Bibliographische Angaben

Verfasser: Benjamin Berger

Titel: Realisierung einer prototypischen Hardwarel¨ osung f¨ ur ein inverses Pendel

Umfang: 90 Seiten; 33 Abbildungen; 7 Tabellen; 33 Literatur- und Quellenangaben

Dokumentart: Diplomarbeit

Hochschule: Technische Universit¨ at Chemnitz

Schlagworte: Inverses Pendel, Hardware-Regelung, Kalman-Filter, FPGA, LQR, LQG

Kurzreferat

Ziel der Arbeit ist die anschauliche Demonstration der Leistungsf¨ ahigkeit von Hardware-Systemen zur Regelung instabiler Systeme am Beispiel des Inversen Pendels. Dabei handelt es sich um das Balancieren eines Stabes, einem Standard-Problem der Regelungstechnik. Es wird die Konzeption und Implementierung einer Hardware-Regelung in einem FPGA-Prototypenboard zur Realisierung dieser Aufgabe beschrieben. Die Regelung basiert mit LQR-Entwurf und Kalman-Filter auf klassischen Methoden der Regelungstechnik. Zur Demonstration der Regelung wurde ein mechanischer Aufbau vorgenommen, an dem die Funktionsf¨ ahigkeit des Inversen Pendels praktisch gezeigt wurde.

1

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  11

1.1  Motivation  11

1.2  Analyse der Aufgabenstellung  11

1.3  Gliederung der Arbeit  12

2  Grundlagen  13

2.1  Referenzanwendung Inverses Pendel  13

2.1.1  Prinzip  13

2.1.2  Anwendung und Bedeutung  14

2.2  Aufbau des Regelsystems  15

2.2.1  Modellierung  16

2.2.2  Stabilit at  17

2.2.3  Steuerbarkeit  18

2.2.4  Beobachtbarkeit  18

2.3  Verfahren zum Reglerentwurf  19

2.3.1  PI-Mehrgr oßenregler  20

2.3.2  Polvorgabe  20

2.3.3  LQR-Entwurf  21

2.4  Verfahren zur Zustandssch atzung  22

2.4.1  Luenberger-Beobachter  22

2.4.2  Kalman-Filter  24

2.5  Sensorik  26

2.5.1  Winkel  26

2.5.2  Position  28

2.6  Antrieb  28

3  Inverse Pendel im Vergleich  33

3.1  Bauformen  33

3.2  Realisierungsbeispiele  34

3.2.1  Inverses Pendel - Fertigstellung eines Versuchsaufbaues und Pro-  

grammierung  einer Echtzeit-Regelung  34

2

INHALTSVERZEICHNIS

   3

3.2.2  Universit at Bremen, Schwerpunktlabor Regelungstechnik - Labor-  

versuch  Pendel  35

3.2.3  Nichtlineare Regelung eines Inversen Pendels mit begrenztem Fahrweg  36

3.2.4  Sichere manuelle Regelung instabiler Systeme  37

3.2.5  Stabilisierung eines Inversen Pendels mit einem redundanten Roboter  38

3.3  Fazit der Recherche  39

4  Elektromechanischer Aufbau  41

4.1  Mechanik  42

4.2  Sensorik  42

4.3  Antrieb  44

4.4  FPGA-Board  47

5  Modellbildung  48

5.1  Herleitung der Systemgleichungen  48

5.2  Anpassung an den Schrittmotor  51

5.3  Linearisiertes Modell im Zustandsraum  51

5.4  Analyse der Modelleigenschaften  52

5.4.1  Stabilit at des Modells  53

5.4.2  Steuerbarkeit des Modells  54

5.4.3  Beobachtbarkeit des Modells  55

6  Reglerentwurf  56

6.1  Einstellung des LQ-Reglers  56

6.2  Einstellung des Kalman-Filters  57

6.3  Aufschwing- und Fangalgorithmus  58

6.4  Simulation  60

6.4.1  Matlab vs. VHDL-AMS  60

6.4.2  Verhalten des LQ-Reglers  60

6.4.3  Verhalten der Regelung mit Kalman-Filter  61

6.4.4  Aufschwingen und Fangen  62

6.5  Konsequenzen f ur die Realisierung  63

7  Implementierung  65

7.1  Besonderheiten des Hardware-Entwurfs  65

7.2  Systempartitionierung und Entwurfsstrategie  66

7.3  Teilkomponenten  67

7.3.1  Schrittz ahler und Ansteuerung  67

7.3.2  Logik f ur Steuerflags  68

7.3.3  Steuerungsautomat  69

7.3.4  Nutzung des Hardware-Moduls Kalman-Filter  71

INHALTSVERZEICHNIS

   4

7.4  Modifizierung des Kalman-Filters  72

7.4.1  Parametrisierung  72

7.4.2  Schnittstelle  73

7.4.3  Rechenablauf  74

7.4.4  Algorithmus des steady-state Kalman-Filters  75

7.4.5  Speicherbelegung  77

7.5  Probleme  78

7.5.1  Aufschwing- und Fangalgorithmus  78

7.5.2  Feineinstellung des Fangalgorithmus  79

7.5.3  Drift des Nullwinkels  79

8  Schluss  80

8.1  Zusammenfassung  80

8.2  Ergebnisse  80

8.3  Ausblick  82

Literaturverzeichnis   84

A  Details zum Projekt  87

A.1  Kurzdokumentation  87

A.2  Datei- und Verzeichnisstruktur  88

A  3 Simulationsresultate  89

Abbildungsverzeichnis

2.1 Skizze eines Inversen Pendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Segway HT - eine neue Art der Fortbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Mehrgr¨ oßenregelung f¨ ur ein Inverses Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Signalflussplan der zustandsgeregelten Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Gebiet f¨ ur die Vorgabe der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Zustandsr¨ uckf¨ uhrung mit Lueneberger-Beobachter . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Gray-codiertes Encodersegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 Winkelmessung mittels Hall-Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9 Aufbau eines bipolaren Schrittmotors (vereinfacht) . . . . . . . . . . . . . . 30

2.10 Funktionsprinzip und Spulenstr¨ ome im Vollschrittmodus . . . . . . . . . . 30

2.11 Funktionsprinzip und Spulenstr¨ ome im Halbschrittmodus . . . . . . . . . . 30

2.12 Funktionsprinzip und Spulenstr¨ ome im Mikroschrittmodus . . . . . . . . . 31

2.13 Drehmoment-Schrittfrequenz Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Labormodell Inverses Pendel der TU Graz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 schematischer Systemaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Aufbau des Inversen Pendels aus einem Drucker . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Leiterplatte f¨ ur Potentiometer in der Farbpatrone . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Erste Leiterplatte f¨ ur den Schrittmotortreiber . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Steuersequenz f¨ ur Halbschrittmodus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Abnahme des maximalen Spulenstroms bei hohen Schrittfrequenzen . . . . . 46

4.7 konstanter Spulenstrom durch Phasenstromregelung . . . . . . . . . . . . . 46

4.8 Leiterplatte f¨ ur den Schrittmotortreiber mit Phasenstromregelung . . . . . . 47

5.1 Modell des Pendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Teilsystem Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Teilsystem Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Pole des ungeregelten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 Sprungantwort des ungeregelten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1 Systemmodell der Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Sprungantwort des geregelten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

   6

6.3  geregeltes Systems mit Kalman-Filter  61

6.4  vergr oßerte Darstellung der gesch atzten Zustandsgr oßen  61

6.5  Simulation von Aufschwingen und Fangen des Pendels  62

6.6  Trajektorie des Aufschwingens  63

6.7  Zeitverlauf der Kalman-Verst arkungsmatrix  63

7.1  Partitionierung des FPGA-Entwurfs  66

7.2  Ableitung von Steuersignalen aus der Wagenposition  68

7.3  Ableitung von Steuersignalen aus dem Pendelwinkel  69

7.4  Automatengraph der zentralen Steuerung  70

7.5  Aufbau der Kalman-Filter Komponente  72

7.6  Automatengraph des I/O-Interface zum Kalman-Filter  73

7.7  Umrechnung der Position in das Festkommaformat  75

7.8  Umrechnung der Geschwindigkeit in eine Taktanzahl  76

7.9  Aufteilung des Matrizenspeichers  78

8.1  Der Demonstrator zur Hardware-Regelung eines Inversen Pendels  81

A.1  Simulation der Aufschwingregelung in Matlab  89

A  2 Simulation der Zustandssch atzung mit Modelsim  89

Tabellenverzeichnis

3.1 ¨ Ubersicht ¨ uber das IP von Migge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 ¨ Ubersicht ¨ uber das IP von Bremen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 ¨ Ubersicht ¨ uber das IP von Wei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 uber das IP von ˚ Akesson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 ¨ Ubersicht ¨ 3.5 ¨ Ubersicht ¨ uber das IP von Ott, Schreiber und Hirzinger . . . . . . . . . . . 38

4.1 Geschwindigkeitsdaten des Schrittmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1 Berechnungsablauf des Kalman-Filter Controllers . . . . . . . . . . . . . . 77

7

Abk ¨ urzungsverzeichnis

ADC Analog Digital Convertor - Analog-Digital Umsetzer, A/D-Wandler

ALU Arithmetic Logic Unit

ASIC Application Specific Integrated Circuitanwendungsspezifischer Schaltkreis

DSP Digital Signal Prozessor - Digitaler Signalprozessor

FPGA Field Programmable Gate Arrayvom Anwender programmierbarer Logikbaustein

FSM Finite State Machine - Endlicher Automat

IP hier f¨ ur Inverses Pendel benutzt, sonst eigentlich Intellectual Property -Geistiges Eigentum

LED Light Emitting Diode - Leuchtdiode

LSB Least Significant Bit - Niedrigstwertiges Bit eines Bitvektors

LQR Linear Quadratic Regulator - LQ-Regler, Optimalregler

LQG Linear Quadratic Gaussian - LQ-Regler kombiniert mit Kalman-Filter

LUT Look Up Table - Funktionsgenerator in Form einer Wertetabelle

MSB Most Significant Bit - H¨ ochstwertiges Bit eines Bitvektors

OPV Operationsverst¨ arker - universeller Verst¨ arkerschaltkreis

PROM Programmable Read Only Memory - Programmierbarer Nur-Lese-Speicher

RAM Random Access Memory - Speicher mit wahlfreiem Zugriff

SRAM Static RAM - Statischer RAM, eine Zelle besteht aus 5-6 Transistoren

PWM Pulse Width Modulation - Pulsweitenmodulation

VHDL VHSIC Hardware Description Language -VHSIC Hardwarebeschreibungssprache

VHDL-AMS VHDL Analog and Mixed Systems -

Erweiterung von VHDL zur Beschreibung analoger Systeme

VHSIC

Verwendete Formelzeichen

Dieses Verzeichnis enth¨ alt die verwendeten Formelzeichen und Symbole. Formelzeichen, die an nur einer Stelle auftreten und bereits dort erkl¨ art sind, werden nicht gesondert aufgef¨ uhrt. Es werden folgende Konventionen eingehalten: Kleine kursive Buchstaben bezeichnen Skalare, z. B. x, v, t. Vektoren sind durch kleine fettgedruckte Buchstaben,

z. B. x, k, und Matrizen durch fettgedruckte Großbuchstaben, z. B. A, K, dargestellt.

allgemein:

x T x ˙ x ¨ M ij x

k Formelzeichen:

A A ^d A ^s B B ^d C D F ^c g

I J K

K K ^s k ^T L l l ^e λ M m μ n n

^clk P k Q c Kovarianzmatrix des Messrauschens

9

TABELLENVERZEICHNIS 10

Q w R c R w S S S B τ θ Pendelwinkel ˙ θ, ω ¨ θ u(t),

u(t) v Prozessrauschen w k x(t), x i (t)

ˆ x(t) x (t) ˆ x x, v ˙ x ¨

y logische Symbole:

a ∧ b a ∨ b

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Motivation

Regelungen findet man heute auf vielen technischen und nichttechnischen Gebieten. Angefangen von Regelungen in Haushaltsger¨ aten ¨ uber geregelte Fahrzeugsysteme (z. B. Klimaanlage, Stabilit¨ atskontrolle) bis hin zu Prozessregelungen industrieller Großanlgagen oder Lageregelung von Satelliten besteht ein großer Bedarf an Regelungssystemen. W¨ ahrend einfache Regelungsaufgaben rein mechanisch gel¨ ost werden k¨ onnen, sind f¨ ur komplexere Aufgaben Mikroprozessoren oder Prozessrechner notwendig.

Ziel dieser Arbeit ist es zu zeigen, inwieweit derartige Regelungen durch dedizierte Hardware ¹ realisiert werden k¨ onnen. Dazu soll ein Stab unter Nutzung von Hardwarealgorithmen auf einem beweglichen Schlitten zu balanciert und damit die Leistungsf¨ ahigkeit digitaler Hardwaresysteme in Bezug auf zeitkritische Regelungsaufgaben demonstriert werden.

Im Gegensatz zu existierenden Realisierungen des Inversen Pendels soll dabei eine rein in Hardware als Anwendungsspezifischer Schaltkreis (ASIC) vorliegende L¨ osung entwickelt werden. Demnach soll auf die Nutzung von Software und Mikroprozessoren außer im Entwurfsprozess verzichtet werden. Der eigentliche Regler wird auf einen einzigen rekonfigurierbaren Schaltkreis reduziert und ist damit unabh¨ angig von einem sehr viel gr¨ oßeren Prozessrechner. Dadurch ist eine gewisse Miniaturisierung des gesamten Systems m¨ oglich, da eine funktionst¨ uchtige Installation des Inversen Pendels im Schaukasten des Lehrstuhls erfolgen soll.

1.2 Analyse der Aufgabenstellung

Rechercheaufgabe Als Ergebnis der Literaturrecherche soll ein konkreter Vorschlag zur Realisierung einer Regelung des Inversen Pendels stehen. Dieser sollte Aussagen zum Regelalgorithmus, der Sensorik und dem mechanischen Aufbau enthalten. Dazu sind verschiedene L¨ osungen gegen¨ uberzustellen und zu vergleichen. Deren Relevanz ist anhand der in der Aufgabenstellung genannten Randbedingungen zu pr¨ ufen.

Konzeptionsaufgabe Entsprechend der Forderung in der Aufgabenstellung ist der am Lehrstuhl als Komponente vorhandene Kalman-Filter und ein FPGA ² -Prototypenboard

¹ f¨ ur einen spezifischen, sehr eng gefassten Zweck konstruierte Hardware

² Field Programmable Gate Array - vom Anwender konfigurierbarer Logikbaustein ( programmierbar“) ”

11

1.3. GLIEDERUNG DER ARBEIT 12

als Realisierungsplatform in die Konzeption einzubeziehen. Daraus und aus den Rechercheergebnissen soll eine Konzeption f¨ ur ein konkretes Inverses Pendel mit einer in VHDL beschriebenen Regelung abgeleitet werden.

Realisierungsaufgabe Es ist ein mechanischer Aufbau vorzunehmen, der die Funktionst¨ uchtigkeit der Regelung demonstriert. Als Vorgabe steht hier eine Installierbarkeit des Systems im lehrstuhleigenen Schaukasten. Damit sind die Dimensionen des Aufbaus begrenzt, was in die Konzeption einzubeziehen ist. Alle weiteren Entscheidungen des Aufbaus wie Sensoren und Antrieb sind aus den Ergebnissen der Recherche abzuleiten.

1.3 Gliederung der Arbeit

Zum allgemeinen Verst¨ andnis der zu implementierenden Regelungsaufgabe wird in Kapitel 2 ein ¨ Uberblick ¨ uber das Inverse Pendel gegeben und Grundlagen zur regelungstechnischen Bearbeitung dieses Problems in der Literatur dargestellt. Vor diesem Hintergrund werden in Kapitel 3 einzelne Realisierungen verglichen und daraus Schlussfolgerungen f¨ ur die konkrete Umsetzung der Hardware-L¨ osung des Pendels gezogen. Kapitel 4 beschreibt ausgehend von diesen Ergebnissen den mechanischen und elektrischen Aufbau des Demonstrators. Dieser muss vor dem Reglerentwurf mathematisch modelliert werden (Kapitel 5). Die Parametrisierung von Regler und Zustandssch¨ atzung sowie der Entwurf einer Aufschwingregelung wird neben den Simulationsergebnissen in Kapitel 6 dargestellt. Mit der Implementierung der Regelung in Hardware und dabei aufgetretenen Problemen besch¨ aftigt sich Kapitel 7. Die Arbeit schließt mit einer Zusammenfassung, den Ergeb- nissen und dem Ausblick auf weitere Arbeiten in Kapitel 8.

Kapitel 2

Grundlagen

In diesem Kapitel werden verschiedene Aspekte zum allgemeinen Verst¨ andnis der Aufgabenstellung dargelegt. Zun¨ achst wird ein ¨ Uberblick ¨ uber das regelungstechnische Problem

Inverses Pendel und dessen Bedeutung gegeben. Danach werden einige f¨ ur die weitere Konzeption wichtige Begriffe aus der Regelungstechnik erkl¨ art. Schließlich folgt eine aus der Recherche hervorgegangene Gegen¨ uberstellung m¨ oglicher Herangehensweisen f¨ ur den Entwurf und Aufbau des Regelungssystems.

2.1 Referenzanwendung Inverses Pendel

2.1.1 Prinzip

Wer hat als Kind nicht auch schon versucht, einen Besenstiel auf der Handfl¨ ache zu balancieren? Um den Stab aufrecht zu halten, musste dieser st¨ andig beobachtet und die Position der Hand entsprechend korrigiert werden. Was der Mensch schon relativ fr¨ uh intuitiv beherrscht, ist f¨ ur Maschinen oder Roboter hingegen eine große Herausforderung. Schließlich muss dazu den vergleichsweise ” unerfahrenen“ Computern bzw. Schaltkreisen

erst einmal die Physik eines umgekehrten Pendels und die zur Balance dessen n¨ otigen Bewegungen beigebracht werden.

broom balancing“ ¹ oder Inverses Pendel bekannte Stabilisierungsaufga-Diese auch als ”

be ist sowohl eines der bedeutendsten als auch anschaulichsten klassischen Probleme der Regelungstechnik. Der mechanische Aufbau besteht dabei aus einem horizontal frei beweglichen Wagen auf einer Schiene, an dem drehbar ein Stab mit einem Freiheitsgrad angebracht ist (Bild 2.1). Aufgabe der Regelung ist es, das Pendel durch eine geeignete Ansteuerung des Schlittens in der aufrechten Position balanciert zu halten. Außerdem soll die Wagenposition vorgegeben werden k¨ onnen. Da mit diesen Vorgaben ein nichtlineares, instabiles und unteraktuiertes ² System im regelungstechnischen Sinne vorliegt, ist dies eine ¨ uberaus anspruchsvolle Aufgabe.

Die Realisierung eines geeigneten Reglers kann mittels verschiedener Entwurfsstrategien wie PI-Regler, Regler mit Polvorgabe, LQR-Regler, Fuzzy Systeme oder Neuronale Netze erfolgen. Eine Gegen¨ uberstellung m¨ oglicher Regler erfolgt in Kapitel 6. Oft wird auch das Aufschwingen des Pendels aus der Nulllage durch Bewegungen des Wagens realisiert. Daf¨ ur sind nichtlineare Herangehensweisen wie Energieans¨ atze erforderlich.

¹ Balancieren eines Besenstiels

² d. h. es liegen weniger Stelleingriffe als zu regelnde Gr¨ oßen vor

13

2.1. REFERENZANWENDUNG INVERSES PENDEL 14

2.1.2 Anwendung und Bedeutung

Lehre Das Inverse Pendel ist von seiner theoretischen Modellierung und seinen Anforderungen an eine Stabilisierung her gesehen also durchaus komplex, gleichzeitig aber von seinem einfachen Aufbau und seiner Anschaulichkeit her kaum zu ¨ ubertreffen. Zwar ist es

ein nichtlineares System, kann aber ohne gr¨ oßere Abweichungen f¨ ur einen gewissen Auslenkungsbereich als linear behandelt werden. Diese Eigenschaften machen Inverse Pendel weltweit zu beliebten Lehr- und Praktikumsobjekten im Fachbereich der Regelungstechnik, so z. B. in der Schweiz [SB01], den USA [Lou], Deutschland [Bre99] und Pakistan [Sul03].

Referenzanwendung Außerdem dient es in der Forschung als Benchmark-Anwendung ³ zur Demonstration neuer Regelungsalgorithmen (siehe [CH95], [Wen00a] und [LM94]). So wird in [GG01] beispielsweise ¨ uber einen Versuch berichtet, der im Jahr 1987 zum wissenschaftlichen Durchbruch der Fuzzy Logik in Japan f¨ uhrte:

Auf der Jahreskonferenz der International Fuzzy System Association in Tokio f¨ uhrte Ta- ”

keshi Yamakawa ein invertiertes Pendel als physikalisches System vor, welches mittels Fuzzy Control eines linear verfahrbaren Pendelschlittens als Reaktion auf Pendelauslenkungen im Gleichgewicht gehalten wurde. W¨ ahrend der Vorf¨ uhrung entfernte er Fuzzy-Regeln aus dem verwendeten Steuerungsprogramm, und zur ¨ Uberraschung aller Beobachter konnte der Stab dennoch aufrecht gehalten werden.“

Praktische Anwendungen Das Problem des Inversen Pendels ist allerdings nicht nur von rein akademischem Interesse. Derartige Regelungsaufgaben finden sich durchaus ebenso in der Praxis. Im Folgenden werden einige Anwendungen genannt [HRS01].

• Balancieren einer Rakete bei der Fahrt von der Montagehalle zur Startrampe

• Stabilisierung der vertikalen Position eines Space Shuttles in den ersten Flugab-schnitten

• Halten eines zweibeinigen Roboters in einer aufrechten Position - auch ein stillste-hender Mensch kann so als ein inverses Pendel betrachtet werden

³ Etwas, dass als ein Standard genutzt wird, an dem andere Dinge gemessen oder beurteilt werden k¨ onnen.

2.2. AUFBAU DES REGELSYSTEMS 15

• Dynamik eines Roboterarms f¨ ur den Fall, dass der Kraftangriff unter dem Schwer-punkt des Armes liegt und das System somit instabil ist

• Einachsige, selbststabilisierende Roller, z.B. Segway ^TM Human Transporter (siehe

Bild 2.2, [Seg])

Eine weitere dem Inversen Pendel ¨ ahnliche Stabilisierungsaufgabe findet sich in der sogenannten Lastkranregelung. Dabei soll eine von einem Kran transportierte schwingende Last durch lineare Bewegungen des Kranl¨ aufers m¨ oglichst schnell zum Stillstand gebracht werden. In gewisser Hinsicht k¨ onnte man das Inverse Pendel als eine ” auf den Kopf

gestellte“ Lastkranregelung bezeichnen.

2.2 Aufbau des Regelsystems

Regelung Unter der Regelung eines Systems versteht man

einen Vorgang, bei dem eine Gr¨ oße (Ist- oder Regelgr¨ oße) fortlaufend erfasst und mit einer anderen Gr¨ oße (Soll- oder F¨ uhrungsgr¨ oße) verglichen wird, wobei deren Differenzsignal (Stellgr¨ oße) den zu regelnden Prozess im Sinne einer Angleichung an die F¨ uhrungsgr¨ oße beeinflusst ([Gee04, S. 4] nach DIN 19226). Im Gegensatz zur Steuerung (open loop) findet der gesamte Wirkungsablauf in einem geschlossenen Kreis (closed loop) statt; die Ausgangsgr¨ oßen wirken also auf die Eingangsgr¨ oßen zur¨ uck.

Mehrgr¨ oßensystem Liegen bei einer Regelung mehrere stark miteinander verkoppelte Regel- und Stellgr¨ oßen vor, die nicht mehr getrennt voneinander behandelt werden k¨ onnen, spricht man von einem Mehrgr¨ oßensystem. Ein Beispiel daf¨ ur ist das Inverse Pendel, bei dem Wagenposition, Geschwindigkeit, Auslenkung, und Winkelgeschwindigkeit zusammenh¨ angen und nicht unabh¨ angig voneinander auf vorgegebene Sollwerte gebracht werden k¨ onnen. Ein solches System mit mehreren Regelgr¨ oßen und einer Stellgr¨ oße wird in der englischsprachigen Literatur auch als MISO-System (multiple input, single output) bezeichnet.

Um f¨ ur die Regelstrecke bei Mehrgr¨ oßensystem eine m¨ oglichst kompakte Beschreibung zu erhalten, werden die meist elektrischen Ein- und Ausgangsgr¨ oßen zu den Vektoren u(t) und y(t) zusammengefasst. Zus¨ atzlich werden f¨ ur die Regelung derartig verkoppelter

2.2. AUFBAU DES REGELSYSTEMS 16

Systeme oft auch nicht messbare interne Zustandsgr¨ oßen ben¨ otigt, welche mit dem Vektor x(t) beschrieben werden. Diese m¨ ussen aus den gemessenen Gr¨ oßen mittels sogenannter Beobachter oder Zustandssch¨ atzer rekonstruiert werden.

Der prinzipielle Aufbau der Regelung eines dynamischen Mehrgr¨ oßensystems ist am Beispiel des eindimensionalen Inversen Pendels in Bild 2.3 dargestellt.

Damit der Prozess geregelt werden kann, muss er mit geeigneten Sensoren und Aktoren (Antrieb) versehen werden. Das so instrumentierte mechanische Teilsystem wird Regelstrecke genannt. Im Fall des Inversen Pendels besteht diese i. Allg. aus dem Pendelwagen mit Linearf¨ uhrung, dem Antrieb, sowie Sensoren f¨ ur die Messung von Winkel und Position.

Das elektrische Teilsystem beinhaltet Komponenten zur Aufbereitung der Sensordaten und zur Verst¨ arkung des Stellsignals, den Zustandssch¨ atzer und den eigentlichen Regler. Letzterer bewirkt eine Umsetzung des rekonstruierten Systemzustands in eine geeignete Stellgr¨ oße. Dies geschieht mittels eines speziellen R¨ uckf¨ uhrungsgesetzes und ist Gegen-stand des Reglerentwurfes.

Sowohl der Entwurf des Reglers als auch des Zustandssch¨ atzers basiert auf einer mathematischen Beschreibung der Regelstrecke. Dies soll im Folgenden betrachtet werden.

2.2.1 Modellierung

Mehrgr¨ oßensysteme lassen sich im Zeitbereich mit Differentialgleichungen, dem Zustandsraummodell oder als ¨

Ubergangsfunktionsmatrix beschreiben. Ferner ist eine Beschreibung im Frequenzbereich mittels der ¨ dem erh¨ ohten Rechenaufwand durch die zus¨ atzlich n¨ otige Laplace-Transformation hier nicht betrachtet werden.

Zustandsraum Da f¨ ur die Analyse und Synthese von Regelsystemen heute fast ausschließlich digitale Rechenprogramme verwendet werden, hat die Darstellung des Systems durch das Zustandsraummodell mittlerweile die gr¨ oßte Bedeutung gewonnen. Dabei han- delt es sich um in Matrizenschreibweise umgeformte Differentialgleichungen, auf die sich

2.2. AUFBAU DES REGELSYSTEMS 17

effiziente Algorithmen anwenden lassen [Sch95, S. 290ff]. Auf diesen Zustandsgleichungen basiert auch der zu verwendente Kalman-Filter, was einen weiteren Grund f¨ ur die Verwendung gerade dieser Modellierung darstellt. Ein System von linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung l¨ asst sich im Zustandsraum kompakt mit folgenden Vektordifferentialgleichungen 1. Ordnung beschreiben:

In diesem als Zustandsdarstellung bezeichneten Gleichungssystem sind

• x(t) der interne Zustandsvektor mit der Dimension n,

• u(t) der Eingangsvektor mit der Dimension m,

• y(t) der Ausgangsvektor mit der Dimension p,

• A die Systemmatrix mit der Dimension n × n,

• B die Eingangsmatrix mit der Dimension n × m,

• C die Ausgabematrix mit der Dimension p × n,

• D die Durchgangsmatrix mit der Dimension p × m.

Die Matrix D in (2.2) verbindet den Eingang u direkt und tr¨ agheitslos mit dem Ausgang y. Da dies in physikalischen Systemen nicht vorkommt, wird D oft gleich null gesetzt. Anhand dieser mathematischen Modellierung k¨ onnen nun weitere regelungstechnisch bedeutende Eigenschaften des Systems analysiert werden.

2.2.2 Stabilit¨ at

Ziel der Regelung vieler Mehrgr¨ oßensysteme, wie auch des Inversen Pendels, ist eine Stabilisierung des Systemzustandes in einem bestimmten Punkt. Daf¨ ur ist zun¨ achst ein n¨ aheres Verst¨ andnis ¨ uber den Begriff und die Definition der Stabilit¨ at im Sinne der Regelungstechnik notwendig. In Lehrb¨ uchern zur Regelungstechnik (z. B. [Lun97, S. 49f], [Sch95, S. 114]) findet man hierzu:

Definition 2.1 Ein dynamisches System ist stabil, wenn seine transienten Antworten bei beliebigen Anfangsbedingungen f¨ ur t → ∞ nach Null abklingen.

F¨ ur ein lineares zeitinvariantes System ist das genau dann der Fall, wenn alle Pole des Systems einen negativen Realteil haben.

In der Zustandsdarstellung eines Systems bedeutet dies, dass alle Zustandsgr¨ oßen x mit der Zeit zu Null werden. Die Pole des Systems sind dabei identisch mit den Eigenwerten λ der Systemmatrix A. Diese ergeben sich als L¨ osungen des Eigenwertproblems (siehe

[Gee04, S. 310]):

det(λI − A) = 0 (2.3)