Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  2

2  Die ABC-Vermutung  4

2.1  Grundlegende Definitionen  4

2.2  Das polynomiale Analogon der ABC-Vermutung  7

2.3  Spezielle Folgerungen aus der ABC-Vermutung  10

2.4  Gute Tripel  14

3  Der LLL-Algorithmus  17

3.1  Einf uhrung in die Gitter-Reduzierung  17

3.2  Reduzierte Basis eines Gitters  18

3.2.1  Verbesserung des LLL-Algorithmus nach Schnorr  29

3.3  Faktorisierung von Polynomen im Gitter  33

3.3.1  Beschreibung des Algorithmus  38

4  Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus  43

4.1  Vorbemerkungen  43

4.2  Das L osen der Relation mit dem LLL-Algorithmus  44

4.3  Konstruktion guter ABC-Tripel  47

4.4  Erweiterung der Konstruktion durch Kettenbruchentwicklung  50

5  Anhang  63

1

Kapitel 1

Einleitung

In der Mathematik gibt es eine Reihe zentraler Aussagen, deren Beweis ¨ uber Jahre

brauchte. Zudem gibt es noch heute viele Annahmen, die weder bewiesen noch widerlegt sind. Dazu z¨ ahlt auch die ABC-Vermutung.

Man spricht von einem ABC-Tripel, wenn die Zahlen des Zahlentripels (a, b, c) paarweise teilerfremd sind und zus¨ atzlich die Summe von a und b den Wert von c ergibt mit der Eigenschaft, dass das Radikal aus dem Produkt der drei Zahlen kleiner ist als die gr¨ oßte der drei Zahlen.

Bisher ist unbekannt, ob die Anzahl der Zahlentripel endlich ist. Gilt die ABC-Vermutung, so folgen hieraus eine Reihe weiterer Aussagen, beispielsweise eine schwache Formulierung des letzten Satzes von Fermat, der ¨ uber 300 Jahre ungel¨ ost war und erst 1993 von Wiles bewiesen wurde.

Eine Versch¨ arfung der Aussage ¨ uber Zahlentripel ergibt sich, wenn zus¨ atzlich die Eigenschaft gut verlangt wird. Von guten Zahlentripeln spricht man, wenn der Quotient aus dem Logarithmus der betragsgr¨ oßten Zahl und dem Logarithmus des Radikals vom Produkt der drei Zahlen gr¨ oßer als 1,4 ist.

Die ABC-Vermutung ist eine 1985 von Masser und Oesterl´ e formulierte Aussage. Die Berechnung von ABC-Tripeln erfolgt dabei stets ¨ uber einen Algorithmus, der individu-

ell geschrieben werden kann. Diese Arbeit besch¨ aftigt sich speziell mit der Konstruktion von (guten) ABC-Tripeln mittels des LLL-Algorithmus. Der LLL-Algorithmus ist ein bedeutsames Instrument und wurde von A. K. Lenstra, H. W. Lenstra und Lov´ asz 1982 ver¨ offentlicht. Der Ursprungsgedanke dieses Algorithmus war die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren. Dazu wird f¨ ur die Koeffizienten eine reduzierte Basis berechnet. Dies wird auch bei der Berechnung der ABC-Tripel verwendet. W¨ ahlt man beliebige, teilerfremde Zahlen und berechnet mit dem LLL-Algorithmus bei gegebener Basis eine reduzierte Basis, so erh¨ alt man f¨ ur die gegebenen Startwerte zugeh¨ orige

2

Koeffizienten, so dass die Eigenschaft f¨ ur ABC-Tripel - man spricht auch von ABC-Treffern - erf¨ ullt ist. Im Anschluss wird dann die Eigenschaft gut gepr¨ uft.

In dieser Arbeit wird zun¨ achst die ABC-Vermutung beschrieben und in diesem Zusammenhang werden einige Folgerungen aufgezeigt. Das zweite Kapitel stellt die Grundlage f¨ ur die Berechnung guter ABC-Tripel dar. Der LLL-Algorithmus bildet das Instrument f¨ ur die Berechnung der ABC-Tripel. Daher wird im dritten Kapitel dieser Algorithmus auf Basis des urspr¨ unglichen Artikels von A. K. Lenstra, H. W. Lenstra und Lov´ asz beschrieben und anhand von Beispielen erl¨ autert. Dabei wird auch auf die haupts¨ achliche Bedeutung - die Zerlegung von Polynomen - eingegangen.

Den Abschluss der Arbeit bildet die Konstruktion der Zahlentripel mittels des vorher beschriebenen Algorithmus. Zur Erg¨ anzung ist im Anhang eine Liste aller bisher bekannten Zahlentripel beigef¨ ugt.

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Kapitel 2

Die ABC-Vermutung

Die ABC-Vermutung wurde - wie bereits in der Einleitung erw¨ ahnt - 1985 von Masser und Oesterl´ e formuliert. Dabei werden Eigenschaften des Zahlentripels (a, b, c) untersucht, die paarweise teilerfremd sind. Von ABC-Treffern spricht man genau dann, wenn rad(a·b·c) ≤ c gilt. Wir betrachten dabei o. B. d. A. nat¨ urliche Zahlen. Als das Radikal einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichnen wir den quadratfreien Kern dieser Zahl. Zun¨ achst formulieren wir die ABC-Vermutung und gehen dann in diesem Kapitel noch auf einige wichtige Folgerungen ein, die zutreffen, falls die ABC-Vermutung gilt.

2.1 Grundlegende Definitionen

Die ABC-Vermutung ist eine 1985 von J. Oesterl´ e und D. Masser aufgestellte Vermutung. Sie beschreibt eine Zahl c, die sich aus der Summe zweier nat¨ urlichen Zahlen (a + b) zusammensetzt. Sind a, b und c teilerfremd, so heißt das Tripel (a, b, c) ein ABC-Tripel.

Diese Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Weiterhin wurde das Verh¨ altnis ^rad(abc) eingef¨ uhrt. Man spricht dann von ABC-Treffern,

c

falls dieser Quotient kleiner oder gleich 1 ist, d. h. rad(abc) ≤ c. Dar¨ uber hinaus gibt es bereits eine Vielzahl zahlentheoretischer Ergebnisse, die die G¨ ultigkeit der ABC-Vermutung voraussetzen. Wir gehen auch teilweise auf diese Ergebnisse ein und setzen stets voraus, dass die ABC-Vermutung gilt.

Wir beginnen zun¨ achst mit einigen Definitionen, die wir f¨ ur die Berechnung von ABC-Tripeln ben¨ otigen:

Definition 2.1 (Radikal einer nat¨ urlichen Zahl)

1 · . . . · p ^{e k} Sei n ∈ N von der Form n = p ^{e 1} k mit p i Primzahl f¨ ur alle i = 1, . . . , k und e ⁱ die zugeh¨ orige Vielfachheit. Dann definieren wir das Radikal von n wie folgt:

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rad(n) = p 1 · . . . · p k und rad(1) := 1

Das heißt, dass rad(n) der gr¨ oßte quadratfreie Teiler von n ist.

Unter Betrachtung der Hypothese ber¨ ucksichtigen wir alle nicht-trivialen Tripel ganzer Zahlen (a, b, c) mit der Eigenschaft, dass a + b = c und ggT(a, b, c) = 1. Die Annahme ggT(a, b, c) = 1 ist offensichtlich, da wir andernfalls die Gleichung a + b = c durch den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler k¨ urzen k¨ onnen.

Weiterhin k¨ onnen wir annehmen, dass a, b, c > 0, so dass wir im Folgenden mit nat¨ urlichen Zahlentripeln (a, b, c) arbeiten k¨ onnen.

Oesterl´ e f¨ uhrte im Zusammenhang mit der Vermutung den Quotienten

ein. Wir werden sp¨ ater noch genauer auf die Eigenschaften von L eingehen.

Masser formulierte diese Aussage in einer mehr gew¨ ohnlichen Form. Er zeigte zun¨ achst, dass das Verh¨ altnis ^rad(abc) beliebig klein werden kann. Hierf¨ ur

c

wurde die Konstante ε > 0 eingef¨ uhrt:

F¨ ur jedes ε > 0 existiert eine Konstante µ(ε) > 0, so dass gilt:

max{| a |, | b |, | c |} = c ≤ µ(ε) · rad(a · b · c) ^1+ε . (2.2)

Die nachfolgenden Ergebnisse stellen grundlegende Resultate dar und werden sp¨ ater wiederholt Anwendung finden.

Lemma 2.2

rad(n) eine multiplikative Funktion.

Beweis: Unmittelbar aus der elementaren Zahlentheorie unter dem Kapitel zahlentheoretische Funktionen.

Bemerkung 2.3

F¨ ur alle n ∈ N gilt: rad(n) ≤ n (2.3)

Beweis: Sofort aus der Definition von rad(n).

Zu betonen ist die Wichtigkeit von ε in der Version der ABC-Vermutung von Masser. Dies l¨ asst sich anhand des Beispiels von W. Jastrzekowski und D. Spielman, wie es bei S. Lang [7] nachzulesen ist, zeigen.

Wir werden zeigen, dass es kein µ ∈ R gibt, so dass c ≤ µ · rad(a · b · c) gilt f¨ ur alle a, b, c, die die Hypothese erf¨ ullen.

Als Beispiel w¨ ahlen wir a n = 3 2 ⁿ −1, b n = 1 und c n = 3 2 ⁿ mit n ∈ N. Dieses Zahlentripel

erf¨ ullt offenbar die geforderten Bedingungen:

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a) a + b = c

b) ggT (a, b, c) = 1

Das folgende Beispiel ben¨ otigen wir, um zu zeigen, dass die Formulierung der ABC-Vermutung von Masser ohne die Einf¨ uhrung von ε falsch ist:

Beispiel 2.4

Es gilt: 2 ⁿ | (3 2 ⁿ − 1)

Beweis: Wir zeigen dies induktiv ¨ uber n:

Induktionsanfang: n = 1 : 2 | (3 2 ¹ − 1), d. h. 2 | 8

Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte f¨ ur k.

Induktionsschluss: k → k + 1

gilt 2 ^k | (3 2 ^k − 1). Wegen 3 2 ^k + 1 gerade gilt 2 | (3 2 ^k + 1).

Damit folgt insgesamt 2 ^k+1 | (3 2 ^k+1 − 1).

Damit k¨ onnen wir nun die Notwendigkeit von ε in Massers Formulierung zeigen:

Proposition 2.5

Ohne die Einf¨ uhrung von ε > 0 in der ABC-Vermutung von Masser ist die Aussage falsch.

Beweis: Angenommen, es existiert ein µ ∈ R, so dass c n ≤ µ·rad(a n ·b n ·c n ) f¨ ur a n , b n , c ⁿ wie im Beispiel 2.4 gew¨ ahlt, d. h. ε = 0. Dann gilt:

max{| a n |, | b n |, | c n |} = 3 2 n ^Annahme ≤ µ · rad((3 2 ⁿ − 1) · 1 · 3 2 ⁿ )

Multiplizieren wir nun beide Seiten mit 2 ⁿ und teilen durch 3 2 ⁿ , so erhalten wir:

Lassen wir nun n gegen ∞ laufen, erhalten wir einen Widerspruch.

Bemerkung 2.6

Wie wir eben gesehen haben, ist in der Version der ABC-Vermutung von Masser µ(ε) von der Wahl von ε abh¨ angig. Setzen wir ε = 0, so l¨ auft µ(ε) gegen ∞. Je gr¨ oßer die Wahl von ε > 0, desto kleiner muss µ(ε) gew¨ ahlt werden.

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2.2 Das polynomiale Analogon der ABC-Vermutung

Bevor wir uns mit den Ergebnissen und Konsequenzen, die bei G¨ ultigkeit der ABC-Vermutung resultieren, besch¨ aftigen, gehen wir noch kurz auf die Hintergr¨ unde der ABC-Vermutung ein. Masser erhielt die Idee f¨ ur seine Definition durch den Satz von Mason, den wir nun zeigen m¨ ochten. Zun¨ achst ben¨ otigen wir noch die nachfolgende Definition:

Definition 2.7 (Radikal eines Polynoms)

Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit Charateristik 0. Sei p(x) =

mit a k ∈ K. Dann ist n 0 (p) die Anzahl der paarweise verschiedenen Nullstellen von p(x), d. h. jede Nullstelle wird nur mit der Vielfachheit 1 gez¨ ahlt, analog zum Radikal einer nat¨ urlichen Zahl.

Nun k¨ onnen wir den Satz von Mason formulieren:

Satz 2.8 (Satz von Mason)

Seien a(x), b(x), c(x) Polynome mit Koeffizienten in K, K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit char (K) = 0. Seien a(x), b(x), c(x) teilerfremd und a(x) + b(x) = c(x). Dann gilt:

max deg{a(x), b(x), c(x)} ≤ n 0 (a(x) · b(x) · c(x)) − 1 (2.5)

Beweis: Nach Voraussetzung gilt a(x) + b(x) = c(x). Wir teilen beide Seiten durch c(x) und erhalten

Nun setzen wir f (x) := ^a(x) und g(x) := ^b(x) , d. h. f (x) + g(x) = 1. Durch Differentia-

c(x) c(x)

tion nach x erhalten wir f (x) + g (x) = 0 (2.7)

Durch Erweitern des Bruches erhalten wir dann f (x)

Wegen a(x) = f (x) · c(x) und b(x) = g(x) · c(x) folgt schließlich

Sei nun h(x) eine rationale Funktion und ρ i die paarweise verschiedenen Wurzeln des Z¨ ahlers und Nenners. Dann ist

7

h(x) =

Damit ergibt sich h (x) =

Der letzte Ausdruck hat den Vorteil, dass die Vielfachheit verschiedener Wurzeln genau 1 ist.

Nun setzen wir a(x) :=

Einsetzen liefert nun:

Ein gemeinsamer Hauptnenner f¨ ur den Nenner und Z¨ ahler dieses Ausdrucks ist, da a(x), b(x), c(x) teilerfremd sind,

D(x) :=

Wegen deg

deg

deg

Durch Erweitern des Bruchs erhalten wir nun

Wegen ggT(a(x), b(x)) = 1 gilt a(x) |

Analog folgt nun auch deg(b(x)) ≤ n 0 (a(x) · b(x) · c(x)) − 1.

Wegen deg(c(x)) ≤ max{deg(a(x)), deg(b(x)), deg(c(x))} folgt nun die Behauptung.

Der Satz von Mason impliziert nun den Fermatschen Satz f¨ ur Polynome:

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Korollar 2.9 (Fermatscher Satz f¨ ur Polynome)

Seien p(x), q(x), r(x) ∈ K[x] teilerfremde Polynome, K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit char (K) = 0 und mindestens eines der Polynome p(x), q(x), r(x) hat einen Grad > 0. Dann hat die Gleichung

(p(x)) ⁿ + (q(x)) ⁿ = (r(x)) ⁿ (2.13)

f¨ ur n ≥ 3 keine L¨ osung.

Beweis: Nach dem Satz von Mason gilt

deg(p(x)) ⁿ = n · deg(p(x)) ≤ deg(p(x) + q(x) + r(x)) − 1. (2.14)

Ersetzt man sukzessive p(x) auf der linken Seite durch q(x) und r(x) und summiert dann, so erh¨ alt man

n · [deg(p(x) + q(x) + r(x))] ≤ 3 · [deg(p(x) + q(x) + r(x))] − 3. (2.15)

Dies ist offensichtlich ein Widerspruch f¨ ur n ≥ 3.

Wir schließen den Abschnitt noch mit einer Bemerkung ab, die f¨ ur die Algebra von gr¨ oßerer Bedeutung ist:

Bemerkung 2.10

Der Fermatsche Satz f¨ ur Polynome gilt nicht, falls char K = p > 0. Sei hierzu beispielsweise f (x) = x + 1, g(x) = x und h(x) = 1. Dann gilt (f (x)) ^p = (g(x) + h(x)) ^p und nach Frobenius-Homomorphismus

2.3 Spezielle Folgerungen aus der ABC-Vermutung

Unter der Voraussetzung, dass die ABC-Vermutung gilt, k¨ onnen wir eine Reihe zah-lentheoretischer Ergebnisse zeigen. Die ABC-Vermutung impliziert beispielsweise eine schwache Form von Fermats letztem Satz:

Hypothese 2.11 (Das asymptotische Fermat-Problem)

Sei ggT(x, y, z) = 1. Dann existiert ein N ∈ N, so dass f¨ ur alle n > N die Gleichung

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ (2.17)

nur die triviale ganzzahlige L¨ osung ¹ besitzt.

Wir werden nachfolgend zeigen, dass diese Aussage folgt, falls die ABC-Vermutung gilt. Daf¨ ur ben¨ otigen wir noch die folgenden Notation:

Wir benutzen das Symbol ”” ² f¨ ur die folgende Ausssage ¨ uber Funktionen f (x) und g(x):

f (x) g(x), falls es ein c ∈ R gibt, so dass f (x) ≤ c · g(x) f¨ ur alle x ∈ R gilt.

Satz 2.12

Gilt die ABC-Vermutung, so impliziert diese das asymptotische Fermat-Problem. Beweis: Sei die ABC-Vermutung g¨ ultig. O. B. d. A. seien x, y, z ∈ N. Nach der ABC-Vermutung gilt

Damit folgt

³ =| x · y · z | ^3+ε . | x · y · z | 1+ ^ε (2.19) 3

Hiermit erhalten wir, dass n ∈ N beschr¨ ankt ist, da | x · y · z |> 1. Damit n ∈ N nicht beschr¨ ankt ist, muss | x · y · z |≤ 1 gelten. Somit folgt, dass eine der drei Zahlen x, y, z Null sein muss.

¹ Der Satz von Fermat (nach Pierre de Fermat, 1608-1665) wurde erst 1993 von Wiles und Taylor bewiesen.

² Wir f¨ uhren sp¨ ater die Definition der Landau-Symbole ein, die die gleiche Bedeutung haben.

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Bemerkung 2.13

Die Wahl von ε legt auch den Wert von N aus Hypothese 2.11 fest.

Gilt die ABC-Vermutung, so impliziert diese auch eine weitere klassische Vermutung, die Vermutung von Hall. Hierf¨ ur ben¨ otigen wir noch die folgende Definition:

Definition 2.14 (Wieferich-Bedingung)

Sei p ∈ P. Dann erf¨ ullt p die Wieferich-Bedingung, falls 2 ^p−1 ≡ 1 mod p ² .

Nun gilt folgende Vermutung:

Hypothese 2.15 (G¨ ultigkeit der Wieferich-Bedingung f¨ ur Primzahlen) Sei p eine Primzahl. Dann existieren unendlich viele p ∈ P, die die Wieferich-Bedingung erf¨ ullen.

Die Vermutung l¨ asst sich bisher nicht beweisen, es gilt aber der folgende Satz:

Satz 2.16

Gilt die ABC-Vermutung, dann gibt es auch unendlich viele Primzahlen p, die die Wieferich-Bedingung erf¨ ullen.

Bevor wir den Satz beweisen, f¨ uhren wir noch eine Definition ein und zeigen eine weitere Behauptung, die wir f¨ ur den Beweis des Satzes ben¨ otigen:

Definition 2.17

Mit S := {p ∈ N | 2 ^p−1 ≡ 1 mod p ² } bezeichnen wir die Menge aller Primzahlen, die die Wieferich-Bedingung erf¨ ullen.

Behauptung 2.18

Sei n ∈ N, p ∈ P, so dass 2 ⁿ ≡ 1 mod p und 2 ⁿ ≡ 1 mod p ² . Dann ist p ∈ S. Beweis: Sei d = ord ³ (2) in ^Z und | ^Z |= p − 1. Dann gilt d | (p − 1) und d | n. Sei

pZ pZ

n = d · a f¨ ur ein a ∈ Z.

Wegen 2 ⁿ ≡ 1 mod p ² folgt erst recht 2 ^d ≡ 1 mod p ² . Sei nun p − 1 = d · b f¨ ur ein b ∈ Z. Wegen d ≤ p − 1 gilt b < p − 1 < p. Da p ∈ P folgt nun ggT (b, p) = 1. Da , gilt 2 ^d ≡ 1 mod p. d = ord(2) in Z

pZ

Folglich existiert ein k ∈ Z mit p · k = 2 ^d − 1 ⇔ 2 ^d = p · k + 1. Wegen 2 ^d ≡ 1 mod p ² ⇒ p k. Daher gilt

2 ^p−1 = 2 ^dm = (2 ^d ) ^m ≡ 1 ^m mod p ⇒ 2 ^p−1 ≡ 1 mod p. (2.20)

³ Als Ordnung einer ganzen Zahl a bezeichnen wir die kleinste Zahl d ∈ N, f¨ ur die a ^d ≡ 1 mod m f¨ ur ein m ∈ N gilt mit ggT(a, m) = 1

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Andererseits gilt

2 ^p−1 = 2 ^dm = (2 ^d ) ^m = (1 + pk) ^m =

Hieraus folgt nun ein Widerspruch und die Behauptung ist bewiesen.

Nun k¨ onnen wir den Satz beweisen. Der Beweis geht auf Silverman [8] zur¨ uck: Bew. von Satz 2.16: Angenommen, S ist endlich. Sei 2 ⁿ − 1 = u n · v n , so dass f¨ ur alle p i ∈ S gilt: p i | u n und f¨ ur alle p k ∈ S gilt p k | v n . Nach Annahme ist S endlich, daher ist u n beschr¨ ankt.

Sei p ∈ P, p | v n . Nach der eben bewiesenen Behauptung 2.18 ist 2 ⁿ ≡ 1 mod p ² , d. h. p ² | (2 ⁿ − 1) und damit gilt auch p ² | u n v n . Wegen p u n gilt p ² | v n . Setzen wir nun (2 ⁿ − 1) + 1 = 2 ⁿ , so gilt nach ABC-Vermutung

| 2 ⁿ − 1 |= u n v n ≤ µ(ε) · rad(u n v n ) 1+ε

p ² |vn,rad(n)≤n

Insgesamt gilt also u n v n v

erhalten wir v

der v n f¨ ur n → ∞ beschr¨ ankt ist. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.

Ber¨ ucksichtigen wir nun die Wieferich-Bedingung, dann gibt es nur zwei m¨ ogliche Ausnahmen. Dar¨ uber hinaus, nach der Lang-Trotter-Vermutung ⁴ , sollte die Wahrscheinlichkeit, dass 2 ^p−1 ≡ 1 + pk mod p ² f¨ ur ein festes k mod p ist, von der Gr¨ oßenordnung O 5 1 sein. Somit sollte die Anzahl der Primzahlen p bis zu einer festen Schranke x

p

mit der Eigenschaft 2 ^p−1 ≡ 1 + pk mod p ² von der Gr¨ oßenordnung

sein, d. h. die meisten Primzahlen erf¨ ullen die Wieferich-Bedingung.

Wir wollen nun noch eine weitere Vermutung zeigen, die auch folgt, falls die ABC-Vermutung gilt:

⁴ Die Lang-Trotter-Vermutung sagt etwas ¨ uber die Asymptotik f¨ ur die Anzahl der Primzahlen p ≤ x mit λ E (p) = r ∈ R fest voraus, wobei λ E (p) die sog. Frobeniusspur ist.

⁵ Mit O(n) wird das sog. Landausymbol einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichnet. Dabei gilt: Sind f (x) und g(x) reelle oder komplexe Funktionen, so gilt:

f (x) = O(g(x)) :⇔ es gibt eine Konstante c > 0, so dass | f (x) |≤ c · g(x). Nach Vinogradov gilt: f (x) g(x) :⇔ f (x) = O(g(x)), d. h. f (x) ist die Menge aller Funktionen, die durch g(x) beschr¨ ankt sind.

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Hypothese 2.19 (Halls urspr¨ ungliche Vermutung)

Seien o. B. d. A. ⁶ u, v teilerfremd, u, v = 0 und u ³ − v ² = 0. Dann gilt:

| u ³ − v ² ||| u |

2

Satz 2.20

Gilt die ABC-Vermutung, so impliziert dies Halls urspr¨ ungliche Vermutung.

Beweis: Der Beweis geht zur¨ uck auf auf Lang [7].

Wir wollen abschließend noch den Zusammenhang zu einer weiteren Vermutung zeigen. Oesterl´ e gewann die Idee f¨ ur seine Vermutung aus der Szpiro-Vermutung. Bevor wir den Zusammenhang von Oesterl´ es und Szpiros Vermutung herstellen, ben¨ otigen wir noch folgende Vorbereitungen:

Sei K ein K¨ orper mit char(K) = 0. Dann k¨ onnen wir die elliptische Kurve in Weierstraß-Form

E := y ² = x ³ − ux + v mit u, v ∈ Z (2.22)

schreiben. Damit k¨ onnen wir nun die Diskrimante ∆ = 16(4u ³ − 27v ² ) von E definieren sowie D := 4u ³ − 27v ² die Diskriminante des kubischen Polynoms. Weiterhin definieren wir Folgendes:

Definition 2.21

Sei E eine Weierstraß-Gleichung. Dann heißt

mit δ p eine beschr¨ ankte Konstante unabh¨ angig von der Kurve und δ p = 0 f¨ ur p ≥ 5 der Konduktor von E.

Bemerkung 2.22

Es gilt: rad(D) ≤ c(E) (2.24)

Die Formulierung der Szpiro-Vermutung lautet dann wie folgt:

⁶ Diese Annahme wurde urspr¨ unglich nicht getroffen. Falls u, v nicht teilerfremd sind, so teile durch den ggT. Die Beweisf¨ uhrung ¨ andert sich dadurch nicht.

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Hypothese 2.23 (Original Szpiro-Vermutung)

Sei E eine Weierstraß-Kurve mit Diskriminante D und c(E) der Konduktor von E. Dann gilt: | D || rad(D) ^6+ε c(E) ^6+ε . (2.25)

Nun k¨ onnen wir den Zusammenhang von Oesterl´ es und Szpiros Vermutung herstellen:

Satz 2.24

Gilt die ABC-Vermutung, dann gilt auch die Original Szpiro-Vermutung. Beweis: Sei ε > 0 und ε = ¹ ε. Weiterhin sei D = 4u ³ − 27v ² .

3

Im Beweis von Halls Vermutung haben wir gezeigt

| u | ³ [(rad(D)) 2+ε ] ³ (2.26)

und

| v | ² [(rad(D)) 3+ε ] ² . (2.27)

Einsetzen liefert nun das Gew¨ unschte.

Bemerkung 2.25

Die Umkehrung gilt auch. Der Beweis kann bei Serge Lang[7] nachgelesen werden.

2.4 Gute Tripel

Wir wollen nun den Begriff des guten ABC-Tripels einf¨ uhren. Dazu erinnern wir uns zun¨ achst an den Quotienten in Oesterl´ es Version der ABC-Vermutung:

Offen war die Frage, ob L beschr¨ ankt ist. Damit werden wir uns im Folgenden besch¨ aftigen.

Satz 2.26

Die ABC-Vermutung gilt, genau dann wenn lim sup{L} ≤ 1. Beweis: ”=⇒”

Sei die ABC-Vermutung g¨ ultig. Dann gilt

L(a, b, c) =