Inhaltsverzeichnis

1.  Vorwort  4

2.  Vorüberlegungen  8

2.1.  Kreise und Kugeln  8

2.2.  Gitter  9

2.2.1.  Fundamentalparallelotope  10

2.2.2.  Bravais-Gitter  16

2.3.  Packungsdichte  19

3.  Infinite Kreis- und Kugelpackungen  21

3.1.  Infinite Kreispackungen  25

3.1.1.  Quadratische und hexagonale Kreisgitterpackung  26

3.1.2.  Dichteste infinte Kreispackung  28

3.2.  Infinite Kugelpackungen  40

3.2.1.  Ausgewählte infinite Kugelpackungen  41

3.2.1.1.  Kubisch - primitive Kugelgitterpackung  41

3.2.1.2.  Kubisch - raumzentrierte Kugelgitterpackung  44

3.2.1.3.  Kubisch - flächenzentrierte Kugelgitterpackung  46

3.2.1.3.1.  Tetragonal - raumzentrierte Kugelgitterpackung  50

3.2.1.3.2.  Rhomboedrisch - primitive Kugelgitterpackung  50

3.2.1.4.  Hexagonal - primitive Kugelgitterpackung  51

3.2.1.5.  Hexagonal - dichte Kugelpackung  54

3.2.2.  Dichteste infinte Kugelpackung  57

3.2.2.1.  Dichteste Kugelgitterpackung  58

3.2.2.2.  Kubisch - flächenzentriert vs. hexagonal - dicht  68

3.3.  Zur Geschichte infiniter Kreis- und Kugelpackungen  72

3.4.  Vorkommnisse und Anwendungen  74

2

4.  Finite Kreis- und Kugelpackungen  77

4.1.  Finite Kreispackungen  80

4.1.1.  Ausgewählte finite Kreispackungen  83

4.1.1.1.  Wurstpackung vs. hexagonale Pizzapackung  84

4.1.1.2.  Vergleich hexagonaler Pizzapackungen  89

4.1.2.  Dichteste finite Kreispackung  97

4.2.  Finite Kugelpackungen  102

4.2.1.  Ausgewählte finite Kugelpackungen  106

4.2.1.1.  Wurstpackung vs. hexagonale Pizzapackung  106

4.2.1.2.  Wurstpackung vs. Clusterpackung  114

4.2.2.  Dichteste finite Kugelpackung  123

4.3.  Zur Geschichte finiter Kreis- und Kugelpackungen  127

5.  Ausblicke  128

5.1.  Containerpackungen  128

5.2.  Randparameter  130

5.3.  -dimensionale Kugeln  133

5.3.1.  Infinite -dimensionale Kugelpackungen  134

5.3.2.  Finite -dimensionale Kugelpackungen  136

6.  Zusammenfassung  138

7.  Abbildungsverzeichnis  141

8.  Tabellenverzeichnis  148

9.  Literaturverzeichnis  149

3

1. Vorwort

Jedes Jahr zum Valentinstag stellt sich so mancher Mann die Frage, was er wohl seiner Liebsten schenken kann. Meist läuft es dabei auf süße Köstlichkeiten hinaus. Immer wieder gerne gesehen sind dabei u.a. Giotto, Rocher und Raffaello. Bei genauerer Betrachtung dieser Süßigkeiten fällt auf, dass die kugelförmigen Leckereien alle samt beinahe identisch, also im mathematischem Sinn kongruent sind, aber dennoch in drei völlig unterschiedlichen Packungen angeboten werden.

Abb. 1.1 Unterschiedliche Packungen ^{(links [Abb15], Mitte [Abb16], rechts [Abb17])} Die Giotto-Packung ist eine Art stangenförmige Packung, in der die Giotto-Kugeln in einer Reihe angeordnet sind. Rocher-Kugeln sind dagegen nicht nur hintereinander, sondern auch nebeneinander gestapelt. Demgegenüber befinden sich die Raffaello-Kugeln ganz beliebig in einer größeren Packung.

Diese Packungen sind Beispiele endlicher (finiter) Kugelpackungen. Weitere sind Kanonenkugeln oder gestapelte Orangen beim Obsthändler.

Abb. 1.2 Kanonenkugeln (aus [Abb18]) und Orangen (aus [Abb19])

Die in der realen Welt auftretenden Kugelpackungen sind zwar ausschließlich endlich, doch in der Mathematik wird das Hauptaugenmerk auf undendliche (infinite) Kugelpackungen gelegt. Die oben genannten Orangenstapel stellen einen Ausschnitt einer solchen Kugelpackung dar.

Weiterhin sind beinahe unendliche Kugelpackungen bei Atomen und Molekülen zu beobachten, beispielsweise bei Wolfram (links), Gold (Mitte) oder Magnesium (rechts). Deshalb sind infinite Kugelpackungen gerade in der Festkörperphysik von großer Bedeutung.

Abb. 1.3 Kugelpackungen bei Atomen und Molekülen (alle aus [Abb20]) Aber was unterscheidet die infiniten von den finiten Kugelpackungen? Welche Packungstypen von kongruenten Kugeln sind noch möglich und was sind die Vorteile solcher Packungen? Gibt es „schlechtere“ und „bessere“ Kugelanordnungen und wodurch können wir diese unterscheiden?

Sind die typischen Kanonenkugel- sowie Orangenstapel gut gewählt und mathematisch begründet oder nur zufällige Anordnungen?

Diese Arbeit versucht Antworten auf obige Fragen zu liefern und weitere wichtige Erkenntnisse zu dem Themengebiet Kreis- und Kugelpackungen zu bieten.

Im zweiten Abschnitt werden wichtige Vorüberlegungen thematisiert, die fundamental für die weiteren Kapitel sind. Hier werden wesentliche Erkenntnisse zu Kreisen, Kugeln, Gittern und Packungsdichten gewonnen, ohne die eine Bearbeitung der folgenden Themen nicht möglich wäre. Die Kapitel drei und vier beziehen sich auf unendliche (infinite) sowie auf endliche (finite) Kreis- und Kugelpackungen. Dies sind die beiden Hauptthemen dieser Arbeit, wobei der Schwerpunkt auf den infiniten Kugelpackungen liegt, da diese u.a. auch als Basiswissen für die finiten Kreis- und Kugelpackungen hilfreich sind.

Zu Beginn des dritten Kapitels werden zunächst theoretische Inhalte behandelt, bevor einzeln auf ausgewählte infinite Kreis- und Kugelpackungen eingegangen wird und diese speziell auf ihre Packungsdichte untersucht werden. Die Geschichte der Kugelpackungen ist überwiegend die der infiniten. Sie beginnt Anfang des 17. Jahrhunderts durch Johannes Kepler, der im Jahr 1611 die Frage nach der dichtesten Kugelpackung im Raum stellte und eine Vermutung äußerte, die bis heute trotz mehrerer Versuche nicht beantwortet werden konnte. Diese Vermutung wird aus verschiedenen Gesichtspunkten beleuchtet sowie die Probleme eines endgültigen Beweises angesprochen. Schließlich werden ein geschichtlicher Exkurs sowie einige Vorkommnisse in der Physik und der Chemie sowie Anwendungen in der Codierungstheorie behandelt. Auch das Kapitel vier beginnt mit theoretischen Inhalten, bevor die Packungsdichten einiger exemplarischer Kreis- und Kugelpackungen bei fester Kreis- bzw. Kugelanzahl verglichen werden. Es werden aber lediglich Vergleiche niedriger Stückzahlen unternommen, da bereits diese einen hohen Rechenaufwand erfordern.

Interessanten Themen, insbesondere die finiten Kugelpackungen betreffend, deren ausführliche Behandlung allerdings den Rahmen dieser Arbeit sprengen würden, ist das fünfte Kapitel gewidmet. Hier werden weitere Aspekte finiter Kugelpackungen behandelt und statt 2-dimensionaler Kreis-und 3-dimensionaler Kugelpackungen -dimensionale infinite sowie finite Kugelpackungen thematisiert.

Abschließend werden im sechsten Kapitel die wichtigsten gewonnen Erkenntnisse nochmals kurz zusammengefasst.

Als Orientierungshilfe für diese wissenschaftliche Hausarbeit diente die Hauptliteratur „Kugelpackungen - von Kepler bis heute“ von Max Leppmeier [Lep1].

Zum Verstehen dieser Arbeit ist die Beherrschung der fachwissenschaftlichen Themengebiete Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 und 2 sowie Geometrie eine Voraussetzung. Als Literatur können dabei „Lineare Algebra“ von Albrecht Beutelspacher [Beu1] sowie „Elemente der Geometrie“ von Harald Scheid und Wolfgang Schwarz [Sch] empfohlen werden.

Der Einfachheit halber wird in der gesamten Arbeit auf die Vektorpfeile sowie auf die Formulierung Winkelmaß verzichtet und stattdessen die einfachere Bezeichnung Winkel verwendet. Statt beispielsweise „für das “ wird stets einfach „für den Winkelmaß des Winkels gilt: “ geschrieben. Winkel gilt:

2. Vorüberlegungen

Bevor wir uns sofort an die Untersuchungen unendlicher sowie endlicher Kreis- und Kugelpackungen begeben können, müssen wir zunächst einige grundsätzliche Überlegungen thematisieren.

Um unendliche Packungen anschaulich beschreiben zu können, benötigen wir eine regelmäßige Anordnung der Kreisscheiben, kurz Kreise, und Kugeln. Hierfür werden uns verschiedene Gitter im 2- bzw. 3-dimensionalen Raum dienen. Damit wir aber nicht das ganze, unendliche(!) Gitter in Betracht ziehen müssen, werden wir uns auf sogenannte Fundamentalparallelotope konzentrieren. Um dies zu ermöglichen, müssen wir zeigen, dass alle Fundamentalparallelotope dieses Gitters den gleichen Flächeninhalt bzw. dasselbe Volumen besitzen. Schließlich wird die Packungsdichte definiert, um verschiedene Packungen miteinander vergleichen zu können.

2.1. Kreise und Kugeln

In diesem kurzen Abschnitt werden wir Kreise und Kugeln definieren und eine Notiz zur Berechnung des Flächeninhalts bzw. Volumens angeben. Da wir nur offene Kreise und Kugeln benötigen werden, also Kreise und Kugeln, bei denen der Rand nicht mit dazugehört, werden wir nur solche definieren.

Definition 2.1: Sei ein Punkt in der Ebene und . Dann heißt die Menge

ein 2-dimensionaler, offener Kreis mit Radius . Sei dann heißt die Menge

ein 2-dimensionaler, offener Kreis mit Radius und Mittelpunkt .

Analog lautet die Definition im 3-dimensionalen Raum folgendermaßen:

Definition 2.2: Sei ein Punkt im Raum und . Dann heißt die Menge

eine 3-dimensionale, offene Kugel mit Radius . Sei dann heißt die Menge

eine 3-dimensionale, offene Kugel mit Radius und Mittelpunkt

Bemerkung 2.3: Die oben definierten Mengen bzw. sind ein offener

Kreis bzw. eine offene Kugel mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Die Mengen und können auch mit bzw. bezeichnet werden.

Notiz 2.4: Für den Flächeninhalt eines offenen Kreises gilt:

und für das Volumen einer offenen Kugel:

2.2. Gitter

Damit wir im nächsten Kapitel infinite Kreis- und Kugelpackungen untersuchen können, benötigen wir eine regelmäßige Anordnung der Kreise bzw. Kugeln. Da Kreise sowie Kugeln über ihren Mittelpunkt und Radius definiert sind, genügt es, eine regelmäßige Anordnung von Punkten zu betrachten. Diese regelmäßige Anordnung von Punkten in der Ebene liefert uns ein 2-dimensionales Punktgitter, oder kurz Gitter.

Abb. 2.1 2-dimensionales Gitter

Definition 2.5: Sei eine Basis des . Dann heißt die Menge

ein 2-dimensionales Gitter und eine Basis von . Der Ortsvektor für

heißt Gittervektor von und sein zugehöriger Punkt heißt Gitterpunkt.

Ein 2-dimensionales Gitter ist somit „die Menge aller Summen aus ganzzahligen Vielfachen der beiden Basisvektoren oder kurz: aller ganzzahliger Linearkombinationen der beiden Basisvektoren“ [Lep1]. Der Begriff der Basis wird u.a. in [Beu1] geklärt.

Um aber auch Kugelgitterpackungen betrachten zu können, benötigen wir auch ein 3-dimensionales Gitter.

Abb. 2.2 3-dimensionales Gitter

Definition 2.6: Sei eine Basis des . Dann heißt die Menge

ein 3-dimensionales Gitter und eine Basis von . Der Ortsvektor für

heißt Gittervektor von und sein zugehöriger Punkt heißt Gitterpunkt.

Das Gitter wird uns in den späteren Kapiteln als Anordnungsschema von Kreisen und Kugeln dienen.

2.2.1. Fundamentalparallelotope

Wir betrachten ein konkretes 2-dimensionales Gitter zur Basis

kann aber auch von anderen Basen erzeugt werden.

Beispielsweise ist

ebenfalls eine Basis von . Dadurch, dass gilt, und

und identisch.

Demgegenüber ist

keine Basis von , auch wenn es zunächst den Anschein hat. Es müsste ansonsten ganzzahlige Koordinaten von bezüglich der neuen Basis geben, so dass gilt: . Somit ist

. Durch die

Eindeutigkeit der Koeffizienten in Basisdarstellung folgt:

sowie

zur Ganzzahligkeit von und .

Die Abbildung 2.3 kann dies weiter verdeutlichen. Der Punkt (3|1) des Gittervektors kann nie durch eine ganzzahlige Linearkombination aus den Gittervektoren und dargestellt werden.

Aber aus noch einem weiteren Grund wird deutlich, dass keine Basis von sein kann. Denn die von Basen aufgespannten

Parallelogramme besitzen alle den gleichen Flächeninhalt. Dies führt uns zu folgender Definition.

Definition 2.7: Sei ein 2-dimensionales Gitter mit der Basis . Dann heißt

ein Fundamentalparallelogramm.

Abb. 2.4 Zwei Fundamentalparallelogramme

Analog definieren wir im Raum folgendermaßen:

Definition 2.8: Sei ein 3-dimensionales Gitter mit der Basis . Dann heißt

ein Fundamentalparallelepiped.

Abb. 2.5 Zwei Fundamentalparallelepipede

Im Allgemeinen spricht man bei einem -dimensionalen Gitter von einem Fundamentalparallelotop. In der Physik wird dieses auch primitive Elementarzelle oder auch Einheitszelle genannt [Kit]. Sie sind die kleinsten Gitterbausteine und aus ihnen kann das Gitter wie ein Parkett aufgebaut werden. Folgender Satz liefert uns eine wichtige Eigenschaft der Fundamentalparallelotope.

Satz 2.9: Alle Fundamentalparallelotope eines Gitters haben das gleiche Volumen (bzw. den gleichen Flächeninhalt).

Abbildung 2.5 veranschaulicht die Aussage des Satzes. Sie zeigt zwei Basen eines 3-dimensionalen Gitters mit den dazugehörigen Fundamentalparallelotopen.

Beispiel: Zu Beginn dieses Abschnitts betrachteten wir das Gitter . Wir

Flächeninhalte der jeweiligen Fundamentalparallelogramme. Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit den Seitenlängen und : . Sei der Winkel, der von den beiden

Seiten und bzw. den Vektoren und eingeschlossen wird. Dann ist

In Vektorschreibweise heißt das:

nach der Ungleichung von Cauchy/Schwarz

das Skalarprodukt beschreibt und für den Betrag eines Vektors gilt:

Mit dieser Formel können wir den Flächeninhalt der Parallelogramme berechnen.

Wir sehen, dass die Fundamentalparallelogramme zur Basis und den gleichen Flächeninhalt besitzen, nicht aber das Parallelogramm zur Basis . Dieser Flächeninhalt ist ein „echtes“ Vielfaches der beiden anderen Flächeninhalte. Obige Formel kann aber noch vereinfacht werden. Sei

Der Term

Vektoren

Lemma 2.10: Sei ein 2-dimensionales Gitter und

eine Basis. Dann gilt für den Flächeninhalt des zugehörigen Fundamentalparallelogramms:

Dies lässt sich analog auf ein 3-dimensionales Gitter übertragen, denn für das Volumen des von den Vektoren , und aufgespannten Spats gilt:

(vgl. [Sch]), wobei das Vektorprodukt bezeichnet.

Sei

Lemma 2.11: Sei ein 3-dimensionales Gitter und eine Basis.

Dann gilt für das Volumen des zugehörigen Fundamentalparallelepipeds:

Mit Hilfe des Lemmas werden wir den Satz 2.9 für den 3-dimensionalen Fall beweisen. Für 2-dimensionale Gitter gilt der Beweis analog.

Beweis des Satzes 2.9: Sei ein 3-dimensionales Gitter und seien

zwei Basen von .

Die zugehörigen Fundamentalparallelotope seien und .

Es ist zu zeigen, dass beide Fundamentalparallelotope das gleiche Volumen besitzen, also dass gilt: bzw.

Wir fassen

- Matrizen mit den Spalten bzw. auf. Sei eine - Matrix mit . Dann ist auch

und nach dem Multiplikationssatz für Determinanten gilt: .

Zuerst werden wir zeigen, dass diese Matrix nur ganzzahlige Einträge

besitzt und invertierbar ist. Dann wird gezeigt, dass gilt: Da eine Basis und jeder Vektor ein Gittervektor ist, lässt er sich durch eine ganzzahlige Linearkombination der Spalten von ausdrücken. Also gilt für :

Dies bedeutet nichts anderes, als:

was auch folgendermaßen aufgeschrieben werden kann:

Analog gilt für die Vektoren und :

Zusammenfassend ist somit:

wobei rechts stehende Matrix wegen die Matrix ist.

Da alle ganzzahlig sind, hat die Matrix also nur ganzzahlige Einträge. Weil die Vektoren eine Basis bilden, sind sie linear unabhängig.

Somit müssen auch die Vektoren

und für den Rang der - Matrix gilt folglich: .

Damit ist die Matrix invertierbar (vgl. [Beu1]) und es gilt:

Weil auch eine Basis und jeder Vektor ein Gittervektor ist, lässt er sich ebenfalls durch eine ganzzahlige Linearkombination der Spalten von ausdrücken. Somit folgt wie oben, dass die inverse Matrix nur

ganzzahlige Einträge besitzt. Weiter gilt für die Matrizen und :

(wobei die Einheitsmatrix ist).

Trivialerweise besitzt eine Matrix aus nur ganzzahligen Einträgen auch eine ganzzahlige Determinante. ¹ Dies impliziert: . Also ist insbesondere

und damit gilt:

Beispiel: Hier zum Beweis ein kleines Beispiel mit einem 2-dimensionalen Gitter. Wir beziehen uns auf obiges Beispiel.

Seien

desselben Gitters. Dann ist

Matrix muss gelten:

sehen schnell, dass gilt: . Genauso leicht erkennen wir auch: und .

2.2.2. Bravais-Gitter

Anhand ihrer Symmetrie können die Gitter in der Ebene und im Raum in Äquivalenzklassen eingeteilt werden. Erstmals beschrieben wurde dies vom französischen Physiker Auguste Bravais (1811 - 1863). So unterscheiden wir in der Ebene fünf Bravais-Gitterklassen: das schiefe, flächenzentriertrechteckige, rechteckige, quadratische und hexagonale Gitter. ² Die Bezeichnungen schief, rechteckig und quadratisch basieren auf der

¹ Um die Determinante einer Matrix zu berechnen, werden ja nur die ganzzahligen Einträge addiert, subtrahiert und multipliziert.

² Geordnet nach aufsteigender Anzahl der Symmetrieachsen bzw. der Rotationssymmetrie.

zugrundeliegenden primitiven Elementarzelle (siehe auch 2.2.1.). Die Begriffe flächenzentriert-rechteckig und hexagonal werden von einem größeren Gitterbaustein, der sogenannten konventionellen Elementarzelle, abgeleitet. Aus dieser geht die Symmetrie deutlicher hervor als bei der primitiven Elementarzelle (vgl. [Lep1]). Folgende Abbildung zeigt die fünf unterschiedlichen Bravais-Gitter mit ihren primitiven bzw. konventionellen Elementarzellen.

Abb. 2.6 Die fünf Bravais-Gitter in der Ebene

Bemerkung 2.12: Würde es die Bedingung beim rechteckigen Gitter

nicht geben, wäre das quadratische Gitter ein Spezialfall des rechteckigen für . Ähnlich wäre das hexagonale Gitter ein Spezialfall des schiefen

für

Im Raum können die Gitter auch in unterschiedliche Bravais-Gitterklassen eingeteilt werden. Hier unterscheiden wir insgesamt 14 Gitterklassen, die in sieben Kristallsysteme zusammengefasst werden (vgl. [Kit]). Abbildung 2.7 stellt die verschiedenen Bravais-Gitterklassen dar. Zur besseren Visualisierung wird, falls erforderlich, die jeweilige konventionelle Elementarzelle gezeigt.

Abb. 2.7 Die 14 Bravais Gitter (aus [Kop, S. 17])

In der folgenden Tabelle sind die sieben Kristallsysteme sowie die Bedingungen für die Kantenlängen und die Winkel der

konventionellen Elementarzelle angegeben (vgl. [Kit]).

Das 3-dimensionale Pendant zum schiefen Gitter ist das triklin-primitive Gitter (1). Durch räumliche Verschiebung des rechteckigen Gitters entstehen das monoklin-primitive (2a) und das rhombisch-primitive Gitter (3a). Das hexagonal-primitive Gitter (4) entsteht aus einer räumlichen Verschiebung des hexagonalen Gitters und das tetragonal-primitive Gitter (6a) durch Verschiebung des quadratischen Gitters. Weitere Abkömmlinge des quadratischen Gitters sind das tetragonal-raumzentrierte (6b) sowie die drei kubischen Gitter (7a, 7b, 7c).

2.3. Packungsdichte

Die Packungsdichte ist ein quantitatives Maß für die Dichte einer Kreisbzw. Kugelpackung. Mit ihrer Hilfe können wir verschiedene Packungen miteinander vergleichen und herausfinden, welche die dichtere ist. Die

Packungsdichte ist das Verhältnis zwischen dem (durch die Kreise/Kugeln) genutzten und dem (von der Packung) benutzten Flächeninhalt bzw. Volumen. Bei unendlichen Packungen entsteht allerdings das Problem, dass sowohl genutzter als auch benutzter Flächeninhalt bzw. genutztes und benutztes Volumen unendlich sind. Deshalb betrachten wir bei infiniten Kreis- und Kugelgitterpackungen nur das zugehörige Fundamentalparallelotop. Die Packungsdichte einer infiniten Kugelgitterpackung ist somit das Verhältnis zwischen dem Volumen der Kugelteile innerhalb der primitiven Elementarzelle und dem Volumen der primitiven Elementarzelle selbst. In der Ebene betrachten wir analog Kreise und Flächeninhalte. Da wir also zwei verschiedene Dichten unterscheiden, bezeichnen wir die infinite Packungsdichte mit und die finite Packungsdichte mit .

Notiz 2.13: Die Packungsdichte ist das Verhältnis von genutzten zu benutzten Flächeninhalt/Volumen:

Mathematische Definitionen werden an entsprechenden Stellen angegeben.

Beispiel: Ein Ball (Kugel) mit Radius soll in einen Karton

(Quader) verpackt werden. Es stehen uns zwei Verpackungen zur Verfügung.

Karton A hat die Maße 12 cm x 13 cm x 14 cm. Karton B hat die Maße 10 cm x 10 cm x 10 cm. Dann gilt für die Volumina:

Somit gilt für die Packungsdichten:

Folglich besitzt Karton B eine größere Packungsdichte als Karton A.

3. Infinite Kreis- und

Kugelpackungen

Nachdem die Vorüberlegungen geklärt sind, können wir uns mit den unendlichen Kreis- und Kugelpackungen beschäftigen. Der erste Abschnitt dieses Kapitels bezieht sich auf wichtige Definitionen und Sätze, die sowohl für die Kreis- als auch für die Kugelpackungen gelten. Nach diesen allgemeinen Informationen werden wir einzeln auf verschiedene 2- und 3-dimensionale Packungen eingehen und diese insbesondere auf ihre jeweilige Packungsdichte untersuchen. Unser Ziel ist es, die dichteste infinite Kreis- und Kugelpackung zu finden. Der Einfachheit halber beginnen wir dabei mit den Kreisgitterpackungen. Abschließend gibt es einen kurzen geschichtlichen Exkurs und es werden einige Vorkommnisse sowie Anwendungen infiniter Kugelpackungen angesprochen.

Da die folgenden Aussagen gleichermaßen die Kreis- und Kugelpackungen betreffen, werden nur die 3-dimensionalen Formulierungen angegeben. Die folgenden Definitionen, Sätze, Beweise und Notizen gelten analog für 2-dimensionale Kreispackungen, indem die Wörter Kugel durch Kreis und Volumen durch Flächeninhalt ersetzt werden.

Mit Hilfe des in Kapitel 2.2. definierten Gitters ist es uns möglich, eine regelmäßige Anordnung von Kugeln zu beschreiben. Diese Anordnung nennen wir eine infinite Kugelgitterpackung. Sie besteht aus einem Gitter und abzählbar unendlich vielen, kongruenten Kugeln, deren Mittelpunkte mit den Gitterpunkten zusammenfallen. Die Kugeln dürfen sich dabei nicht überschneiden oder durchdringen.

Definition 3.1: Gegeben sei ein 3-dimensionales Gitter . Für sei jeder Gitterpunkt der Mittelpunkt einer 3-dimensionalen offenen Kugel mit festem Radius . Falls je zwei offene Kugeln und disjunkt sind (also für gilt: ), heißt die Menge GP

eine 3-dimensionale infinite Kugelgitterpackung.

Abb. 3.1 2-dimensionale Kreisgitterpackung

Abb. 3.2 3-dimensionale Kugelgitterpackung

Bemerkung 3.2: Damit je zwei offene Kugeln einer Gitterpackung disjunkt sind, muss eine bestimmte Beziehung zwischen den Gittervektoren und dem Kugelradius bestehen. Der Kugeldurchmesser darf höchstens so lang sein, wie die Länge des kürzesten, vom Nullvektor verschiedenen, Gittervektors:

Dabei ist der Kugelradius und ein vom Nullvektor

verschiedener Gittervektor. Für den Fall der Gleichheit berühren sich die Ränder mancher benachbarter Kugeln. Dies ist jedoch kein Widerspruch zu obiger Definition, da der Rand kein Element einer offenen Kugel ist. 3

Damit wir verschiedene Kugelgitterpackungen miteinander vergleichen können, kommen wir wieder auf den Begriff der Packungsdichte zurück. Um sie zu berechnen, benötigen wir das genutzte sowie das benutzte Volumen (vgl. 2.3.). Da beides bei einer infiniten Packung unendlich ist, betrachten wir repräsentativ für die gesamte Packung ein Fundamentalparallelotop. Das benutzte Volumen ist das Volumen der primitiven Elementarzelle, die in jeder Kreisgitterpackung ein Parallelogramm und in

³ Hieran erkennen wir den Vorteil von offenen Kreisen und Kugeln.

jeder Kugelgitterpackung ein Spat ist. ⁴ Das genutzte Volumen setzt sich aus den Volumina der Kugelteile zusammen, die sich in der primitiven Elementarzelle befinden (vgl. Abb. 3.3 für den 2-dimensionalen Fall).

Abb. 3.3 Kreisteile in einem Fundamentalparallelogramm

Definition 3.3: Seien GP eine infinite Kugelgitterpackung und das zu gehörige Fundamentalparallelotop. Für sei die

Kugel mit Mittelpunkt . Dann heißt die Vereinigung

die Kugelteile, die im Fundamentalparallelotop enthalten sind.

Somit können wir die Packungsdichte definieren.

Definition 3.4: Seien GP eine infinite Kugelgitterpackung, das zu gehörige Fundamentalparallelotop und die im Fundamental-

parallelotop enthaltenen Kugelteile. Dann heißt

die infinite Gitterpackungsdichte der Kugelgitterpackung GP .

Da beide Volumina positiv sind, ist auch die Packungsdichte positiv. Das Volumen der Kugelteile ist nie größer als das des Fundamentalparallelotops. Somit kann die Packungsdichte nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

Notiz 3.5: .

Folgender Satz wird uns das Berechnen der Packungsdichte erleichtern.

Satz 3.6: Das Volumen aller Kugelteile in einem Fundamentalparallelotop ergibt das Volumen einer Kugel.

⁴ Das sagt ja auch bereits der Name Fundamentalparallelogramm bzw. -parallelepiped.

3.1. Infinite Kreispackungen

Nach den zahlreichen erworbenen theoretischen Erkenntnissen können wir in diesem Abschnitt verschiedene Kreispackungen auf ihre Packungsdichte untersuchen. Abbildung 3.5 stellt mögliche Kreisgitterpackungen dar, deren Gitter je eins der fünf Bravais-Gitter ist. Dabei besteht die Beziehung: . Dies hat zur Folge, dass sich einige Kreise berühren, was bei einem größeren Abstand der Kreismittelpunkte nicht der Fall wäre.

Abb. 3.5 Verschiedene Kreisgitterpackungen

Bereits in der Bemerkung 2.12 wurde festgehalten, dass das quadratische und das hexagonale Gitter Spezialfälle der anderen drei Gitter wären, wenn diese keine Einschränkungen für die Werte von und hätten

(Bezeichnungen vgl. Abb. 2.6). Dies wird auch bei Betrachtung der Abbildung 3.5 deutlich. Verschieben wir die Gitterpunkt der rechteckigen Kreisgitterpackung längst der x-Achse so zusammen, dass sich die Kreise links und rechts berühren, entsteht die quadratische Kreisgitterpackung, da dann gilt: . Somit ist die quadratische Kreisgitterpackung dichter als die rechteckige, da sie kleinere Lücken pro Elementarzelle enthält und folglich die Elementarzelle einen kleineren Flächeninhalt besitzt. Ähnlich können wir aus der schiefen sowie flächenzentriert-rechteckigen Kreisgitterpackung die hexagonale erstellen. Da die hexagonale Kreisgitterpackung kleinere Lücken als die anderen beiden Gitterpackungen aufweist, muss sie somit eine größere Packungsdichte haben. Zudem besitzen die schiefe, flächenzentriert-rechteckige und rechteckige Kreisgitterpackung zu viele Variablen, um die Packungsdichte berechnen zu können. Denn abhängig von der Länge des Vektors verändern sich der

Flächeninhalt des Fundamentalparallelogramms und somit auch die Packungsdichte. Aus diesen Gründen werden wir die quadratische und hexagonale Kreisgitterpackung im folgenden Kapitel speziell behandeln.

3.1.1. Quadratische und hexagonale Kreisgitterpackung

Würde man zufällig ausgewählte Personen darum bitten, eine hohe Anzahl an Zwei-Cent-Münzen auf einem Tisch ⁵ möglichst dicht anzuordnen, würden mit Sicherheit die folgenden zwei Anordnungen die einzigen sein.

Abb. 3.6 Münzen-Anordnungen

⁵ Dabei stellen die Münzen Kreise und der Tisch eine Ebene dar.

Bei genauerer Betrachtung können wir feststellen, dass die regelmäßigen Anordnungen der Münzen je einem Gitter zu Grunde liegen. Bei der linken Anordnung handelt es sich um eine quadratische und im rechten Fall um eine hexagonale Kreisgitterpackung. Damit sich benachbarte Münzen berühren, gilt für die Gittervektoren und den Kreisradius: .

Auf den ersten Blick werden viele vermuten, dass die hexagonale Kreisgitterpackung die dichtere ist, da hier die Lücken zwischen den Münzen kleiner sind, als bei der quadratischen Packung. Diese Vermutung ist auch korrekt. Mit Hilfe der oben definierten Packungsdichte ist es uns sogar möglich, diese konkret auszurechnen, um zu zeigen, dass die hexagonale Anordnung der Münzen dichter ist. Wir beginnen mit der quadratischen Kreisgitterpackung:

Abb. 3.7 Quadratische Kreisgitterpackung

Hierbei ist die primitive Elementarzelle ein Quadrat mit der Seitenlänge

Daraus folgt:

Hier die hexagonale Kreisgitterpackung:

Abb. 3.8 Hexagonale Kreisgitterpackung

Das Fundamentalparallelogramm ist eine Raute mit der Seitenlänge .

Der in der Abbildung 3.8 markierte Winkel hat das Maß 60°, weil die Mittelpunkte dreier sich berührender Kreise die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks bilden, da der Abstand jeweils beträgt (vgl. auch Abb. 3.11). Somit gilt:

Die Packungsdichte kann also wie folgt berechnet werden:

Wir bemerken, dass die Packungsdichte unabhängig vom Radius ist.

Ebenso gut hätten wir die Flächeninhalte der Fundamentalparallelogramme mit Hilfe der Gittervektoren und ihrer Determinante bestimmen können (vgl. 2.2.1.).

Somit bedeckt die hexagonale Kreisgitterpackung etwa 90,7% der Ebene und ist damit dichter gepackt als die quadratische Kreisgitterpackung mit nur ca. 78,5%. Ob die hexagonale Kreisgitterpackung aber die dichteste Kreispackung überhaupt ist, wird im nächsten Abschnitt geklärt.

3.1.2. Dichteste infinite Kreispackung

In diesem Punkt werden wir einen umgekehrten Weg einschlagen, als wir es bisher getan haben. Wir betrachten irgendeine zufällige Kreisgitterpackung (vgl. Abb. 3.9) und versuchen aus dieser, eine Kreisgitterpackung mit

maximaler Gitterpackungsdichte

genutzte Flächeninhalt immer ein Vollkreis ist, beträgt dieser bei allen Kreisgitterpackungen . Also ist die Packungsdichte nur noch vom

Flächeninhalt des Fundamentalparallelogramms abhängig. Folglich wird die

die Winkel folgt: .

Abb. 3.11 Dichteste Kreisgitterpackung

Wäre der Innenwinkel , würden sich die Kreise mit den

Mittelpunkten B und D schneiden. Also müssen wir die obige Funktion nur im Intervall betrachten. Abbildung 3.12 zeigt einen Ausschnitt dieser Funktion für .

Diese Funktion hat ihr Minimum im vorgegebenen Intervall bei . Somit

ist die Packungsdichte maximal, wenn sich die Gittervektoren in einem Winkel von 60° schneiden. Aus dieser Vermutung formulieren wir den folgenden Satz, den wir mit geometrischen Methoden beweisen werden.

Satz 3.8 (dichteste Kreisgitterpackung, Lagrange 1773): Unter allen Kreisgitterpackungen besitzt allein diejenige mit hexagonalem Gitter die maximale Packungsdichte

Dieser Satz enthält zwei Aussagen. Einerseits besagt er, dass die infinite

Gitterpackungsdichte ein Maximum von

dieses Maximum nur von dem hexagonalen Gitter angenommen wird. Wir werden diesen Satz auf zwei verschiedene Arten beweisen. Der erste Beweis beruht auf elementargeometrischen und trigonometrischen Methoden und nimmt mehr Platz in Anspruch als der zweite Beweis, der