Boolesche  Algebra / Isomorphien zu Teilerverbänden  

Inhaltsverzeichnis

Seite   

1.  George Boole  3

2.  Boolesche Algebra  3

3.  Potenzmenge  4

4.  Verband  6

4.1  Teilerverbände  7

4.2  Beispiel für einen Teilerverband  11

4.3  Boolescher Verband  12

4.4  Beispiel für einen Booleschen Verband  13

5.  Allgemeingültige Gesetze  14

6.  Weitere Rechenregeln der Booleschen Algebra  15

7.  Isomorphismus  16

7.1  Isomorphie in der Algebra  16

7.2  Isomorphie von endlichen Booleschen Algebren  16

8.  Übersicht Mengenalgebra, Aussagenlogik, Schaltalgebra und  

Teileralgebra   19

Literaturverzeichnis   20

Anhang   

2

Boolesche Algebra

Isomorphien zu Teilerverbänden

George Boole ist 1815 in Lincoln (GB) geboren. Boole beschäftigt sich in der Freizeit mit Ma-

thematik und Physik. Mit 20 Jahren eröffnet Boole seine eigene Schule und erlangt eine Anstellung an einer bekannten Universität. Im Jahre 1854 entwickelt Boole elektrische Schaltkreise, die nach seinem System (Boolesche Algebra) arbeiten. 1864 stirbt Boole an einer Lungenentzündung. *

George Boole regte Untersuchungen zur Analogie von Aussagenlogik, Mengenlehre und algebraischen Operationen an.

2. Boolesche Algebra

Auf der Booleschen Algebra basieren alle Computer und Programmiersprachen.

Ein distributiver komplementärer Verband (V, , , o, e, ') heißt eine Boolesche Algebra. In jeder Booleschen Algebra gelten die De Morganschen Gesetze (Augustus De Morgan)

∀ a, b aus V gilt:

Zunächst folgt in jedem komplementären Verband aus (x')' = x nämlich, dass (1) und (2) äquivalent sind, denn aus (1) folgt

(a' b')' = a'' b'' = a b und daraus a' b' = (a b)', also (2). Die Umkehrung ergibt sich analog.

Daher genügt es, etwa (1) mit Hilfe der Eindeutigkeit des Komplementes und der Distributivgesetze zu bestätigen, d. h. man zeigt

(a b) (a' b') = o und (a b) (a' b') = e. Betrachtet man eine Menge M zusammen mit einer Menge von Operationen auf M, d.h. eine Gesamtheit [M, ], so spricht man von einer Algebra bzw. algebraischen Struktur.

3. Potenzmenge

Was ist die Potenzmenge P(M) der Menge M? Die Potenzmenge P(M) der Menge M ist die Menge aller Teilmengen der Menge M, kurz P(M)={T|T M}.

Hat eine endliche Menge n - Elemente, so hat ihre Potenzmenge 2 Elemente. Es gilt: |P(M)|=2 ^|M| .

Jede Menge (also auch jede unendliche Menge) ist nicht gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge. Wird von einer unendlichen Menge die Potenzmenge, dann die Potenzmenge der Potenzmenge, davon wieder die Potenzmenge - usw. - gebildet, so ergibt sich eine Folge von Mengen, die zwar alle unendlich viele Elemente haben, aber dennoch sukzessive „immer größer“ werden. Achtung: Auch die leere Menge gehört zur Potenzmenge.

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Bsp.: P1({1,2,3})={{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}; P 2 ({1,2,3})={{1,2}, {1,3}, {2,3}}

Veranschaulichung von endlichen Mengen im Hasse - Diagramm (1) P ({a, b}) = {ø, {a}, {b}, {a, b}}

(2) P ({a, b, c}) = {ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}