INHALTSVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS.   II

TABELLENVERZEICHNIS.   III

FORMELVERZEICHNIS.   IV

1  Einführung  1

2  Copulas  2

2.1  Problemstellung und theoretische Grundlagen:  2

2.2  Das Konzept der Copula:  3

2.3  Parametrische Copulas  6

2.3.1  Normal Copula  6

2.3.2  Student-t-Copula  7

2.4  Nicht-parametrische Copulas  9

2.4.1  Frank-Copula  9

2.4.2  Clayton-Copula  10

2.4.3  Gumbel-Copula  10

3  Ermittlung von Copula-parameter und Risikomessung.  12

3.1  Vorgehensweise  12

3.2  Ermittlung der Parameter für Copulas  14

4  Anwendung von Copulas im Risikomanagement  18

4.1  Aggregation von Risikoverteilung zum Gesamtbankprofil  18

4.2  Anwendung von Copulas auf Solvency II:  19

5  Bewertung der Modellierung mit Copulas und Ausblick  22

LITERATURVERZEICHNIS.   23

QUELLENVERZEICHNIS   24

II

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

Abbildung  1: Ein möglicher Fehlschluss  

Abbildung  2 : Copula Überblick  

Abbildung  3: Zusammenfassung von Sklar´s Theorem  

Abbildung  4: Untere (links) und obere (rechts) Fréchet-Hoeffding Schranke  

Abbildung  5: Normal Copula  

Abbildung  6: Student-t-Copula mit n 2, korrelationskoeffizient ρ -0,8 und ν 3  

Abbildung  7: Frank-, Clayton-, und Gumbel-Copula  

Abbildung  8: Originäre Datenverteilung  

Abbildung  9: Monte Carlo Simulation der Clayton-Copula vs originaler Datenverteilung  

Abbildung  10: Monte Carlo Simulation der Frank-Copula vs originaler Datenverteilung  

Abbildung  11: Solvency II Säulen  

Abbildung  12: Value-at-Risk, Expected Shortfall und SCR  

III

TABELLENVERZEICHNIS

Tabelle 1: Spearman´s Rho und Kendall´s Tau Rangkorrelationskoeffizienten für

bivariate Copulas ......................................................................................................... 14 Tabelle 2: Spearman´s Rho und Kendall´s Tau und Parameterschätzung für bivariate

Copulas ........................................................................................................................ 15

IV

FORMELVERZEICHNIS

Formel 1: Korrelationskoeffizient ......................................................................................... 2 Formel 2: Sklar´s Theorem .................................................................................................... 4 Formel 3: Gauß-copula .......................................................................................................... 6 Formel 4: Student-t-Copula ................................................................................................... 7 Formel 5: Bivariate elliptische Copulas ................................................................................ 9 Formel 6: Archimedische Copulas ........................................................................................ 9 Formel 7: Frank-Copula ...................................................................................................... 10 Formel 8: Clayton-Copula ................................................................................................... 10 Formel 9: Gumbel-Copula ................................................................................................... 10 Formel 10: Formelsammlung für bivariate Copulas............................................................ 11 Formel 11: Log-Likelihood-Funktion ................................................................................. 12 Formel 12: Erster Schritt der IFM-Mothode (Schätzung der Paramter der

Randverteilung) ........................................................................................................... 12 Formel 13: Zweiter Schritt der IFM-Mothode (Schätzung der Paramter der Copula) ........ 13 Formel 14: Spearman´s Rho Rangkorrelationskoeffizient ................................................. 13 Formel 15: Kendall´s Tau Rangkorrelationskoeffizient ..................................................... 13 Formel 16: Value-at-Risk ................................................................................................... 20 Formel 17: Expectes Shortfall ............................................................................................ 20 Formel 18: Solvency Capital Requirement ......................................................................... 21 Formel 19: Varianz .............................................................................................................. 21 Formel 20: Wurzelformel der SCR ..................................................................................... 21

1

1 Einführung

In der letzten Zeit spielt der Begriff „Risikomanagement“ in vielen Unternehmen, besonders in Versicherungsunternehmen immer größere Rolle. Risikomanagement ist der Führungsprozess zur Bewältigung der in einer Unternehmung entstehenden Risiken. Und in diesem Zusammenhang versteht man unter Bewältigung, die Risiken zu erkennen, zu analysieren, auszuwerten und zu kontrollieren ¹ . Zum Begriff Risiko findet man verschiedene Definitionen in der Literatur, im Internet oder auch im Leben. Allgemein ist das Risiko die Kombination der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und dessen Konsequenz. ² Zusammenfassend sind qualitative Risiken und quantitative Risiken zu unterscheiden. Als Beispiele für Risiken sind Bonitätsrisiko, Marktrisiko, Versicherungsrisiko, operationelles Risiko, Liquiditätsrisiko, Asset Liability Management-Risiko…. In den letzten Jahren steigert sich die Wichtigkeit, die richtige Methode der Risikoaggregation zur Unterstützung des Prozesses des Risikomanagements sowie der Risikobemessung zu finden. Im Grunde genommen ist Risikoaggregation die Zusammenfassung von Einzelrisiken zu einem Gesamtrisiko. ³ Das Verstehen und die Bewertung der Abhängigkeit von verschiedenen Einzelrisiken bzw. Zufallsvariablen sind das Grundkonzept für ein erfolgreiches Risikomanagement im Finance- sowie im Versicherungsbereich. Das Ziel dieser Seminararbeit ist es, auf die Thematik von Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen und auf deren Aggregationsmethode einzugehen. Und Copula Funktion ist ein mächtiges Instrument dafür, das durch diese Arbeit vermittelt wird.

Der zweite Abschnitt stellt einige Fehlschlüsse anhand der Verwendung von linearen Korrelation sowie den Lösungsansatz mit Hilfe von Copulas vor. Danach werden verschiedene Copulas mit der Form deren Verteilungsfunktionen und deren Eigenschaften dargestellt, wobei eine Aufteilung in zwei Klassen hilfreich sein wird. Im dritten Abschnitt werden die Kopularparameter besierend auf dem Maximum-Likelihood-Methode, IFM (Inference Function for Margins)-Methode sowie Momentenschätzermethode ermittelt. Als Beispiel für die Schätzungsmethode und danach die Simulation der Copulas werden anhand der historischen Daten von DAX und REX einige Berechnungen und Darstellungen der Copula-Graphiken vorgenommen. Gezeigt wird im vierten Abschnitt ein Überblick über einige Anwendungen von Copulas in der Praxis. Der fünfte Abschnitt ergibt eine Bewertung der Verwendung von Copulas und fasst alles zusammen.

¹ Vgl. Leipert 2008, Kapitel 2.

² Vgl. Begriffsdefinition nach der ISO

³ Vgl. Cech 2008, S.2

2

2 Copulas

2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen:

Eine zentrale Herausforderung bei verschiedener finanzwirtschaftlicher Fragestellung ist wie Abhängigkeiten zwischen den Risikofaktoren eines Portfolios modelliert werden. In vielen Fällen wird die „Lineare Korrelation“ verwendet um Abhängigkeit zwischen zwei oder mehr Zufallsvariablen abzubilden,

= − ( , ) ( ) ( ) ( ) COV x x E x x E x E x die Kovarianz zwischen x i und x j Dabei bezeichnet

i j i j i j ² = − und ( ) (( ( )) VAR x E x E x ist die Varianz von x i . Wenn der Korrelationskoeffizient

i i i

ρ(x i ,x j ) = 0 ist, dann sind die Zufallsvariablen unkorreliert, und zwar unabhängig. Aber es gibt auch viele Fälle, in denen eine Verwendung von diesem Abhängigkeitsmaß nicht wirklich passt, um lineare Abhängigkeit und natürlich auch nichtlineare Abhängigkeit darzustellen. Wenn diese Abhängigkeiten nur unter der Verwendung von diesem Abhängigkeitskonzept berechnet werden, lässt sich die Einschätzung der Gesamtverteilung auch als fehlerhaft betrachten. Außerdem führt eine Unkorreliertheit auch nicht immer zu einer Unabhängigkeit. Daneben gibt es noch einen anderen möglichen Fehlschluss: Allein mit Hilfe von den Randverteilungen und der linearen Korrelation wird das Gesamtmodell nicht eindeutig dargestellt:

⁴ Vgl. Albrecht/ Maurer 2008, S.112

⁵ Vgl. Neslehova 2006, S.2

3

Wegen diesen möglichen Fehlschlüssen kann es dazu führen, dass der durch die Randverteilungen und die Korrelation berechnete Vaue-at-Risk von einem solchen Portfolio auch nicht mehr exakt. Eine hervorragende Alternative dafür ist die Verwendung von Copula. Der Begriff Copula ist nicht neu, stammt aus Lateinisch und bedeutet „Band, Bindemittel, Verbindung“. Copula Funktion dient dazu, nicht nur lineare Abhängigkeiten, den Korrelationen sondern auch nichtlineare Abhängigkeiten zu verdeutlichen. Genauer über Copulas sowie ihre Eigenschaften und Anwendungen wird in den nächsten Abschnitten gezeigt. Bevor wir fortfahren, ist hier ein Überblick, wie eine Copula aussieht:

2.2 Das Konzept der Copula:

Allgemein ist eine Copula eine Funktion, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen verschiedener Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann. ⁷ Die gemeinsame n- dimensionale Verteilungsfunktion F:

⁶ Vgl. Neumann 2008, S.11, 19

⁷ Vgl. Wikipedia, Copula Definition.