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Inhaltsverzeichnis

1.  Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kinde  3

1.1  Piagets Untersuchungen zur Entwicklung des Zahlbegriffs  3

1.2  Zum Begriff der Invarianz.  3

1.3  Fehlende Invarianz.  4

1.4  Von der Varianz zur Invarianz.  6

1.5  Invarianz der Ordnung: Versuchssituationen.  7

1.6  Invarianz der Ordnung: Ergebnisse  

1.7  Ordnung und Anzahl (Ordination und Kardination)  10

1.8  Zu Piagets Erklärungshypothesen.  11

1.8.1  Operation.  12

1.8.2  Entwicklungsstadien.  12

2.  Die Zahlen und das Zählen.  14

2.1  Das Zählen.  15

2.2  Die Rolle der Sprache.  16

2.3  Die Symbolsprache der Mathematik  16

2.4  Wie lernen Kinder?  20

2.5  Erkunden des Vorwissens  21

2.6  Die Diskussion  23

2.7  Kreativität und Problemlösen.  25

2.8  Was wir Lehrer tun können.  25

3.  Paradigmenwechsel  28

3.1  Detailerfindungen der Lautanalyse.  29

3.2  Reformpädagogik.  30

3.3  Ganzheitsmethode - Synthetische Methode  31

3.4  Vom Lesen- zum Schreibenlernen.  32

3.5  Das Fehlervermeidungsprinzip  32

4.1  Schrifspracherwerb heute: Stufenmodelle des Schriftspracherwerbs (v. R. L.)  34

4.2  Ausgangsschriften.  36

5.  Erstes Spielen und Lernen - Irmgard Eberhard (Gruppenarbeit)  38

Literaturverzeichnis   40

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1. Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kinde

Für den Lehrer der ersten Klasse, dem es vor allem aufgegeben ist, den Schülern einen Begriff von den ersten natürlichen Zahlen zu vermitteln, muß es von großem Interesse sein, auf welche Voraussetzungen er sich bei dieser Aufgabe stützen kann. Gehört es doch zu den zentralen didaktischen Prinzipien, daß der Unterricht an das Vorwissen und die Vorerfahrungen der Schüler anzuknüpfen und diese in das Neuerkannte zu integrieren habe. Kinder fangen spätestens ab dem 3. Lebensjahr an, mit Quantitäten umzugehen; sie hören Zahlwörter und beginnen, sie auch selbst zu verwenden.

Was wissen wir also über die Vorerfahrungen von Schulanfängern mit Zahlen und über die Entwicklung ihres Zahlverständnisses? Diese Frage läßt sich eigentlich nur individuell, für jeden einzelnen Schüler gesondert, beantworten. Jedoch liefern kollektive Untersuchungen und Befunde zur Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind, wie sie nachfolgend referiert werden, zum einen Ideen für geeignete, auch systematische Beobachtungen und zum anderen Rahmeninformationen über die im Einzelfall zu erwartenden Ergebnisse. Jedenfalls sind sie geeignet, Problembewußtsein zu wecken und die Wahrnehmung zu schärfen.

1.1 Piagets Untersuchungen zur Entwicklung des Zahlbegriffs

Es gehört zu den unbestreitbaren Verdiensten des berühmten Schweizer Psychologen Jean Piaget, im Rahmen seiner genetischen Erkenntnistheorie eine prägnante, empirisch fundierte Theorie zum Aufbau von Begriffen bei Kindern entworfen zu haben. Ein eigenes Werk hat er dabei der „Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kinde“ (1965) gewidmet. Über dessen zentrale Inhalte soll nachfolgend ausführlich berichtet werden.

1.2 Zum Begriff der Invarianz

Kinder wie Erwachsene verdichten ihre Welterfahrungen aufgrund eines lebendigen Wechselspiels von Sinneswahrnehmungen und geistiger Auseinandersetzung mit der Realität. Sie gelangen dabei von imitativer Übernahme von Verhaltensformen bzw. deren situativer Anpassung an die Wirklichkeit nach und nach zu gegrifflichen Konzepten. Eine solche Verdichtung ist nur dadurch möglich, dass das Denken aus der großen Flut von

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Sinneseindrücken und Erfahrungen bestimmte wiederkehrende oder gleichartige als Konstanten herauszuheben vermag.

Nach Piaget muss ein Kind gewisse Objekte bzw. Objekteigenschaften als unverändert erkennen können, auch wenn diese ihre äußere Erscheinungsform (oder auch ihren Namen) ändern, um Begriffe bilden zu können. Denn nur auf der Grundlage einer solchen bezeichneten Objekt- oder Eigenschaftskonstanz können gleiche Objekte bzw. Merkmale zu Klassen zusammengefaßt und damit begriffliche Abstraktionen vollzogen werden. Um Größen- und Zahlbegriffe erwerben zu können, muß ein Kind in der Lage sein, die Erhaltung von Längen, Flächeninhalten usw. sowie von Anzahlen bei nur qualitativen Veränderungen ihrer gegenständlichen Repräsentation zu erkennen. Die Konstanz der Quantität gegenüber nur qualitativen Veränderungen nennt Piaget „Invarianz“ ¹ . Im Zusammenhang mit der Einsicht in die Invarianz der Quantität spielt zunächst die Größenkonstanz eine entscheidende Rolle. Sie ermöglicht uns, die bekannte Größe eines Gegenstandes in unserer Wahrnehmung relativ konstant zu halten. Jedoch nicht nur die Größenkonstanz spielt für den Aufbau des Zahlbegriffs eine entscheidende Rolle, sondern es muß auch die der unmittelbaren optischen Wahrnehmung entzogenen Größen (z. B. Gewichte) umfassen. Neben der kontinuierlichen Quantitäten muß sich die Invarianz auch auf die Anzahlen als diskontinuierliche Qunatitäten erstrecken. Ferner müssen Größenverhältnisse mit Hilfe bestimmter Maßzahlen ausgedrückt werden können. Und dies gibt nur einen Sinn, wenn die Kinder Größen nicht nur relativ, sondern absolut konstant halten können. Denn nur dann hat es die Invarianz der Quantität erfaßt. 2

Um der Frage der Invarianz der Quantität bei Kindern nachzugehen, hat Piaget viele Jahre hindurch umfangreiche empirische Untersuchungen angestellt.

1.3 Fehlende Invarianz:

An einem von vielen Versuchen soll deutlich gemacht werden, wie wenig jüngere Kinder unter Umständen in der Lage sind, an gefällten quantitativen Urteilen festzuhalten: In zwei kongruenten, zylinderförmigen Glasgefäßen befinden sich gleich viele blaue bzw. rote Perlen. Wir stellen uns Kinder vor, welche die Anzahl der roten und der blauen Perlen aufgrund des optischen Eindrucks als gleich groß einschätzen. („Man könnte mit ihnen zwei

¹ Piaget, Jean: Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kinde; Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 16

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gleich lange Ketten machen“.) Der Versuchsleiter (Vl) schüttete unter ihren Augen die roten Perlen in ein anderes zylinderförmiges Gefäß von geringerem Durchmesser um, so daß diese eine schmälere aber höhere Säule bilden. Versuchspersonen (Vpn), welche die Invarianz der Quantität noch nicht erfaßt hatten, behaupteten nunmehr, daß sie Anzahl der roten Perlen größer sei als die der blauen (bzw. daß man nun aus den roten Perlen eine längere Kette machen könnte als aus den blauen). Schüttete der Experimentator die Perlen zurück, so konstatierten dieselben Kinder wieder Gleichzahligkeit. 3

Piaget wollte auch wissen, ob sich die soeben beschriebene Varianz im Quantitätsurteil dadurch beseitigen ließe, daß man den Schülern die Gleichzahligkeit durch manuelle paarweise Zuordnung erfahrbar macht. Er ließ deshalb den Vl und die Vpn jeweils gleichzeitig eine Perle nach der anderen in die verschieden geformten Gläser werfen. Aufgrund des ersten Eindrucks von der paarweisen Zuordnung behaupteten die Kinder, es seien in beiden Gefäßen gleich viele Perlen. Sobald sie aber die Säule der roten Perlen im schmalen Gefäß deutlich höher steigen sahen als die der blauen Perlen, revidierten sie ihr Urteil in der oben beschriebenen Weise.

Was die Perlenversuche hinsichtlich des mangelnden Verständnisses der Invarianz der Anzahl gezeigt hatten, konnte auch für kontinuierliche Quantitäten nachgewiesen werden. Soll ein Kind die Invarianz der Quantität verstanden haben, so muß es nicht nur unabhängig geworden sein von Veränderungen im räumlichen Bild und in der äußeren Gestalt, in der diese erscheint; es muß auch wissen, daß sich kontinuierliche wie diskontinuierliche Quantitäten nicht ändern, wenn sie unterteilt bzw. aufgeteilt werden. Zusammenfassend kann man festhalten: Kinder, welche sich, wie Piaget sagt, noch im Stadium der Varianz befinden, also das Verständnis der Invarianz der Anzahl bzw. der kontinuierlichen Quantität noch nicht erreicht haben, können die Quantität nicht konstant halten, und zwar gegenüber Veränderungen in der Art der Elemente, gegenüber Veränderungen in der räumlichen Verteilung der Elemente, gegenüber dem räumlichen Erscheinungsbild bzw. der äußeren Gestalt sowie gegenüber der Aufteilung im Allgemeinen und gegenüber verschiedenen Aufteilungen im Besonderen. 4

² Vgl. Piaget, Jean: a.a.O., S. 15

³ Vgl. Piaget, Jean: a.a.O., S. 43f

⁴ Vgl. Piaget, Jean: a.a.O., S. 44f

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1.4 Von der Varianz zur Invarianz:

Ob ein Kind das Verständnis der Invarianz der Anzahl erreicht hat, läßt sich anhand seiner Lösung der Experimentalaufgaben erkennen. Man wird dies annhemen, Ø wenn das Kind spontan eine paarweise Zuordnung zwischen zwei Mengen bildet, um Gleichzahligkeit herzustellen oder festzustellen,

Ø wenn es bei der Herstellung bzw. der Festlegung der Gleichzahligkeit zweier Mengen von der Qualität ihrer Elemente unabhängig geworden ist und diese, ohne Rücksicht auf Form, Größe oder Farbe, als gleichwertige Zähleinheiten auffassen kann; Ø wenn es an einem gefällten Urteil der Anzahlgleichheit bzw. der Gleichheit zweier kontinuierlicher Quantitäten auch dann festhält, wenn sich das wahrnehmbare Erscheinungsbild, insbesondere die räumliche Verteilung, ändert.

Das zuletzt genannte Kriterium bildet vermutlich das Kernstück der Invarianz. Daher scheint die Frage von Interesse, wie Kinder dieses Sadiums ihre invarianten Quantitätsurteile verbal begründen. Piaget unterscheidet drei Klassen von Argumenten: Ø wenn der Vl Perlen oder Flüssigkeit umschüttet, eine Reihe von Plättchen auseinanderzieht oder zusammenschiebt bzw. Anzahlen oder Quanten unterteilt, so sellt die Vp fest, dass „es immer noch das Gleiche“ sei (Identitätsargument). Sie scheint also zu wissen, dass Anzahlen bzw. kontinuierliche Q uantitäten nur durch Hinzufügen oder Wegnehmen verändert werden können und nicht aufgrund qualitativer Umformungen wie Änderung der räumlichen Verteilung, der äußeren Gestalt oder der Aufgliederung. Ø Das Kind stellt fest, dass jede der vorgenommenen Umformungen rückgängig gemacht und dadurch der alte Zustand wieder hergestellt werden kann. „Man kann die Limonade wieder zurückschütten“, „Man kann die Plättchenreihe wieder zusammenschieben“ (Reversibilitätsargument).

Ø Beim Umschüttversuch sagt das Kind, dass die Säule zwar höher, aber dafür auch dünner geworden sei. Beim Auseinanderziehen der Plättchenreihe stellt es fest, dass nun die Reihe zwar länger sei, dafür aber die Plättchen weiter auseinander liegen. Beim Umschütten von Flüssigkeit in mehrere Gefäße argumentiert das Kind, dass die größere Anzahl der mit Flüssigkeit gefüllten Gefäße durch das kleinere Quantum in den einzelnen Gefäßen ausgeglichen (Kompensationsargument) werde. Bei der unterschiedlichen Aufteilung der Bonbons sagt das Kind, dass man nun zwar für den einen Tag weniger, für den anderen Tag aber entsprechend mehr zu essen habe. Die Vp sieht offenbar ein, dass

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bei der Beurteilung von Quantitäten verschiedene Gesichtspunkte bzw. Dimensionen zu berücksichtigen sind und man sich nicht auf einen einzigen Gesichtspunkt bzw. auf die Betrachtung einer einzigen Dimension verlassen darf. Die Anzahl einer Reihe ist abhängig von der Länge der Reihe und den Abständen zwischen den einzelnen Plättchen. Nun springt selbstverständlich kein Kind unmittelbar vom Stadium einer konsequent durchgehaltenen Varianz in das Stadium einer vollständig ausgeprägten Invarianz. Zum einen kann es vorkommen, dass dasselbe Kind in manchen Situationen die Invarianz erkennt, während es in anderen Situationen an der Varianz festhält. Zum anderen kommt es auch vor, dass ein und dasselbe Kind in der gleichen Versuchssituation zwischen Varianz und Invarianz hin und her zu schwanken scheint.

Allgemein beobachtete Piaget bei den Kindern ein längeres Übergangsstadium, in dem sich die Erkenntnis der Invarianz schrittweise anbahnt. Dieses Stadium ist für den Beobachter deshalb besonders aufschlußreich, weil es am ehesten Gründe und Faktoren zu enthüllen vermag, die für das Verharren auf der Varianz bzw. für das Verständnis der Invarianz entscheidend sind. 5

1.5 Invarianz der Ordnung: Versuchssituationen

Gemäß Piaget sind für den Aufbau des Begriffs der natürlichen Zahlen Erfahrungen zur Anzahl von Mengen bzw. das Verständnis von Anzahlen nicht ausreichend. Für ebenso bedeutsam hält er Erfahrungen zur Ordnung von Mengenelementen nach quantitativen Gesichtspunkten bzw. das Verständnis der Invarianz der Ordnung. Die Frage, wie sich dieses Verständnis für sich allein wie auch in Verbindung mit dem der Invarianz der Anzahl entwickelt, war für ihn daher ein weiterer wichtiger Gegenstand der Untersuchungen zur Entwicklung des Zahlbegriffs.

Für das Verständnis der Invarianz der Ordnung erachtete Piaget drei Fähigkeiten als konstitutiv:

Ø die Fähigkeit, konkrete Objekte aufgrund unterschiedlicher Größen linear zu ordnen (einfache, „qualitative“ Reihenbildung),

⁵ Vgl. Piaget, Jean: a.a.O., S. 28ff

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Ø die Fähigkeit, die Elemente zweier geordneter Mengen einander umkehrbar eindeutig zuzuordnen („qualitative Korrespondenz“ zwischen Reihenbildungen) und Ø die Fähigkeit, Anordnungen von Mengen b zw. Ordnungszahlen zu beschreiben (numerische „ordinale“ Korrespondenz). 6

Um Kindern verschiedenen Alters diese Fähigkeiten zuschreiben bzw. absprechen zu können, konfrontiert sie Piaget im Rahmen seiner klinischen Methode mit speziell ausgewählten „realen“ Situationen, die geeignete Gesprächsanlässe bieten. Versuchsmaterial ist z. B. eine Serie von 10 Holzpuppen, die in ihrer Größe so abgestuft sind, dass jede von ihnen von der benachbarten gut unterschieden werden kann und die größte mindestens doppelt so groß ist wie die kleinste. Ausserdem sind jeweils 10, in den Portionen der Puppengröße entsprechende, verschieden lange Spazierstöcke und verschieden große Rucksäcke vorhanden. Mit diesem Material werden den Kindern Aufgaben folgender Art gestellt: 1. Ordne die Puppen und die Spazierstöcke (Rucksäcke) so an, dass jede Puppe rasch ihren Stock (Rucksack) finden kann.

2. Mit welchem Stock (Rucksack) geht diese Puppe spazieren? Oder: Zu welcher Puppe gehört dieser Stock (Rucksack)?

3. Die Puppen gehen spazieren, aber nicht alle, sondern nur diejenigen, die kleiner (größer) sind als diese (gezeigte) hier. Suche die Spazierstöcke (Rucksäcke) für die Puppen heraus, die fortgehen.

Die Aufgaben 2 und 3 werden auf verschiedene Arten von situativen Vorgaben bezogen. Ø Zuerst ordnet sie die Versuchsperson so an, dass jeder Spazierstock (Rucksack) der zugehörigen Puppe direkt gegenüberliegt, also die Zuordnungen optisch wahrnehmbar sind.

Ø Später beziehen sich die Aufgaben auf eine Anordnung, wo die Reihe der Puppen und die Reihe der Spazierstöcke (Rucksäcke) zwar parallel liegen, aber in räumlich umgekehrter Ordnung, so dass der größten Puppe der kleinste Spazierstock (Rucksack) gegenüberliegt, der zweitgrößten Puppe der zweitkleinste Spazierstock (Rucksack), usw. Ø Dann wird die Situation so gewählt, dass die Ordnung einer der beiden Reihen völlig durcheinander gebracht ist, während die der anderen Reihe erhalten bleibt. Ø Schließlich werden die Aufgaben auch unter einer Vorgabe gestellt, bei der Puppen und Spazierstöcke (Rucksäcke) völlig ungeordnet liegen.

⁶ Vgl. Piaget, Jean: a.a.O., S. 66ff