Inhaltsverzeichnis

Einleitung.   3

Abhandlung.   4

I  Theorie  4

1  Das „neue“ Sachrechnen.  4

2  Ziele und Funktionen des Sachrechnens.  5

3  Das Lösen von Problemaufgaben  7

3.1  Sachrechnen als Problemlösen  7

3.2  Der Modellbildungsprozess beim Sachrechnen.  8

3.3  Hilfen beim Problemlösen  10

3.3.1  Heuristische Methoden  10

3.3.2  mögliche Bearbeitungshilfen  11

3.4  Schwierigkeiten im Lösungsprozess.  12

4  Fragestellung.  14

II  Empirische Untersuchung  15

1  Erhebungsverfahren  15

2  Durchführung.  18

2.1  Das erste Mädchen - Jennifer  18

2.2  Das zweite Mädchen - Pia  21

2.3  Das dritte Mädchen - Lara  24

3  Zusammenfassung der Ergebnisse  27

Schlussfolgerungen.   31

Pers  önliches Fazit  33

Literatur   34

Abk  ürzungsverzeichnis.  35

Anhang   36

EINLEITUNG

Denkprozesse von Kindern sind faszinierend und spannend. Im Lernbereich Mathematik haben wir uns mit verschiedenen Lösungswegen von Kindern beschäftigt. Dies hat mein Interesse verstärkt, mehr über das Lösungsverhalten zu erfahren. Was geht in ihnen vor? Wie gehen sie an das Lösen von Problemen heran? Wie kommen sie auf die Lösung?

Aus diesen Fragestellungen entwickelte ich meine Idee, die Denkprozesse von Kindern beim Umgang mit Sachaufgaben zu erkunden. Aufgrund von Beobachtungen, stellte ich fest, dass das Sachrechnen im Unterricht kaum eine Rolle spielt. Auf Nachfragen, woran das liegt, habe ich Aussagen bekommen wie „dafür haben wir keine Zeit“ und „dafür nehmen wir uns keine Zeit“. Die Bedeutung der Thematik ist scheinbar bewusst, dennoch nicht wichtig genug, um die notwendige Zeit dafür zu investieren.

Mit meiner Untersuchung möchte ich zeigen, dass besonders Sachaufgaben dafür geeignet sind, Denkprozesse in Gang zu bringen und Kompetenzen zu entwickeln, von denen auch in anderen Lernbereichen profitiert werden kann. Um gerade im Anfangsunterricht erfolgreich Sachaufgaben lösen zu können, gehe ich davon aus, dass Bearbeitungshilfen das Lösungsverhalten von Kindern beeinflussen. Aufgrund der Aussagen nehme ich an, dass die Schüler zu wenige Erfahrungen im Umgang mit problemhaltigen Sachaufgaben haben.

Zum besseren Verständnis der gesamten Thematik, gehe ich zu Beginn meiner Arbeit auf einige theoretische Hintergründe des Sachrechnens ein. Besonderes Augenmerk lege ich dabei auf das Lösen problemhaltiger Sachaufgaben. Anschließend werde ich meine Untersuchung vorstellen. Dabei werden drei Schülerinnen der Klassenstufe 4 beobachtet, wie sie verschiedene Sachaufgaben bearbeiten und ob Bearbeitungshilfen Einfluss auf ihre Denkprozesse nehmen. Als Unterstützung wird bei der Auswertung auf die angefertigten Videoaufnahmen zurückgegriffen.

ABHANDLUNG

I Theorie

1 Das „neue“ Sachrechnen

Das mit der Mathematik verbundene Gebiet des Sachrechnens ist bei vielen Menschen mit negativen Gefühlen und Assoziationen verbunden. Oftmals wird dies damit begründet, dass die Themenwahl früher eher demotivierend, da sie nicht aus der Umwelt der Kinder herausgenommen wurde. Es wurden zwar Aufgaben nach praktischen Gesichtspunkten erstellt wie zum Beispiel Schulleben, Ernährung, Bekleidung oder gar Heizung und Beleuchtung, dennoch ging es vordergründig um das Anwenden des Rechnens und hatte somit wenig Realitätsbezug (vgl. FRANKE 2003, S.6f).

Tendenziell gab es zwei weitere Aspekte, nach denen Sachaufgaben ausgewählt beziehungsweise eingesetzt wurden. Zum Einen die Auswahl nach dem arithmetischen Stoff und zum Anderen die nach Sachgebieten. Natürlich fragen sich manche, was das Problem dabei ist, denn solche Themenfelder sprechen doch Kinder an, wenn diese entsprechend aufgearbeitet sind. Das mag wohl stimmen, denn „neu ist diese Forderung an das Sachrechnen keineswegs. Rechnen diente schon bei den alten Griechen der Umwelterschließung“ (FRANKE 2003, S.6). Das Problem dabei liegt jedoch an der Betonung: Früher ging es um das Sachrechnen und heute legt man mehr Wert darauf, dass es um Sachrechen geht. Es soll demzufolge viel mehr um die Erschließung von Sachsituationen aus dem Alltag der Schüler beziehungsweise aus deren Umwelt gehen. Aber auch um Themen und Gebiete aus anderen Nationen der Welt. Das sonst im Vordergrund stehende Rechnen und dessen Anwendung nimmt eine andere Rolle ein, sobald vom „neuen Sachrechnen“ die Rede ist.

Das „neue Sachrechnen“ ist die Bemühung, den Themenkomplex innerhalb der Mathematik kindgerechter und interessanter zu gestalten. Hierbei dienen folgende Anhaltspunkte, die dieses Bemühen zum Erfolg bringen soll.

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Das „neue Sachrechnen“ soll von den Alltagserfahrungen der Kinder ausgehen. Damit sind aktuelle Themen gemeint, denen sich Kinder zum gegebenen Zeitpunkt mit Vorliebe widmen, die sie beschäftigen und die sie keinesfalls langweilen würden. Auch das Handeln mit authentischem Material kommt zum Einsatz.

Daran schließen sich Projekte, also Situationen, in denen sich Kinder tatsächlich außerhalb des Unterrichts befinden können, an. Gerade solche Momente sind wichtig, um den Bezug der Mathematik zur eigenen Umwelt darzustellen und zu verdeutlichen.

Des Weiteren haben die Texte der heutigen Sachaufgaben andere Eigenschaften als zur damaligen Zeit. Sie sind interessant geschrieben und bieten die Möglichkeit, Mathematik auf andere Fächer zu übertragen und mathematische Phänomene außerhalb des Mathematikunterrichts zu erkennen und anzuwenden. Damit können Sachaufgaben ihrem Namen gerecht werden und Sachwissen sowie realistische Informationen an den Schüler weitergeben. Allerdings können an dieser Stelle auch Figuren aus Geschichten oder Märchen zu mathematischen Betrachtungen anregen.

Besonders mit Hilfe von Aufgaben, in denen wirklichkeitsfremde Situationen thematisiert werden wie in fantasiereichen Erzählungen oder in Knobelaufgaben, können Kinder an die herausfordernde Mathematik herangeführt werden.

Diese Vorschläge zeigen einen Bruchteil der Vielfalt des Sachrechnens auf, die es uns ermöglicht, den Kindern einen ansprechenden Unterricht zu bieten. Im folgenden Abschnitt wird näher auf die Ziele und Funktionen des Sachrechens eingegangen.

2 Ziele und Funktionen des Sachrechnens

Wir leben in einer modernen Gesellschaft, in der es zu unserem Alltag gehört, mit anderen Mitmenschen zu kommunizieren und Informationen miteinander auszutauschen. Damit wir und unsere Kinder diesen Alltag bewältigen können reicht es nicht nur aus Rechenoperationen und mathematische Begriffe zu lernen.

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Es geht besonders beim Sachrechnen darum, Prozessfähigkeiten auszubilden und weiter zu entwickeln. Diese Fähigkeiten stellen u. a. in der heutigen Berufsausbildung das Basiswissen dar. Das Ziel ist es also, Kompetenzen zu erwerben, die es ermöglichen, eine Verbindung zwischen der mathematischen Welt und der Umwelt herzustellen und dadurch den Alltag bewältigen zu können. Nach FRANKE übernimmt das Sachrechnen hierbei drei Funktionen, die beim Vorbereiten des Unterrichts eine wichtige Rolle spielen. Es kann als Lernstoff eingesetzt werden, um neben den physikalischen Größen auch die „bürgerlichen Größen“ zu thematisieren. Zu den regulären Themenbereichen Längen, Gewichte, Zeit, Hohlmaße und Flächeninhalt kommen auch die Zählgrößen sowie der Umgang und das Rechnen mit Geld hinzu. Auch werden mittlerweile statistische und kombinatorische Aufgaben bereits in der Grundschule angeboten. Die Schüler lernen Methoden kennen, wie sie Daten gewinnen, verarbeiten und letztendlich darstellen können.

Bei der Verwendung des Sachrechnens als Lernprinzip sind die Erfahrungen der Kinder der Ausgangspunkt und wichtiger Bestandteil der Lernprozesse. Das bereits erworbene Wissen wird umstrukturiert beziehungsweise ergänzt und vertieft. Durch diese Herangehensweise können mathematische Zusammenhänge verständlicher dargestellt werden und die Motivation der Kinder wird gefördert. Die dritte Funktion des Sachrechnens ist die annähernd wichtigste, bei der das Sachrechnen selbst „der Stoff des Mathematikunterrichts“ (FRANKE 2003, S.29), demzufolge das Lernziel ist. Unsere Umwelt bewusster wahrzunehmen und deren Phänomene besser zu verstehen, soll das Ziel dieser Funktion sein. Kinder sollen die Fähigkeit erwerben Sachsituationen in mathematische umwandeln zu können. Dabei steht der Modellierungsprozess als Problemlöseprozess im Vordergrund. Auf diese spezifische Funktion des Sachrechens wird im Kapitel 3 näher eingegangen. Dabei wird neben der mathematischen Modellierung das Sachrechnen als Modellbildungsprozess näher erläutert. Anschließend werden Möglichkeiten gegeben, die beim Lösen von Problemaufgaben hilfreich sein können und auf Schwierigkeiten aufmerksam gemacht, die bei diesem Prozess auftreten können.

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3 Das Lösen von Problemaufgaben

3.1 Sachrechnen als Problemlösen

Als Lehrer die Problemlösefähigkeit seiner Schüler entwickeln und fördern zu wollen, ist ein wichtiges Lehrziel. Dafür im Mathematikunterricht Sachaufgaben mit einzubeziehen ist gut. Dennoch ist eine „knifflige“ Sachaufgabe nicht gleich für jeden Schüler eine Problemaufgabe.

Erst wenn der Schüler beim Versuch, die Aufgabe zu lösen, auf ein Hindernis stößt, welches er nicht ohne Weiteres überbrücken kann, stellt diese Aufgabe ein so genanntes Problem dar (vgl. ZECH 2002, S.308). Ein Problem ist demzufolge vom Wissensstand des Schülers abhängig. Sind Rechenverfahren bekannt, mit denen man die Lösung erhalten kann? Wenn ja, können diese auch entsprechend angewendet werden? Muss ein Lösungsweg eigenaktiv erstellt werden? Diese Fragen können helfen, eine Aufgabe beziehungsweise deren „Schwierigkeitsgrad“ einzuschätzen. Hierbei liegt die Schwierigkeit darin, Aufgaben auszuwählen, die Schüler weder unter- noch überfordern. Aufgaben, die für den Lehrer reine Routineaufgaben sind, können für Schüler bereits erhebliche Probleme darstellen. Wichtig ist es, den Schülern Mittel und Wege zu zeigen, wie Sie eben solche Barrieren, die aus einer „simplen“ Sachaufgabe ein Problem machen, überwinden können.

Neben den individuellen Voraussetzungen eines jeden Schülers, „…gibt es Gesetzmäßig- und Regelhaftigkeiten im menschlichen Problemlöseprozess, die für alle Individuen gelten.“ (RASCH 2001, S. 41)

Das Lösen eines Problems wird meist in vier Phasen eingeteilt. Der ungarische Mathematiker PÓLYA unterteilt in folgende Phasen. Die erste Phase ist dadurch gekennzeichnet, dass das Problem hinsichtlich Gegebenen und Gesuchtem analysiert wird. Es werden Daten und deren Beziehungen zueinander herausgestellt. In Bezug auf den Problemlöser wird in dieser Phase versucht, die Aufgabe zu verstehen. Dem schlisset sich die kreative zweite Phase an. Es wird ein Plan erstellt, der zum Lösen des Problems dienen soll. Dieser Lösungsplan kann zum Beispiel in Form einer Skizze oder Tabelle erstellt werden. Gegebenes und Gesuchtes wird miteinander verbunden. In dem

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der Suchraum eingegrenzt oder Hilfsmittel mit einbezogen werden, können eventuell festgelegte Teilziele erreicht werden. Sofern bereits ähnliche Aufgaben gelöst wurden, können an dieser Stelle auch Analogien hergestellt werden. Steht der Plan, kann dieser in der dritten Phase ausgeführt werden und es kommt zu Ergebnissen, die in der letzten Phase mit Blick auf die Aufgabenstellung überprüft werden. Nach PÓLYA dient diese vierte Phase jedoch auch dazu, sein eigenes Handeln zu reflektieren, wodurch der Problemlöser heuristische Strategien erkennt; allgemeine Vorgehensweisen, die ihm beim Lösen von weiteren Problemen nützlich sein können (vgl. FRANKE 2003, S.70). Wendet man sich wieder der Realität in den Grundschulen zu, muss an dieser Stelle erwähnt werden, dass der Problemlöseprozess sich nicht als lineare Stufenabfolge darstellen lässt. Ich schließe mich hier den Aussagen NEBERS und RASCHS an, die dies ebenfalls anzweifeln. Gerade bei Grundschulkindern ist es auffällig, dass sie meist, nachdem die Aufgabe gelesen wurde, gleich anfangen mit irgendwelchen Rechnungen ohne sich vorab Gedanken darüber zu machen. Vermutlich dienen diese spontanen Lösungsversuche den Verständnisbemühungen der Kinder. Es fällt ihnen in diesem Alter schwer, sich von alleine Gedanken über den Lösungsweg zu machen und diesen zu planen. Das ist ein Indiz dafür, dass die einzelnen Phasen nicht nacheinander ablaufen sondern eher parallel zueinander (vgl. RASCH 2001, S.44). Und gerade deswegen ist es umso wichtiger von vornherein mit dem Erlernen von heuristischen Strategien zu beginnen. Diese bedarf es ebenfalls bei der Bildung mathematischer Modelle. Wie man die in einer Aufgabe beschriebene „reale“ Situation in ein mathematisches Modell transferiert und dieses dann zur Lösung der Aufgabe nutzt, wird im folgenden Abschnitt näher beleuchtet.

3.2 Der Modellbildungsprozess beim Sachrechnen

Damit Schüler die Mathematik in ihrer Lebensumwelt anwenden können, ist neben dem Beherrschen von Rechenoperation auch die Fähigkeit, Modelle von realen Situationen bilden zu können, eine notwendige Voraussetzung. Der Prozess der mathematischen Modellbildung wird von BLUM in vier Phasen eingeteilt. Zu Beginn wird die reale Situation auf die eigentliche Fragestellung eingegrenzt, um

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anschließend so weit vereinfacht bzw. strukturiert zu werden, dass ein reales Modell erstellt werden kann. Das wird in der dritten Phase einem mathematischen Modell zugeordnet welches abschließend in der vierten Phase durch das Anwenden von Rechenoperationen zu einem mathematischen Resultat führt (vgl. FRANKE 2003, S.74f.).

Die Modellbildung beim Sachrechnen läuft ähnlich ab, nur werden für die Bezeichnung der einzelnen Phasen andere Begrifflichkeiten verwendet. Zunächst wird von einem Sachproblem ausgegangen. Das Verständnis hierfür ist vom Wissensstand des Schülers abhängig, den er über diese Situation hat. Es beeinflusst unter anderem auch das Textverständnis. Ist die beschriebene Situation dem Problemlöser bekannt, fällt es ihm in der Regel leichter, ein entsprechendes Situationsmodell zu erstellen. Allerdings gibt es auch Schüler, die unabhängig von der Situation anhand bestimmter Formulierungen gleich losrechnen. Sie übertragen das Sachproblem direkt in ein mathematisches Modell, ohne sich mit der Situation auseinandergesetzt zu haben. Der Übergang zwischen dem Verständnis des Sachproblems zur Übertragung in ein mathematisches Modell wird in der Literatur als mentale Repräsentation beschrieben. Unter Verwendung heuristischer Strategien bzw. Bearbeitungshilfen wie umformulieren, skizzieren, Material verwenden, konstruiert der Schüler zu dem Sachproblem ein für sich eigenes Situationsmodell. Anschließend muss er dieses abstrahieren, um es einem mathematischen Modell zuordnen zu können. Um ein mathematisches Modell konstruieren zu können, müssen Kinder „bekannte Rechenoperationen bzw. Lösungsverfahren als geeignet identifizierten und mit den in der Sachaufgabe gegebenen Daten konkretisieren; in der Sachaufgabe Ähnlichkeiten zu bekannten Verfahren erkennen, diese der Aufgabe anpassen und analog vorgehen [und] in der Sachaufgabe Teile erkennen, denen sie ein mathematisches Modell zuordnen können“ (Franke 2003, S.82).

Ist das passende mathematische Modell gefunden, kann das Ergebnis errechnet werden. Jedoch muss die mathematische Lösung nicht die Lösung der Sachaufgabe sein. Die Schwierigkeit besteht darin, das Ergebnis wieder auf die reale Situation, auf den Sachkontext zurückzuführen. Hierbei ist es wichtig, mit gesundem Menschenverstand zu überprüfen, ob das mathematische Ergebnis

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