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INHALT

1.  Definitionen im Koordinatensystem  6

1.1  Das kartesische Koordinatensystem  6

1.2  Punkte  6

1.3  Geraden  6

1.4  Funktionen  6

2.  Funktionen  7

2.1  Lineare Funktionen  7

2.2  Steigung  7

2.3  Schnittpunkt  8

2.4  Schnittwinkel  8

2.5  Definitionsmenge  8

3.  Binomische Formeln  9

4.  Mitternachtsformel  9

5.  Kurvendiskussion  9

5.1  Symmetrie  9

5.2  Nullstellen  10

5.2.1  Polynomdivision  10

5.2.2  Das Newton-Verfahren  10

5.3  Grenzverhalten  11

6.  Die momentane Änderungsrate  12

6.1  Die Ableitungsfunktion  12

6.2  Tangenten  12

6.3  Normalen  13

6.4  Ableitungsregeln  13

6.5  Stetigkeit  13

6.6  Differenzierbarkeit  13

7.  Extrempunkte  14

8.  Wendepunkte  15

9.  Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten  15

10.  Monotonie  16

11.  Funktionsbestimmung  16

11.1  Zwei-Punkte-Form  16

11.2  Punkt-Steigungs-Form  16

11.3  Regeln zur Regression  16

11.4  Regressionen mittels linearer Gleichungssysteme  17

11.5  Regressionen mittels grafikfähigem Taschenrechner (GTR)  17

12.  Weitere Funktionstypen  18

12.1  Potenzfunktionen  18

12.1.1  Potenzgesetze  18

12.2  Ganzrationale Funktionen  19

12.3  Gebrochenrationale Funktionen  19

12.3.1  Polstelle  19

12.3.2  Asymptote  20

12.3.3  Näherungsfunktionen  21

12.3.4  Hebbare Lücken  21

12.3.5  Übersicht: Asymptoten und Näherungsfunktionen  22

I

12.4 Trigonometrische Funktionen 23

12.5 Exponentialfunktionen

12.6

13. Verschiebung von Schaubildern

14. Integrale 32

14.1

14.2 Extremwertprobleme

14.3

14.4 Integralrechnung 33

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

14.10 Mittelwerte von Funktionen 36

14.11 Numerische Integration: Die Kepler’sche Fassregel 37

15. Folgen und Grenzwerte 38

15.1 Definitionen 38

15.2 Rekursive Darstellung 38

15.3 Explizite Darstellung 38

15.4 Arithmetische Folgen 38

15.5 Geometrische Folgen 38

15.6 Übersicht über Folgen

15.7 Darstellung von Folgen mit dem GTR

15.8 Wachstumsvorgänge in rekursiver Darstellung

15.9 Monotonie

15.10 Beschränktheit 40

15.11 Grenzwerte 41

15.12 Nullfolge 42

15.13 Vollständige Induktion 43

16. Wichtige Funktionen im Überblick 44

17. Lineare Gleichungssysteme 45

17.1

17.2

17.3

18. Vektoren 47

18.1 Grundlegende geometrische Formeln

18.2 Raumdarstellungen 49

18.3 Der Ortsvektor 50

18.4 Der Betrag eines Vektors 50

18.5 Parallelität 50

18.6 Übereinstimmung 50

18.7 Der Gegenvektor 50

18.8 Der Nullvektor 51

18.9 Rechenoperationen

18.10 Mittelpunkte 52

18.11 Einheitsvektor 52

18.12 Lineare Abhängigkeit / Lineare Unabhängigkeit 52

18.13 Geraden im Vektorraum

18.14 Gegenseitige Lage von Geraden

18.15 Abstandsberechnungen

18.16 Bewegte Vektoren

18.17 Der Normalenvektor

19. Ebenenoperationen

19.1

19.2

19.3

19.4

19.5

20. Schnittwinkel Allgemein

VORWORT

Die vorliegende Facharbeit soll als zusammenfassendes Nachschlagewerk über den

mathematischen Themenbereich der gymnasialen Oberstufe dienen, in besonderer Hinsicht auf

die Abitur-Vorbereitung.

Als Taschenrechner für die Bildschirmfotos und die Anleitungen diente ein „Texas Instruments

TI-83 Plus“. Die übrigen Punkte, Funktionen, Vektoren und Ebenen wurden in Maple erstellt.

Es wird darauf hingewiesen, dass zur Vereinfachung in den entsprechenden Schaubildern die

Bezeichnungen der Funktionen statt beispielsweise „K f “ und der Angabe „K f sei der Graph von

f“ verwendet wird.

Karlsruhe, den 17. November 2011

1. Definitionen im Koordinatensystem

Ein Punkt der Form

weist im kartesischen Koordinatensystem einer x-Koordinate

(Abszisse, x-Stelle) aus dem Definitionsbereich genau eine

y-Koordinate (Ordinate, y-Wert) zu.

Der Abstand d zwischen zwei Punkten

wird durch die Formel

(siehe Pythagoras) beschrieben.

1.3

Eine Gerade ist eine Linie ohne Anfangs- und Endpunkt. Sie

kann als Graph, soweit sie die Bedingungen von Funktionen

erfüllt, durch eine Funktion beschrieben werden.

1.4

Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, bei der jedem

Element der Definitionsmenge genau ein Element aus der

Zielmenge zugeordnet wird. Eine Funktion kann mehrere

Variablen enthalten oder durch beliebig viele Parameter zur

Funktionenschar (Abb. 3) werden.

2. Funktionen

2.1 Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion f beschreibt einen Graphen mit

Geraden-Form, der bei positivem Vorzeichen der

Steigung m steigt und bei negativem Vorzeichen der

Steigung m fällt. Ist die Steigung und damit der

Koeffizient m=0, so ist der Graph von f zur x-Achse

parallel oder entspricht ihr gar. Der y-

Achsenabschnitt c gibt den Schnittpunkt S(0|c) mit

der y-Achse an der Stelle x=0 wieder.

Die allgemeine Hauptform linearer Funktionen lautet:

D (sprich: Delta) ist das Symbol für die Veränderung bzw. die Differenz aus dem Größeren minus dem Kleineren 1

Die Definitionsmenge einer Funktion f ist die Menge aller x für die f definiert ist. An einer

Definitionslücke gibt es keinen Funktionswert. Im Schaubild einer Funktion ohne hebbare Lücken

sind Definitionslücken an senkrechten Asymptoten deutlich zu erkennen. Die Wertemenge W f

enthält alle Funktionswerte einer Funktion.

Eine Funktion f ist bei folgenden Stellen x 0 nicht definiert:

3. Binomische Formeln

Die Binomischen Formeln erleichtern das Ausmultiplizieren von geeigneten

Klammerausdrücken. Bei Bruchtermen, Wurzelrechnung und bei Logarithmusrechnung stellen

die binomischen Formeln nicht selten den einzigen Lösungsweg dar. Es gibt drei verschiedene

Binomische Formeln:

4. Mitternachtsformel

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen mit einer Variablen und dem Grad n=2:

Î ax 2 +bx+c=0 ; ; Dabei ist ax 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das R x c b a , , ,

absolute/ konstante Glied.

5. Kurvendiskussion

5.1 Symmetrie

5.2 Nullstellen

5.2.1

Vorgehensweise: Gegeben sei eine Funktion f

1. Herausfinden einer Nullstelle x 0 der Funktion f

2. Division des Funktionsterms f durch (x-x 0 )

3. Berechnen

Eine ganzrationale Funktion mit dem Grad n kann

höchstens n Nullstellen haben. (

5.2.2

Das Newton’sche Näherungsverfahren ist eine iterative Methode zum Lösen nichtlinearer

Gleichungen und Gleichungssysteme. Bei einer differenzierbaren Funktion f(x) kann damit also

eine Nullstelle f(x)=0 errechnet werden.

Dabei wird die Funktion durch allgemeine Tangenten linearisiert:

Es sei die Funktion f, ihre Ableitung f’=m und die Punkt-Steigungs-Form y-y 1 =m(x-x 1 ) :

5.3 Grenzverhalten

1. Mit dem Grenzverhalten wird der Verlauf einer Funktion f (zum Beispiel f(x)=x 2 ) für

beliebig große und beliebig kleine x-Stellen untersucht.

2. Mit dem Grenzverhalten wird der Verlauf einer Funktion f (zum Beispiel f(x)=x -1 ) von

rechts und von links an eine Definitionslücke heran untersucht.

Ist die Funktion f an den Stellen D f differenzierbar, so ist f’(x) die x

Ableitungsfunktion/Ableitung von f. Die Ableitungsfunktion gibt an jeder x-Stelle den Wert der

Steigung des Graphen von f wieder.

6.2 Tangenten

Hat die Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0 den Wert m, so kann die Hauptform der

Tangente (siehe Abb. 18) t durch x 0 über die Punkt-Steigungs-Form berechnet werden:

( )

6.3 Normalen

Der Graph der Normalenfunktion n zum Graph der Tangenten t (Abb. 18) bildet mit diesem

einen Schnittwinkel von 90°. Die Hauptform von n ergibt sich aus der Hauptform von t und der

Punkt-Steigungs-Form:

7. Extrempunkte

Es sei eine differenzierbare Funktion f.

Für innere Extremstellen von f sind immer zwei Voraussetzungen nötig:

Bemerkungen zu ganzrationalen Funktionen:

1. Ist die höchste Potenz eine ungerade Zahl, so gibt es keine globalen Extremstellen.

2. Ist die höchste Potenz eine gerade Hochzahl, so gibt es nur eine globale Extremstelle