I

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   I

Abbildungsverzeichnis   III

Tabellenverzeichnis   III

Abk  ürzungsverzeichnis  IV

Symbolverzeichnis   V

1.  Einleitung  1

2.  Kreditgeschäft als Investition unter Unsicherheit  2

2.1.  Allgemeines  2

2.2.  Besonderheiten bei Kreditgeschäften  3

2.2.1.  Wesen und Quantifizierung des Kreditrisikos  3

2.2.2.  Verteilungsfunktion  5

2.2.3.  Expected loss / unexpected loss  10

3.  Risikomaße  14

3.1.  Vorbemerkung  14

3.2.  Einperiodige Risikomaße  15

3.2.1.  Volatilitätsmaße.  15

3.2.2.  Shortfall-Risikomaße (Lower Partial Moments)  18

3.2.3.  Quantile als Risikomaße  19

3.2.4.  Value at Risk  21

3.2.5.  Expected Shortfall  22

3.2.6.  worst-case-Risikomaße  24

3.2.7.  (Multi)Fraktale Risikomaße  25

3.3.  Mehrperiodige Risikomaße  27

3.3.1.  Modelle in diskreter Zeit  27

3.3.2.  zeitstetige Modelle  29

4.  Risikomessung im Kreditgeschäft  31

4.1.  Vorbemerkung  31

4.2.  Rückzahlungsquote (Recovery-Rate)  31

4.3.  Ausfallwahrscheinlichkeit  32

4.3.1.  Schätzung der Einzelkredit-Ausfallwahrscheinlichkeit  32

II

4.3.2.  Ausfallwahrscheinlichkeit und Kreditportfolien  35

4.3.3.  Einflussparameter auf die Portfolioausfallwahrscheinlichkeit  36

4.3.4.  Zusammenfassende Überlegungen  38

4.4.  Eignung verschiedener Risikomaße  39

4.4.1.  Anforderungen  39

4.4.2.  Volatilitätsmaße.  40

4.4.3.  Shortfall-Risikomaße  41

4.4.4.  Quantile  42

4.4.5.  Value at Risk  43

4.4.6.  Expected Shortfall  45

4.4.7.  worst-case-Risikomaße  46

4.4.8.  (Multi)Fraktale Risikomaße  46

4.4.9.  Mehrperiodige Risikomaße  47

4.5.  Ausblick  48

5.  Einbindung geeigneter Risikomaße in eine entscheidungsorientierte  

Risikomessung   51

6.  Zusammenfassung  53

Anhang   55

A1  : Abhängigkeit der Varianz einer Portfolioausfallwahrscheinlichkeit von der  

Korrelation   55

A2  : Abhängigkeit der Varianz einer Portfolioausfallwahrscheinlichkeit von der  

Portfoliogr  öße  56

A3  : Abhängigkeit der Varianz einer Portfolioausfallwahrscheinlichkeit von der  

Einzelkreditausfallwahrscheinlichkeit   57

A4  : Vergleich des Einflusses von Korrelation und Portfoliogröße auf die  

Varianz  einer Portfolioausfallwahrscheinlichkeit  58

A5  : Vergleich des Einflusses von Korrelation und Einzelkreditausfallwahr-  

scheinlichkeit  auf die Varianz einer Portfolioausfallwahrscheinlichkeit  59

Literaturverzeichnis   60

Verzeichnis  verwendeter Gesetzestexte  66

III

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Asymmetrische Dichtefunktion einer Rückzahlung Im Kreditgeschäft 9 Abb.2: Verlust- und Gewinnbereich einer finanziellen Steuerungs-Größe relativ zum Referenzwert z 18 Abb.3: Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 20 Abb. 4: Darstellung von VaR, expected Shortfall 23 Abb. 5: Verfahren zur Analyse des Gesamtrisikos eines Unternehmens 24 Abb. 6: Grundmuster eines Binomialgitterprozesses 28 Abb. 7: Schematische Darstellung zur Schätzung von Ausfall-Wahrscheinlichkeiten 34 Abb. 8: Dichtefunktion einer Rückzahlungsverteilung des Zahlenbeispiels aus Tabelle 1 unter Annahme der Normalverteilung und bei unterschiedlichen Standardabweichungen 50

Tabellenverzeichnis

Tab. 1: Zahlenbeispiel 10-11

IV

Abkürzungsverzeichnis

Abb. Abbildung Aufl. Auflage BGBl Bundesgesetzblatt bspw. beispielsweise bzw. beziehungsweise ca. circa d.h. das heißt dt. deutsch durchges. durchgesehene EAD exposure at default EL expected loss etc. et cetera ev. eventuell GE Geldeinheiten Feb. Februar Hrsg. Herausgeber i.d.R. in der Regel i.e.S. im engeren Sinn iss. Issue i.w.S. im weiteren Sinn i.H.v. in Höhe von i.V.m. in Verbindung mit Kap. Kapitel LGD Loss given default LPM lower partial moment lt. Laut max. maximal m.E. meines Erachtens Mrd. Milliarden No. Number Nr. Nummer pp. pages s. siehe S. Seite

V

SE Shortfall-Erwartungswert sog. sogenannt(e) SV Shortfall-Varianz SW Shortfall-Wahrscheinlichkeit Tab. Tabelle u.a. unter anderem UL unexpected loss usw. und so weiter v. volume Var Varianz VaR Value at Risk veränd. veränderte Vol. Volume vgl. vergleiche wg. wegen z.B. zum Beispiel z.Zt. zur Zeit

Symbolverzeichnis

E(X) Erwartungswert der Zufallsvariablen X X Zufallsvariable x einzelne Ausprägungen/Schätzungen der Zufallsvariablen p(x) Eintrittswahrscheinlichkeit der Ausprägung x Z Referenzwert i Laufindex n Anzahl der Ausprägungen EAD Exposure at default LGD Loss given default (X) Standardabweichung der Zufallsvariablen X Var(X) Varianz der Zufallsvariablen X

² Varianz s² Stichprobenvarianz T Stichprobenumfang t Laufindex für Stichprobe Kurtosis der Stichprobe Kurtosis der Zufallsvariable (X)

VI

Schiefe der Stichprobe

Schiefe der Zufallsvariable (X) arithmetisches Mittel der Ausprägungen von x MW ^x SW z (X) Shortfallwahrscheinlichkeit der Zufallsvariable X in Bezug auf Referenz z (X) Lower Partial Moment des Grades n mit n={0,1,2} der Zufallsvariable X in Bezug auf die Referenz z EL natürliche Varianz des expected loss EL expected loss UL unexpected loss X + (z) Chancebereich der Zufallsvariablen abhängig von z X - (z) Risikobereich der Zufallsvariablen abhängig von z SE Z (X) Shortfall-Erwartungswert SV Z (X) Shortfall-Varianz q zur Bezeichnung von Quantilen Konfidenzniveau des VaR VaR Value at Risk Expected Shortfall m Driftparameter Zufallszahl abhängig von t Z ^t Erwartungswert Portfolioausfallwahrscheinlichkeit p Einzelkreditausfallwahrscheinlichkeit X Korrelation N Anzahl der Kredite pro Portfolio (X) Präferenzfunktion RNF Risiko-Nutzen-Funktion RM(X) Risikomaß benutzt mit Zufallsvariable X EC(Z) Excess-Chance-Maß in Bezug auf Z k Risikoaversionsparameter

1. Einleitung

Das Risikomanagement in den Unternehmen hat in den vergangenen Jahren deutlich an Stellenwert gewonnen. Ursächlich hierfür sind u.a. die stärkere staatliche Regulierung aber auch die in den spektakulären Unternehmenszusammenbrüchen offenbar gewordenen Unzulänglichkeiten im Umgang mit Risiken. Insbesondere Letzteres führte zu einer starken Fokussierung auf diesen Bereich und erzeugt nicht zuletzt durch die Betroffenheit der Allgemeinheit auch einen starken öffentlichen Druck in den Unternehmen. Im Finanzsektor sind von Regulierungsseite insbesondere die vom Baseler Ausschuss für Bankaufsicht angestoßenen KWG-Novellierungen sowie die MaRisk aber auch bspw. das us-amerikanische SCAP ¹ zu nen-

Ein wirkungsvolles Risikomanagement bedarf geeigneter Methoden und Kennzahlen zur Messung von Risiken. Ziel dieser Arbeit ist es für das Kreditgeschäft und damit ausgehend vom Kreditrisiko, Risikomaße darzustellen, sie auf Ihre Eignung für das Kreditgeschäft zu prüfen und sie in den Rahmen einer geeigneten Methodik zur Risikomessung einzuordnen. Diese Arbeit versucht somit über eine exakte Beschreibung des Wesens und der besonderen Eigenschaften des Kreditrisikos (Kap. 2) und einer Darstellung bekannter Risikomaße (Kap. 3) die Anwendung derselben für die Risikomessung im Kreditgeschäft zu bewerten (Kap. 4). Schwerpunkt liegt dabei in der Quantifizierung des unexpected loss und der Bewertung bestehender Risikomaße in der Anwendung auf diesen Teilbereich des Kreditrisikos. Zur Abrundung bringt Kapitel 5 den Fokus vom Entscheidungsobjekt (Kredit) zurück auf das Entscheidungssubjekt und beschreibt die weitere Verwendung der gewonnenen Kennziffer im Kontext der entscheiderindividuellen Risikomessung im Kreditgeschäft.

Die Vielzahl möglicher Vertragsgestaltungen im Kreditgeschäft bringt es mit sich, an dieser Stelle ein für die weitere Arbeit anwendbares Standardmodell der Kreditgewährung zu definieren. Im Rahmen dieser Arbeit sollen als Kreditgeschäft ausschließlich Verträge mit eindeutigem Fremdkapitalcharakter gelten, d.h. weder Verträge, die Abhängigkeiten der Rückzahlungen oder der Zinsen von der wirtschaftlichen Entwicklung des Schuldners for-

¹ SCAP SupervisoryCapital Assessment Program der Federal Reserve.

1

mulieren noch Verträge, die variable Zinszahlungen oder variable Tilgungstermine gestatten. Es ist vielmehr als Standardmodell für diese Arbeit das Kreditgeschäft mit einer Anfangsauszahlung des Gläubigers an den Schuldner und vertraglich feststehenden (nicht veränderlichen) Zins- und Tilgungsleistungen als Einzahlungen an den Gläubiger zu verstehen. Die fixen Zins- und Tilgungsleistungen erfolgen in zeitlich nachgelagerten Perioden bis zur vollständigen Rückführung des gewährten Darlehens.

2. Kreditgeschäft als Investition unter Unsicherheit

2.1. Allgemeines

Als Investition bezeichnet man Tätigkeiten, die durch einen Faktoreinsatz (Input), der mit einer berücksichtigungswürdigen zeitlichen Divergenz ein entsprechendes Ergebnis (Output) erzielen soll, charakterisiert sind. ² Von der Vielzahl der möglichen Faktorkombinationen lässt sich durch Betrachtung der Zahlungsströme aus resultierenden/erwarteten Ein-/Auszahlungen abstrahieren. Für das Kreditgeschäft kommt es dieser Betrachtungsweise folgend in der Regel zu einer Anfangsauszahlung (Darlehensgewährung) und zu verschiedenen zeitlich versetzten Einzahlungen bestehend aus Zins und Tilgung. Das Kreditgeschäft aus Sicht des Kreditgebers erfüllt somit die Merkmale einer Investition und es können die finanzmathematischen Konzepte der Investitionsrechnung auf diesen Anwendungsfall übertragen werden.

Aufgrund der zeitlichen Divergenz zwischen den einzelnen Zahlungszeitpunkten muss eine Unterscheidung zwischen sicheren, d.h. ex ante bereits feststehenden, von keinen weiteren sich verändernden Umweltzuständen abhängigen Zahlungen und sog. unsicheren Zahlungen vorgenommen werden. Den sicheren Zahlungen kommt meist eine rein modelltheoretische Bedeutung zu, da selbst bei vertraglich der Höhe und dem Termin nach fixierten Zahlungen in der Zukunft, die Unsicherheit der Nichterfüllung des Vertrages durch den Vertragspartner besteht. In vielen Fällen tritt neben die Unsicherheit über die Nichterfüllung noch die Unsicherheit über die genaue Höhe der zukünftigen Zahlungen.

Unsicherheit wird, den Ausführungen von Oehler/Unser folgend, anhand von objektiv vorliegenden Wahrscheinlichkeiten in Risikosituationen oder

² Vgl. Bitz/Ewert/Terstege (2002), S. 5.

2

bei nur subjektiv vorliegenden Wahrscheinlichkeiten in Ungewissheitssituationen unterteilt. ³ Risiko kennzeichnet grundsätzlich jede Abweichung vom erwarteten Wert (upside risk / downside risk). ⁴ Betriebswirtschaftlich wird meist auf die negativen Abweichungen abgestellt. Eine zur Abgrenzung der meisten finanzwirtschaftlichen Risikoarten geeignete und auch im Folgen-

über zukünftige Entwicklungen resultierende Gefahr, dass eine finanzwirt- 5

Im Kreditgeschäft besteht Unsicherheit über die Erbringung der vertraglich vereinbarten Zahlungen an den Kreditgeber. Dies wird in der Literatur häufig als Adressausfall- oder Bonitätsrisiko bezeichnet. Grundsätzlich bleibt festzuhalten, dass das Kreditgeschäft als Investition unter Unsicherheit kategorisiert werden kann.

2.2. Besonderheiten bei Kreditgeschäften

2.2.1. Wesen und Quantifizierung des Kreditrisikos

Bei der Messung und Bewertung singulärer Kreditrisiken ist man zwischenzeitlich auf die aus dem Marktrisikomanagement (ebenfalls eine Investition unter Unsicherheit) bekannte Portfoliobetrachtung aufmerksam geworden und versucht die dort angewandten Methoden auf das Kreditrisikomanagement zu übertragen. Doch diese Methoden lassen sich aufgrund der unterschiedlichen Charakteristika nicht einfach übernehmen. ⁶ So bestehen fundamentale Unterschiede in der Behandlung von Markt- und Kreditrisiken vor allem wegen der Qualität und Quantität der für die Mess- und Bewertungsmodelle verfügbaren empirischen Daten (nahezu keine Marktpreise und Preishistorien für eine Vielzahl der Fremdfinanzierungskontrakte), der nicht stetig ⁷ sondern diskret auftretenden Ereignisse im Kreditgeschäft, der wesentlich seltener auftretenden Kreditereignisse und der endogenen Be-

³ Vgl.Oehler/Unser (2001), S. 11. Für diese Arbeit ist lediglich das Vorhandensein von Wahrscheinlichkeiten maßgeblich. Eine Unterscheidung zwischen subjektiven und objektiven Wahrscheinlichkeiten, die vermutlich nur dem Grad des jeweils empfundenen Informationsdefizits geschuldet wäre, ist entbehrlich.

^{4 Vgl. Oehler/Unser (2001), S. 13. 5} Vgl. Bitz (1993), S. 642.

⁶ Vgl. Oehler/Unser (2001), S. 190.

⁷ Wobei diese Annahme als Modellprämisse im Marktrisikomanagement genutzt wird und in der Fachwelt nicht unumstritten ist.

3

einflussbarkeit (Gläubigerposition unterliegt im besonderen Maße Asymmetrien in Information, Gestaltung und Betroffenheit.). ⁸ Kreditrisiko besteht im Wesentlichen aus zwei Komponenten. Zum einen existiert im Kreditgeschäft das sog. Ausfallrisiko ⁹ , d.h. es existiert eine Wahrscheinlichkeit für den Ausfall von Zahlungen und zum anderen ist die Höhe der Zahlung bei Default ¹⁰ unbekannt. Die Verlustquote bei Ausfall (als Recovery-Risiko, Loss given Default oder auch Loss-Severity bezeichnet) kennzeichnet dabei die Höhe der potentiellen Schädigung und beschreibt somit eine unzureichende Wiedererstattung. 11

(2.1.) Kreditrisiko = Kredithöhe x (1-Rückzahlungsquote) x Ausfallwahr-

scheinlichkeit 12

Bis auf die Kredithöhe ¹³ , die vertraglich fixiert ist, sind die anderen Faktoren in dieser Gleichung ex ante nicht sicher bestimmbar. Die Rückzahlungsquote ¹⁴ wird dabei maßgeblich von den Sicherheiten und deren erzielbaren Verwertungserlösen und von der Rechtsstellung des Gläubigers und dessen Rangstellung gegenüber anderen Gläubigern bestimmt. ¹⁵ Die Ausfallwahrscheinlichkeit hingegen ist ein empirisch ermittelter Wert und wird im Allgemeinen als das elementare Kreditrisiko wahrgenommen. Da die maßgeblichen, die Rückzahlungsquote bestimmenden Faktoren im Gegensatz zur Ausfallwahrscheinlichkeit durch die Vertragsgestaltung des Kreditgeschäfts ex ante beeinflusst werden können, wird im Folgenden das Au- r drückt sich somit hauptsächlich in

der Existenz und Variabilität dieses Faktors und in der hierauf begründeten Unsicherheit über die Einzahlungsströme (Zins und Tilgung) aus.

⁸ Vgl. Oehler/Unser (2001), S.192.

⁹ Vgl. Daldrup (2005), S. 7.

¹⁰ Die als Recovery-Rate bezeichnete Rückzahlungsquote bezeichnet den Anteil des Credit Exposures, der bei Ausfall eines Kreditnehmers an den Gläubiger zurückfließt. Vgl. Daldrup (2005), S.6.

¹¹ Vgl. Rehm (2002), S.1, Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 20 sowie Daldrup (2005), S.6.

¹² Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 23.

Fahrmeir (2006), S. 20.

^{14 Die Literatur referenziert hier meist auf die Verlustquote (=1-Rückzahlungsquote) und}

¹⁵ Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 20.

4

Einem anderen Blickwinkel folgend kann man von Kreditrisiko auch im Sinne eines Ereignisrisikos ¹⁶ sprechen und den Ursachen für die Existenz dieses Risikos auf den Grund gehen. Ursächlich für die Unsicherheit der Zahlungsströme ist dabei lediglich die Solvenz/Insolvenz des jeweiligen Schuldners. ¹⁷ Als Kreditereignis definiert sich im Rahmen dieser Arbeit somit der Default ¹⁸ /die Insolvenz des Schuldners mit der entsprechenden Ausfallwahrscheinlichkeit ¹⁹ (p). Die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit (1- -

Kreditereignis, also die durch die Solvenz des Schuldners gesicherte, vertragliche Erfüllung seiner Verpflichtungen (Erbringung der Zahlungen für Zins und Tilgung).

2.2.2. Verteilungsfunktion

Im Kreditgeschäft sind Kreditereignisse lediglich empirisch beobachtbar. Der Modellierung Ihrer Verteilung kommt deshalb für die Prognose von Kreditereignissen - als Grundlage für die Quantifizierung von Kreditrisikeneine entscheidende Bedeutung zu.

Aufgrund der besonderen Struktur der Kreditgeschäfte können bereits im Vorfeld bestimmte Annahmen hinsichtlich der Verteilung von Kreditereignissen innerhalb einer Menge von Kreditgeschäften und hinsichtlich der Verteilung der Rückzahlungswerte abgeleitet werden. Letzteres besitzt dabei sowohl in der Betrachtung des einzelnen Kreditgeschäfts als auch in der kumulativen Zusammenfassung von Kreditgeschäften Gültigkeit. Ein Kreditereignis im Sinne dieser Arbeit wird durch zwei Zustände ²⁰ beschrieben. Das Auftreten des Ereignisses ist dabei im Vergleich zum Vorkommen in einer Menge von Kre-

ditgeschäften sehr selten beobachtbar. Die überwiegende Mehrzahl der Es handelt sich auf-

grund der Dualität der Ausprägung - auf den ersten Blick um eine Zufallsva-

¹⁶ Vgl.Rehm (2002), S. 2.

¹⁷ Sollten in den Finanzkontrakten andere Bedingungen für die Erbringung/Unterlassung von Zahlungen definiert sein, so sind diese ausdrücklich nicht Gegenstand dieser Arbeit. Es ist vielmehr das Unvermögen des Schuldners, vertraglich vereinbarte Zahlungen zu erbringen, zu untersuchen. Vgl. Oehler/unser (2001), S. 207.

^{18 Ein Ausfall, d.h. wenn der Kreditnehmer nicht vollständig seinen Zahlungsverpflichtungen} Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 17.

¹⁹ Auch als Default Probability bezeichnet.

²⁰ Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 11.

5

riable, die einer Binomialverteilung folgt. ²¹ Dies bedeutet, dass diese Zufallsvariable (X K ) die Verteilung B(k, P(X K =k)) mit k=0,1,2,..,n besitzt und die Anzahl der Versuche, bei denen in einem Bernoulli-Experiment vom Umfang n ²² das Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit p=P() (und q=1-p als Gegenwahrscheinlichkei )

eintritt, beschreibt. Unter dieser Verteilungsannahme bestimmt sich die -Fällen

bei insgesamt n-Beobachtungen nach Formel (2.2.). 23

(2.2.)

oder

= =

Für die Anwendung dieser Verteilung ist es dabei elementar, dass die einzelnen Ereignisse unkorreliert oder anders ausgedrückt, unabhängig von-einander sind. ²⁵ Weiterhin muss natürlich eine hinreichend genaue Schätzung über die Ausfallwahrscheinlichkeit p existieren. Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X k gilt:

(2.3.)

und = ² = (1 ) 26

ergleichsweise selten zu beobachtendes Ereignis

darstellt und häufig eine Vielzahl von Kreditgeschäften betrachtet werden, kann die Annahme über die Gestalt der Verteilung als sog. Poisson- ²¹ DieserAnnahme wollen wir zunächst folgen.

²² Das Bernoulli-Experiment vom Umfang n repräsentiert eine Menge von Kreditgeschäften der Anzahl n. Diese Menge wird nun nach der Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen von

^{- 23 Mitn könnte hierbei eine Menge von Kreditgeschäften bezeichnet sein. P(Xk=k) gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, das von insgesamt n Kreditgeschäften genau k Kreditgeschäfte}

²⁴ Vgl. Bosch (1999), S. 86.

²⁵ Vgl. Bosch (1999), S. 36.

²⁶ Vgl. Bosch (1999), S. 87.

6

Verteilung ²⁷ näher spezifiziert werden. Die Verteilung der Zufallsvariable X ^K kann somit entsprechend (2.4.) modifiziert werden.

= =

(2.4.)

Die diskrete Zufallsvariable X k mit der Verteilung P(k,

!

heißt Poisson-verteilt mit dem Parameter . ²⁹ Für große n und kleine p läßt sich somit die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung mit dem Parameter = n p approximieren. ³⁰ Als Erwartungswert und Varianz ergeben sich:

= = = = = ² 31

(2.5.)

nach dem lokalen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace für n -> die 32

Basierend auf diesen Überlegungen kann also für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens -Ereignissen innerhalb einer Menge von Kreditgeschäften eine Verteilungsannahme getroffen werden. Diese Annahme ist dabei empirisch nicht belegt bzw. aufgrund der beschriebenen Mängel in der Informationsbeschaffung ³³ nur unter Schwierigkeiten empirisch belegbar. 34

Neben dieser Ereignisverteilung ist bei unsicheren Zahlungen das Überbzw. Unterschreiten eines Referenzwertes beachtlich. Die Höhe der ex

^{27 Vgl. Bosch (1999), S. 92. 28} Vgl. Bosch (1999), S. 93.

²⁹ Vgl. Bosch (1999), S.93.

³⁰ Vgl. Bosch (1999), S. 94.

³¹ Vgl. Bosch (1999), S. 94.

³² Vgl. Bosch (1999), S. 131-132 sowie Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 104.

³³ Vgl. Kapitel 2.2.1.

³⁴ Die überwiegende Mehrzahl von Kreditgeschäften wird nicht über den Kapitalmarkt abgewickelt. Lt. Ausweis im Monatsbericht der Deutschen Bundesbank haben allein Kreditinstiiten. Nur 26% dieser Kredite waren somit verbrieft und damit über einen Sekundärmarkt beobachtbar. (Zudem fehlen die Kreditgeschäfte außerhalb des Bankensektors komplett!) Vgl. Dt. Bundesbank (2010), Statistischer Teil, S. 10

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post beobachtbaren Zahlung stellt somit ex ante eine Zufallsvariable X ³⁵ dar. Existieren nun für diese Zufallsvariable Schätzungen zu den möglichen Realisationen und damit verbunden Eintrittswahrscheinlichkeiten für diese Realisationen, kann man im Fall einer diskreten Zufallsvariable die sog. mathematische Erwartung (Erwartungswert) nach (2.6.) und für eine kontinuierliche Zufallsvariable mit Dichtefunktion f(x) nach (2.7.) bestimmen. 36

(2.6.)

+

(2.7.)

(Neben der mathematischen Erwartung definiert sich über die mittlere quadratische Abweichung ein Maß zur Beschreibung der Streuung der zu erwartenden Rückzahlungsbeträge. ³⁷ )

Im Kreditgeschäft kommt es für das einleitend beschriebene Standardmodell der Kreditgewährung ausschließlich zu Unterschreitungen bei Abweichung vom Referenzwert (Z) zum jeweiligen Zahlungszeitpunkt. Es gilt somit:

(2.8.)

oder ( > ) = 0

(2.9.)

Die Verteilung der einzelnen Ausprägungen ist in diesem Fall asymmetrisch um den Erwartungswert E(X). Wie aus Abbildung 1 sehr schön zu erkennen ist, existiert keine Wahrscheinlichkeit dafür, über das vertraglich festgelegte Rückzahlungsmaximum aus Zins und Tilgung hinaus, Zahlungen zu erhalten. Das Wahrscheinlichkeitsprofil einer Rückzahlung im Kreditgeschäft ähnelt dabei stark der asymmetrischen Dichtefunktion von Optionsgeschäften. ³⁸ Diese Eigenschaft stellt grundsätzlich die Nutzung von

^{35 Im Folgenden wird stets auf die letztlich erzielten Zahlungsströme oder Abweichungen dieser Zahlungsströme von einem Referenzwert abgestellt. Die Eingangs beschriebene e i-} lungsmusterfür ein Kreditereignis.

³⁶ Vgl. Albrecht/Maurer (2002), S. 90-91.

³⁸ Garz/Günther/Moriabadi (2000), S. 248+249.

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