Inhaltsverzeichnis

Einleitung   4

1  Genese des Oktaederfünflings  4

1.1  Polyeder.  5

1.1.1  Eigenschaften von Polyedern.  5

1.1.2  Arten von Polyedern.  6

1.2  Platonische Körper  8

1.3  Der Oktaederfünfling  14

1.3.1  Aufbau des Oktaederfünflings.  14

1.3.2  Verwandte des Oktaederfünflings  19

2  Der Bau des Oktaederfünflings.  20

2.1  Vorüberlegungen  20

2.2  Umsetzung.  26

2.3  Kritische Betrachtung  34

3  Einsatzmöglichkeiten des Oktaederfünflings in der Grundschule  35

3.1  Ziele und Didaktik des Mathematikunterrichts in der Grundschule  35

3.2  Einsatzmöglichkeiten des Oktaederfünflings in der Grundschule.  38

4  Fazit  42

Quellen  - und Literaturverzeichnis  44

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Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Das Tetraeder  

Abbildung  2: Das Hexaeder  

Abbildung  3: Das Oktaeder  

Abbildung  4: Das Ikosaeder  

Abbildung  5: Das Dodekaeder  

Abbildung  6: Oktaeder einbeschrieben in einen Ikosaeder und einen Dodekaeder.  

Abbildung  7: Schale (Ikosidodekaeder) und Kern (Ikosaeder) des Oktaederfünflings  

Abbildung  8: Ein in ein Ikosaeder einbeschriebenes Oktaeder.  

Abbildung  9: Zwei sich durchdringende Oktaeder  

Abbildung  10: Drei sich durchdringende Oktaeder  

Abbildung  11: Vier sich durchdringende Oktaeder  

Abbildung  12: Oktaederfünfling.  

Abbildung  13: Würfelfünfling  

Abbildung  14: Tetraederfünfling  

Abbildung  15: Kartonmodell eines Oktaederfünflings.  

Abbildung  16: Ein Dreieck der Oktaederfünfling-Spitze Abwicklung einer  

Oktaederf  ünfling-Spitze.  

Abbildung  17: Metallschablone  

Abbildung  18: Verbindung der Körperflächen.  

Abbildung  19: Oktaederspitzen  

Abbildung  20: Komplex aus fünf Oktaederspitzen.  

Abbildung  21: Teilmodell mit fünf Anbauteilen  

Abbildung  22: Teilmodelle mit den letzten Oktaederspitzen  

Abbildung  23: PVC-Modell eines Oktaederfünflings.  

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Einleitung

Ich habe im letzten Semester erfahren, dass im Tagesfachpraktikum Mathematik bei Prof. Dr. Maier Polyeder mit Hilfe von PVC-Folien hergestellt werden. Als ich dann den Tetraederfünfling einer früheren Hausarbeit entdeckt habe, wurde mein Interesse geweckt. Da ich mich sehr gern mit Geometrie befasse und auch die Herstellung solcher Körper spannend finde, entschied ich mich in diesem Bereich meine wissenschaftliche Hausarbeit zu schreiben.

Prof. Dr. Maier war gerne bereit, mich bei meiner Arbeit zu betreuen. Die Wahl des richtigen Polyeders war nicht einfach. Prof. Dr. Maier schlug vor, einen Teil einer geodätischen Kuppel anzufertigen. Davon war ich nicht besonders begeistert, da ich gerne einen geschlossenen Polyeder anfertigen wollte. Deshalb fiel meine Entscheidung nach einigen Überlegungen auf den Oktaederfünfling, da mich seine äußere Form fasziniert und ich mehr über diesen Polyeder erfahren wollte. Im ersten Kapitel wird zunächst die Gruppe der Polyeder beschrieben und anschließend die Platonischen Körper etwas ausführlicher aufgeführt, da sie für diese Arbeit eine wichtige Rolle einnehmen. Schließlich folgt ein Unterkapitel über den Oktaederfünfling, in welchem ich seinen Aufbau darstelle und Verwandte aufzeige. Das zweite Kapitel handelt vom eigentlichen Bau des Oktaederfünflings. Hier sind Vorüberlegungen, die Dokumentation der verschiedenen Bauphasen und eine kritische Betrachtung dargestellt. Danach werden die Einsatzmöglichkeiten in der Schule vorgestellt, welche eine wichtige Rolle spielen. Meine Vorstellungen zur Umsetzung dieses Projekts in der Primarstufe werden im dritten Kapitel festgehalten.

1 Genese des Oktaederfünflings

Die Entwicklung oder Entstehung des Oktaederfünflings wird mit dem Wort Genese beschrieben. Zur besseren Einordnung des Körpers, werden zunächst in

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den Kapiteln 1.1 und 1.2 die Klasse der Polyeder und die Platonischen Körper im Speziellen beschrieben. Des Weiteren werde ich in Kapitel 1.3 die Nachvollziehbarkeit der Entstehungsgeschichte dieses Körpers aufzeigen.

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1.1 Polyeder

Der Begriff Polyeder bezeichnet direkt übersetzt Vielflächner. Dahinter verbirgt sich eine Vielzahl von geometrischen Körpern. Maier (2003) definiert, „ein Polyeder (…) [als] eine einfache Struktur aus endlich vielen Flächen, wobei die Struktur geschlossen ist und alle Flächen zusammenhängend sind“ (Maier, 2003, S. 15).

Die hervorgehobenen Begriffe dieser Definition und einige weitere Eigenschaften von Polyedern werden in folgendem Unterkapitel näher beschrieben.

1.1.1 Eigenschaften von Polyedern

Ein Polyeder wird von endlich vielen Flächen begrenzt. Die Anzahl ist also beschränkt und unendliche Polyeder sind somit ausgeschlossen (vgl. Maier, 2003, S. 15).

Die Geschlossenheit des Körpers ist eine weitere Forderung. Dies bedeutet, „jede Seite von jeder Fläche fällt mit genau einer Seite einer weiteren Fläche zusammen“ (Maier, 2003, S. 15). Es wird also nur von Polyedern gesprochen, wenn immer genau zwei Seiten verschiedener Flächen an einer Kante zusammentreffen. Besitzt der Körper mehr oder weniger Seiten handelt es sich um andere Strukturen. Eine offene Pyramide ist beispielsweise kein Polyeder, da auf einige Seiten der Flächen keine weiteren treffen. Des Weiteren müssen alle Flächen des Polyeders zusammenhängend sein. Die Flächen eines Körpers bilden demnach eine zusammenhängende Kette, bei der „benachbarte Flächen sich jeweils mit einer Seite berühren“ (Maier, 2003, S. 15). Der Begriff „einfach bedeutet: Wenn n Flächen sich in einer Ecke treffen, kann man von jeder Fläche über die anderen n-1 Flächen zu jeder anderen der n Flächen wandern, ohne die Ecke zu passieren“ (Maier, 2003, S. 16). An der Kante eines Polyeders fallen zwei Seiten von zwei, nicht in einer Ebene liegenden, x x x x x x x x x x x x

Flächen zusammen (vgl. Maier, 2003, S. 15).

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Es treffen n Kanten an den Körperecken in einem Punkt aufeinander. Ein Flächenwinkel wird von zwei benachbarten Flächen eingeschlossen, welcher im Inneren des Vielflächners liegt (vgl. Maier, 2003, S. 15). Polyeder können in konvex und nicht konvex eingeteilt werden. Wenn die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte nur Punkte aus dem Innern des Körpers enthält, ist ein Polyeder konvex (vgl. Gottwald, 1995). „Bei konvexen Polyedern haben die Flächen keine einspringenden Ecken und die Körperecken keine einspringenden Kanten - jeder Winkel und jeder Flächenwinkel ist kleiner als 180°“ (Maier, 2003, S. 17).

1.1.2 Arten von Polyedern

Es gibt verschiedene Arten von Polyedern. Die Platonischen Körper sind vermutlich die bekanntesten und regelmäßigsten unter ihnen. Da sie eine wichtige Rolle bei der Entstehung des Oktaederfünflings spielen, werden sie im Kapitel 1.2 ausführlicher dargestellt.

Bei den Archimedischen Körpern handelt es sich um konvexe Polyeder, welche von regulären Vielecken verschiedener Typen begrenzt werden. Sie „entstanden aus je zwei oder drei verschiedenen einfachen Formen [und] gelten als halbregelmässige [sic] Körper“ (Adam/Wyss, 1994, S. 49). Archimedische Körper weisen neben der Eigenschaft aus regulären Vielecken zu bestehen, zusätzlich einheitliche Kantenlängen auf (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 49). Es gibt neben den fünf Platonischen Körpern nur insgesamt dreizehn Polyeder als Sonderform der Archimedischen Körper, welche diese Bedingungen erfüllen. Davon werden zehn aus zwei verschiedenen Polygonen gebildet, das sind: Tetraederstumpf, Würfelstumpf, Kuboktaeder, Oktaederstumpf, Rhombenkuboktaeder, Kubus simus, Dodekaederstumpf, Ikosidodekaeder, Ikosaederstumpf und Dodecaedron simum. Drei weitere Körper werden von drei unterschiedlichen Polygonen begrenzt, das sind: Kuboktaederstumpf, Rhombenikosidodekaeder und Ikosidodekaeder-stumpf (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 75). x x x x x x x x x x x x Die von Norman W. Johnson zusammenstellten Körper werden als Johnson solids bezeichnet. Es handelt sich dabei um konvexe Polyeder, die von regulären Flächen begrenzt sind. Diese folgen aber nicht so strengen Bedingungen, wie die

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Platonischen Körper oder die Archimedischen Körper. Die Seiten dürfen von mehreren verschiedenen Sorten regelmäßiger Vielecke gebildet werden und die Ecken müssen nicht mehr kongruent sein (vgl. Pöppe, 2003, S. 1). Somit können Platonische und Archimedische Körper als Spezialfälle der Johnson solids betrachtet werden. Neben diesen Spezialfällen hat Johnson noch 92 weitere Körper gefunden. Den Beweis für die Vollständigkeit dieser Liste erbrachte ein Russe namens Zalgaller (vgl. Pöppe, 2003, S. 3).

Zudem existieren nicht konvexe Körper, welche sternartige Polyeder genannt werden. Von diesen Polyedern gibt es vier regelmäßige, die als Poinsots Sternkörper bekannt sind. Sie werden wie die Platonischen Körper ausschließlich von einer Art Vielecke begrenzt und sind sozusagen die nicht konvexe Erweiterung der Platonischen Körper. In Bindel (1964) werden die fünf Platonischen Körper zusammen mit den vier Poinsots Sternkörpern als „Neunergruppe der regelmäßigen Körper“ (Bindel, 1964, S. 51) benannt. Diese Sternkörper werden im Einzelnen wie folgt bezeichnet: Dodekaederstern oder kleines Sterndodekaeder, Ikosaederstern oder großes Sterndodekaeder, Vielflächner aus zwölf Fünfecken oder großes Dodekaeder, Vielflächner aus 20 Dreiecken oder großes Ikosaeder (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 84 ff.). Die ersten beiden Sternkörper wurden bereits von Johannes Kepler (1571-1630) in seinem Werk ‚Harmonices mundi’ (Weltharmonik, 1971) beschrieben und abgebildet (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 84). „Nach den vorhandenen Unterlagen [ist es] als sicher anzunehmen, daß [sic] Poinsot seine Entdeckung ohne Kenntnis der Leistung Keplers gemacht hat“ (Bindel, 1964, S. 51). Der Bindelstern und der Baravellestern sind weitere sternförmige, jedoch nicht regelmäßige Gebilde (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 87 ff.).

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1.2 Platonische Körper

Die Platonischen Körper werden von den einfachsten Flächenformen begrenzt. Diese sind das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Fünfeck. Deshalb sind die Platonischen Körper auch die regelmäßigsten Polyeder, die gebildet werden können. In jedem Körper darf nur eine Art von Flächen vorkommen und die Ecken müssen jeweils kongruent sein. In den Ecken treffen deshalb gleich viele Kanten und Flächen aufeinander. Ein weiteres Merkmal dieser Körper ist, dass alle Kanten gleich lang sind (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 31 und Maier, 2003, S. 144).

„Jeder der fünf Platonischen Körper lässt sich in jeden anderen einschreiben, nur nicht in seine eigene Form, ausgenommen das Tetraeder“ (Adam/Wyss, 1994, S. 34). Durch das Prinzip der Dualität bilden Würfel und Oktaeder ein Paar, sowie Dodekaeder und Ikosaeder. Diese Körper gehen durch Vertauschen der Flächen-und Eckenzahlen jeweils ineinander über. Nur das Tetraeder hat sich selbst zum Partner und „bleibt bei diesem Vorgang in sich bestehen“ (Bindel, 1964, S. 31). Deshalb sagt man auch, dass die fünf regulären Polyeder in gegenseitiger Beziehung zueinander stehen.

Es können jedem Platonischen Körper drei Kugeln zugeordnet werden. Zum ersten die Umkugel, sie umhüllt den Körper und berührt all seine Ecken. Zum zweiten die Inkugel, sie ist dem Körper einbeschrieben und berührt die Flächen in ihren Mittelpunkten. Zum dritten die Kantenkugel, sie liegt zwischen Umkugel und Inkugel und berührt alle Kanten in ihren Mitten (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 31). Des Weiteren fallen „die Mittelpunkte all dieser Kugeln […] mit dem Mittelpunkt des Körpers zusammen“ (Miyazaki, 1987, S. 6).

Pythagoras (580-500 v.Chr.) kannte schon zu seiner Zeit die Körper Würfel, Tetraeder und Dodekaeder. Doch erst Plato (427-374 v.Chr.) ordnete sie in seinem Dialog «Timaios» den «kosmischen Baubestandteilen der Welt» zu. Die

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Körper wurden den Elementen Feuer, Luft, Wasser, Erde und der «Himmelsmaterie» zugewiesen. Seitdem werden diese fünf Körper Kosmische oder auch Platonische Körper genannt (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 11).

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Das Tetraeder

Das Tetraeder wird dem Element Feuer zugeordnet und „ist Bild für die alles durchdringende Strahlenkraft der Wärme“ (Adam/Wyss, 1994, S. 14). Außerdem ist das Feuer, wie das Tetraeder, das kleinste und leichteste Element. Es kann leicht übergreifen und alles zerstören (vgl. Miyazaki, 1987, S. 9). In Keplers Zeichnung lodert ein flammendes Feuer in den Flächen des Tetraeders auf (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 14). Das Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Es hat die besondere Eigenschaft, dass jede Ecke gleich weit von jeder anderen entfernt ist. Die Ecken sind die spitzesten und stacheligsten aller Platonischen Körper, da sie durch je drei Flächenwinkel von 60° gebildet werden. Die Kanten sind wiederum die schärfsten, sie schließen einen kleinen Winkel von etwa 70° ein (vgl. Adam/Wyss, 1994, S. 14). Für den Oktaederfünfling spielt das Tetraeder keine Rolle.

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