I

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis  der Abkürzungen  II

Verzeichnis  der Symbolik  III

1  Einleitung.  1

2  Portfoliotheorie  2

2.1  Das Portfolio-Selection-Modell von Markowitz  2

2.2  Das Indexmodell von Sharpe  4

3  Das Capital Asset Pricing Model.  6

3.1  Die Kapitalmarktlinie  6

3.2  Die Wertpapierlinie  7

3.3  Theoretische Grundlagen des β-Wertes im CAPM.  9

4  Empirische Untersuchung des β-Wertes  11

4.1  Aufbau der Untersuchung.  11

4.1.1  Der Untersuchungszeitraum  11

4.1.2  Darstellung der verwandten Daten  12

4.2  Die Berechnung der β-Werte  13

4.3  Analyse der Ergebnisse  14

4.3.1  Die Analyse einzelner Wertpapiere  14

4.3.2  Branchenspezifische Analyse  16

4.3.3  Gesamtmarktanalyse  17

5  Zusammenfassung  21

Anhang   22

Literaturverzeichnis   IV

Verzeichnis der Abkürzungen

Abb. Abbildung AG Aktiengesellschaft β-Wert Beta-Wert bzw. beziehungsweise CAPM Capital Asset Pricing Model CDAX Composite Deutscher Aktien Index DAX Deutscher Aktien Index f. folgende ff. fort folgende S. Seite Tab. Tabelle u.a. unter anderem Vgl. Vergleiche z.B. zum Beispiel

Verzeichnis der Symbolik

a = Anteil des Wertpapiers i am Portfolio p ai = konstante, unternehmensindividuelle Rendite bi = konstante Sensitivität der Aktie i auf Veränderungen der Rendite des Indexes COVim = Kovarianz zwischen Wertpapier i und dem Marktportfolio ei = Abweichung der Regression (Störterm) E(Ri) = Renditeerwartungswert des Portfolios i E(Rm) = Renditeerwartungswert des Marktportfolios E(Rp) = Erwartungswert der Rendite des Portfolios p hj = relative Häufigkeit Rf = Rendite der risikolosen Anlagemöglichkeit Ri/ri = Rendite der Aktie i

Rm/rm = Rendite des Index, der die für alle Unternehmen gewichtigen Ereignisse erfasst ε = titelspezifische Störkomponente μ = Erwartungswert der Rendite der Wertpapiere μp = Erwartungswert der Portfoliorendite σ = Streuung der Renditen um die Erwartungswerte der Wertpapiere σi = Standartabweichung des Portfolios i σm = Standartabweichung des Marktportfolios σm ² = Varianz des Marktportfolios S ² = Varianz S ^{m 2} = Varianz des Index S = Standardabweichung

1 Einleitung

„Das größte Risiko unserer Zeit liegt in der Angst vor dem Risiko.“ 1

In der Zukunft liegende Ereignisse unterliegen alle mehr oder weniger großen Risiken und sind stets von unsicherer Natur. Risiko bedeutet also Unsicherheit in der Zukunft, jedoch wird eine genaue Definition meist sehr diversifiziert vorgenommen. Im Kontext der neoklassischen Finanztheorie wird Risiko als Unsicherheit bezüglich der Höhe zukünftiger Größen, zum Beispiel Renditen von Aktienanlagen, definiert. Die „Symmetrie“ dieses Risikobegriffs wird dadurch deutlich, dass er sowohl negative Abweichungen als auch positive Abweichungen vom Erwartungswert zulässt. Dem „symmetrischen“ Risikobegriff gegenüber steht der „asymmetrische“ Risikobergriff, der ausschließlich die negative Abweichung (Downside-Risiko) vom Erwartungswert betrachtet und häufig im Alltag gebrauch findet. 2

In den sechziger Jahren wurde aufbauend auf der von Markowitz entwickelten Portfoliotheorie, eine weiterführende Theorie von William F. Sharpe, John Lintner und Jan Mossin entwickelt. Diese versucht die Gesetzmäßigkeiten von Aktienkursentwicklungen zu erklären. Es handelt sich hierbei um das „Capital Asset Pricing Model“. Während die Portfoliotheorie zeigen will, wie ein risikoaverser Anleger bei gegebener Rendite sein Risiko minimieren kann, bemüht sich das CAPM, die Preismechanismen, d.h. den Zusammenhang von Renditeforderung und Risiko, auf Kapitalmärkten zu erklären. ³ Unter der Prämisse des nicht zu diversifizierenden systematischen Risikos bei einer Kapitalanlage wurde eine Maßgröße hierfür entwickelt. Diese als β-Wert bezeichnete Maßgröße steht im Mittelpunkt der folgenden Kapitel. Besonderes Interesse gilt hierbei der Untersuchung, wie sich β-Werte von DAX Aktien in verschiedenen Marktphasen entwickeln.

In dieser Arbeit wird durch die Darstellung der historischen Entwicklung der Portfoliotheorie zum CAPM eine Einführung in die Problemstellung gegeben, bevor im vierten Kapitel die empirischen Untersuchungen des β-Wertes für die Jahre 1999-2009 vorgenommen wird. Die Untersuchung schließt mit einem Resümee und der Darstellung der aus dieser Arbeit gewonnenen Erkenntnisse.

¹ Helmut Schoeck (3. Juli 1922 in Graz - 2. Februar 1993)

² Vgl. VOLKART (2007), S. 208

³ Vgl. WÖHE / DÖRING (2002), S. 765.

2 Portfoliotheorie

Mit Hilfe kapitalmarkttheoretischer Modelle soll untersucht werden, wie auf vollkommenen Kapitalmärkten die Risikoübernahme bewertet wird. Auch wenn das Kapitalmarktmodell primär zur Bewertung von Wertpapieren entwickelt wurde, lassen sich die aus ihm gewonnenen Erkenntnisse auf alle risikobehafteten Investitionen übertragen. Somit bietet es eine Möglichkeit, den risikoabhängigen Kalkulationszinssatz für alle Investitionsobjekte bei Unsicherheit zu ermitteln.

2.1 Das Portfolio-Selection-Modell von Markowitz

Die Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz beruht auf der Annahme, dass Anleger ihr Vermögen in mehrere Wertpapiere aufteilen. ⁴ Allein wenn nicht ausschließlich die zu erzielende Rendite eines Portfolios betrachtet wird, ist eine solche Aufteilung möglich. Falls dies nicht der Fall wäre und nur die Rendite eines Portfolios entscheidungsrelevant ist, müsste der gesamte verfügbare Anlagebetrag in das Wertpapier mit der höchsten erwarteten Rendite investiert werden. Eine Diversifikation ist in diesem Fall nicht sinnvoll. Markowitz konnte jedoch beobachten, dass Investoren ihr Kapital zumeist auf mehrere Wertpapiere aufteilen, somit verwirft er die Annahme einer monovariablen Zielfunktion, mit der alleinigen Zielvariablen Rendite. 5

Anstelle dessen erwägt Markowitz die Mischung eines Portfolios anhand der Rendite und des Risiko zu analysieren. Markowitz unterstellt, dass sich Anleger in Bezug auf die Aufteilung des verfügbaren Kapitals gemäß der aus der Entscheidungstheorie bekannten µ-σ Regel verhalten. ⁶ Diese sagt aus, dass Anleger ihre Anlageentscheidung auf Grundlage des Erwartungswertes der Renditen μ und ihrer Streuung σ treffen. Hinzu kommt die realitätsnahe Prämisse eines risikoaversen Anlegers. Demnach dulden Anleger nur dann ein höheres Risiko, falls ihre Renditeerwartung proportional zunimmt. Markowitz schafft zusätzlich die folgenden Bedingungen: (1) Es existieren keine Transaktionskosten und Steuern. (2) Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar.

(3) Der Betrachtungszeitraum beträgt eine Periode (Zweizeitpunktmodell).

⁴ Vgl. MARKOWITZ (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, 7 (1), S. 77.

⁵ Vgl. MARKOWITZ (1991), Portfolio Selection, S. 206.

⁶ Vgl. SHARPE (1970), S. 187 ff.

Im Falle einer Präferenzfunktion des Charakters

gelang es Markowitz erstmals zu beweisen, dass ein Entscheidungsproblem eines Investors durch ein quadratisches Optimierungsproblem mit linearen Restriktionen beschrieben werden kann. Die Lösung des Problems kann in zwei Schritten vollzogen werden. Die Bestimmung des effizienten Rands im μ-σ ² -Raum stellt den ersten Schritt dar. Der effiziente Rand beschreibt alle Kombinationen von μ und σ ² , die von keiner anderen Kombination in Bezug auf Erwartungswert und Varianz dominiert werden kann. Zur Ermittlung des effizienten Rands ist somit die Bestimmung des varianzminimalsten Portfolios für gegebenen Erwartungswert μ erforderlich. ⁷ Die zu minimierende Zielfunktion lautet somit: 8

unter den Nebenbedingungen

Es wird also nach der varianzminimalsten Ausprägung der entscheidungsvariablen xi gesucht, die angibt, welcher Bruchteil der zu investierenden Mittel auf Wertpapier i verwendet werden soll.

Die Lösung ist folgendermaßen durchzuführen. Liegt Invertierbarkeit der Kovarianzmatrix vor, führt ein Lagrange-Ansatz zu den optimalen Werten der Entscheidungsvariablen xi. Liegt keine Invertierbarkeit der Kovarianzmatrix vor, muss man diese herstellen, indem man eine hinreichende Anzahl von Wertpapieren weglässt. Dies ist zulässig, wenn die von

⁷ Vgl. WENGER (1991), in: WiSt Heft 2, S. 81f.

⁸ Vgl. STEINER/BRUNS (2000), S. 13.

ihrer Renditeentwicklung als Mischportfolio aus anderen Wertpapieren aufgeführt werden können. Danach kann die Lösung wie zuvor ermittelt werden. ⁹ Schlussfolgernd ist festzuhalten, „dass jeder Anleger gemäß seiner individuellen Risikoneigung ein Portfolio zusammenstellt, das auf der effizienten Portfoliokurve liegt.“ 10

2.2 Das Indexmodell von Sharpe

Erst eine deutlich reduzierte Anzahl von Inputdaten macht das Portfolio-Selection-Modell von Markowitz auch in der Praxis anwendbar. Dieses Ziel verfolgt das Indexmodell von Sharpe.

Markowitz hat gezeigt, dass sich das totale Risiko eines Portfolios eliminieren lässt, falls ein Portfolio aus vollständig negativ korrelierten Aktien besteht. Jedoch kommen diese vollständig negativ korrelierten Aktien in der Realität nicht vor. Anstelle dessen lassen sich bei Aktien häufig positive Korrelationswerte beobachten. ¹¹ Diese positiven Korrelationskoeffizienten haben nach Ansicht Sharpes fundamentale Ursachen. Eingriffe der Notenbank, wie z.B. die Regulierung des Leitzinses wirken sich stets auf den Aktienmarkt aus. Jedoch führen auch der Ausbruch von Kriegen oder der Eintritt unerwarteter politscher oder wirtschaftlicher Ereignisse zu Volatilität auf den Märkten, genauso wie unternehmensspezifische Ereignisse, die sich allein in der Rendite einer einzelnen Gesellschaft niederschlagen. Folgende Gleichung ergibt sich aus diesen Annahmen: 12

𝑅 𝑚 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖 𝑅 𝑖 + 𝜀 𝑖 (𝟓)

Das Residuum εi und die Indexrendite Ri unterliegen Zufallsschwankungen. Es müssen somit gewisse Modellprämissen eingeführt werden um den Rechenaufwand zu minimieren. ¹³ Die Zufallsschwankungen einzelner Aktien korrelieren weder untereinander, noch zeitlich mit sich selbst und sind ebenso unkorreliert mit den Zufallsschwankungen der Indexrendite. Somit kann davon ausgegangen werden, dass auf der systematischen Komponente beruhende Renditeeinflüsse allein aus Schwankungen

⁹ Vgl. WENGER (1991), in: WiSt Heft 2, S. 81f.

¹⁰ Vgl. STEINER/BRUNS (1998), S. 13.

¹¹ Vgl. dazu Anhang 5.

¹² Vgl. LAPP, S. (2001), S. 11.

¹³ Vgl. STEINER/BRUNS (2000), S.17.

des Indexes zurückführen lassen. ¹⁴ Somit ist ein deutlich geringerer Dateninput von Nöten als im Modell von Markowitz und es ergeben sich folgende Formeln: ¹⁵ Erwartete Rendite der Aktie: 𝐸 𝑅 𝑖 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖 𝐸 𝑅 𝑖 (𝟔) Varianz der Rendite der Aktie i: 𝜎 𝑖 ² = 𝑏 𝑖 ² ∗ 𝜎 𝐼 ² + 𝜎 𝜀𝑖 ² (𝟕) Kovarianz: 𝐶𝑂𝑉 𝑅 𝑖 𝑅 𝑗 = 𝑏 𝑖 𝑏 𝑗 𝜎 𝐼 ² (𝟖)

Es gelten folgende Beziehungen für die Rendite und die Renditevarianz eines Portfolios aus n Aktien mit den Anteilen xi:

𝑅 𝑝 =

Um die Effizienzkurve sämtlicher Portfolios zu errechnen, ist die Varianzfunktion bei gegebenem Renditeerwartungswert zu minimieren:

Es gelten folgende Nebenbedingungen:

(1) Es ist eine geforderte Rendite anzugeben. (2) Die Summe der Portfolioanteile muss auf Eins gesetzt werden.

Der positive Beitrag, den der Ansatz von Sharpe liefert, ist die deutlich geringere Anzahl von Inputdaten als im Modell von Markowitz. 16

¹⁴ Vgl. WILHELM, S. (2000), S. 78

¹⁵ Vgl. STEINER/BRUNS (2000), S. 17.

¹⁶ Vgl. STEINER/BRUNS (2000), S.19.