1. Einleitung

binären quadratischen Formen und des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. In dieser Arbeit sollen diese zwei Vorträge ausführlicher dargelegt und verdeutlicht werden. Ausgegangen wird dabei, soweit nicht anders vermerkt, vom dem Seminar zugrundeliegenden Buches von Scharlau & Opolka (1980).

Die Vorträge basieren wiederum auf den vorangehenden Vorträgen, dessen Inhalte für diese Arbeit grundlegend sind. Diese werden, falls nicht anders verzeichnet, als korrekt, geltend und bewiesen vorausgesetzt.

Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Fragestellung, welche Lösun-diese Gleichung mit gegebenem a, b, c ganzzahlig lösbar ist. Diese Fragestellungen führen zur der Theorie der binären quadratischen Formen. Darin werden wichtige, elementare und für diese Theorie notwendigen Grundlagen, Sätze, Definitionen etc. verdeutlicht bzw. bewiesen werden. Um diese Theorie zeitlich einordnen und mit dem Mathematiker Joseph Louis Lagrange in Verbindung setzen zu können, werden zu Beginn ein paar einleitende Worte zur Person genannt. Im Anschluss daran erfolgt dann die genauere Thematisierung des ersten zugrundeliegenden Themas dieser Arbeit.

An dieser Stelle soll bereits die Definition einer quadratischen Form erfolgen. Im Anschluss daran erfolgt zur Verdeutlichung eine Darstellung eines diesbezüglichen Beispiels.

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Definition ¹ :

Es sei x = (x1n) ^T und A eine symmetrische Matrix. Dann heißt

quadratische Form.

Ferner seien und . Dann heißt

quadratisches Polynom in x1n.

Beispiel ² :

Der Ausdruck

ist eine quadratische Form.

Der zweite Teil beinhaltet das quadratische Reziprozitätsgesetz, dabei hauptsächlich den Beweis dessen. Um diesen Beweis ausführen zu können, werden zunächst weitere Sätze, Hilfs- oder Ergänzungssätze und Lemmata benötigt, die zu Beginn dieses Kapitels genannt, verdeutlicht und zum Teil bewiesen werden. Ebenfalls , da der

Beweis, der Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist, und das quadratische Reziprozitätsgesetz, welches u.a. auf Gauß zurück geht. Daran anschließend erfolgt schließlich der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.

¹ Vgl. www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI07/kap48.pdf

² Vgl. ebd.

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2. Joseph Louis Lagrange:

Der Mathematiker und Astronom Joseph Louis Lagrange lebte von 1736 bis 1813. Bereits in seiner Schulzeit interessierte er sich vermehrt für die Mathematik und dabei speziell für die Geometrie. Als er 19 Jahre alt war, bekam er ein Angebot, welches er nicht ausschlagen konnte: einen Lehrstuhl für Mathematik an der königlichen Artillerieschule in Turin. Dort publizierte er seine ersten wissenschaftlichen Arbeiten im Bereich der Differentialgleichungen.

Er arbeitete vorwiegend auf dem Gebiet der Zahlen- und Reihentheorie, der Algebra und der Astronomie. Zu seinen wichtigsten Werken zählen unter anderem die Begründung der analytischen Mechanik mit der Lagrangefunktion, das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik und die Theorie der komplexen Funktionen. Ebenfalls leistete er Beiträge zur Theorie der quadratischen Formen

der allgemeinen Theorie sowie aus den Fermatschen Sätzen über die Darstellung von Primzahlen durch x²+2y² und x²+3y² abgeleitet und somit bewiesen. Dies ist Gegenstand des folgenden Kapitels.

3. Theorie der quadratischen Formen

In diesem Kapitel geht es inhaltlich um die Entwicklung der Grundlagen der Theorie der binären quadratischen Formen. Diese Untersuchungen nach ??? beinhalten genau die Zahlen, die sich in der Form q(x, y) = ax²+2bxy+cy² darstellen lassen. Dabei sind a, b und c ganze Zahlen und x, y Variablen für ganze Zahlen. Binär ist die Form aufgrund der Anzahl der auftretenden Unbestimmten (x und y). Da der Grad des Polynoms 2 beträgt, handelt es sich somit um eine binäre quadratische Form.

Lagrange untersucht dazu vorerst die in Frage kommenden Teiler von der Zahl, die durch die quadratische Form q(x, y) = ax²+2bxy+cy² dargestellt wird.

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Um sich den quadratischen Formen auch von der geschichtlichen Seite zu nähern, wird im Rahmen dieser Arbeit wie Lagrange vorgegangen. Das bedeutet, dass zunächst der folgende Satz über die quadratischen Formen der Art

bewiesen wird. Anschließend erfolgt die Verallgemeinerung (mit dem Faktor 2), so dass dann die Formen q(x, y) = ax²+2bxy+cy² betrachtet werden.

Beweis:

Seien m = ax² + 2bxy + cy² mit x, y und x, y teilerfremd, also ggT(x,y)=1.

Des Weiteren seien m = rs, der ggT(s, y)=t und s=tu, y=tX und somit ggT(u,X)=1.

rtu = ax²+2btxX+ct²X²

t|ax², da daraus folgt, dass ax²=rtu-btxX+ct²X², und somit teilt t ax².

Nach Voraussetzung gilt ggT(x, y) = 1. So ist folglich auch ggT(x, t)=1, also x und t teilerfremd, da t=ggT(s, y).

Aus t|a a = et und der Division durch t folgt

ru = ex²+bxX+ctX². (1.)

³ Pierre de Fermat betrachtete bereits einige Formen davon, u.a. x²+y², x²+2y² und x²-dy².

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Wegen ggT(u, X)=1, also u und X teilerfremd, und dem erweiterten euklidischen Algorithmus ⁴ kann die Gleichung x = uY+wX gelöst werden

(hier: , mit und ).

Nun wird x = uY+wX in die Gleichung (1.) eingesetzt:

ru = e(uY+wX)² + b(uY+wX)X + ctX²

= (ew²+bw+ct)X² + (2euw+bu)XY + eu²Y²

Man sieht schnell: u| (ew²+bw+ct)X² (da (ew²+bw+ct)X² = ru - (2euw+bu)XY - eu²Y²).

Da ggT(u, X)=1, d.h. u und X teilerfremd, ist folglich ew²+bw+ct durch u teilbar.

Mit

Folgt wie gewünscht r = AX² +BXY +CY².

Um den Beweis zu vervollständigen, fehlt nun nur noch zu zeigen, dass

4AC-B² = 4ac-b² gilt,

also, dass die Determinante gleich bleibt.

Durch Nachrechnen erhält man schnell:

⁴ Dieser besagt: Für zwei Zahlen a,b gilt g = ggT(a,b). Dann existieren , so dass g = . Das

heißt, dass g eine (ganzzahlige) Linearkombination über von a und b ist.

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Mit Hilfe dieser Definition und des vorigen Satzes kann leicht der folgende Satz formuliert werden, da er direkt daraus folgt und aufgrund dessen nicht bewiesen werden braucht:

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird die speziellere quadratische Form q(x,y)=ax²+2bxy+cx² betrachtet. Mit Hilfe von Matrizen lässt sich diese wie folgt schreiben:

(Dieses Lemma besagt folglich, dass positiv definite Formen nur positive, negativ definite Formen nur negative Zahlen repräsentieren. Indefinite Formen könne sowohl positive als auch negative Zahlen repräsentieren.)

Beweis: Für den Beweis schreiben wir die Form

q(x,y) = ax² + 2bxy + cy² = a(x +

(i) > 0 und a > 0 q(x,y) positiv:

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