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Gliederung:

Einf  ührung 1.  2

Grundlagen  des Black-Scholes-Merton-Modells 2.  2

2.1  Eine erhebliche Rolle des Modells bei der Bewertung von Finanzoptionen  2

2.2  Brown´sche Bewegung  2

2.3  Wiener-Prozess  2

2.4  Filtration Marktzuteilung  4

2.5  Martingal  4

2.6  Itǒ-Prozess  5

2.7  Basiswert von Wertpapieren  5

Die  Black-Scholes Differentialgleichung 3.  6

3.1  Annahmen des Black-Scholes-Modells  6

3.2  Itǒ s Lemma  7

3.3  Delta-Hedging. Wert des Portfolios  8

L  ösung der Black-Scholes Differentialgleichung 4.  9

4.1  Die Wärmeleitungsgleichung  9

4.2  Feymann Kac Theorem  10

4.3  Europäische Call-Option  11

4.4  Sensitivitätskennzahlen  13

Bedeutung  des Modells fürs Praxis 5.  14

Literatur   15

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1. Einführung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Darstellung des Black-Merton-Scholes Modells,

der Erläuterung der mathematischen Modellbildung und der Anwendung auf die Bewertung

einer Option. Zuerst werden die Grundlagen des Black-Scholes-Merton Modells und wichtige

Begriffe erläutert, im nächsten Abschnitt wird die Differentialgleiching des Modells

hergeleitet. Anschließend wird die Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung

durchgeführt sowie die Verdeutlichung der Sensitivitätskennzahlen gemacht. Ein numerisches

Beispiel am Ende der Arbeit zeigt der Zusammenhang zwischen dem Black-Scholes Preis und

einem Deltahedge.

2. Grundlagen des Black-Scholes-Merton-Modells

2.1 Eine erhebliche Rolle des Modells bei der Bewertung von Finanzoptionen.

Das Black-Scholes -Modell stellt ein finanzmathematisches Modell dar, das bei der

Bewertung von Finanzoptionen eine entscheidende Rolle spielt. Bei der Optionsbewertung

besteht die Schwierigkeit, für die Kursrisiken eine passende Prämie zu definieren. Die

Risikoprämie hängt von den Risikoeinstellungen der Marktteilnehmer ab. Die

Risikoeinstellungen verändern sich jedoch mit der Zeit. Das Black-Scholes -Modell

vermeidet bestimmte Anforderungen für die Risikoprämie. Das Modell wurde 1973 von

Fischer Black und Myron Samuel Scholes veröffentlicht. Robert C. Melton veröffentlichte

einen separaten Artikel. Er war ebenfalls an der Ausarbeitung des Modells beteiligt und

wurde 1997 zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Nobelpreis

für Wirtschaftwissenschaften geehrt. Leider verstarb Black bereits 1995. Die Eigenartigkeit,

Einmaligkeit und Originalität des Modells ist umstritten.

2.2 Brown´sche Bewegung

Der schottische Botaniker Robert Brown (1773-1858) entdeckte im Jahr 1827

Wärmebewegung von Teilchen. Diese Bewegung nennt man brown´sche Bewegung (oder

brownsche Molekularbewegung). Robert Brown beobachtete unter dem Mikroskop, wie

Pollenkörner in einem Wassertropfen regellose Bewegungen machten. Eine Erklärung dafür

sind die unsichtbaren Moleküle des Wassers, die von allen Seiten gegen die sichtbaren

Pollenteilchen stoßen. Das ist ein naturwissenschaftliches Phänomen der brown´schen

Bewegung. Das mathematische Modell gleichen Namens ist als Wiener-Prozess bekannt.

2.3 Wiener-Prozess.

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Man kann die Pollen als eine Aktie und das Wasser als den Aktienmarkt darstellen. 1923 hat

der amerikanische Mathematiker Norbert Wiener eine mathematische Formulierung der

brown´sche Bewegung aufgestellt. Das Black-Scholes Modell basiert auf der Annahme, dass

der natürliche Logarithmus des Basiswertes S einer Option einem Wiener-Prozess folgt. Ein

Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der unabhängige, normalverteilte

Zuwächse hat. Wenn man den Wiener-Prozess als mathematisches Modell für die Bewegung

verwendet, versteht man σ ² als mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens pro

Zeiteinheit.

In den 1940er Jahren, seit der Einführung der Stochastischen Analysis durch Itǒ Kiyoshi,

spielt der Wiener-Prozess die zentrale Rolle im Kalkül der zeitstetigen Stochastischen

Prozesse. Bei Betrachtung des Standard Wiener -Prozesses befassen wir uns mit einer

Veränderung eines Partikels in einem kleinen und in einem großen Zeitintervall. Zuerst

nehmen wir an, dass Δ x eine Veränderung eines Partikels in einem kleinen Zeitintervall Δ t

ist.

Eine weitere Annahme ist Δ x = Δ W, wobei Δ W = ε t Δ und ε ~ N (0, 1). Dann der

Δ ⋅ 0 = 0, wobei

Δ ) = Δ E(ε Erwartungswert von Δ x ist: E( Δ x) = E( Δ W) = E(ε t t t

Δ ) = Δ t ⋅ 1 = Δ t. Aus

E(ε= 0 ist. Die Varianz von Δ x ist: Var ( Δ x) = V( Δ W) = Var(ε t

diesen beiden Gleichungen erfolgt, dass Δ x ~ N (0, t Δ ) ist. Wenn wir einen großen

Zeitintervall T nehmen, haben wir T = n ⋅ Δ t, weil T aus n kleineren Intervallen Δ t besteht.

Dann ist Δ x =

T − : Erwartungswert und die Varianz von x x

0

T − )= E( E( x x

0

T − )=Var( Var( x x

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T − ~ N (0, T ) ⇔ T x ~ N( 0 x , T ). Aus diesen beiden Gleichungen erfolgt, dass x x

0

Bei Δ t → 0 betrachtet man ein stetiges Intervall, d.h. dass T in extrem kleine Intervalle

unterteilt ist und Δ x =dx; Δ W=dW; Δ t=dt. Daraus folgt: dx=dW ~ N (0, dt ).

2.4 Filtration

Zusätzlich zur Brown´schen Bewegung selbst werden wir eine Notation für die zu jeder Zeit

verfügbare Information brauchen. Man tut das mit einer Filtration. Sei (Ω, F, P) ein

Wahrscheinlichkeitsraum, auf dem eine Brown´sche Bewegung W (t), t ≥ 0 definiert wird.

F W Ein adaptierter an der Filtrierung ( ) ∈» stochastischer Prozess ( ) auf dem

∈» t t t t + +

Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt Wiener-Prozess oder Standard Brownsche

Bewegung, wenn die folgenden Bedingungen gelten:

1. W 0 = 0 (P- fast sicher), d.h. in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt ein

Ereignis E∈ Σ fast sicher, wenn P(E) = 1.

Δ sind alle Werte von Δ W unabhängig. 2. Für zwei beliebige Zeitintervalle t

~ N (0, t − s) ∀ t > s ≥ 0. Die Zuwächse 3. Für gegebenes s mit t > s ≥ 0 ist t − W W

s

sind also stationär und normalverteilt. Die Änderung Δ W in einem kleinen Zeitraum

Δ ist gleich ε t Δ ,wobei ε der Standartnormalverteilung N (0, 1) unterliegt. t

4. Es gibt immer eine fast sicher stetige Version des Prozesses (das lässt sich mit dem

Stetigkeitssatz von Kolmogorow-Centsow zeigen).

2.5 Martingal

Der Begriff der Filtrierung ist unerlässlich, um den Begriff Martingal einzuführen. Ein

Martingal ist ein stochastischer Prozess, in dem der Erwartungswert einer Beobachtung gleich

dem Wert der vorigen Beobachtung ist, ein stochastischer Prozess mit einer Drift von Null.

Theorem: Brown´sche Bewegung ist ein Martingal.

Sei 0 ≤ s ≤ t, dann

⎡ ⎤ − + W t F s W t W s W s F s E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎣ ⎦

⎡ − ⎤ ⎡ ⎤ W t W s F s W s F s ⎦ +E =E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎣ ⎦

] − W t W s ( ) ( ) =E[ +W(s)=W(s).