Inhaltsverzeichnis

1  Einführung  4

2  Was sind Optionen?  4

2.1  Optionen als bedingte Termingeschäfte  4

2.2  Der Optionsvertrag  5

2.3  Gewinn- und Verlustprofile  6

3  Grundlagen der Optionspreisbildung.  7

3.1  Innerer Wert und Zeitwert  7

3.2  Einflussfaktoren.  8

3.2.1  Indirekte Einflussfaktoren  8

3.2.2  Indirekte Einflussfaktoren  10

3.3  Ober- und Untergrenzen des Optionspreises  11

3.3.1  Grenzen des Optionspreises bei Kaufoptionen.  11

3.3.2  Grenzen des Optionspreises bei Verkaufsoptionen  12

3.3.3  Dividendenzahlungen während der Laufzeit  13

3.3.4  Optionen des amerikanischen Typs.  14

3.3.5  Der Optionspreis während der Laufzeit.  14

3.4  Die Griechen  15

4  Optionspreismodelle  15

4.1  Das Binomialmodell.  15

4.1.1  Bewertung von Kaufoptionen mit dem Binomialmodell  17

4.1.2  Bewertung von Verkaufsoptionen mit dem Binomialmodell.  20

4.2  Das Black Scholes - Modell.  23

4.2.1  Bewertung von Kaufoptionen mit dem Black Scholes - Modell  24

4.2.2  Bewertung von Verkaufsoptionen mit dem Black Scholes - Modell.  27

5  Put - Call - Parität  28

5.1  Put - Call - Parität im Binomialmodell.  28

5.2  Put - Call - Parität im Black Scholes - Modell.  29

6  Schlusswort  29

7  Literaturverzeichnis  30

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Risikoverteilung bei Termingeschäften aus Sicht des Käufers 5

Abbildung 2 Gewinn- und Verlustdiagramm bei Optionen 7

Abbildung 3 Kaufoption in ihren theoretischen Wertgrenzen 12

Abbildung 4 Verkaufsoption innerhalb ihrer theoretischen Wertuntergrenzen 13

Abbildung 5 Zustandsbaum des Binominalmodells 17

Abbildung 6 Black & Scholes - Bewertungsfunktion für Kaufoptionen 26

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1 Positionen in Optionsgeschäften 6

Tabelle 2 Einflussfaktoren im Überblick 10

Tabelle 3 Duplikationsportfolio bei der Kaufoption 17

Tabelle 4 Zahlungsreihe des Verkaufs einer Kaufoption 19

Tabelle 5 Duplizierung des Verkaufs der Kaufoption 19

Tabelle 6 Duplikationsportfolio bei der Verkaufsoption 21

Tabelle 7 Zahlungsreihe des Kaufs einer Verkaufsoption 22

Tabelle 8 Duplizierung der Zahlungsreihe des Kaufs einer Verkaufsoption 22

Optionen - Einführung und Theorie der Preisbildung

1 Einführung

Jean-Paul Getty, ein amerikanischer industrieller sagte einmal: „Geld lässt sich beliebig vermehren, solange man es nicht ausgibt, sondern geschickt investiert.“ Doch woher soll man wissen was ein geschicktes Investment ist? Im Laufe der letzten Jahre hat der Handel mit Derivaten, also Termingeschäften stark zugenommen. Derivate werden nicht nur einzeln als Optionen, Futures oder Forwards gehandelt, sondern auch in strukturierten Finanzprodukten verwendet. Aus dem modernen Banken- und Handelswesen sind die Termingeschäfte nicht mehr weg zu denken. Optionen, die börslich oder außerbörslich gehandelt werden sind wichtige Bestandteile des Kapitalmarktes. Die entscheidende Frage, die sich bei der Suche nach einer geschickten Anlagemöglichkeit in Optionen auftut, ist: „Ist der Preis für das Produkt angemessen?“ Um diese Frage beantworten zu können, muss man sich zuerst darüber im Klaren sein, was Optionen sind und welche Unterschiede es zwischen einzelnen Optionstypen gibt. Dieses Verständnis vorausgesetzt, kann man im nächsten Schritt anhand einiger Überlegungen den Preis der Option eingrenzen. Modellhafte Annahmen zur Bestimmung des Optionspreises sind der letzte Schritt auf einer Leiter, die zum fairen Optionspreis führt. Der faire Optionspreis beantwortet die Frage, ob der Preis für die Option angemessen ist.

2 Was sind Optionen?

2.1 Optionen als bedingte Termingeschäfte

„Unter einem Termingeschäft versteht man eine für beide Vertragsparteien bindende Verpflichtung über die Lieferung bzw. Abnahme eines Gutes mit einer bestimmten Qualität und Quantität zu einem im Vorfeld festgelegten Preis sowie zu einem festgelegten Zeitpunkt.“ ¹ Im Gegensatz zu Futures und Forwards, bei welchen die Ausübung zwingend festgelegt ist, besteht bei Optionen seitens des Optionskäufers ein Wahlrecht die Option auszuüben, oder sie verfallen zu lassen. Aufgrund dieser Typologie nennt man Futures und Forwards unbedingte Termingeschäfte, Optionen dagegen werden als bedingte Termingeschäfte bezeichnet. Diese Unterscheidung zeigt sich auch in der Risikoverteilung. Bei unbedingten Termingeschäften steht der Gewinnchance symmetrisch das Verlustrisiko gegenüber. Bei Optionen ist die Verteilung asymmetrisch zugunsten des Optionskäufers verschoben, da er entscheiden kann, ob er die Option ausübt, oder nicht. Der Optionsverkäufer dagegen ist verpflichtet,

¹ Bloss/Ernst S. 2f.

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Optionen - Einführung und Theorie der Preisbildung

sich dem Willen des Käufers zu fügen und muss bei Ausübung der Option den zugrunde liegenden Vermögenswert zum vereinbarten Preis liefern oder abnehmen. Erhält der Optionskäufer das Recht den Gegenstand der Option zu kaufen, so spricht man von einer Call-Option. Bei Put-Optionen erhält der Käufer das Recht den Optionsgegenstand zu Verkaufen.

Abbildung 1 Risikoverteilung bei Termingeschäften aus Sicht des Käufers 2

2.2 Der Optionsvertrag

Laut Definition ist eine Option ein „bilateraler Vertrag, welcher mit einem Wahlrecht ausgestattet ist.“ ³ Dieses Wahlrecht bezieht sich auf den der Option zugrunde liegenden Vermö-gensgegenstand (Underlying). Dabei kann es sich um Aktien, Rohstoffe oder Zinszahlungen handeln. Je nach Wesen der Option (Call oder Put) kann das Underlying zu einem im Vorfeld festgelegten Preis - dem Ausübungspreis oder auch stiking-price - gekauft oder verkauft werden. Der Optionskäufer hat, wie eingangs bereits erwähnt, die Möglichkeit zu wählen, ob er von diesem Recht Gebrauch macht oder ob er die Option unausgeübt verfallen lassen möchte. Daher auch der Name „Option“ (von lat. optio = „das Recht zu wählen“). Zu welchem Zeitpunkt der Käufer von diesem Recht Gebrauch machen kann, hängt von der Ausübungsart der Option ab. Man unterscheidet zwischen american-style und european-style. Bei Ersteren kann die Option über die gesamte Laufzeit hinweg ausgeübt werden. Beim europeanstyle ist eine Ausübung nur am letzten Tag der Laufzeit möglich, dem so genannten Verfallstag oder auch expiration date. Der Verkäufer einer Option wird auch als Stillhalter bezeichnet, da er, wie zuvor erwähnt bei Ausübung der Option dazu verpflichtet ist das Underlying abzunehmen oder zu verkaufen. Der Verkäufer einer Kaufoption ist der Stillhalter in Waren, der Verkäufer einer Verkaufsoption der Stillhalter in Geld. Der Käufer einer Option bezahlt dem Verkäufer den Optionspreis, um dafür das Recht zu erhalten, die Option auszuüben. „Nur aufgrund des ihm zufließenden Optionspreises ist der Verkäufer bereit, sich ge-

² Vgl.Maier S. 11

³ Bloss/Ernst S. 27

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Optionen - Einführung und Theorie der Preisbildung

genüber dem Optionsinhaber in der Zukunft passiv zu verhalten und so stets die für ihn ungünstigere Position einzunehmen.“ ⁴ An Stelle der Bezeichnungen „Käufer“ und „Verkäufer“ werden die Positionen, welche beim Optionsgeschäft entstehen mit „Long“ und „Short“ bezeichnet.

2.3 Gewinn- und Verlustprofile

Die Verschiebung der Risikoverteilung kann man sich am einfachsten klarmachen, wenn man die verschiedenen Gewinn- und Verlustmöglichkeiten der einzelnen Positionen im Optionsgeschäft kennt. Der Inhaber einer Kauf- bzw. Verkaufsoption kann maximal einen Verlust in Höhe des von ihm bezahlten Optionspreises erleiden, falls er sich gegen eine Ausübung der Option entscheidet. Der Kauf eines Optionsrechts bringt die Aussicht auf nahezu unbegrenzten Gewinn. ⁶ Die gilt vor allem für Kaufoptionen, Verkaufsoptionen sind im Gewinn begrenzt, da das Underlying keinen geringeren Wert als Null annehmen kann. Bei Kaufoptionen ist der Kurs nach oben nicht begrenzt, weshalb der Gewinn, welcher durch die Kaufoption erzielt werden kann theoretisch unbegrenzt ist. Eine Option, deren innerer Wert größer als Null ist, steht „im Geld“ (in the money = ITM). Steht der innere Wert nahe bei Null, so ist die Option „am Geld“ (at the money = ATM). Optionen mit negativem inneren Wert sind „aus dem Geld“ (out of the money = OTM).

⁴ Steinbrenner S. 27

⁵ In Anlehnung an Perridon/Steiner/Rathgeber S. 326

⁶ Steinbrenner S. 51

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Optionen - Einführung und Theorie der Preisbildung

Abbildung 2 Gewinn- und Verlustdiagramm bei Optionen 7

3 Grundlagen der Optionspreisbildung

3.1 Innerer Wert und Zeitwert

Der Preis einer Option lässt sich aufteilen in die beiden Komponenten innerer Wert und Zeitwert. Als inneren Wert bezeichnet man die positive Differenz zwischen dem Ausübungspreis und dem Preis, welcher für das Underlying an der entsprechenden Börse zu bezahlen wäre. Die Differenz wird deswegen als positiv bezeichnet, da bei eventueller Negativität die Option nicht ausgeübt wird und deshalb kein Preis für das Underlying zu bezahlen ist. Die Option kann also minimal einen inneren Wert von Null haben, wo hingegen im positiven Bereich theoretisch keine Grenzen gesetzt sind. Ein Rechenbeispiel zur Bestimmung des inneren Wertes: Call Put Ausübungspreis A = 30€ A = 25€ Kurs des Underlying U = 35€ U = 20€

⁷ Vgl. Steiner/Bruns S. 316

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Optionen - Einführung und Theorie der Preisbildung

Innerer Wert I = 35€ - 30€ = 5€ I = 25€ - 20€ = 5€

Allgemeine Formel I = U - A I = A - U

Wie im Beispiel zu erkennen ist, muss bei der Berechnung des inneren Wertes darauf geachtet werden, ob es sich um eine Call- oder um eine Put-Option handelt. Dem entsprechend müssen die Formeln angewendet werden. Der innere Wert ist aber nur ein Bestandteil des Optionspreises. Als weiterer Bestandteil kommt der Zeitwert hinzu. Ohne ihn wäre der Optionspreis immer dem inneren Wert gleich. Der Zeitwert einer Option lässt sich aus der Differenz zwischen dem Optionspreis und dem inneren Wert bestimmen. Die Funktion des Zeitwertes besteht darin, dass mit längerer Restlaufzeit der Option die Chance größer ist, dass sie ITM endet. Umgekehrt lässt sich sagen, dass mit abnehmender Restlaufzeit der Zeitwert geringer wird und am Verfallstag der Option gleich Null ist. „Die Abnahme des Zeitwertes ist nicht linear, sondern verstärkt sich gegen Ende der Laufzeit exponentiell. Denn die Chance, dass die Option gewinnbringend endet, nimmt aufgrund des herannahenden letzten Handelstages von Tag zu Tag schneller ab und verstärkt die Gefahr eines wertlosen Verfalls.“ ⁸ Der Zeitwert ist also nicht konstant, sondern ändert sich ständig.

3.2 Einflussfaktoren

3.2.1 Indirekte Einflussfaktoren

Es gibt fünf Faktoren, die den Preis einer Option bestimmen:

An dieser Stelle wird gezeigt, wie sich der Optionspreis verhält, wenn einer dieser Faktoren bei Konstanthaltung der anderen Faktoren verändert wird. ⁹ Einer der größten Einflüsse geht vom Preis des Underlyings aus. Das ergibt sich daraus, dass die Option direkt an die Entwicklung des Underlyings gebunden ist. Mit steigendem Preis des Underlyings verteuert sich die Kaufoption und die Verkaufsoption sinkt im Preis. Anders herum fällt mit fallendem Un-

⁸ Bloss/ErnstS. 39

⁹ Vgl. Hull S. 240

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