen und Grundvoraussetzungen für einperiodige Modelle und die Zeitkomponenten beschrieben.

Um zum Kernthema, der Bewertung von zinssensitiven Anlageklassen zu kommen, müssen erst Bewertungsgrundlagen wie Arbitragefreiheit und Martingalmaße erklärt werden.

Anschließend erfolgt dann die Hinführung zur wichtigsten Komponente des Black-Derman-Toy Modells: den kurzfristigen Terminzinsen oder auch Short Rates.

Das nächste Kapitel gibt dann den allgemeinen Rahmen eines binomialen Baummodells vor, auf dessen Grundlage dann der Hauptteil dieser Arbeit aufgebaut ist.

Schwerpunkt dieser Thesis ist die Methode, nach dem Fischer Black, Emanuel Derman und William Toy Zinsstrukturkurven abbilden und Derivate mit diesem Modell bewerten.

Der Abschluss der Arbeit ist einem übergreifenden Ausblick auf weitere Zinsstrukturmodelle und die größten Unterschiede zu dem hier Beschriebenen gewidmet.

2

2 Grundlagen

2.1 Einperiodiges Modell

Die einfachste Art ein Finanzinstrument zu bewerten, geschieht in einem einperiodigen Modell ² . Man betrachtet hierbei nur zwei Zeitpunkte und die Veränderungen der betrachteten Variablen dazwischen. Das Modell von Black-Derman-Toy ist ein solches Modell. Aus dieser einfachen Umgebung lassen sich dann später mehrperiodige Modelle ableiten und Zeiträume über mehrere Perioden bewerten.

2.1.1 Allgemeiner Modellaufbau

Der erste grundlegende Baustein ist die Bewertung in diskreter Zeit ³ , d.h. es werden feste Zeitintervalle- und schritte in der Bewertung vorgegeben. Es gibt somit nur zwei Zeitpunkte: t = 0 und t = T (T < f ) in einem einperiodigen Modell.

Aus heutiger Sicht, also t = 0 ist der Umweltzustand in t = T unsicher. Alle möglichen Umweltzustände lassen sich aber in der Menge

: f zusammenfassen. Es muss genau ein J { ,..., };(1 )

J 1

Zustand aus der zuvor beschriebenen Menge in t = T eintreffen.

f , bei denen die Preise in t = 0 und die Es gibt L + 1 Basiswertpapiere ( L )

() l p

Zahlungen in t = T gegeben sind. bezeichnet dabei den Preis in t = 0

des l-ten Basiswertpapiers (l = 0,1,2,…,L). Das Wertpapier mit l = 0 ist risikolos.

Z zur Zeit t = T. F Z ist somit die Zahlung im Zustand j l ⁽⁾ ( )

j

² vgl. Dr. Ingo Schneider: Zinsmodelle und ihre Anwendung

³ vgl. Branger, Schlag: Zinsderivate S. 57-85

3