Die Prognose von Aktienkursbewegungen ist ein wichtiges Betätigungsfeld für alle Teilnehmer am Aktienmarkt, insbesondere bei spekulativer Absicht. Als Theorien über Kursverläufe existiert neben den herkömmlichen deterministischen Ansätzen, wie dem fundamentalanalytischen Ansatz und der technischen Analyse, die Random-Walk-Hypothese.
Die Random-Walk-Hypothese beschreibt den Kursverlauf als Zufallsprozess. Folgt der Aktienkurs einem solchen stochastischen Prozeß, so ist es mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung möglich, mathematische Modelle zu konstruieren, die die Aktienkursbewegung nachbilden können. Solche Modelle dienen in der Finanztheorie als Basis für Optionsbewertungsmodelle, vor allem das Black-Scholes-Modell (B/S-Modell) und Risikomaße, wie z.B. das Value at Risk (VaR). Dies hat zur Konsequenz, daß nicht nur für die Spekulation mit der Aktie, sondern auch für die Genauigkeit der o.g. Modelle eine exakte Modulierung der Aktienkursbewegung eine entscheidende Rolle spielt.
Ein stochastischer Prozeß (Pz), der als mathematisches Modell häufig zur Abbildung der Aktienkursbewegung genutzt wird, ist der Wiener Prozeß (WP). In dieser Arbeit soll nun der Frage nachgegangen werden, ob sich der WP überhaupt zur Abbildung von Aktienkursbewegungen eignet. Hierfür wird zunächst die beobachtbare Aktienkursbewegung dargestellt. Im weiteren Verlauf erfolgt eine Beschreibung des WP an sich, um dann im 4. Abschnitt ein Modell für die Aktienkursentwicklung vorzustellen, das selbst einen WP darstellt. Dieses Modell wird hinsichtlich seiner Annahmen und Eigenschaften mit der tatsächlichen Bewegung verglichen, um die o.g. Frage im Fazit zu beantworten.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Eigenschaften von Aktienkursbewegungen
3 Der Wiener Prozeß
3.1 Definition
3.2 Relevante Eigenschaften stochastischer Prozesse
3.3 Der einfache Wiener Prozeß
3.4 Der allgemeine Wiener Prozeß
3.5 Wiener-Itô-Prozesse
4 Abbildung der Aktienkursbewegung mit Hilfe des Wiener Prozesses
4.1 Das Modell
4.2 Modelleigenschaften
4.3 Annahmen des Modells
4.4 Kritik an den Annahmen und Eigenschaften des Modells
4.5 Grenzen des Modells
5 Fazit
6 Anhang
7 Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenbereiche
Die vorliegende Arbeit untersucht die mathematische Eignung des Wiener Prozesses zur Modellierung und Prognose von Aktienkursbewegungen. Dabei wird analysiert, inwieweit das Modell die komplexen, stochastischen Eigenschaften realer Aktienmärkte abbilden kann und wo dessen Grenzen liegen.
- Grundlagen stochastischer Prozesse und Brownsche Bewegung
- Die Random-Walk-Hypothese und Informationseffizienz am Aktienmarkt
- Konstruktion und Eigenschaften des geometrischen Wiener Prozesses
- Kritische Würdigung der Modellannahmen hinsichtlich Normalverteilung und Konstanz
- Abgrenzung zu alternativen Modellen bei turbulenten Marktphasen
Auszug aus dem Buch
4.1 Das Modell
Der geometrisch WP kommt bei der Modulierung der Aktienkurse zum Tragen, weil der allgemeine WP einen Hauptaspekt der Aktienkurse nicht berücksichtigt: die erwartete Rendite des Investors ist unabhängig von der Höhe der Kurse. Dies bedeutet, daß Kurssteigerungen bei höheren Kursen absolut grösser sein müssen, um die gleichen Renditen zu erwirtschaften.38 Der allgemeine WP trifft aber nur Aussagen über die absoluten Veränderungen der Kurse.39
Ökonomisch wird statt des konstanten Trends eine konstante Rendite erwartet. Bezeichnet man µ als konstante erwartete Rendite des Investors pro Jahr und S als Aktienkurs zum Zeitpunkt t, so ist die Driftrate des Prozesses µS, d.h. die kurzfristige Veränderung des Aktienkurses ohne Berücksichtigung der Volatilität ist ? S = µ S? t. Der Kurswert in T wird dann wie folgt errechenbar: ST = S0 eµT .40 Da auch die Stabw der Rendite nicht nur von der Länge des Prognosezeitraums, sondern auch von der Höhe des Aktienkurses abhängig ist, wird der Diffusionsteil dargestellt als s S dz.
Fügt man beide Komponenten wieder zusammen, erhält man das Modell mit dem die Aktienkurse stochastisch-mathematisch moduliert werden.41
dS = µ S dt + s S dz bzw. dS/S = µ dt + s dz
wobei s = Volatilität des Aktienkurses.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Einleitung beleuchtet die Bedeutung der Kurs Prognose und führt die Random-Walk-Hypothese als theoretische Grundlage für stochastische Finanzmodelle ein.
2 Eigenschaften von Aktienkursbewegungen: Dieses Kapitel erörtert die empirischen Merkmale von Aktienrenditen und die Hypothese effizienter Märkte, die stochastische Prozesse legitimieren.
3 Der Wiener Prozeß: Es werden die mathematischen Grundlagen des Wiener Prozesses sowie verwandte Konzepte wie Markov-Eigenschaften und Martingale definiert.
4 Abbildung der Aktienkursbewegung mit Hilfe des Wiener Prozesses: Hier wird der geometrische Wiener Prozess als Modell für Aktienkurse entwickelt, seine Eigenschaften analysiert und einer kritischen Prüfung hinsichtlich seiner Annahmen unterzogen.
5 Fazit: Das Fazit bewertet die Eignung des Modells und stellt fest, dass es in ruhigen Marktphasen gut funktioniert, bei Turbulenzen jedoch an seine Grenzen stößt.
6 Anhang: Der Anhang enthält grafische Darstellungen, die den realen Kursverlauf einer Aktie illustrieren.
7 Literaturverzeichnis: Das Verzeichnis führt sämtliche für die Arbeit herangezogenen wissenschaftlichen Quellen auf.
Schlüsselwörter
Wiener Prozess, Aktienkursbewegung, Stochastik, Random-Walk-Hypothese, Markteffizienz, geometrische Brownsche Bewegung, Volatilität, Renditeverteilung, Finanztheorie, Optionsbewertung, Modellbildung, Driftkomponente, leptokurtisch, Kapitalmarkttheorie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung von Aktienkursentwicklungen mittels stochastischer Prozesse, speziell des Wiener Prozesses.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Im Fokus stehen die Eigenschaften von Aktienkursen, die mathematische Definition des Wiener Prozesses, die Konstruktion eines Bewertungsmodells sowie eine kritische Analyse der Modellannahmen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Hauptziel besteht darin, die Frage zu beantworten, ob der Wiener Prozess geeignet ist, Aktienkursbewegungen realitätsnah abzubilden.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird eine theoretische Analyse stochastischer Differentialgleichungen mit einem Vergleich zwischen Modellannahmen und empirisch beobachteten Kursdaten kombiniert.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Herleitung des geometrischen Wiener Prozesses und der Diskussion seiner Stärken und Schwächen gegenüber der tatsächlichen Marktdynamik.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Zentrale Begriffe sind der Wiener Prozess, stochastische Modellierung, Markteffizienz, Volatilität und die leptokurtische Renditeverteilung.
Warum wird der einfache Wiener Prozess zur Aktienmodellierung erweitert?
Der einfache Prozess geht von einer mittleren Veränderung von Null aus; Aktienmärkte zeigen jedoch meist Trends (Drift) und erfordern eine relative Renditebetrachtung statt absoluter Kursänderungen.
Warum stößt das Modell in turbulenten Börsenphasen an seine Grenzen?
In diesen Phasen treten oft extreme Kurssprünge und eine veränderte Volatilität auf, die der reine Diffusions-Drift-Prozess nicht adäquat erfassen kann.
- Quote paper
- Tobias Langwasser (Author), 2001, Die Eignung des Wiener Prozesses zur Abbildung von Aktienkursbewegungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1598
