- Weiterzählen vom größeren Summanden aus

Wenn der zweite Summand größer ist, so muss man bei der Aufgabe 3 + 6 nicht mehr wie bei der bisherigen Strategie 4, 5, 6, 7,8, 9, sondern nur noch 7, 8, 9 zählen, um das Ergebnis zu erhalten. Grundlage für den Einsatz dieser Zählstrategie ist das Kommutativgesetz der Addition.

- Weiterzählen vom größeren Summanden aus in größeren Schritten Statt eine Aufgabe wie 7 +8 durch achtmaliges Weiterzählen zu lösen, kann man sie auch mittels Zweierschritten (9, 11, 13, 15) oder mittels Viererschritten (11, 15) lösen.

Der Fortschritt des einzelnen Schülers bezüglich dieser verschiedenen Zählstrategien lässt sich QLFKW DOV HLQ ÄOLQHDUHV )RUWVFKUHLWHQ³ vorstellen. Denn jeder Schüler greift in bestimmten Situationen auch bei Kenntnis effektivster Zählstrategien gelegentlich auf einfachere Zählstrategien zurück. ² Dies ließ sich ebenfalls in unserem Seminar an Studenten erkennen. Bei Additionsaufgaben zweistelliger Zahlen griffen die Studenten auf unterschiedliche Methoden zurück. Wichtig zu erwähnen ist, dass die Lösung von Additionsaufgaben während der Grundschulzeit nicht auf dem Niveau des Einsatzes von Zählstrategien zurückbleibt. Denn die Schüler verfügen im Laufe der Zeit über mehr und mehr Additionsansätze des Kleinen 1 + 1, die sie aufgrund häufiger Benutzung oder gezielten Auswendiglernens beherrschen.

1.2 Das kleine 1 +1 im Unterricht

Zur Behandlung des Kleinen 1+1 im Unterricht empfiehlt Padberg ³ für die Einführung der Addition eine aspektreiche systematische Behandlung. Man sollte sich nicht nur auf den Kardinalzahlaspekt beschränken, sondern auch andere Zahlaspekte miteinbeziehen. Neben dem Kardinalzahlaspekt spielt auch der Maßzahlaspekt eine wichtige Rolle. Vor allem Längen, Geldwerte sind für den Anfangsunterricht angesprochene Größenbereiche. Je nach Länge verschieden gefärbte Rechenstäbe (Cuisenairestäbe) und Geldstücke sind entsprechende Materialien. Neben Bildern von homogenem Material z. B. Plättchen können in diesem Zusammenhang vielfach auch Bilder aus der Erfahrungswelt der Kinder (Tiere, Pflanzen, Kinder) benutzt werden. Beim Einsatz der verschiedenen Modelle im Unterricht sollte aber nicht zu viel Veranschaulichungsmaterial eingesetzt werden. Da es nicht immer hilfreich sein kann, und noch von den Schülern zusätzlich gelernt werden muss. ⁴ Die Erarbeitung des Kleinen 1+1 erfolgt im Unterricht des 1. Schuljahres unter diesen und ähnlichen Modellen. Die 1+1 Sätze werden aber nicht stur der Reihe nach einzeln gelernt, sondern werden von Strategien begleitet, wie von Tausch-, Verdoppelungs-, Nachbar- und Analogieaufgaben.

2. Schriftliche Rechenverfahren

6FKULIWOLFKH 5HFKHQYHUIDKUHQ VLQG DOJRULWKPLVFKH 9HUIDKUHQ Ä$OJRULWKPus (nach dem arabischen Mathematiker Al Chwarismi) ist ein abgeschlossener Rechenvorgang mit einer ]\NOLVFKVLFKZLHGHUKROHQGHQ*HVHW]Pl‰LJNHLW³ 5

Zu ihnen gehören die schriftliche Addition, die ± Subtraktion, die ± Multiplikation und die schriftliche Division. Sie haben den Vorteil, dass sie zum größten Teil automatisch ablaufen. In

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der Grundschule wurden die schriftlichen Rechenverfahren durch die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz weitestgehend normiert und verbindlich vorgeschrieben. Als Endziel wird ein Normalverfahren angestrebt, das heißt, die Einzelschritte erfolgen nach festgelegten Regeln und in einer bestimmten Reihenfolge. Des weiteren schreiben die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz eine Festlegung der Sprech- und Schreibweisen bei den schriftlichen Rechenverfahren vor. ⁶ Wesentlich für die schriftlichen Normalverfahren ist, dass ziffernweise

gerechnet wird. Das bedeutet, dass nie die gesamte Zahl im Blick der Rechnerin oder des Rechners steht, sondern jeweils die einzelnen Ziffern der Zahl.

Bei den schriftlichen Normalverfahren wird jeweils nach dem Prinzip des Stellenwertsystems gerechnet.

2.1 Das Normalverfahren der schriftlichen Addition

Die schriftliche Addition ist das unkomplizierteste der schriftlichen Rechenverfahren. Ein sicheres Beherrschen der Grundaufgaben zur Addition bis 20 und ein ausreichendes Verständnis des Stellenwertbegriffs und des Bündelungsprinzips sind jedoch Voraussetzung. Beispiel:

Sprechweise:

Sechs plus sieben gleich dreizehn, schreibe drei, übertrage eins.

Eins plus vier plus drei gleich acht, schreibe acht. Drei plus vier gleich sieben, schreibe sieben. 7

Die Summanden werden stellengerecht untereinander angeordnet. Aus der Festlegung der Sprechweise kann man entnehmen, dass beim Normalverfahren der schriftlichen Addition von unten nach oben addiert wird (es wird bei den Einern begonnen) und die Übertragsziffern (werden meist etwas kleiner am unteren Rand der nächsten, linken Spalte notiert) beim Aufaddieren mitgesprochen werden. Dennoch sollte man die Übertragsziffern nicht notieren und sie beim Aufaddieren nicht mitsprechen, sondern sie lediglich im Kopf dazuzählen. Also nicht: Eins plus vier plus acht, sondern fünf (!) plus acht. So wird es bei der schriftlichen Subtraktion auch gehandhabt und die SchülerInnen kommen dadurch später nicht durcheinander. Padberg ⁸ dagegen lässt einige Unterschiede zur Sprechweise erkennen, indem

er die Übertragsziffer in die nächste linke Spalte notiert und die Zahlen des ersten Summanden nicht mitspricht. Beispiel:

In anderen Ländern in Europa lassen sich auch minimale Unterschiede bei der schriftlichen Addition erkennen. In Italien wird zum Beispiel das Plus- und Gleichheitszeichen auf die rechte Seite notiert, statt auf die linke Seite wie in Deutschland. Oder in Finnland wird die Übertragsziffer in die oberste Spalte geschrieben. In Ländern wie in Griechenland, Spanien und Türkei lassen sich innerhalb der schriftlichen Addition keine Unterschiede feststellen.

2.2 Mathematischer Hintergrund

Das Normalverfahren beruht im wesentlichen auf der Gültigkeit des Kommutativ-, Assoziativ-und Distributivgesetzes, sowie auf der Tätigkeit des Umbündelns sobald in einer Stellenwertspalte der Wert 9 überschritten wird.

Für die Addition gilt das Assoziativgesetz: Summanden darf man beliebig zusammenfassen, dabei bleibt die Summe gleich: a + (b + c)= (a + b) + c 9

Für die Addition gilt bezüglich der Multiplikation das Distributivgesetz: a ‡EF D‡ED‡F bzw. EF‡D E‡DF‡D 10

Für die Addition gilt das Kommutativgesetz: Summanden darf man vertauschen, dabei bleibt die Summe gleich. a + b = b + a 11

So kann man das Beispiel 346 + 437 wegen der Gültigkeit des Kommutativ- und Assoziativgesetzes bezüglich der Addition folgendermaßen umschreiben: 346 + 437 = (300+ 40+ 6) + (400+ 30+ 7)

= (6+ 7) + (40+ 30) + (300+ 400)

Die Gültigkeit des Distributivgesetzes bewirkt, dass wir spaltenweise die jeweiligen Ziffern addieren:

Das Umbündeln von 13 Einern in 1 Zehner und 3 Einern ergibt:

2. 3 Vor- und Nachteile des Normalverfahrens

2.3.1 Vorteile

Ein Vorteil des Normalverfahrens ist, dass die Schüler durch die schematische und einprägsame Abfolge der Einzelschritte sicherer rechnen und potentielle Fehlerquellen vermeiden können. Dadurch werden sie die Rechenaufgaben stetig schneller durchführen können. Durch eine ansteigende Rechensicherheit wird das Gedächtnis des Schülers entlastet

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