F¨ ur Anke.

Vorwort

Die vorliegende Diplomarbeit besch¨ aftigt sich mit der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren. Neben einer Zusammenstellung aller ben¨ otigten Hilfsmittel und der Ausarbeitung der theoretischen Hinterg¨ unde besteht ein großer Teil der Arbeit aus der Implementierung der theoretischen Fakten. Die Programme zur Symmetrisierung und zur Berechnung von Zerlegungsmatrizen wurden im Computeralgebrasystem GAP implementiert.

Im ersten Kapitel werden alle f¨ ur die nachfolgenden Kapitel wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie erl¨ autert. Neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen werden im Verlauf dieses Kapitels elementare Definitionen gegeben und Zusammenh¨ ange ausgearbeitet. Das zweite Kapitel beinhaltet die Theorie der Symmetrisierung. Hierbei wird unterschieden, ob gew¨ ohnliche oder modulare Charaktere (Brauer-Charaktere) symmetrisiert werden. Bei der Symmetrisierung von Brauer-Charakteren wird zwischen der gew¨ ohnlichen und der verfeinerten Symmetrisierung differenziert. Bei der Berechnung der verfeinerten Symmetrisierung modularer Charaktere sind die Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren von großer Wichtigkeit. Das folgende dritte Kapitel befaßt sich zun¨ achst mit den dazu in der Literatur existierenden Konventionen. Anschließend wird ein m¨ oglicher Weg f¨ ur die Berechnung der Matrizen erkl¨ art und an einem Beispiel verdeutlicht. Im vierten Kapitel werden die f¨ ur die Symmetrisierung implementierten Programme kurz vorgestellt. Hierbei spielen die Programme zur Berechnung der Zerlegungsmatrizen eine entscheidende Rolle.

In dieser Arbeit bezeichne N die Menge der nat¨ urlichen Zahlen, P die Menge der Primzahlen und Z die Menge der ganzen Zahlen. Es sei N 0 := N ∪ {0}. Alle auftretenden Moduln und Algebren seien stets endlich-erzeugt. Ich danke Gerhard Hiß f¨ ur die Aufgabenstellung und f¨ ur Verbesserungsvorschl¨ age bei der Ausarbeitung. Außerdem danke ich Michael Naehrig und Max Neunh¨ offer f¨ ur einige hilfreiche Tips. Mein besonderer Dank gilt J¨ urgen M¨ uller, der mich bei allen Fragen und Problemen beraten und unterst¨ utzt hat.

Inhaltsverzeichnis

1  Grundlagen  1

1.1  Partitionen  1

1.2  Moduln und p-modulare Systeme  4

1.3  Grothendieck-Gruppen  6

1.4  Endomorphismenringe  8

1.5  Gitter und Zerf allungsk orper  11

1.6  Permutationsmoduln  13

1.7  Schur-Algebren  15

2  Symmetrisierung  25

2.1  Symmetrisierung gew ohnlicher Charaktere  25

2.2  Gew ohnliche Symmetrisierung modularer Charaktere  32

2.3  Verfeinerte Symmetrisierung modularer Charaktere  34

3  Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren  37

3.1  Konventionen  37

3.2  Regeln und S atze  38

3.3  Berechnung  42

3.4  Beispiel  43

4  Implementierung  53

4.1  Grundlegende Programme  53

4.1.1  Das Paket UnionOfMatrices.g  53

4.1.2  Das Paket SortMatrix.g  54

4.1.3  Das Paket DeleteColumns.g  54

4.1.4  Das Paket PrintMatrix.g  55

4.2  Berechnung der Zerlegungsmatrizen  56

4.2.1  Das Paket CoresAndQuotients.g  56

4.2.2  Das Paket LittlewoodRichardson.g  59

4.2.3  Das Paket Littlewood.g  60

4.2.4  Das Paket FasterFilling.g  60

4.3  Symmetrisierung  64

4.3.1  Das Paket MyFunctions.g  64

4.3.2  Das Paket ModularSymmetrizations  65

Kapitel 1

Grundlagen

Das erste Kapitel besch¨ aftigt sich mit wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie. Dabei werden neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen im Verlauf des Kapitels elementare Definitionen und Zusammenh¨ ange formuliert.

1.1 Partitionen

Es seien n, m ∈ N.

1.1.1 Definition (a) Eine endliche Folge nat¨ urlicher Zahlen λ = (λ 1 , . . . , λ m ) heißt Partition von n, geschrieben λ − n, falls gilt:

(i) λ 1 ≥ . . . ≥ λ m > 0.

m (ii) i=1 λ i = n.

Mit a i := |{j | λ j = i, 1 ≤ j ≤ m}, 1 ≤ i ≤ n, verwenden wir als abk¨ urzende Schreibweise λ = (n ^an , (n − 1) ^{a n−1} , . . . , 1 ^{a 1} ), wobei alle Teile k ∈ {1, . . . , n} mit a k = 0 ausgelassen werden.

Es ist l(λ) := m die L¨ ange von λ.

)

^λ 1

definiert durch

i := |{j | λ j ≥ i, 1 ≤ j ≤ m}|, 1 ≤ i ≤ λ 1 .

Insbesondere ist λ − n.

1.1.2 Definition Definiere auf P(n) := {λ | λ − n} die lexikographische Ordnung < wie folgt. F¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ), µ = (µ 1 , . . . , µ m ) ∈ P(n) ist λ < µ genau dann, wenn ein i ∈ {1, . . . , max{m, m }} existiert, so daß

λ j = µ j f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ i − 1 und λ i < µ i .

Dabei wird λ j := 0 f¨ ur alle j > m und µ j := 0 f¨ ur alle j > m gesetzt.

1

2 Kapitel 1: Grundlagen

1.1.3 Definition F¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ) ∈ P(n) sei das Young-Diagramm von λ, geschrieben [λ], wie folgt definiert. Schreibe f¨ ur 1 ≤ i ≤ m in Zeile i genau λ ⁱ Knoten ×.

1.1.4 Bemerkung Man erh¨ alt aus λ ∈ P(n) das Young-Diagramm der zugeh¨ origen konjugierten Partition, indem man das Young-Diagramm von λ an der Diagonalen spiegelt.

1.1.5 Beispiel Sei λ = (5, 4, 3 ² , 1) ∈ P(16). Dann ist das zugeh¨ orige Young-Diagramm von λ

und damit

Also ist λ = (5, 4 ² , 2, 1).

1.1.6 Definition Sei λ ∈ P(n) mit Young-Diagramm [λ]. F¨ ur einen Knoten K in [λ] seien der Arm von K definiert durch

A K := {K} ∪ {alle Knoten in [λ] rechts von K},

das Bein von K definiert durch

B K := {alle Knoten in [λ] unterhalb von K}

und der Haken von K definiert durch

H K := A K ∪ B K .

Des weiteren heißen |A K | die Arml¨ ange von K, |B K | die Beinl¨ ange von K und |H K | die Hakenl¨ ange von K. Ein Haken der L¨ ange p ∈ N heißt p-Haken.

1.1 Partitionen 3

1.1.7 Definition Seien λ = (λ 1 , . . . , λ m ) ∈ P(n) und p ∈ N.

(a) Ersetzt man im Young-Diagramm von λ jeden Knoten durch die korrespondierende Hakenl¨ ange, so heißt das entstehende Diagramm das Hakendiagramm von λ.

(b) Ersetzt man im Young-Diagramm von λ f¨ ur 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ λ i den Knoten in Zeile i und Spalte j durch den Rest von j − i modulo p, so heißt das entstehende Diagramm das p-Residuendiagramm von λ.

1.1.8 Beispiel F¨ ur λ = (5, 4, 3 ² , 1) ∈ P(16) erhalten wir das Hakendiagramm

und das 3-Residuendiagramm

1.1.9 Definition Seien λ ∈ P(n) und p ∈ N.

(a) Entfernt man aus dem Young-Diagramm von λ sukzessive alle p-Haken, so heißt die zum resultierenden Young-Diagramm geh¨ orige Partition der p-Kern von λ, geschrieben λ.

(b) Sei λ der p-Kern von λ. Die Anzahl der entfernten p-Haken heißt das p- Gewichtvon λ, geschrieben w(λ).

(c) Sei λ der p-Kern von λ. Sei s ∈ N 0 die Summe der Beinl¨ angen der entfernten p-Haken. Dann ist die p-Signatur von λ definiert durch

ε(λ) := (−1) ^s .

(d) Betrachte nun das p-Residuendiagramm von λ. Streiche in diesem Diagramm f¨ ur jedes 0 ≤ i ≤ p − 1 jede Zeile, deren letzter Eintrag kongruent i modulo p ist und jede Spalte, deren letzter Eintrag kongruent i + 1 modulo p ist. F¨ ur jedes 0 ≤ i ≤ p − 1 bilden die Schnittpunkte dieser Zeilen und

4 Kapitel 1: Grundlagen

1.1.10 Bemerkung Seien λ ∈ P(n) und p ∈ N. Der p-Kern, das p-Gewicht, die p-Signatur und der p-Quotient von λ sind eindeutig durch λ bestimmt.

1.1.11 Definition Sei p ∈ N.

1.1.12 Bemerkung Sei p ∈ N. Eine Partition ist genau dann p-spaltensingul¨ ar, wenn die zu dieser Partition konjugierte Partition p-zeilensingul¨ ar ist.

1.2 Moduln und p-modulare Systeme

Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und A eine (als R-Linksmodul endlicherzeugte) R-Algebra. Des weiteren sei M ein (endlich-erzeugter) A-Linksmodul. 2

1.2.1 Schreibweise Seien R 1 und R 2 zwei Ringe. Die Schreibweise R 1 ∼ = R 2

bedeutet, daß R 1 und R 2 als Ringe isomorph sind.

Seien X und Y zwei A-Linksmoduln. Die Schreibweise X A ∼ = Y bedeutet, daß

X und Y als A-Linksmoduln isomorph sind.

1.2.2 Definition (a) Ein Untermodul U von M heißt echt, falls {0} < U < M .

[James & Kerber, Satz 2.7.37] ¨ aquivalent zum p-Quotienten (im Sinne von James & Kerber) ist.

² Alle Aussagen dieses Abschnitts lassen sich analog auch f¨ ur A-Rechtsmoduln formulieren.

1.2 Moduln und p-modulare Systeme 5

(d) M heißt halbeinfach, falls jeder Untermodul von M ein direkter Summand von M ist.

(e) M heißt zerlegbar, falls ein echter direkter Summand von M existiert. Ist M nicht zerlegbar, so heißt M unzerlegbar.

1.2.3 Bemerkung Sei M halbeinfach und unzerlegbar. Dann ist M einfach.

Beweis: Angenommen, M ist nicht einfach. Dann existiert ein echter Untermodul U von M . Da M halbeinfach ist, ist U ein direkter Summand. Also besitzt M einen echten direkten Summanden und ist damit zerlegbar.

1.2.4 Definition (a) F¨ ur einen R-Linksmodul V heißt

Ann R (V ) := {r ∈ R | rV = {0}}

der Annulator von V in R.

(b) Es heißt

das Jacobson-Radikal von R.

1.2.5 Definition (a) Die R-Algebra A, aufgefaßt als A-Linksmodul, heißt der regul¨ are A-Linksmodul und wird mit A A bezeichnet.

(b) A heißt halbeinfach, falls A A halbeinfach ist.

1.2.6 Bemerkung Die R-Algebra A ist dann und nur dann halbeinfach, wenn jeder (endlich-erzeugte) A-Linksmodul halbeinfach ist.

Beweis: [Curtis & Reiner, (3.15)].

1.2.7 Definition Sei M = {0}. Dann heißt

das Radikal von M . Wir setzen Rad(M ) := M , falls M keine maximalen Untermoduln besitzt und Rad({0}) := {0}.

1.2.8 Bemerkung Sei R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring. Dann ist J(R)M = Rad(M ).

Beweis: [Curtis & Reiner, (5.29)].

1.2.9 Schreibweise Es sei R := R

und M := M

6 Kapitel 1: Grundlagen

1.2.10 Definition (a) M heißt freier A-Linksmodul, falls eine Menge S exi-

1.2.11Definition Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring, J(R) das Jacobson-Radikal von R, K := Quot(R) der Quotientenk¨ orper von R und k := R mit char(k) = p ∈ P. Dann heißt das Tripel (K, R, k) ein p-modulares System.

1.3 Grothendieck-Gruppen

Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring und A ein Ring mit 1.

1.3.1 Bezeichnungen Sei X A ein Vetretersystem der Isomorphieklassen der endlich-erzeugten A-Rechtsmoduln, das heißt X A sei eine (nicht eindeutig bestimmte) Menge, so daß zu jedem A-Rechtsmodul ³ M genau ein A-Rechtsmodul M X ∈ X A existiert mit M ∼ = A M X .

F¨ ur einen A-Rechtsmodul M bezeichne M X den (eindeutig bestimmten) A- Rechtsmodulmit

M ∼ = A M X . M X ∈ X A und

1.3.2 Definition Es heißt

die freie abelsche Gruppe ¨ uber X A .

1.3.3 Definition Sei

F 0 := N + Q − M | N, Q, M ∈ X A und es existiert eine kurze exakte Folge {0} → N → M → Q → {0}} F ^ab (X A ).

Dann heißt

die Grothendieck-Gruppe von A. F¨ ur einen A-Rechtsmodul M sei

1.3 Grothendieck-Gruppen 7

1.3.4 Bemerkung Seien (K, R, k) ein p-modulares System und G eine endliche Gruppe. Dann existiert ein Isomorphismus

Gr(kG) → Z[IBr k (G)], [M ] → ϕ M ,

wobei Z[IBr k (G)] der Ring der verallgemeinerten Brauer-Charaktere ist.

Beweis: [Curtis & Reiner, (17.14)]

1.3.5 Bemerkung Sei B ein Ring mit 1.

(a) Ein Ringhomomorphismus ϕ : B → A mit ϕ(1 B ) = 1 A induziert einen Homomorphismus ϕ Gr : Gr(A) → Gr(B),

der jeden A-Rechtsmodul auf diesen als B-Rechtsmodul abbildet.

(b) Sei B ≤ A ein Teilring. F¨ ur jeden A-Rechtsmodul M bezeichne M B den Modul M aufgefaßt als B-Rechtsmodul. Dann ist die Abbildung

ϕ Gr : Gr(A) → Gr(B), [M ] → [M B ], M A-Rechtsmodul,

ein Homomorphismus. 4

Beweis:

(a) Sei ϕ : B → A ein Ringhomomorphismus mit ϕ(1 B ) = 1 A .

(i) Sei M ein A-Rechtsmodul, das heißt es existiert eine bilineare Abbil-

⁴ Eineanaloge Aussage gilt f¨ ur A-Linksmoduln (vgl. Beweis zu Satz 1.7.11).

8 Kapitel 1: Grundlagen

und

m (b 1 b 2 ) = m ◦ ϕ(b 1 b 2 )

Also ist der A-Rechtsmodul M auch ein B-Rechtsmodul.

(ii) Seien M, N A-Rechtsmoduln und ψ : M → N ein A-Modulhomomor- phismus.Wegen (i) sind M und N zwei B-Rechtsmoduln und ψ ist ein B-Modulhomomorphismus.

(iii) Wegen (i) und (ii) wird jede exakte Folge von A-Modulhomomor- phismenzu einer exakten Folge von B-Modulhomomorphismen.

der wegen (i) jeden A-Rechtsmodul auf diesen als B-Rechtsmodul abbildet.

1.4 Endomorphismenringe

Es seien (K, R, k) ein p-modulares System und A eine (als R-Rechtsmodul endlich-erzeugte) R-Algebra. Weiterhin seien M ein (endlich-erzeugter) A-Rechts- modulund E := End A (M ) der Endomorphismenring von M .

1.4.1 Bemerkung (a) M ist E-Linksmodul mittels

E × Hom A (Y, M ) → Hom A (Y, M ), (ϕ, β) → ϕ ◦ β,

zu einem E-Linksmodul.

1.4.2 Satz Sei Y = {Y 1 , . . . , Y n } eine endliche Familie von A-Untermoduln von M mit

Dann gilt:

1.4 Endomorphismenringe 9

(a) E E E ∼ =

(b) F¨ ur 1 ≤ i ≤ n gilt:

⇔ Y i unzerlegbar Hom A (Y i , M ) unzerlegbar.

(c) F¨ ur 1 ≤ i, j ≤ n gilt:

Y i ∼ = A Y j Hom A (Y i , M ) E ∼ = Hom A (Y j , M ). ⇔

Beweis: Sei 1 ≤ j ≤ n. Betrachte die Projektion von M auf Y j , das heißt

π j : M → Y j , (y 1 , . . . , y n ) → y j ,

und die Injektion von Y j in M , das heißt

ι j : Y j → M, y → (0, . . . , 0, y, 0, . . . , 0).

Setze τ j := ι j ◦ π j . Dann ist τ j ∈ E und Bild(τ j ) = τ j (M ) ∼ = Y j .

Betrachte die Abbildung

Diese Abbildung ist wohldefiniert, bijektiv und sogar ein E-Linksmodulhomo- morphismus.Also gilt: E (E · τ j ) E ∼ = Hom A (Y j , M ). (1)

(a) Es gilt:

(b) F¨ ur 1 ≤ i ≤ n gilt:

Y i unzerlegbar ⇔ es existieren keine 0 < U 1 , U 2 ≤ Y i mit

10 Kapitel 1: Grundlagen

Hom E (Hom A (Y i , M ), M ) ∼ = A Hom E (Hom A (Y j , M ), M )