INHALTSVERZEICHNIS 3

Inhaltsverzeichnis   

Einleitung   5

1  Der Gesamtschaden im kollektiven Modell  7

1.1  Das Modell  7

1.2  Die Verteilung des Gesamtschadens  7

1.2.1  Erwartungswert und Varianz  7

1.2.2  Faltung  9

1.2.3  Charakteristische und erzeugende Funktionen  15

2  Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen  28

2.1  Charakterisierung  28

2.2  Die Panjer-Rekursionsformel: Diskreter Fall  32

2.3  Die Panjer-Rekursionsformel: Stetiger Fall  39

3  Verallgemeinerung der Panjer-Klasse  43

3.1  Annuitätenverteilungen und ihre Existenz  43

3.2  Eigenschaften von Annuitätenverteilungen  47

3.2.1  Die erzeugende Funktion einer Annuitätenverteilung  47

3.2.2  Zusammengesetzte Poissonverteilung  55

3.3  Schätzung der Parameter einer Annuitätenverteilung  66

3.4  Anwendung der Annuitätenverteilung  72

A  Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme  82

A.1  Exakte Verteilung des Gesamtschadens  82

A.2  Panjer-Rekursion: Diskreter Fall  82

A.3  Panjer-Rekursion: Stetiger Fall  84

A.4  Parameterschätzung  86

A.5  Die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens  89

B  Verzeichnis über Verteilungen  94

Symbolverzeichnis   96

Abbildungsverzeichnis   97

Literaturverzeichnis   98

Einleitung

Die Risikotheorie beschäftigt sich unter anderem mit der Frage, wie man die Verteilung aller auftretenden Schäden in einem bestimmten Zeitraum, für die ein Versicherungsunternehmen zu zahlen hat, bestimmen kann.

Im Mittelpunkt des ersten Kapitels der vorliegenden Arbeit steht das kollektive Modell von F. Lundberg und H. Cramér, welches davon ausgeht, dass der Gesamtschaden durch die Summe einer zufälligen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Schadenhöhen gegeben ist.

Zunächst wird gezeigt, wie der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens bestimmt werden können. Anschlieÿend werden zwei Wege aufgezeigt, mit denen die Verteilung des Gesamtschadens berechnet werden kann. Dabei verwendet die erste Methode Faltungsformeln, während die zweite Methode die Gesamtschadenverteilung über charakteristische beziehungsweise erzeugende Funktionen ermittelt.

Nach einem Ansatz von H. Panjer werden im zweiten Kapitel verschiedene Verteilungen für die zufällige Schadenanzahl über eine Rekursionsformel zu einer Klasse von Verteilungen (der sogenannten Panjer-Klasse) zusammengefasst. Damit kann man dann Rekursionsformeln für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell herleiten, welche im Fall diskret verteilter Schadenhöhen (mit Computerunterstützung) exakt und im Fall stetig verteilter Schadenhöhen numerisch berechnet werden kann.

Kapitel 1 und 2 stellen im Wesentlichen eine Zusammenfassung bekannter Ergebnisse der Risikotheorie dar. Die aufgeführten Beispiele wurden jedoch selbständig durchgerechnet und programmiert.

Wie der Titel schon sagt, ist die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse das eigentliche Thema der Arbeit. Grundlage hierfür bilden die Artikel Annuity distributions, A new class of compound Poisson distributions und On an integral equation for discounted compound-annuity distributions von Colin M. Ramsay (siehe [14] und [15]). Im ersten Abschnitt des dritten Kapitels wird die sogenannte Annuitätenverteilung vorgestellt. Diese erhält man, wenn man in die Rekursionsformel für die Verteilung der Schadenzahl aus der Panjer-Klasse eine spezielle Folge einsetzt. Weiterhin wird untersucht, unter welchen Voraussetzungen eine solche Verteilung existiert. Der dazugehörige Beweis ist bei Ramsay [15], S. 16, nur in Ansätzen vorhanden und wurde daher gröÿtenteils selbständig durchgeführt.

Abschnitt 3.2 zeigt, welche Form die erzeugende Funktion einer annuitätenverteilten Schadenzahl hat. Auÿerdem wird bewiesen, dass eine annuitätenverteilte Zufallsgröÿe unter gewissen Voraussetzungen einer zusammengesetzten Poissonverteilung unterliegt. Die Beweise der dabei auftretenden Zwischenergebnisse sind fast alle bei Ramsay [15] nachzulesen. Diese sind jedoch meist sehr knapp gehalten, so dass sie in der vorliegenden

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Arbeit ausführlicher (und übersichtlicher) gestaltet wurden. Mit Hilfe der erzeugenden Funktion werden im nächsten Abschnitt Erwartungswert und Varianz einer annuitätenverteilten Schadenzahl bestimmt. Dabei wird ein anderer Ansatz verwendet als bei Ramsay [15] (siehe S. 20, 21). Auf der Grundlage einer konkreten Stichprobe für die Schadenzahl kann man dann die Parameter einer Annuitätenverteilung nach der Momentenmethode schätzen. Ein entsprechendes Maple-Programm wurde eigenständig entwickelt.

Im letzten Teil des dritten Kapitels wird das kollektive Modell etwas abgewandelt, um einen Diskontierungsfaktor einbeziehen zu können. Anschlieÿend werden Erwartungswert und Varianz des diskontierten Gesamtschadens bestimmt. Die Formel für die Varianz ist bei Ramsay [14], S. 194, fehlerhaft und wurde korrigiert. Mit einer annuitätenverteilten Schadenzahl kann man schlieÿlich eine Rekursionsformel für die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens herleiten. Die Vorgehensweise wird bei Ramsay [14] deutlich, jedoch sind auch hier eine Reihe von Unkorrektheiten beziehungsweise Fehlern zu nden. Zum Beispiel spricht der Autor an manchen Stellen von Verteilungsfunktionen, verwendet aber die Notation von Dichten (vgl. [14], S.194 unten, S. 195 Formeln (10) und (12)). Darüber hinaus fehlen in mehreren Formeln Faktoren (siehe [14], S. 194 unten, S. 195 Formeln (10) und (12), S. 196 Formel (13) und der dazugehörige Beweis, S. 197 Formel (17)). Zur Berechnung der Verteilung des diskontierten Gesamtschadens wird ein Verfahren zur Lösung einer Volterraschen Integralgleichung zweiter Art (vgl. Jerri [7], S. 134-136) auf den Fall abgewandelt, dass die Integrationsobergrenze noch einen konstanten Faktor besitzt. In einem selbständig entwickelten Maple-Programm wird das Verfahren durch Anwendung der Simpson-Regel vereinfacht, um überhaupt Ergebnisse zu erhalten.

Den Abschluss der Arbeit bilden zwei Anhänge. Die Quelltexte aller Maple-Programme, die zur Berechnung der Beispiele verwendet wurden, sind in Anhang A nachzulesen. Im Anhang B ndet man eine Übersicht über alle in dieser Arbeit auftretenden Verteilungen und deren Symbole.

Alle Beweise, die aus der Literatur entnommen wurden, sind entsprechend gekennzeichnet. Die Zahlen in eckigen Klammern stehen für den jeweiligen Eintrag im Literaturverzeichnis.

Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Wolfgang Freudenberg (BTU Cottbus) für seine Betreuung und Unterstützng.

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1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell

Ein wichtiges Thema der Versicherungsmathematik ist die Modellierung aller auftretenden Schäden in einer bestimmten Beobachtungsperiode, die ein Versicherungsunternehmen an die Versicherungsnehmer zu zahlen hat. Aus diesem Grund wird im ersten Abschnitt dieses Kapitels das zugrundeliegende Modell von F. Lundberg und H. Cramér vorgestellt.

Anschlieÿend wird gezeigt, wie man Erwartungswert und Varianz des Gesamtschadens berechnen kann und es werden zwei Methoden betrachtet, mit deren Hilfe man die Verteilung des Gesamtschadens unter gewissen Voraussetzungen explizit bestimmen kann.

1.1 Das Modell

Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Zahlungen richtig kalkulieren zu können, ist das Ausmaÿ aller auftretenden Schäden von groÿer Bedeutung. Dazu betrachtet man das folgende, sogenannte kollektive, Modell:

• Sei (X i ) i∈N eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten (i.i.d.), nichtnegativen Schadenhöhen X i .

• Sei N die zufällige Anzahl der Schäden in einer Beobachtungsperiode, die sogenannte Schadenzahl.

Man nimmt an, dass N unabhängig von den Schadenhöhen (X i ) i∈N ist.

• Der Gesamtschaden S in einer bestimmten Beobachtungsperiode ist dann gegeben durch:

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens

1.2.1 Erwartungswert und Varianz

Im kollektiven Modell kann man explizit Formeln für den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens angeben:

8 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

Satz 1.1. Falls die jeweiligen Momente existieren, gilt für den Erwartungswert und die

Varianz des Gesamtschadens S im kollektiven Modell:

Bemerkung 1.2. Für zwei Zufallsgröÿen A und B mit V ar(A) < ∞ gilt:

Den folgenden Beweis des Satzes 1.1 ndet man in ähnlicher Form z. B. bei Mikosch [10], S. 79.

Beweis

Aus der Unabhängigkeit der Schadenhöhen (X i ) i∈N und der Schadenzahl N folgt:

Weiter gilt:

Mit (1.1) ist die Varianz des Gesamtschadens dann gegeben durch:

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens 9

1.2.2 Faltung

Um die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell zu bestimmen, kann man folgende Formel verwenden:

Theorem 1.3. Im kollektiven Modell ist die Verteilung des Gesamtschadens S gegeben

durch

Dieses Theorem und der dazugehörige Beweis gehören zur Standardliteratur der Risikotheorie und sind z. B. bei Klüppelberg [8], S. 13, nachzulesen. Die Behauptung folgt aus dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit.

Bezeichnet F die Verteilungsfunktion der Schadenhöhen X i , so gilt:

^k Dabei steht F ^∗k (x) = P i=1 X i ≤ x für die k-fache Faltung der Verteilung von X 1 , wobei F ^∗0 (x) = 1 [0,∞) (x) und F ^∗1 (x) = F (x) ist.

Im Fall stetiger Schadenhöhen handelt es sich wegen F ^∗0 (x) = 1 ^bei ∞ k=1 P (N = k)F ^∗k (x) um eine Verteilung, die sowohl einen diskreten G(x) = P (N = 0) +

als auch einen stetigen Anteil besitzt. Aus diesem Grund führen wir folgenden Begri ein:

Denition 1.4. Sind die Schadenhöhen X i stetig verteilt mit Dichtefunktion f und gilt

P (N = 0) = 0 und somit P (S > 0) = 1 , so ist der Gesamtschaden S ebenfalls stetig verteilt mit Dichte

Falls P (N = 0) > 0 gilt, so bezeichnen wir g(x), gegeben durch (1.2), als reduzierte Dichte des Gesamtschadens.

Bemerkung 1.5. Die reduzierte Dichte meint die Dichte des stetigen Anteils der

Gesamtschadenverteilung G(x). Sie wird deswegen als reduziert bezeichnet, weil das Integral über g(x) nicht mehr 1 ist, sondern 1 − P (N = 0).

10 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

Die k-fache Faltung f ^∗k (x) der Dichte f von X 1 kann man mit Hilfe folgender

Rekursionsformel berechnen:

Sind die Schadenhöhen diskret verteilte Zufallsgröÿen mit Werten in N 0 ^und P (X 1 = 0) > 0, so erhält man mit f i = P (X 1 = i) für i = 0, 1, 2, . . . folgende Rekursionsformel für die k-fache Faltung der Verteilung von X 1 :

Die Verteilung des Gesamtschadens sieht somit im Falle einer diskreten Schadenhöhenverteilung folgendermaÿen aus:

Ist es möglich, die Faltung der Schadenhöhenverteilung auszurechnen, so ist man auch in der Lage, für die Verteilung des Gesamtschadens eine Formel anzugeben, wie die folgenden Beispiele zeigen sollen.

Für exponentialverteilte Schadenhöhen ndet man das erste Beispiel in ähnlicher, nicht ganz so ausführlicher Form bei Klüppelberg [8], S. 17, 18, und die Ergebnisse aller folgenden Beispiele bei Heilmann [5], S. 68.

Beispiel 1.6. Wir betrachten den Gesamtschaden S = N i=1 X i im kollektiven Modell.

Es sei N ∼ P oi(λ), λ > 0, und die Schadenhöhen seien erlangverteilt, d. h. X i ∼ Γ(a, l), a > 0, l ∈ N, für alle i = 1, . . . , N .

Dann kann man den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens leicht berechnen:

ES = EN · EX 1 = λ

V ar(S) = EN · V ar(X 1 ) + V ar(N ) · (EX 1 ) ² = λ

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens 11

Um die Verteilung des Gesamtschadens angeben zu können, bestimmen wir zunächst die Verteilung der Summe der Schadenhöhen. Sind die Schadenhöhen erlangverteilt mit Parametern a und l, so gilt: X 1 + . . . + X n ∼ Γ(a, nl). (Diese Behauptung werden wir erst im nächsten Abschnitt mit Hilfe der erzeugenden Funktionen beweisen.)

Für die Verteilungsfunktion der Summe der Schadenhöhen folgt daraus:

Die letzte Gleichheit in Formel (1.3) beweist man durch nl-1 partielle Integrationen:

= −e −ax (ax) nl−1

= −e −ax (ax) nl−1

= −e −ax (ax) nl−1

= −e −ax (ax) nl−1

+

= −e −ax (ax) nl−1

= −e −ax (ax) nl−1

= 1 − e −ax

12 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

Damit sieht die Verteilung des Gesamtschadens folgendermaÿen aus:

Sind die Schadenhöhen z. B. erlangverteilt mit Parametern a = 3 und l = 5, so erhält man mit dem Maple-Programm (Programm 1) aus Abschnitt A.1 folgende graphische Darstellung für die reduzierte Dichte des Gesamtschadens (vgl. Formel (1.2)):

Abbildung 1.1: Reduzierte Dichte des Gesamtschadens bei X i ∼ Γ(3, 5) und N ∼ P oi(λ): λ = 0.5 (rot), λ = 2 (schwarz) , λ = 7 (grün)

Beispiel 1.7. Auch in diesem Beispiel soll die Verteilung des Gesamtschadens im

kollektiven Modell bestimmt werden. Dazu sei die Schadenzahl N negativ binomialverteilt mit Parametern r und p, und für die Schadenhöhen gelte: X i ∼ Γ(a, l), l ∈ N, ^{für alle} i = 1, . . . , N .

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens 13

Nach Satz 1.1 erhält man für den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens:

Auÿerdem gilt:

P (S ≤ x)

=

^(1.3) = p ^r +

= p ^r +

= 1 − e −ax

Die reduzierte Dichte des Gesamtschadens bei erlangverteilten Schadenhöhen mit Parametern a = 3 und l = 5 sieht graphisch dargestellt folgendermaÿen aus (vgl. Programm 1):

Abbildung 1.2: Reduzierte Dichte des Gesamtschadens bei X i ∼ Γ(3, 5) und N ∼ N B(r, p), r = 4.2: p = 0.25 (rot), p = 0.5 (schwarz) , p = 0.9 (grün)

Für den Spezialfall r = 1, d. h. N ∼ N B(1, p) = Geom(p), und l = 1, ^{d. h.} X i ∼ Γ(a, 1) = Exp(a), kann man die Verteilung des Gesamtschadens noch etwas

14 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

vereinfachen:

∞ ∞ ∞ ⁿ Mit dem Cauchyprodukt ( n=0 a n ) ( n=0 b n ) = k=0 a n−k b k erhält man somit:

n=0

Beispiel 1.8. Sind die Schadenhöhen erlangverteilt mit Parametern a und l und die

Schadenzahl binomialverteilt mit Parametern m und p, so sind Erwartungswert und Varianz des Gesamtschadens gegeben durch:

Weiterhin gilt:

P (S ≤ x) =

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens 15

Ist die Schadenzahl z. B. binomialverteilt mit Parametern m = 20 und p = 0.5, so erhält man folgende graphische Darstellung für die reduzierte Dichte des Gesamtschadens (siehe Programm 1):

Abbildung 1.3: Reduzierte Dichte des Gesamtschadens bei N ∼ B(20, 0.5) und X i ∼ Γ(a, l): a = 3, l = 5 (rot); a = 3, l = 15 (schwarz); a = 10, l = 15 (grün)

1.2.3 Charakteristische und erzeugende Funktionen

Die Berechnung der Gesamtschadenverteilung mit Hilfe von Faltungsformeln gestaltet sich im Allgemeinen recht schwierig, denn die n-fache Faltung einer Zufallsgröÿe kann nicht immer explizit angegeben werden. Ein wichtiges Hilfsmittel, um komplizierte Faltungsformeln zu umgehen, sind charakteristische und erzeugende Funktionen, um die es in diesem Abschnitt gehen soll.

Denition 1.9. Sei Z eine reellwertige Zufallsgröÿe, dann heiÿt die Funktion

ϕ Z : R → C mit

ϕ Z (t) := E

charakteristische Funktion von Z.

Bemerkung 1.10. Die charakteristische Funktion einer Zufallsgröÿe bestimmt eindeutig

die Verteilung der Zufallsgröÿe, das heiÿt, es gilt: Für zwei Zufallsgröÿen Z 1 und Z 2 mit charakteristischen Funktionen ϕ ^Z 1 und ϕ ^Z 2 folgt aus ϕ ^Z 1 (t) = ϕ ^Z 2 (t) für alle t ∈ R, ^dass Z 1 und Z 2 die gleiche Verteilung besitzen.

16 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

Da es sich hierbei um ein bekanntes Ergebnis aus der Analysis (Fourier-Transformation) handelt, wird auf den Beweis verzichtet und auf die entsprechende Literatur verwiesen, siehe z. B. Shiryaev [19], S. 282, 283.

Der folgende Satz gibt an, wie man mit Hilfe der charakteristischen Funktion einer Zufallsgröÿe die Momente der Zufallsgröÿe berechnen kann:

Satz 1.11. Sei Z eine Zufallsgröÿe mit charakteristischer Funktion ϕ Z und E|Z ⁿ | < ∞,

n ∈ N, dann gilt:

⁽ⁿ⁾ Z (0) = i ⁿ E(Z ⁿ ) ϕ

Beweis

Sei Z eine stetige Zufallsgröÿe mit Dichtefunktion f Z ^{, dann kann man die} e ^itx f Z (x)dx unter dem Integralzeichen k-mal charakteristische Funktion ϕ Z (t) =

R

dierenzieren, da E|Z ^k | < ∞ für alle k ≤ n gilt:

Damit erhält man an der Stelle t = 0:

^(k) Z (0) = i ^k E(Z ^k ) ϕ

n e ^itxn P (Z = x n ), so erfolgt der Beweis Ist Z eine diskrete Zufallsgröÿe mit ϕ Z (t) = ganz analog.

Denition 1.12. Sei Z eine Zufallsgröÿe mit Werten in N 0 und p n := P (Z = n), dann

heiÿt die Funktion g Z : [−1, 1] → R mit

(wahrscheinlichkeits-)erzeugende Funktion von Z.

Bemerkung 1.13. Wir verzichten an dieser Stelle auf eine allgemeine Denition der

erzeugenden Funktion, bei der die Zufallsgröÿe auch Werte in Z annehmen kann, da wir uns ausschlieÿlich mit nichtnegativen Zufallsgröÿen beschäftigen.

Die Verteilung einer Zufallsgröÿe ist durch ihre erzeugende Funktion ebenfalls eindeutig bestimmt, denn es gilt:

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens 17

Lemma 1.14. Ist Z eine Zufallsgröÿe mit Werten in N 0 und erzeugender Funktion g Z ,

dann gilt:

Beweis

Für |t| ≤ 1 gilt:

Das bedeutet, g Z (t) ist im Intervall [−1, 1] absolut konvergent und kann innerhalb des oenen Konvergenzintervalls beliebig oft dierenziert werden. Bestimmt man die Ableitungen der erzeugenden Funktion und betrachtet diese an der Stelle t = 0, so erhält man:

^(k) g Z (t) =

Damit folgt die Behauptung.

Lemma 1.15. Sei Z eine Zufallsgröÿe mit Werten in N 0 , EZ ^k < ∞ für k ≥ 1, und

erzeugender Funktion g Z , dann gilt:

Beweis

Der Grenzwertsatz von Abel (vgl. Forster [3], S. 238) besagt: Ist

konvergente Reihe reeller Zahlen, dann konvergiert die Potenzreihe f (x) = gleichmäÿig auf dem Intervall [0, 1], stellt also dort eine stetige Funktion dar. Es gilt dann

∞ ^∞ n=0 c n x ⁿ = lim x1 n=0 c n ^{. ∞} n=0 p n t ⁿ ist im Intervall [−1, 1] (absolut) konvergent Die erzeugende Funktion g Z (t) =

und nach dem Grenzwertsatz von Abel linksseitig stetig in 1, d. h. es gilt:

18 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

Insbesondere gilt der Grenzwertsatz auch für alle Ableitungen der Potenzreihe, da diese den gleichen Konvergenzradius besitzen.

Folgerung 1.16.

1 − g V ar(Z) = lim g Z (t) + g Z (t) Z (t)

t1

Beweis

Falls EZ ² < ∞ gilt, hat man:

Denition 1.17. Sei Z eine reellwertige Zufallsgröÿe, dann heiÿt die Funktion

m Z (t) := E

momentenerzeugende Funktion von Z.

Dabei ist m Z (t) für die t ∈ R deniert, für die der Erwartungswert E existiert.

Bemerkung 1.18. m Z (0) = 1 existiert immer.

Einige Eigenschaften der momentenerzeugenden Funktion werden im nächsten Satz zusammengefasst:

1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens 19

Satz 1.19. Falls die momentenerzeugende Funktion m Z : D → R einer Zufallsgröÿe Z

auf D ⊇ (−t 0 , t 0 ), t 0 > 0, existiert, so gilt:

(1) Es existieren alle Momente von Z (d. h., es gilt E|Z| ^k < ∞ für alle k ∈ N).

(2) m Z (t) =

(k) ∀k ∈ N (3) m Z (0) = E

Den Beweis zu (1) kann man für den Fall einer stetigen Zufallsgröÿe bei Foata und Fuchs [2], S. 194, nachlesen.

Beweis

zu (1): Sei s mit 0 < s < t 0 fest gewählt. Für alle x ∈ R gilt:

Daraus folgt die Ungleichung:

Ist Z eine stetige Zufallsgröÿe mit Dichte f, dann gilt für alle k ∈ N:

20 1 DER GESAMTSCHADEN IM KOLLEKTIVEN MODELL

Und falls Z eine diskrete Zufallsgröÿe mit Werten in Ω = {x 1 , x 2 , x 3 , . . .} ist, so gilt für alle k ∈ N:

zu (2): Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion und der Existenz der Momente von Z folgt für t ∈ (−t 0 , t 0 ):

zu (3): Falls m Z in einer Umgebung von Null existiert, so ist die Funktion beliebig oft dierenzierbar in Null und man erhält:

Daraus ergibt sich an der Stelle t = 0 für die Momente von Z: