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Die Bedeutung der privaten Rentenversicherung in Deutschland hat in den letzten Jahren

stark zugenommen. Laut der Arbeitsgruppe „Biometrische Rechnungsgrundlagen“ der Deut-

schen Aktuarvereinigung entfielen ca. 46% des laufenden Beitrags des Neuzugangs an Le-

bensversicherungen im Jahr 2003 auf Einzelrentenversicherungen und fondsgebundene Ren-

tenversicherungen. Entsprechend ist der Anteil von Rentenversicherungen an der Gesamt-zahl von Hauptversicherungen im Bestand von ca. 5% Ende 1996 auf ca. 16% Ende 2003

gestiegen (vgl. [1]). Da davon auszugehen ist, dass auch in Zukunft die Rentenversicherung

eines der wichtigsten Produkte in der deutschen Lebensversicherung bleiben wird, rückt die

Bewertung von Rentenkollektiven - und hier speziell von Kollektiven von Rentenversiche-

rungen im Rentenbezug - stärker in den Fokus der Aufmerksamkeit eines wirksamen Be-standscontrollings.

Ein wesentliches Problem im Zusammenhang mit dem Bestandscontrolling ist die Projektion

des Sterblichkeitstrends aus der bisherigen Sterblichkeitsentwicklung (vgl. hierzu Abschnitt

4 von [1]). Bei der Auswahl des Modells wird allgemein von einem alters- und / oder ge-

burtsjahresabhängigen Sterblichkeitstrend ausgegangen, in der Form

wobei die Sterblichkeit im Alter x und t das Geburtsjahr (resp. aktuelles Jahr) darstellt. ) (x q t

H und G sind geeignete reelle Funktionen, die letztlich die Verbesserung der Sterblichkeiten

zum Ausdruck bringen sollen. Die Verbesserung der Sterblichkeit in Abhängigkeit vom Be-obachtungsjahr wird dann relativ zu einer Basistafel gemessen, die die Sterblichkeit für ge-nau das, der Basistafel zugrunde liegende, eine „Basisgeburtsjahr“ wiedergibt.

Unabhängig von der Art des Modells wird bei der Bewertung eines Rentnerbestandes von

lebenslangen Leibrenten ein Barwert der Rentenzahlungen gebildet (wir unterstellen hierbei,

dass die kalkulatorischen Verwaltungskosten im Rentenbezug ebenfalls wie eine Rente be-

handelt werden und verweisen bei den folgenden Aussagen hierauf nicht mehr speziell hin)

bezüglich eines Zeitpunktes zu jedem im Bestand vorhandenen Alter. Hierbei geht der Ver-

besserungstrend der Sterblichkeit wesentlich mit ein. Diese Barwerte werden mit unterneh-menseigenen Rechnungsgrundlagen und Annahmen über die Sterblichkeitsverbesserung

gebildet. Das heißt aber, dass die rohen Sterblichkeiten nach Alter und Geburtsjahr (oder

Beobachtungsjahr) aufgegliedert werden müssen. Der Wert des Bestandes ergibt sich dann

durch Vergleich mit vorhandenen Aktiva. Bei der Bestandsbewertung beschränken wir uns

hier auf die Frage nach der Bestimmung des Barwertes zukünftiger Rentenzahlungen.

Um die notwendige Menge an Daten zu erhalten, ist es allgemein üblich mehrere - etwa n -Geschäftsjahre (= Beobachtungsjahre) zu betrachten. Die Sterblichkeit im Alter x wird so

über n Jahre gemessen, also zu n Geburtsjahren bzw. Beobachtungsjahren (um nicht immer

beide Möglichkeiten darzustellen, beschränken wir uns auf „Beobachtungsjahre“). Als aus-zugleichende relative Häufigkeit wird ein gewichtetes Mittel dieser n Werte genommen. Da

die Barwertformeln komplex werden würden und bei Wechsel des Beobachtungsjahres der

Barwert neu berechnet werden muss, geht die Sterblichkeitsverbesserung - über die n Beo-bachtungsjahre hinweg - häufig nicht mit ein. Das ist nicht notwendig. Ziel der Ausarbeitung

ist zunächst, hierfür eine neue Rechenmethode vorzustellen, die eine Berücksichtigung des

Sterblichkeitstrends gestattet, mit einer vereinfachten Berechnung der Barwerte für jedes

einzelne Beobachtungsjahr.

Bei der Berechnung der Barwerte im Rahmen dieser Ausarbeitung gehen wir deshalb von

der Barwertdefinition nach der von Reichel [6] dargestellten Methode zur Berechnung von

Burkhard Disch Bewertung von Renten bei mehrfach abgestufter Sterbetafel

- 3 -Barwerten in der Lebensversicherungsmathematik aus. Demnach setzen wir eine Bewer-tungsfunktion

mit einer stetigen Zinsintensität M W

dem Kollektiv mit nur einem Merkmal eine Funktion F(x) definiert durch

K d voraus. Hierbei ist die stochastische Variable K der untere Grenzwert aller ) ( ) ( x P x F

Zeitpunkte x, für welche das Objekt das ursprünglich vorhandene Merkmal (hier also „le-

Z t ben“) nicht mehr besitzt. Weiterhin gilt F(0) = 0 und F(x) = 1 für , wenn das Objekt x

spätestens nach dem endlichen Zeitpunkt Z das Kollektiv verlässt. Unterstellen wir im Zeit- x  raum [a,b] eine Erlebensfallleistung R(x) für (R rechtsseitig stetige Versicherungs- ] , [ b a

funktion), so ergeben sich die Barwerte

für die vorschüssige Erlebensfallleistung,

für die nachschüssige Erlebensfallleistung. Dabei ist allgemein ³

a

bzw. linksseitige Stieltjes-Schärfsche-Integral von nach (vgl. Reichel [6]). Gehen ) (W g ) (W h

wir davon aus, dass F(x) im deterministischen Modell als geschlossener analytischer Aus-druck vorliegt - beispielsweise bei Sterbegesetzen und beim Ausgleichen von rohen Häufig-

keiten mit Funktionenmengen ist dies der Fall -, wird die Auswertung der Integrale in der

vorliegenden Form schwierig und im allgemeinen werden Näherungsverfahren angewendet.

Die am häufigsten angewendete Methode ist das Approximieren durch stückweise konstante

Funktionen. Die Zinsintensität M W ( ) wird hier als konstante Funktion vorausgesetzt, und die

Versicherungsdauer [a,b] wird in Kalkulationsabschnitte unterteilt. b x x x a ...

n o 1

Die Funktion F(x) wird in den Kalkulationsabschnitten ; i = 0...n-1 konstant gleich ) , [ i x x 1 i

gesetzt und die Sterblichkeit durch 1-definiert. Leistungen werden hierbei ) ( 1 x F ) ( 1 x F i i

als vor- oder nachschüssig angenommen - oder vereinfachende Annahmen zur näherungs-

weisen Darstellung stetiger Zahlungen gemacht. Die Integrale reduzieren sich dadurch auf

einfache Summen.

der Erlebensfallbarwert bei vorschüssiger Zahlweise

der Erlebensfallbarwert bei nachschüssiger Zahlweise.

Bei der dargestellten Vorgehensweise werden die Informationen über F(x) zwischen den i x

vernachlässigt, um einen möglichst einfachen Formelapparat zu erhalten. Eine exakte und

genauso einfache Berechnung der Barwerte kann aus nahe liegenden Gründen im allgemei-nen Fall nicht erwartet werden. Sinnvoll wäre es aber, ein Verfahren zur genaueren Berech-nung so anzuwenden, dass die Integrale (3) in geschlossener Form ausgewertet werden kön-

nen - auch wenn die zugrunde liegenden Funktionen komplexer sind. Dadurch würden ver-

BurkhardDisch Bewertung von Renten bei mehrfach abgestufter Sterbetafel

- 4 -einfachende Annahmen vermieden und etwa ein stetiger Zahlungsstrom an Verwaltungskos-

ten bei Erleben eines Zeitpunktes im Rahmen von Ertragswertuntersuchungen oder eben bei

der Bewertung des Rentenkollektivs, auch als stetige Funktion abgebildet werden.

Für die folgenden Ausführungen setzen wir a = 0, F(0) = 0 und x

und x R

mit

Unter diesen Voraussetzungen sind der vor- und nachschüssige Rentenbarwert gleich. Die

bedingte Wahrscheinlichkeit

q x x ( ,

heißt die totale Ausscheidewahrscheinlichkeit bezüglich F. Die Ausscheideintensität ist defi-

P( ) niert durch x

F(x) ist damit eine Lösung der Differentialgleichung

P

( F(x) berechnet werden durch

F

Nach der Bestandsauswertung auf die Sterblichkeit der Rentner liegt eine, erst aufgrund der

Mittelbildung über die n Beobachtungsjahre vom Beobachtungsjahr unabhängige, Sterblich-keitsverteilung des Gesamtkollektivs an Rentnern vor.

Im Gegensatz zu dieser Vorgehensweise beobachten wir das Kollektiv über n Beobachtungs-

jahre und charakterisieren ein Element (versicherte Person) des Gesamtkollektivs erst ein-

deutig durch ein Alter und ein Beobachtungsjahr. Eine Person kann bis zu n mal im Kollek-

tiv vorkommen, jeweils zu verschiedenen Beobachtungsjahren mit n verschiedenen Altern.

Alternativ dazu kann die Person auch dargestellt werden durch Alter und Geburtsjahr. Für

die nachfolgenden Betrachtungen beschränken wir uns auf die Charakterisierung durch das

Alter x und das Beobachtungsjahr t. Hieraus folgt - aufgrund der erwähnten Mittelbildung -

P und ein F(x). Wir interpretieren die Sterblichkeitsverbesserung als x

Selektion auf dieses Gesamtkollektiv. Deshalb „segmentieren“ wir das Gesamtkollektiv (dis-junkt) nach den (Geburts-) Beobachtungsjahren (vgl. [4]). In manchen Beispielen werden

wir zur Vereinfachung auch nach Beobachtungsjahresgruppen segmentieren, das heißt, wir

fassen alle Segmente (oder „Teilkollektive“) zusammen, die zu einer bestimmten Beobach-

tungsjahresgruppe gehören. Die Gleichungen zur Beschreibung einer Segmentierung können

wie folgt zusammengefasst werden.

Ist ein Kollektiv “segmentiert”, so ist es unterteilt in beispielsweise zwei disjunkte Teile, 1 K

der Teil mit den Personen zur „normalen“ Sterblichkeit (Basiskollektiv, das dem Beobach-

tungsjahrgang der Basistafel entspricht) und 2

einem Beobachtungsjahr ungleich dem des Basiskollektivs).

gen Sterblichkeitsintensitäten für die betrachteten Teilbestände und

Anteile der Teilbestände am ganzen Kollektiv (vgl. [4]), das heißt,

P P P ˜ ˜ . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x r x x r x

2 2 1 1

x Wegen , erhalten wir 1 ) ( ) ( r x r

2 1

Burkhard Disch Bewertung von Renten bei mehrfach abgestufter Sterbetafel

Bei der Segmentierung des Kollektivs sind

tischen Materials - etwa aus der Bestandsauswertung. Die Differenz

wird mit Hilfe von (1) bestimmt. Sie beschreibt, um wie viel der selektierte Teil besser /

P ˆ x schlechter ist als der Rest des Kollektivs. ist damit gegeben. Bei der Berechnung von ) (

P (3) für den Teilbestand 2 K mit der Sterbeintensität wird im Allgemeinen die Bezie) ( 2 x

hung

P P P ˜ ˆ x x x r x ) ( ) ( ) ( ) (

2 1

ausgenutzt und dann die (3) entsprechenden Formeln angewendet. Das heißt, wir berechnen

die Barwerte für die “segmentierten” Teile unabhängig von den Integralen für den ganzen

Bestand, der der Segmentierung zugrunde lag.

Intuitiv betrachtet würden wir aber doch erwarten, dass die Barwerte für die Teilbestände mit

Hilfe des Barwertes der Basistafel in einfacher Weise sich ergeben. Wir stellen hier also die

Frage, wie kann das Integral

^{) 2 (} I

berechnet werden, unter Zuhilfenahme von ? Und speziell, wie könnte eine solche x f I ) , (

0

„Hilfe“ aussehen? Wir zeigen einen Weg unter Verwendung von Laplace-Transformationen

auf.

Dazu approximieren wir f bezügliche spezieller Funktionenmengen. Formen wir (8) um in

ein Integral, bei dem der Integrand in ein Produkt aus dem Integranden des Barwertes für die

Basistafel und einen Integranden für die Selektion zerfällt, so lassen sich diese zum Beispiel

getrennt in der Form

Ausgleichsfunktionenmenge sind als so genannte „Originalfunktionen“ der Laplace-

Transformationen gewählt, wodurch sich eine Näherung der Form

I

ergibt. Hierauf wenden wir die Laplace-Transformationen an, die durch die zugehörigen

“Bildfunktionen” das Integral (9) als einfache algebraische Operationen lösen und in einer

Form, bei der bei wechselndem Beobachtungsjahr keine neue Lösung des Integrals (9) mehr

notwendig ist, sondern der Barwert durch eine einfache Rechnung aus dem Barwert bezüg-lich der Tafel des Gesamtkollektivs abgeleitet wird. Es ist also nicht notwendig bei der Be-rechnung der Sterblichkeiten für die einzelnen Barwerte, die Sterblichkeitsverbesserung bei

der Mittelbildung zu berücksichtigen, sondern sie geht durch einfache algebraische Operati-onen im Rahmen der expliziten Lösung eines Integrals der Form (9) durch Laplace-

Transformationen mit ein.

Zusätzlich geben wir eine Möglichkeit an, den Fall des geteilten Rentnerkollektivs zu be-handeln, das heißt das Kollektiv ist selbst zusätzlich unterteilt nach geographischen, berufli-

chen oder soziologischen Kriterien die für wesentlich erachtet werden und deshalb eine ge-

trennte Bewertung erforderlich machen. Die Barwerte bezüglich dieser zusätzlichen Selekti-

on sind ebenfalls mit der vorgelegten Theorie und den Formeln berechenbar und - unter

Verwendung approximationstheoretischer Ansätze - praktisch ohne zusätzliche Approxima-

tion.

Burkhard Disch Bewertung von Renten bei mehrfach abgestufter Sterbetafel

Das Ziel der Untersuchung ist, den Barwert des Aufwands für zukünftige Rentenzahlungen

eines Bestandes an Rentenversicherungen im Rentenbezug mit laufenden jährlichen Renten

anzugeben. Das heißt wir bewerten die Rentenzahlungen eines Bestandes an Rentenversiche-

rungen in der Form

Aufwand

wobei R , der Anteil der Rentenzahlungen für x-jährige Rentner mit Beobachtungsjahr t am

t x

Gesamtkollektiv ist und

entsprechend zu (3) der Barwert einer lebenslangen Rente 1 im Alter x mit Beobachtungs-

jahr t. Im Unterschied zur Darstellung in (3) ist der Barwert nur vom Eintrittsalter x, der

Diskontierungsfunktion v und F abhängig. F ist allerdings von x und dem Beobachtungsjahr

t abhängig - im Gegensatz zu (3), da hier die Sterblichkeitsverbesserung mit berücksichtigt

Z

wird. Die Gesamtrente über alle Beobachtungsjahre beträgt damit ¦¦ , . R

t x

t x 0

Das Gesamtkollektiv segmentieren wir nach dem Beobachtungsjahr t in n disjunkte Teilbe- K ;t = 1,...,n. Weiterhin ergibt sich daraus die Gesamtsterbeintensität P(x) zum Alter stände t

P x aus den Sterbeintensitäten der n Teilbestände t = 1,...,n - das heißt der n Beobach- ) , ( t x

tungsjahre - , gewichtet mit dem jeweiligen Anteil am Kollektiv r t , mit positiven Funkti) (x

onen 0 d d 1 für alle Alter x und jedes Beobachtungsjahr t. Im Unterschied zu R , ) (x r t

t x

das den Anteil der Rentenzahlung beschreibt - steht für den Anteil an den versicherten ) (x r t

Risiken im Gesamtkollektiv der Rentenbezieher bei Berücksichtigung der Beobachtungsjah-re. Das heißt

Wir zeichnen einen Beobachtungsjahrgang 0 t aus und bezeichnen die Verteilungsfunktion

als Basisverteilungsfunktion. Damit liegen für den betrachteten Beobachtungsjahr,t x F

0

P gang die Funktionen vor. Mit (1) und (5) bilden wir mit der Basisver) , ( 0 t x ,t x F

0

teilungsfunktion die Verhältnisse zum beliebigen Beobachtungsjahr t

) ( x s

t

beschreibt damit die Veränderung der Sterblichkeit in einem differentiell kleinen Zeit) (x s t

raum [x, x+h) relativ zur Basisverteilungsfunktion. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit

betrachten wir hier alle Verhältnisse bezogen auf eine Basisverteilungsfunktion mit strikt

positiver Ausscheidewahrscheinlichkeit für alle x. Wir unterstellen im folgenden, dass

! h o ist (d. h. die Ausscheidewahrscheinlichkeit aus dem Teilbestand 0 ) , ( x x q t mit h 0

0

der Basistafel ist für alle betrachteten x größer Null). ist damit für alle t definiert. ) (x s t

Durch Erweiterung mit h und Grenzwertbildung h o 0 ergeben sich für alle t = 1,...,n die

Gleichungen

Burkhard Disch Bewertung von Renten bei mehrfach abgestufter Sterbetafel

Dabei bedeutet F’(x,t) die Ableitung der Funktion F(x,t) nach x bei festem Beobachtungsjahr

P P ˜ t. Es folgt mit (6) für alle t und x. (14) t x x s t x , ) ( , 0

t

Offensichtlich ist 0 d s

t ist mit (6) für alle t

oder unter Anwendung von (12)

P ˜ ˜ . (16) ) , ( ' ) , ( 1 ) ( ) , ( 0 t x F t x F x s t x

t

Bei gegebenen Verhältnissen wie in (1) ist die Verteilungsfunktion für jedes t gegeben durch

die Lösung eines Systems von n gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. Hin-

zu kommen noch die Anfangsbedingungen

plizit angeben. Hierzu ist die Funktion

Die Funktion

messene Gesamtsterbeintensität gewichtet mit den Sterbeintensitäten der einzelnen Teilbe-stände nach Beobachtungsjahren beschreibt. Wir bezeichnen deshalb diese als "mittlere In-tensitätsfunktion" bzgl. der Segmentierung nach Beobachtungsjahren des Bestandes.

Zur Motivation des Begriffes betrachten wir das Beispiel n = 3, mit den von x unabhängig

) konstanten Funktionen (Basistafel 1 t

0

. 25 , 0 ) ( r ; 35 , 0 ) ( r ; 4 , 0 ) ( r ; 8 , 0 ) ( s ; 1 , 1 ) ( s ; 1 ) ( x x x x x x s

3 2 1 3 2 1

Wir unterteilen also den Gesamtbestand in eine mittlere Beobachtungsjahresgruppe für t = 1

bei einem Bestandsanteil von 40 % und sowohl eine Beobachtungsjahresgruppe mit höherer

Sterbeintensität als auch eine mit niedrigerer Sterbeintensität - mit einem Bestandsanteil von

P

35 % bzw. 25 %. Es ist dann

Wir unterstellen für die Alter x = 1,..,4 die folgenden konstanten Sterbeintensitäten P(x).

~ x P (Angaben in ‰) Daraus ergeben sich die mittleren Sterbeintensitäten ) (

Tabelle 1; Beispiel zu mittleren Sterbeintensitäten

~ x

x 1

2

3

4

~ x P Legende: (A) im Falle x alle für 6 , 0 ) ( ; 0 ) ( x r x r ) (

3 2

~ x P (B) im Falle x alle für 0 ) ( ; 6 , 0 ) ( x r x r ) (

3 2

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