P. Ceolin „„‹Ž†—‰•˜‡”œ‡‹…Š‹•

Abbildung 1: Umkreis des Mittendreiecks A'B'C' ............................................................................... 4

Abbildung 2: Vierecke P a P b B'A' und P b P c B'C' ..................................................................................... 4

Abbildung 3: Strahlensatzfigur mit Zentrum in H ............................................................................... 5

Abbildung 4: Strahlensatzfigur mit Zentrum in A ............................................................................... 6

Abbildung 5: Strahlensatzfigur mit Zentrum in B ............................................................................... 6

Abbildung 6: Viereck P a P b A'B' ............................................................................................................ 7

Abbildung 7: Strahlensatzfigur mit Zentrum in C ............................................................................... 8

Abbildung 8: Strahlensatzfigur mit Zentrum in B ............................................................................... 8

Abbildung 9: Gemeinsame Diagonale P b B' ......................................................................................... 9

Abbildung 10: Höhenfußpunkte........................................................................................................... 9

Abbildung 11: Höhenfußpunkte auf dem Thaleskreis (Feuerbachkreis) ........................................... 10

Abbildung 12: Konstruktionsschaubild ............................................................................................. 10

Abbildung 13: Kreis w mit Durchmesser XX a .................................................................................. 11

Abbildung 14: Gleiche Tangentenabschnitte ..................................................................................... 12

Abbildung 15: Fortsetzung der Tangentenabschnitte ......................................................................... 12

Abbildung 16: Strecke BX = CX a ...................................................................................................... 13

Abbildung 17: Durchmesser von Kreis w .......................................................................................... 13

Abbildung 18: Halbe Differenz SA' ................................................................................................... 14

Abbildung 19: Spiegelung von Dreieck ASC an der Winkelhalbierenden w A .................................. 14

Abbildung 20: Strahlensatzfigur ........................................................................................................ 15

Abbildung 21: Strahlensatzfigur 2 ..................................................................................................... 15

Abbildung 22: B'' und C'' sind Bildpunkte von B' und C' bei Inversion an Kreis w .......................... 16

3

P. Ceolin 'HU)HXHUEDFKNUHLVV

Definition Feuerbachkreis:

'HU)HXHUEDFKNUHLVVLVWWGHU8PNUHLVVGHVV0LWWHQGUHLHFNVV¨$%&HLQHVV'UHLHFNVV¨$%&

Wir werden uns im folgenden stets auf das Dreieck ' ABC beziehen.

Satz 1

Die Mittelpunkte P a P b P c der Strecken HA, HB und HC, wobei H der Höhenschnittpunkt des

Dreiecks ¨ABC ist, liegen ebenfalls auf dem Feuerbachkreis.

Beweis:

4

P. Ceolin

Man betrachte die beiden Vierecke P a P b A'B' und P b P c B'C'.

Bemerkung:

Das Ziel ist es zu zeigen, dass beide Vierecke Rechtecke sind, denn dadurch dass in beiden Vierecken die Diagonale vorhanden ist, würden sie folglich einen gemeinsamen Umkreis

besitzen, der durch A',B' und C' geht und somit der Feuerbachkreis wäre. Dann würden die Punkte Pa, Pb, Pc auch auf diesem Kreis liegen und man wäre fertig.

Für das Viereck P a P b A'B' gilt:

Die Seite ist parallel zur Seite aufgrund der Parallelität der Seiten des Mittendreiecks

¨$%&]XPP$XVJDQJVGUHLHFNN¨$%&Lemma 1.5)

Unter Verwendung des ersten Strahlensatzes (Lemma 1.0) mit Zentrum in H folgt, dass die Geraden

P a P b und AB bzw.

Äquivalenzrelation ist, ergibt sich dass wenn

Bisher haben wir zwei parallele Seiten eines Vierecks, also ein Trapez.

Für die anderen beiden Seiten des Vierecks gilt:

5

P. Ceolin

Unter Verwendung der Umkehrung des ersten Strahlensatzes mit Zentrum in B sind die Geraden

P a %µund HC bzw. nach Lemma 1.0 mit Zentrum in H sind die Geraden P b $µµXQGG+&&&parallel zueinander. Damit folgt dass P a %µ__ P b $µµE]Z ||

Wir haben zwei Paar parallele Seiten eines Vierecks, also ein Parallelogramm, da beide Seiten und

GDPLWWDXFKK]XX$¶%µµLVWIROJWWGDVVVDXFKKEHLGHH6HLWHQQ bzw. Rechteck.

6