Inhaltsverzeichnis

1.  SACHANALYSE UND DIDAKTISCHE REDUKTION  3

2.  BEDINGUNGSANALYSE  6

3.  DIDAKTISCHE ÜBERLEGUNGEN  8

4.  LERNZIELE DER STUNDE  10

5.  METHODISCHE ENTSCHEIDUNGEN  11

6.  VERLAUFSPLANUNG DER UNTERRICHTSSTUNDE  14

7.  ANLAGEN  17

7.1.  ÜBERSICHT ÜBER DIE GEPLANTE UNTERRICHTSEINHEIT  17

7.2.  EINORDNUNG DER STUNDE IN DIE EINHEIT  18

7.3.  SITZPLAN  20

7.4.  TAFELBILD  20

7.5.  LERNAUSGANGSLAGE  21

7.6.  MATERIALIEN  26

7.8.  ERWARTUNGSHALTUNG  28

8.  QUELLENVERZEICHNIS  30

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1. Sachanalyse und Didaktische Reduktion

„Unter Stochastik wird ganz allgemein der durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik sowie deren Anwendungsgebiete gekennzeichnete Wissenschaftsbereich verstanden, der sich mit Zufallserscheinungen befasst (aus dem griech: jemand, der im Vermuten geschickt ist).“ ¹ Die Stochastik unterteilt sich in drei miteinander vernetzte Hauptgebiete: Kombinatorik, beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Im Folgenden soll die Wahrscheinlichkeitstheorie näher betrachtet werden.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entschlüsselt den Zufall so weit wie möglich durch mathematisches Denken. Eine der wichtigsten Methoden zum Gewinnen von Daten sind dabei Zufallsexperimente.

Ein Zufallsexperiment ist ein realer Vorgang (Versuch), der unter exakt festgelegten Bedingungen stattfindet. Die möglichen Ausgänge (Ergebnisse) des Versuches stehen fest, nicht jedoch, welchen Ausgang der Versuch nimmt. Ein Zufallsexperiment kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden. ² Beispiele für Zufallsexperimente sind Glücksspiele, wie das Würfeln, das Werfen einer Münze oder das Drehen eines Kreisels.

Dafür gibt es in der Literatur synonyme Bezeichnungen wie Ergebnismenge und Stichprobenraum.

Der Ergebnisraum ist stets nichtleer, d. h. die Menge  enthält wenigstens ein Element. Die Menge  kann endlich viele oder unendlich viele Elemente enthalten. 4

¹ Kütting, u.a.: Elemtare Stochastik, 2008, S.8

² Vgl. Kütting, u.a., 2008, S.30

³ Feuerpfeil, u.a.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 1999, S.13

⁴ Vgl. Kütting, u.a., 2008, S.31

⁵ ebd. S.25

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Die Wahl von A hängt demnach stets vom Interesse des Beobachters ab. Er entscheidet anhand der Gewinnregel, welches die günstigen Ereignisse für ihn sind. Auch die speziellen Ereignismengen, die leere Menge und die Gesamtmenge lassen sich als Ereignisse interpretieren:

Die leere Menge enthält kein Ergebnis von ω des Ergebnisraumes Ω. Es kann bei keiner Durchführung des Experiments eintreten. Daher wird diese spezielle Ereignismenge unmögliches Ereignis genannt.

Enthält Ω jedoch alle möglichen Ergebnisse und tritt bei jeder Durchführung des Experiments ein, wird es sicheres Ereignis genannt. Ereignisse, die nur aus einem Ergebnis ω bestehen, also {ω}, heißen Elementarereignisse.

Es können zwei verschiedene Zugangsmodelle zu Zufallsexperimenten unterschieden werden: der geometrische Zugang und der Zugang über die relativen Häufigkeiten.

Beim geometrischen Zugang werden die geometrischen Eigenschaften des Zufallsgenerators betrachtet. Man unterscheidet symmetrische (z.B. Würfel, Münze) und asymmetrische Zufallsgeneratoren (z.B. Reißzwecke, Streichholzschachtel). Bei symmetrischen Zufallsgeneratoren tritt jedes Ereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Bei „fairen“ Kreiseln (sind in farbige oder mit Zahlen versehene gleichgroße Dreiecke eingeteilt) ist es ähnlich ⁶ . Die Hypotenusen der Dreiecksflächen bilden dabei die Kanten des Kreisels. Nur wenn alle Kanten und somit auch die Hypotenusen gleich lang sind, ist der Flächeninhalt der Dreiecke gleich groß. Deshalb handelt es sich um einen „fairen“ Kreisel. Jedes Elementarereignis hat demnach die gleiche Chance zu fallen. Das entspricht dem klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace. Die Wahrscheinlichkeit für

jedes der Elementarereignisse ist dann P =

Für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, gilt die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit. Ist A ein Ereignis der Mächtigkeit |A| = m, so ist A die Vereinigung von m Elementarereignissen. Jedes davon hat die

⁶ Vgl. Walther, Gerd; u.a. (Hrsg.) 2009, S.151

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Für den Kreisel ergibt sich daraus folgende Formel zum Errechnen der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A:

 A P ) (

Der Zugang über die relativen Häufigkeiten ist eine weitere Möglichkeit um herauszufinden mit welcher Wahrscheinlichkeit das Eintreten des Ereignisses zu erwarten ist ⁷ . Dafür sollen die Begriffe relative und absolute Häufigkeit erst einmal definiert werden:

Die Anzahl n der Ereignisse A, die in einer Stichprobe eines Zufallsexperiments vorkommen, heißt absolute Häufigkeit H n (A).

Demnach lässt sich die relative Häufigkeit aus der absoluten Häufigkeit errechnen: A Hn ) (

h n (A) =

n

Werden die Zufallsexperimente hinreichend häufig wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A) an. Das entspricht dem Gesetz der großen Zahlen ⁹ .

Bei diesen Überlegungen wird stets von einem „fairen“ Kreisel ausgegangen. Es kann jedoch auch zu Beeinflussungen der Gewinnchancen beim Drehen kommen. Mögliche Ursachen hierfür können sein:  Der Kreisel dreht sich nicht genau um den Mittelpunkt.  Eine der Dreiecksflächen ist ungleich gegenüber den anderen. (z.B. durch ungenaues Zuschneiden der Kreisel)

 Die Kreiselfläche bildet keinen rechten Winkel zum Drehstab.

⁷ Vgl. Walther, Gerd; u.a. (Hrsg.) 2009, S.152

⁸ ebd. S.33

⁹ Vgl. ebd. S.43

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Didaktische Reduktion

In der Unterrichtsstunde werden zwei farbig unterschiedlich eingeteilte Kreisel mit einer regelmäßigen sechseckigen Grundfläche benutzt. Es handelt sich um „faire“ Kreisel, bei denen jedes Elementarereignis die gleiche Chance hat zu fallen. Die Wahrscheinlichkeiten des günstigen Ereignisses („Gelb gewinnt den Preis!“) sind verschieden.

Die Schüler nähern sich den Eintrittswahrscheinlichkeiten der günstigen Ereignisse über den Zugang der relativen Häufigkeiten von Zufallsexperimenten. Dabei müssen sie die Summe der absoluten Häufigkeiten aller Schülerexperimente zahlenmäßig erfassen und in einen Zusammenhang mit der Anzahl aller Wiederholungen bringen. Das Errechnen gezielter Wahrscheinlichkeiten spielt in der Grundschule keine Rolle. Diesen zahlenmäßigen Zusammenhang können die Schüler anhand der Anzahl der günstigen farbigen Flächen optisch gut erkennen. Der Flächeninhalt der Dreiecke soll keine Rolle spielen.

Um die Beeinflussungsfaktoren beim Durchführen der Zufallsexperimente möglichst gering zu halten, arbeiten die Kinder mit fertigen Kreiselvorlagen.

2. Bedingungsanalyse

Die Klasse 3b der Grundschule S in S setzt sich aus zehn Jungen und zehn Mädchen im Alter von 8 bis 10 Jahren zusammen. Nach Piaget befinden sich Kinder in diesem Alter auf der Stufe des konkret-operationalen Denkens. Schüler in diesem Stadium benötigen konkrete Sachhandlungen und Erfahrungen für den Abstraktionsprozess ¹⁰ . Ich unterrichte diese Klasse wöchentlich in einer Stunde Englisch und vier Stunden Mathematik, wobei zwei Stunden davon eigenverantwortlicher Unterricht sind. Ich kenne die Klasse bereits seit dem vergangenen Schuljahr. Die Kinder der Klasse sind aufgeweckt und lebhaft, wodurch es auch im Unterrichtsverlauf zu Störungen kommen kann. Schwierigkeiten treten außerdem im pünktlichen Unterrichtsbeginn auf, weil mehrere Schüler immer wieder zu spät erscheinen.

Die Schüler folgen dem Unterrichtsgeschehen aufmerksam, wenn dieses ihren Interessen entspricht. Offene Unterrichtsformen kennen die Schüler, wobei der lehrerzentrierte Unterricht überwiegt. Problematisch sind dabei die Bereitschaft sich auf die gestellten Aufgaben einzulassen, die Ausdauer und der Lösungsoptimismus

¹⁰ Vgl. Maras, Rainer; u.a.: Handbuch für die Unterrichtsgestaltung in der Grundschule. 2007, S.201

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sowie die allgemeine Klassenlautstärke. Regelmäßig müssen offene Arbeitsphasen aufgrund von Unruhe unterbrochen werden. In den Reflexionsphasen erkennen die Schüler ihre Probleme bereits sehr gut. Sie können dieses Wissen allerdings noch nicht handelnd in die Arbeitsphasen übertragen.

Der Sitzkreis als Methode ist bei den Schülern dieser Klasse sehr beliebt. Aus organisatorischen Gründen findet der Sitzkreis vor der Tafel auf Teppichfliesen statt. Der Austausch von Informationen untereinander findet bei den Schülern routiniert und thematisch meist fachbezogen statt. Die Partner sind frei wählbar. xx, xx, xx, xx und xx sind sehr langsam und finden nur schwer einen Partner. xx, xx und xx hingegen arbeiten gern mit allen Kindern der Klasse zusammen und werden auch bevorzugt als Partner gewählt.

Im arithmetischen Bereich haben alle Schüler eine gute Zahlvorstellung im Zahlenraum bis 1000.

Stochastische Inhalte wurden mit den Kindern bereits im vergangenen Schuljahr behandelt. Die Hauptschwerpunkte waren hierbei das Sammeln und Auswerten von Daten (z.B. zum Schulfrühstück). Die Schüler können sich gut in Tabellen orientieren und Übersichten für gesammelte Daten erstellen (u.a. in Form von Strichlisten). Zufallsexperimente hingegen wurden vor dieser Unterrichtseinheit noch nie behandelt. Aus diesem Grund habe ich mich für einen Lernausgangstest vor Beginn der Unterrichtseinheit entschieden. Dabei sollen an dieser Stelle nur die für diese Stunde relevanten Fragen berücksichtigt werden ¹¹ .

Den Kreisel als Zufallsgenerator hat kein Schüler als bekanntes Glücksspiel benannt. Auf Nachfragen kannten den Kreisel allerdings alle Kinder z.B. vom Kinderfest oder Kindergeburtstag als kleine Preise.

Exemplarisch für die Vorerfahrungen beim Kreisel sollen nun die Kenntnisse beim klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace betrachtet werden. 11 von 20 Schülern wissen, dass man keinen Einfluss auf das Würfelergebnis hat und können dies alltagssprachlich begründen. xx, xx, xx, xx und xx glauben, dass eine 1 leichter zu würfeln sei, weil die Augenzahl kleiner ist. xx glaubt, dass es leichter ist eine 6 zu würfeln und xx ist der Meinung, dass die Zahlen 2,3,4 und 5 am häufigsten vorkommen. xx und xx konnten diese Frage nicht beantworten. 7 von 20 Schülern erkennen, dass eine größere Anzahl günstiger Ereignisse das Eintreten des Ereignisses im Zufallsexperiment wahrscheinlicher macht.

¹¹ Weitere ausgewählte Betrachtungen zum Lernausgangstest befinden sich im Anhang Lernausgangslage.

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xx, xx, xx, xx, xx, xx und xx haben bei der Frage, aus welcher Urne man am günstigsten ziehen soll, bereits die richtige Urne gewählt und erkannt, dass die Anzahl der Kugeln relevant ist. Die Begründungen sind umgangssprachlich.

Insgesamt lässt sich sagen, dass xx, xx und xx bereits gute Vorstellungen in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten haben. xx hat so gute Vorkenntnisse, dass er immer wieder angibt beim eigentlich gleichwahrscheinlichen Zufallsexperiment dies durch Schummeln beeinflussen zu können ¹² .

xx, xx, xx, xx, xx und xx gaben zum Teil widersprüchliche Antworten. Sie haben noch keine genauen Vorstellungen zum Thema Wahrscheinlichkeit und Zufall aufgebaut. xx ¹³ und xx hatten vor der Unterrichtseinheit zum Teil sogar falsche Vorstellungen. Innerhalb der Unterrichtseinheit wurde bereits an dieses Vorwissen angeknüpft. Die Vorstellungen der Schüler wurden in Bezug auf die stochastischen Begriffe „sicher“, „möglich“ und „unmöglich“ präzisiert. Durch das Zufallsexperiment Münzwurf konnten die Schüler zu Gewinnchancen und die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bereits praktische Erfahrungen sammeln. In diesem Zusammenhang wurde auch die Methode „Strichliste führen“ wiederholt.

Die Unterrichtsstunde findet nach der Frühstückspause um 9 Uhr statt. Während der Frühstückspause findet in der Grundschule S freitags immer die „Spatzensendung“ von Fridolin dem Schulspatz über den Schullautsprecher statt. Die Pause ist dadurch laut. Methodisch muss deshalb zu Beginn der Stunde auf Beruhigungsphasen geachtet werden.

3. Didaktische Überlegungen

Mathematiklernen soll für die Schüler persönlich bedeutsam sein. Das Lernen sollte an Vorerfahrungen und an die unmittelbare Lebenswelt der Schüler anknüpfen ¹⁴ . Sie sehen, wie Erwachsene Entscheidungen treffen und benutzen umgangssprachliche Redewendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, z.B. „Heute hat der Wetterbericht angesagt, dass es wahrscheinlich regnet.“ Außerdem spielen Kinder gerne Spiele, die auf dem Zufallsprinzip beruhen. Genau aus diesen Alltagserfahrungen heraus wird durch das Aufgreifen im Unterricht eine intrinsische Motivation geschaffen. Den Kreisel kennen die Kinder bereits als Spielzeug. Nun sollen sie ihn als Zufalls- ¹² Vgl.Lernausgangstest xx

¹³ Vgl. Lernausgangstest xx

¹⁴ Vgl. Kultusministerium: Grundsatzband. 2005; S. 12

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