Inhaltsverzeichnis

1.  Beschreibung des Systems.  3

2.  Herleitung der Gleichungen der Übertragungsglieder.  4

2.1.  Herleitung der Reglerstrecke  5

2.2.  Herleitung des Stellgliedes  9

2.3.  Herleitung des Wegsensors  9

3.  Notwendigkeit einer Linearisierung.  10

4.  Modellierung des Systems im Matlab/ Simulink.  10

4.1.  Einzelbetrachtung des Stellgliedes.  10

4.2.  Einzelbetrachtung der Regelstrecke.  11

4.3.  Einzelbetrachtung des Wegsensors  11

4.4.  Einzeldarstellung der Komponenten (Stellglied, Regelstrecke, Wegsensor)  12

4.5.  Zusammenschaltung des Systems ohne Regler  14

4.6.  Zusammenschaltung des Systems mit dem Regler der Versuchsanleitung  17

5.  Reglerentwurf.  19

5.1.  Optimierter Reglerentwurf nach dem Kompensationsverfahren  19

5.2.  Simulation des entworfenen Reglers  21

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1. BESCHREIBUNG DES SYSTEMS

Aufbau:

Das System der Magnetischen Aufhaengung verhält sich mechanisch gesehen wie eine nichlineare Feder. Zusätzlich besitzt das System einen elektrischen Teil zur Regelung des mechanischen Systems.

Der mechanische Aufbau besteht im

wesentlichen freischwebender Metallkörper (Rotor), welcher an der höchsten Stelle durch einen Elektromagneten gehalten wird. (siehe Abb. 1)

Der Elektromagnet besteht aus einem

Spulensystem mit 2 Spulen, einer Erreger- bzw. Hilfsspule sowie einer Regelspule. Die Hilfsspule erzeugt ein Magnetfeld welches das Eigengewicht des Metallkörpers aufhebt und damit den Rotor anhebt. Zur genauen Positionierung wird nun die Regelspule mit Hilfe eines Reglers so angesteuert das die Differenz zwischen Soll- und Istwert ausgeglichen werden kann und somit ein eingestellt werden kann.

Da mit Hilfe des Reglers der Strom in

der Spule variiert wird, ändert sich in zeitlicher Abhängigkeit die Stärke des Magnetfeldes. Da eine Induktivität aber keine schnelle Änderung des Stromes zulässt wird ein schnell reagierender Regler benötigt.

Die Metallkörperposition, die dem Abstand zwischen Körper und Magnet entspricht, wird mit einem induktiven Wegsensor (LVDT) erfaßt und als Istwert dem Regler zugeführt (Differentialtransformatorprinzip). Der Regler gibt das Stellsignal an das Stellglied (Regelspule) weiter, welches dann die gewünschte Positionsänderung bewirkt.

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Die zusammengesetzte Pendelachse besteht aus einem Alumiumstab an dessen oberen Ende ein Metallkegel angebracht ist, während sich am unteren Ende ein entsprechendes Gegengewicht befindet. Die Hauptkomponente des Wegsensors ist ein Ferritkern, welcher bei einer Bewegung des Pendels eine Spannungsänderung im entspechenden Differentialtransformatorsystem erzeugt. Diese Änderung der Spannung wird über Elektronikbauteile angepaßt und dem Regler zugeführt. Der Regler selber besteht aus einem PIDT1- Regler der eine stationäre Genauigkeit gewährleistet. Das dazugehörige Blockschaltbild ist in Abb. 2 zu sehen.

2. HERLEITUNG DER GLEICHUNGEN DER ÜBERTRAGUNGSGLIEDER

Der geschlossene Regelkreis besteht aus

2.1. Herleitung der Reglerstrecke ...

Folgende in den Unterlagen gegebene Differentialgleichung [1.5] beschreibt die Bewegung des Rotors aus der Gleichgewichtslage:

F m sowie das Produkt des 1.Newtonschen Axioms der Gewichtskraft F g = m * g ergeben sich dabei aus den Gleichungen [1.6] und [1.7].

Stellt man Gleichung [1.7] nach „c“ um und setzt diese in [1.6] ein, so erhält man:

Jetzt muss der Arbeitspunkt mittels einer Taylor-Reihenentwicklung linear approximiert werden. Diese Linearisierung ist notwendig, da F m des Elektromagneten quadratisch vom Strom i und dem Abstand x des Rotors abhängt, so das sich im Weg-Kraft-Kennlinienfeld parabelförmige Verläufe ergeben. Daraus ist die Errechnung der jeweiligen Gleichgewichtslage im dazugehörigen Arbeitsparameter nur sehr schwer möglich. Aus diesem Grunde wird die angesprochene Funktion mittels der Taylorschen Reihe linearisiert.

Taylor- Reihe:

in der ausgeschriebenen Form:

Um auf die lineare Form y = m * x + n zu gelangen, muss die Taylorreihe nach dem 2. Glied abgebrochen werden. Dabei ist n die Funktion

im Entwicklungszentrum x 0 :

und m * x entspricht:

Daraus folgt als Gesamtfunktion der Geradengleichung mit F m als f(x 0 ):

Nun muss die Taylorentwicklung für die axiale Kraft des Elektromagneten (Gl. a) durchgeführt werden. Dabei ist zu beachten das die Taylorentwicklung im Arbeitspunkt sowohl nach dem Strom i, als auch nach dem Abstand x durchzuführen ist. Da i 0 und x ⁰ dem Strom und dem Abstand im Arbeitspunkt entsprechen muss für die Linearisierung x mit x 0 und i mit i 0 ersetzt werden.

Somit ergibt sich aus dem 1.Teil der Linearisierung (n):