Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis II   

Abbildungsverzeichnis   III

Sourcecodeverzeichnis   IV

Symbolverzeichnis   V

Abk  urzungsverzeichnis  VIII

1  Einleitung  1

2  Das Modell nach Schwartz / Moon (2000)  3

2.1  Beschreibung der Modellgleichungen  3

3  Jump Prozesse  7

3.1  Die Poissonverteilung  7

3.2  Eine Putbewertung mit Jumps  11

3.2.1  Geometrische Brownsche Bewegung mit Jumps  11

3.2.2  Monte Carlo Simulation und analytische L osung  12

3.2.3  Varianzreduktion der Simulation  14

3.3  Der Mean-Reversion Prozess  15

3.3.1  Mean-Reversion Prozess ohne Jumps  15

3.3.2  Mean-Reversion Prozess mit Jumps  16

3.3.3  Varianzreduktion  27

4  Zusammenf uhrung: S/M Jump Prozesse  28

4.1  Risikoneutralit at und Risikopr amien  28

4.2  Parametersch atzungen  32

4.2.1  Die Daten aus dem Schwartz / Moon Modell  32

4.2.2  Die Daten f ur Jump Prozesse  32

I

INHALTSVERZEICHNIS

   II

4.3  Modellgleichungen  42

4.4  Anhang 1: Herleitung des realen Prozesses aus dem transformierten  

Wahrscheinlichkeitsma  ß  44

4.5  Anhang 2:  

Prozentuale  Anpassung der Werte von Bakshi u.a.  45

5  Modellsimulation  46

5.1  Das Schwartz / Moon Modell ohne Jumps  46

5.2  Das Schwartz / Moon Modell mit Jumps  47

5.2.1  Konvergenz des Jumpmodells zum Grundmodell  50

5.2.2  Das Jumpmodell bei sinkender Jump-Volatilit at  51

5.2.3  Das Jumpmodell mittels Euler Simulation  52

5.2.4  Programmierung in MATLAB  52

5.3  Sensitivit atsanalyse und Auswertung  55

5.3.1  Ergebnisse der Sensitivit atsanalyse im Grundmodell  55

5.3.2  Analyse des Modells mit Jumps  55

5.4  Verteilung des Unternehmenswertes  64

6  Diskussion der Ergebnisse  66

7  Schlussbemerkung  71

A  Technischer Anhang  72

A.1  Nutzung der technischen Einrichtungen der Universit at T ubingen  72

A.2  Anwendungen  74

A.2.1  Die Linux Emulation mit Cygwin“  74

A.2.2  Das FTP-Programm WinSCP2“  75

A.2.3  Das Batch-System lsf batch“  75

A.2.4  Der Texteditor vi“  76

B  Sourcecodes  77

B.1  Jump Prozesse  77

B.1.1  Simulation und geschlossene Bewertungsformel  77

B.1.2  Putwerte und Standardfehler  79

B.1.3  Mean-Reversion Prozess mit Jumps  81

B.2  Unternehmensbewertung  84

B.2.1  Das Grundmodell nach Schwartz / Moon  84

B  2 2 Das Modell mit Jumps  86

INHALTSVERZEICHNIS

   III

B.3  Hilfsfiles  90

B.3.1  Poissonverteilte Zufallsvariable  90

B.3.2  Poissonverteilter Zufallsvektor  90

Literaturverzeichnis   92

Tabellenverzeichnis

3.1 Ausgangsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Putwerte und Standardfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 G¨ ute der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Abweichungsanalyse f¨ ur verschiedene Δ t . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Abweichungsanalyse bei hohem λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Daten Amazon.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Auftreten von Jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Erg¨ anzende Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 Konkurswahrscheinlichkeiten und Unternehmenswert . . . . . . . 49

6.1 Vergleich zwischen Jumpmodell und Diffusionsmodell . . . . . . . 68

A.1 Vergleich der Rechenzeit von hpc1 mit einem Personal Computer 73

IV

Abbildungsverzeichnis

3.1 Zuf¨ allige Aktienkursbewegung in Abh¨ angigkeit von der Zeit t . . . 8

3.2 Dichtefunktion f¨ ur verschiedene Verteilungen . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Poissonverteilung in Abh¨ angigkeit der Jumph¨ aufigkeit λ . . . . . 9

3.4 Putwert in Abh¨ angigkeit der Jumph¨ aufigkeit λ . . . . . . . . . . . 13 3.5 Mean-Reversion Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.6 Vergleich zwischen Euler und Dias Approximation . . . . . . . . . 23 3.7 Vergleich zwischen zwei Dias Approximationen . . . . . . . . . . . 25 3.8 Vergleich zwischen zwei Euler Approximationen . . . . . . . . . . 25 3.9 Differenz zwischen zwei Dias Approximationen . . . . . . . . . . . 26 3.10 Differenz zwischen zwei Euler Approximationen . . . . . . . . . . 26

5.1 Konkurswahrscheinlichkeit auf Quartalsbasis . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Konvergenz zum Grundmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3 Sensitivit¨ at auf die anf¨ angliche Wachstumsrate . . . . . . . . . . . 57 5.4 Sensitivit¨ at auf den anf¨ anglichen Umsatz . . . . . . . . . . . . . . 57 5.5 Sensitivit¨ at auf die Diffusions-Volatilit¨ at der Wachstumsrate . . . 57 5.6 Sensitivit¨ at auf die Diffusions-Volatilit¨ at des Umsatzes . . . . . . 57 5.7 Sensitivit¨ at auf die Konvergenzgeschwindigkeit k μ . . . . . . . . . 58 5.8 Sensitivit¨ at auf die Konvergenzgeschwindigkeit k η . . . . . . . . . 58 5.9 Sensitivit¨ at auf die Konvergenzgeschwindigkeit k σ . . . . . . . . . 58 5.10 Sensitivit¨ at auf die Jumph¨ aufigkeit des Umsatzes . . . . . . . . . 60 5.11 Sensitivit¨ at auf die Jumph¨ aufigkeit der Wachstumsrate des Umsatzes 60 5.12 Sensitivit¨ at auf die Jump-Volatilit¨ at des Umsatzes . . . . . . . . . 61 5.13 Sensitivit¨ at auf die Jump-Volatilit¨ at der Wachstumsrate des Umsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.14 Sensitivit¨ at auf die mittlere Jumph¨ ohe des Umsatzes . . . . . . . 63 5.15 Sensitivit¨ at auf die mittlere Jumph¨ ohe der Wachstumsrate des Umsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

V

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

   VI

5.16  Verteilung der Unternehmenswerte im Grundmodell  64

5.17  Verteilung der Unternehmenswerte im Jumpmodell  65

Sourcecodes

gopf jump lambda.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 put jump lambda.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 gopf.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 MR Jump high.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 smoon anti.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

smoon jump anti.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 randp.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 poissrnd.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VII

Symbolverzeichnis

α Kostenparameter (variabler Kostenbestandteil) β Kostenparameter (gemischter Kostenbestandteil) γ exponentielle Form der Jumph¨ ohe m ¯ γ mittlere exponentielle Jumph¨ ohe normalverteilte Zufallsvariable des Umsatz Prozesses 1 2 normalverteilte Zufallsvariable des Prozesses der Wachstumsrate des Umsatzes η Volatilit¨ at der Wachstumsrate des Umsatzes η Dif f Diffusions-Volatilit¨ at der Wachstumsrate des Umsatzes η Jump Jump-Volatilit¨ at der Wachstumsrate des Umsatzes η 0 Anfangswert der Diffusions-Volatilit¨ at der Wachstumsrate des Umsatzes (enspricht η Dif f (0)) ¯ η langfristiger Mittelwert der Volatilit¨ at der Wachstumsrate des Umsatzes κ Anpassungsgeschwindigkeit des Mean-Reversion Prozesses der Wachstumsrate μ κ η Anpassungsgeschwindigkeit des Mean-Reversion Prozesses der Volatilit¨ at η Dif f κ σ Anpassungsgeschwindigkeit des Mean-Reversion Prozesses der Volatilit¨ at σ Dif f λ Jumph¨ aufigkeit

^(μ) λ Jumph¨ aufigkeit der Wachstumsrate des Umsatzes ^(R) λ Jumph¨ aufigkeit des Umsatzes μ Wachstumsrate des Umsatzes oder Momentanrendite ¯ μ langfristiger Mittelwert der Wachstumsrate des Umsatzes μ SM Wachstumsrate des Umsatzes im Schwartz / Moon Modell ρ Rμ Korrelationskoeffizient zwischen Umsatz und Umsatzwachstum σ Volatilit¨ at des Umsatzes σ Dif f Diffusions-Volatilit¨ at des Umsatzes σ Jump Jump-Volatilit¨ at des Umsatzes σ 0 Anfangswert der Diffusions-Volatilit¨ at des Umsatzes σ x−y Kovarianz zwischen x und y ¯ σ langfristiger Mittelwert der Diffusions-Volatilit¨ at des Umsatzes τ c Unternehmenssteuersatz

VIII

Symbolverzeichnis

IX

Δ Zeitspanne Δ t Zeitspanne zwischen zwei Zeitpunkten Marktpreis des Risikos der Wachstumsrate des Umsatzes Λ μ

Λ Dif f Marktpreis des Diffusionsrisikos Λ Jump Marktpreis des Jumprisikos Λ R Marktpreis des Risikos des Umsatzes

∗ risikoadjustierte Variable b cost of carry“ einer Option ” C (gesamte) Kosten dt Differential nach t E Erwartungswert Erwartungswert unter dem Martingalmaß Q E Q F Fixkosten J multiplikative Jump-Komponente

ˆ J additive Jump-Komponente K (Werte-)Kombination L Verlustvortrag m normalverteilte Zufallsvariable der Jumph¨ ohe

^(μ) m Jumph¨ ohe des Umsatzes ^(R) m Jumph¨ ohe der Wachstumsrate des Umsatzes ¯ m mittlere Jumph¨ ohe M Multiple max Maximum n Anzahl Simulationspfade Funktionswert der Poissonverteilung P ˜ x p Preis eines Puts q Poisson-verteilte Zufallsvariable Q risikoadjustiertes Wahrscheinlichkeitsmaß oder Quartal r risikoloser Zinssatz R Umsatz RA Parameter der Risikoaversion RP Risikopr¨ amie S Aktienkurs oder Simulationmethode Aktienkurs zum Zeitpunkt t = 0 S ⁰ se Standardfehler S/M Schwartz / Moon t Zeitpunkt T Endzeitpunkt des Betrachtungshorizonts v Volatilit¨ at

v Dif f Diffusions-Komponente der Volatilit¨ at (=Diffusions-Volatilit¨ at) v Jump Jump-Komponente der Volatilit¨ at ( =Jump-Volatilit¨ at) V Firmenwert V ar Varianz

Symbolverzeichnis

X

˜ x Zufallsvariable

x t Wachstumsrate im Mean-Reversion Prozess X Kassenbestand (Free Cash-Flow) oder Aus¨ ubungspreis einer Option Y (Netto-) Erfolg

Z R normalverteilte Zufallsvariable des Umsatz Prozesses Z μ normalverteilte Zufallsvariable des Prozesses der Wachstumsrate des Um- satzes

Abk ¨ urzungsverzeichnis

Abb.

bzw. ca. CAPM Capital Asset Pricing Model d.h. das heißt

EBITDA Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization FCF Free Cash Flow ff. fortfolgende FTP File Transfer Protocol

GB Glg. i.H. i.H.v. in H¨ ohe von

MB Mhz Mio. Mrd. Milliarden

RAM S. S / M Tab. u.a. und andere usw. und so weiter u.U. unter Umst¨ anden z.B. zum Beispiel

XI

Kapitel 1

Einleitung

Als im M¨ arz 2000 die europ¨ aischen und amerikanischen B¨ orsen ihre H¨ ochstst¨ ande erreichten, warnten Aktienstrategen und Analysten bereits nachhaltig vor ubertriebenen Kurserwartungen. Die B¨ orsenkurse einzelner Unternehmen waren ¨

in dieser H¨ ohe nicht mehr rational erkl¨ arbar. Kein g¨ angiges Bewertungsmodell rechtfertigte die Kurse, zu denen Unternehmensanteile ihre Besitzer wechselten. Insbesondere in den Wachstumssegmenten der B¨ orsen, die durch Technologie-, Telekommunikations- und Internetfirmen dominiert werden, war die Diskrepanz zwischen tats¨ achlicher Marktkapitalisierung und theoretischen Werten frappierend. Ursache daf¨ ur ist, dass klassische Bewertungsmodelle, wie zum Beispiel das Discounted Cash Flow Verfahren, den Eigenheiten vieler Firmen in den Wachstumssegmenten nicht Rechnung tragen. Zu diesen Eigenheiten geh¨ ort z.B., dass solche Unternehmen ¨ uber einen l¨ angeren Zeitraum hinweg negative Ertr¨ age erzielen k¨ onnen, ohne Bankrott zu gehen und erst nach mehreren Jahren die Gewinnschwelle erreichen. Es ist schwierig, mittels der klassischen Modelle f¨ ur diese Unternehmen korrekte Unternehmenswerte zu ermitteln. Vor diesem Hintergrund entwickelten verschiedene Autoren Verfahren, um die Anwendbarkeit der klassischen Modelle auch auf Wachstumsunternehmen zu erm¨ oglichen ¹ . Einen anderen Weg gingen Eduardo Schwartz und Mark Moon. Sie entwickelten ein neuartiges Modell, das einem Realoptionsansatz f¨ ur Unternehmen ¨ ahnelt. Das Modell ist in der Lage, viele Eigenheiten der New Economy zu ber¨ ucksichtigen und einen plausiblen Bewertungsansatz zu liefern, der zum Teil die beobachtbaren Firmenwerte erkl¨ aren kann. Die Bewertung findet mittels Simulation statt. Dabei wird nicht ein deterministischer Verlauf der zuk¨ unftigen Unternehmensentwicklung simuliert, sondern es werden auch zuf¨ allige Ereignisse ber¨ ucksichtigt. Allerdings ist die gew¨ ahlte Form der Modellierung von zuf¨ alligen

¹ siehe z.B. Damodaran [9] oder Copeland u.a. [6]

1

KAPITEL 1. EINLEITUNG 2

Ereignissen sehr vereinfacht. Das Modell von Schwartz / Moon soll in der vorliegenden Arbeit um Jump Prozesse erweitert werden. Mit Jump Prozessen k¨ onnen seltene Ereignisse mit wertm¨ aßig signifikanten Auswirkungen modelliert werden. Dabei liegt das Hauptaugenmerk dieser Diplomarbeit nicht nur auf den Modellergebnissen eines um Jumps erweiterten Modells, sondern dar¨ uber hinaus erfolgt eine fundierte Herleitung von Jump Prozessen.

In Kapitel 2 wird zun¨ achst das Grundmodell nach Schwartz / Moon erkl¨ art. Kapitel 3 bietet eine umfassende Einf¨ uhrung in Jump Prozesse. Kapitel 4 f¨ uhrt die beiden vorangehenden Kapitel zusammen und stellt ein um Jumps erweitertes Modell auf. In Kapitel 5 werden f¨ ur dieses Modell Berechnungen durchgef¨ uhrt und ausgewertet. Die Arbeit endet mit einer Diskussion der Ergebnisse in Kapitel 6 und einer Schlussbemerkung in Kapitel 7. Die Berechnungen und Auswertungen des Grundmodells und des um Jumps erweiterten Modells finden am Beispiel des Internet Buchh¨ andlers Amazon.com statt und werden mit dem Programm MATLAB ² umgesetzt.

² Student Version, Version 6.0.0.42a, Release 12

Kapitel 2

Das Modell nach

Schwartz / Moon (2000)

2.1 Beschreibung der Modellgleichungen

Schwartz und Moon legen ihr Modell in zwei Aufs¨ atzen (Schwartz, Moon [28] sowie Schwartz, Moon [29]) dar. Im zweiten Aufsatz erg¨ anzen die Autoren das Grundmodell der ersten Ver¨ offentlichung um zus¨ atzliche Aspekte. Die folgenden Ausf¨ uhrungen beziehen sich auf das erste Modell (Schwartz, Moon [28]). Prim¨ ar orientiert sich das Modell am Umsatzverlauf der zu bewertenden Unternehmung, ihrer Kostenfunktion sowie an den daraus resultierenden Free Cash Flows (FCFs). Der Umsatzverlauf folgt dabei einem verallgemeinerten Wiener-Prozess der Form: dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz (2.1)

Da a und b nicht konstant sind, sondern von x abh¨ angen, handelt es sich um einen Itˆ o-Prozess, der den Umsatzverlauf im Modell wie folgt darstellt:

Dabei bezeichnet R den Umsatz, μ(t) die erwartete Wachstumsrate des Umsatzes (Drift) und σ(t) die Volatilit¨ at der Umsatzver¨ anderung. Das Differential dZ R ist ein Wiener Prozess und Z R eine normalverteilte Zufallsvariable. F¨ ur das Umsatzwachstum μ(t) wird ein Mean-Reversion-Prozess unterstellt. Dieser bewirkt eine stochastische Konvergenz der Drift zu einem langfristigen Mittelwert ¯ μ hin. Nur dieser langfristige Mittelwert ¯ μ stellt in Anbetracht eines ¨ uberdurchschnittlich

hohen Umsatzwachstums in der Anlaufphase einer Unternehmung eine plausible

3

KAPITEL 2. DAS MODELL NACH SCHWARTZ / MOON (2000) 4

Annahme f¨ ur die Zukunft dar. F¨ ur μ(t) gilt damit:

dμ(t) = κ(¯ μ − μ(t))dt + η(t)dZ μ (2.3)

Auf die Anpassungsgeschwindigkeit κ an den langfristigen Durchschnitt wird in Kapitel 3.3.1 eingegangen. Mit η(t) wird die Volatilit¨ at des Umsatzwachstums bezeichnet, Z μ stellt wiederum eine normalverteilte Zufallsvariable dar. F¨ ur die Volatilit¨ at des Umsatzes σ(t), sowie f¨ ur die Volatilit¨ at des Umsatzwachstums η(t) werden ebenfalls Mean-Reversion Prozesse unterstellt. Allerdings konvergieren beide Variablen deterministisch zu ihren langfristigen Mittelwerten ¯ σ und ¯ η. Die

langfristige Volatilit¨ at des Umsatzwachstums ¯ η wird ex ante gleich Null gesetzt.

Schließlich erlaubt das Modell Wechselwirkungen zwischen den Abweichungen des Umsatzes und denen des Umsatzwachstums von ihrem deterministischen Pfad, d.h., die Zufallsvariablen Z R und Z μ sind korreliert:

dZ R dZ μ = ρ Rμ (2.6)

Allerdings wird diese Korrelation zur Auswertung des Modells gleich Null gesetzt. Zur Herleitung der Free Cash Flows, die f¨ ur die abschließende Unternehmensbewertung gebraucht werden, muss zus¨ atzlich zu den Umsatzgr¨ oßen eine Kostenstruktur modelliert werden. Es wird angenommen, dass sich die gesamten Kosten C(t) aus zwei Bestandteilen zusammensetzen: der erste Bestandteil αR(t) beinhaltet Kosten f¨ ur verkaufte G¨ uter oder Dienstleistungen, die sich proportional zum erzielten Umsatz verhalten, also variabel sind. Der zweite Bestandteil (F + βR(t)) deckt alle anderen Kosten ab, teilweise Fixkosten, teilweise auch weitere variable Kosten, die nicht direkt dem Umsatz zurechenbar sind.

C(t) = αR(t) + (F + βR(t)) = (α + β)R(t) + F (2.7)

Insbesondere bei der Bewertung von Wachstumsunternehmen, die in den Anlaufjahren keinen positiven Jahres¨ uberschuss erwirtschaften, ist die Implementierung eines Verlustvortrags unumg¨ anglich. Die Umsetzung des Verlustvortrags in Schwartz, Moon [28] ist stark vereinfacht hinsichtlich der Realit¨ at, da nur v¨ ollige Steuerfreiheit in einer Periode oder volle Besteuerung unterschieden wird. Ein Abzug des Verlustvortrages vom Periodengewinn und eine Besteuerung des

KAPITEL 2. DAS MODELL NACH SCHWARTZ / MOON (2000) 5

verbleibenden positiven Ergebnisses findet nicht statt. Damit ergibt sich f¨ ur den Netto-Erfolg Y (t) unter Ber¨ ucksichtigung des Verlustvortrags L(t) und des Unternehmenssteuersatzes τ c :

Y (t) =

wobei L(t) den bestehenden Verlustvortrag bezeichnet. Er ¨ andert sich in Abh¨ angigkeit des erzielten Gewinns: −Y (t)dt

Auf einen Verlustr¨ ucktrag wird verzichtet. Schließlich ergibt sich damit die Entwicklung des Free Cash Flow dX(t) als:

dX(t) = X(t)e r dt + Y (t)dt (2.10)

Besonderes Augenmerk ist auf den Zinssatz r zu richten, mit dem sich der Kas-senbestand (FCF) verzinst. Um keine Aussch¨ uttungspr¨ amisse treffen zu m¨ ussen, impliziert Gleichung 2.10 eine stetige Thesaurierung des FCF im Unternehmen. Der Kassenbestand verzinst sich im Zeitintervall dt stetig mit dem risikolosen Zinssatz r. Diese Vorgehensweise ist korrekt, solange die FCFs bei den nachfolgenden Barwertbetrachtungen ebenfalls mit dem risikolosen Zinssatz diskontiert werden. Pr¨ aziser w¨ are es, die Verzinsung mit einem unternehmensinternen Nettozins r c anzunehmen, denn faktisch unterliegen Zinsgewinne im Unternehmen der Besteuerung. Dies h¨ atte zur Folge, dass die anschließende Diskontierung der erwirtschafteten FCFs wiederum mit einem Nettozins zu erfolgen h¨ atte. Dann allerdings stellt sich die Frage, welcher Zins (im Sinne der besten Alternativanlage) heranzuziehen ist. Um diesem Dilemma aus dem Weg zu gehen, ist obige Vorgehensweise durchaus zu rechtfertigen. Sie kann als private Kapitalanlage unter Ausnutzung steuerlicher Freibetr¨ age interpretiert werden. Der heutige Firmenwert V (0) wird unter Ber¨ ucksichtung eines vordefinierten Simulationszeitraums T ermittelt. Allerdings bedingt t = T nicht, dass die Unternehmung zu diesem Zeitpunkt auch liquidiert wird. Vielmehr wird von der Going-Concern-Pr¨ amisse ausgegangen. Der Fortf¨ uhrungswert der Unternehmung ¨ uber

den Zeitpunkt T hinaus wird nach Schwartz, Moon [28] mittels eines EBITDA-Multiples M ermittelt. Der EBITDA-Wert (Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization) ergibt sich aus R(T ) − C(T ). Damit stellt sich der heutige Firmenwert folgendermaßen dar:

V (0) = E Q {X(T ) + M ∗ [R(T ) − C(T )]}e −rT (2.11)

KAPITEL 2. DAS MODELL NACH SCHWARTZ / MOON (2000) 6

Der Erwartungswert E wird unter einem risikoadjustierten Wahrscheinlichkeitsmaß Q berechnet. Nur so ist es zul¨ assig, mit dem risikolosen Zinssatz r zu diskontieren. Der Unternehmenswert V besitzt dann Martingaleigenschaften unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß Q. Allerdings macht dies eine Transformation der Gleichungen 2.2, 2.3 und 2.6 erforderlich. Die Drift muss jeweils gleich Null gesetzt werden. Dies wird ausf¨ uhrlich in Neftci [22] beschrieben. Vereinfachend nehmen Schwartz, Moon [28] an, dass der Marktpreis des Risikos f¨ ur das erwartete Umsatzwachstum Λ η aus Glg. 2.3 Null ist. Nun lassen sich die driftadjustierten Prozesse zu den Gleichungen 2.2, 2.3 und 2.6 ableiten.

Um den Firmenwert bestimmen zu k¨ onnen, ist eine Diskretisierung der Gleichungen 2.4, 2.5, 2.12 und 2.13 notwendig. Die daraus resultierenden Gleichungen bilden die Grundlage der nachfolgenden Unternehmensbewertung. Sie lauten:

μ(t + Δt) = e −κΔt μ(t) + (1 − e −κΔt )

Das derart spezifizierte Modell wird mittels Monte Carlo Simulation gel¨ ost.

Kapitel 3

Jump Prozesse

3.1 Die Poissonverteilung

An zahlreichen Stellen der betriebswirtschaftlichen Forschung und Praxis wird mit mathematischen Verteilungen gearbeitet. Insbesondere die Normalverteilung wird oft herangezogen, um wirtschaftliche Sachverhalte zu beschreiben. Als Be-standteil der ” Geometrischen Brownschen Bewegung“ ist sie Grundlage vieler Bewertungsprobleme. Sp¨ atestens seit dem Artikel von Fischer Black und Myron Scholes ” The Pricing of Options and Corporate Liabilities“ [4] ist die Normalverteilung aus Berechnungen von Optionspreisen nicht mehr wegzudenken. Diese Berechnungen bilden modellhaft die Wirklichkeit (z.B. Aktienkursbewegungen) ab. Kritikpunkte an der Anwendung der Normalverteilung auf wirtschaftliche Sachverhalte gibt es reichlich. So ist die Normalverteilung beispielsweise stetig, s¨ amtliche Gesch¨ aftsvorf¨ alle (also auch Kursfeststellungen einer Aktie) finden in der Realit¨ at jedoch diskret statt. Insbesondere die Tatsache, dass die Normalverteilung große Wert¨ anderungen in sehr kurzer Zeit kaum zul¨ asst, bereitet Schwierigkeiten bei ihrer Anwendung. Man sagt, die Verteilung bilde die ” fat tails“

unzureichend ab. Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden. Dazu modellieren wir in Abb. 3.1 einen Aktienkurs mit der Normalverteilung. Wir befinden uns im Zeitpunkt T = 1. Aus dem Schaubild erkennt man den Kursverlauf der vergangenen Periode. Die Drift betr¨ agt laut Annahme Null, der Kursverlauf wird also lediglich durch einen Wiener Prozess bestimmt. Die beiden Pfeile 1 und 2 stellen beispielhaft zwei m¨ ogliche zuk¨ unftige Kurse dar. Pfeil 1 beschreibt einen moderaten Kursanstieg, Pfeil 2 steht f¨ ur einen signifikanten Kursr¨ uckgang. Beide Entwicklungen sind m¨ oglich, wahrscheinlicher ist jedoch die Kursver¨ anderung, die durch Pfeil 1 beschrieben wird. Dies liegt daran, dass wir f¨ ur den Aktienkurs eine Normalverteilung unterstellt haben. Extreme Kursausschl¨ age sind so zwar

7

KAPITEL 3. JUMP PROZESSE 8

120

115

110

105 Aktienkurs

100

95

90

85

Abbildung 3.1: Zuf¨ allige Aktienkursbewegung in Abh¨ angigkeit von der Zeit t (Quelle: eigene Darstellung)

modellierbar, aber unwahrscheinlich (selten). Betrachtet man die Dichtefunktion

der Verteilung, so wird dies verst¨ andlich (Abb. 3.2 oberes Teilbild: ” teilte Kurse“ ). Man sagt, die Verteilung bilde die ” Verteilung mit ”

gel Rechnung. Zwar ist damit ein besonders großer Ausschlag des Aktienkurses immer noch seltener als ein Seitw¨ artstrend der Kurse, jedoch hat die H¨ aufigkeit gegen¨ uber einer reinen Normalverteilung zugenommen. Die Verteilung mit ” fat

tails“ bildet erfahrungsgem¨ aß die Wirklichkeit besser ab. Eine Verteilung, die - in Anlehnung an obigen Mangel der Normalverteilung - in diskreten Zeitabst¨ anden das Eintreten signifikanter Ereignisse modellieren kann, ist die Poisson-Verteilung. Eine Zufallsvariable ist Poisson-verteilt, wenn gilt: e −λ λ x f ¨ ur x = 0, 1, 2, . . .

x! P ˜ x (x|λ) = (3.1) 0 sonst.

Einzig der Parameter λ bestimmt das Aussehen der Verteilung. Der Funktionswert P ˜ x (x|λ) gibt dabei an, wie wahrscheinlich es ist, dass f¨ ur ein vorgegebenes λ die Anzahl x dieser signifikanten Ereignisse auftritt. F¨ ur x → ∞ geht x (x|λ) → 0. Abb. 3.3 zeigt f¨ ur 0 ≤ x ≤ 10 das Verhalten der Poisson-Verteilung P ^˜ f¨ ur verschiedene λ.

Der Erwartungswert E(˜ x) der Poisson-Verteilung ist λ. Werden mit der Verteilung

KAPITEL 3. JUMP PROZESSE 9

Abbildung 3.2: Dichtefunktion f¨ ur verschiedene Verteilungen (Quelle: eigene Darstellung)

0.7

0.6

0.5

Eintrittsw.keit 0.4

0.3

0.2

0.1

Abbildung 3.3: Poissonverteilung in Abh¨ angigkeit der Jumph¨ aufigkeit λ (Quelle: eigene Darstellung)