Katja  Sachs  

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   

1  Einleitung  1

2  Mathematische Grundlagen  2

2.1  De Bruijns Beweis durch Einf arben  2

2.2  De Bruijns mathematischer Beweis  3

2.3  Beweis des Satzes von Klarner  7

2.4  Der Beweis zum Conway-W urfel  9

3  Die Exponate  11

3.1  Der Satz von Klarner  11

3.2  Der Conway-W urfel  12

3.3  Weitere m ogliche Exponate  13

4  Bildungswert und Bezug zum Lehrplan  16

4.1  Bildungswert  16

4.2  Lehrplanbezug  18

5  Handlungsvorschl age  22

5.1  Bau eines Conway-W urfels als f acherverbindendes Projekt  22

5.2  Einsatzm oglickeiten von Pentominos  26

5.3  Weitere Legespiele  29

5.3.1  Tangram  29

5.3.2  Das magische Ei  31

6  Zusammenfassung  33

7  Literatur  34

A  Anhang  37

A.1  Internetseiten f ur Knobelspiele  37

A.2  Erarbeitung aller Pentominos  38

A.3  Kopiervorlage Pentominos  39

I

Katja  Sachs  

Inhaltsverzeichnis

A.4  Arbeitsblatt Pentominos - Einsteiger  40

A.5  Arbeitsblatt Pentominos - Fortgeschrittene  41

A.6  Kopiervorlage Tangram  42

A.7  Faltbeschreibung Tangram  43

A.8  Arbeitsblatt Wer wird Tangram-Meister?  45

A.9  Arbeitsblatt Buchstaben-Tangram  46

A.10  Konstruktionsbeschreibung Magisches Ei  47

A.11  Kopiervorlage Magisches Ei  48

A.12  L osungen zu den Pentomino- und Tangramr atseln  49

II

Katja  Sachs  

Abbildungsverzeichnis   

Abbildungsverzeichnis   

1  Farbschema f ur den zweidimensionalen Fall  3

Box  5 6 ist kein Vielfaches der Steine 2  3

2   5

Die  1 1 1 W urfel auf der Raumdiagonalen  10

   3

4  Farbschema f ur den Conway- W urfel  10

5  Das Exponat mit sichtbarem Farbschema  11

6  Das Exponat, wenn die Streifen ausgelegt sind  11

Die  kleinen 1 1 1 W urfel auf der Raumdiagonalen  12

   7

8  Das zusammengebaute Exponat im Erlebnisland  12

Die  Lage der 1 1 3 Steine im 5 5 5-W urfel  14

   9

10  Die zw olf Pentominos  15

11  Steckw urfel  22

12  Steckw urfel zu einem 1 2 2 Bauteil zusammenstecken  23

13  SOMA-W urfel Teil 1  25

14  SOMA-W urfel Teil 2  25

15  Baumeisterspiel der Firma LOGIKA  26

16  Zwei gleiche Pentominos  27

17  Beispiel f ur Legeaufgabe  28

18  Dinosaurier und Elefant aus Pentominos  29

19  Tangram  30

20  Fliegender Vogel aus dem magischen Ei gelegt  32

21  Schwan aus dem magischen Ei gelegt  32

III

Katja Sachs 1 Einleitung

1 Einleitung

Sie sind in der Tageszeitung, in eigens f¨ ur sie konzipierten Heften und zu Hunderten im Internet zu finden und nahezu jeder Mensch hat Spaß, sie zu bearbeiten. Die Rede ist von Knobel- und Geduldspielen. Sie zu l¨ osen, wie beispielsweise das Sudoku in der Zeitung, f¨ uhrt zu einem kleinen Erfolgserlebnis am Tag. Seit mehr als 2000 Jahren sind die Menschen von ihnen begeistert, wie auch das bekannteste Geduldspiel unserer Zeit, der Rubikw¨ urfel, zeigt. Als ¨ altestes ¨ uberliefertes Knobelspiel z¨ ahlt das Tangram, das

zwischen dem 8. und 4. Jahrhundert vor Christus in China entstanden ist. Meist sind sie f¨ ur eine Person konzipiert, zur Anregung des Denkens und Probleml¨ osens. Das Ziel dieser Spiele ist, das Prinzip des Objekts zu durchschauen. Im Erlebnisland Mathematik Dresden gibt es verschiedene Formen von Geduldspielen als Exponate f¨ ur Jung und Alt zu entdecken. Davon wurden zwei f¨ ur diese Arbeit ausgew¨ ahlt: Der ” Satz von Klar-Conway-W¨ urfel“ ¹ . Sie geh¨ oren zu sogenannten Zusammensetzspielen. ner“ und der ”

Der erste Teil der Arbeit besch¨ aftigt sich mit mathematischen Beweisen, die zeigen, warum f¨ ur den ” Satz von Klarner“ keine L¨ osung existieren kann und wie man die Teile des ” Conway-W¨ urfels“ zusammen setzen muss, damit ein W¨ urfel entsteht. Daran anschließend werden die Exponate ausf¨ uhrlich dargestellt und Vorschl¨ age f¨ ur weitere m¨ ogliche Ausstellungsst¨ ucke im Erlebnisland Mathematik gebracht. Da Geduldspiele in unserem Leben h¨ aufig vorkommen, wird in einem weiteren Kapitel der Bildungswert dieser Spiele und ihre Stellung in den s¨ achsischen Lehrpl¨ anen der Grund- und Mittelschule, sowie des Gymnasiums f¨ ur den Mathematikunterricht beschrieben.

Im letzten Kapitel werden zahlreiche Anregungen und Handlungsvorschl¨ age f¨ ur die Umsetzung im Unterricht gegeben. Ein ausdr¨ uckliches Ziel dieser Arbeit ist, das erstellte Material den s¨ achsischen Schulen ¨ uber die Homepage des Erlebnislandes Mathematik

zug¨ anglich zu machen, die Sch¨ uler f¨ ur die Vielf¨ altigkeit dieser Spiele zu sensibilisieren und sie f¨ ur die mathematische Seite an ihnen zu begeistern.

diesen Namen.

1

Katja Sachs 2 Mathematische Grundlagen

2 Mathematische Grundlagen

Geduldspiele sind schon sehr alte Spiele f¨ ur eine Person. Zusammensetzspiele oder auch sogenannte Packprobleme sind ein Teil dieser Spiele und recht beliebte R¨ atsel. David Klarner und Nicolaas Govert de Bruijn haben sich mit R¨ atseln der folgenden Art besch¨ aftigt: Es sollte gezeigt werden, ob mit einem Satz von Steinen eine Box, die das gleiche Volumen hat, wie die Summe der Volumen der Steine, vollst¨ andig, also ohne L¨ ucken und ohne das Volumen zu ¨ uberschreiten, gef¨ ullt werden kann, oder ob dies unm¨ oglich ist.

Im Folgenden werden zwei Exponate aus dem Erlebnisland Mathematik mathematisch beleuchtet, wobei beim Ausstellungsst¨ uck ” Conway-W¨ urfel“ das Packproblem l¨ osbar ist und die Unl¨ osbarkeit am Exponat ” Satz von Klarner“ verdeutlicht wird.

2.1 De Bruijns Beweis durch Einf¨ arben

Satz von Klarner“ handelt es sich um ein 10 × 10 K¨ astchen-Feld, das mit 1 × 4 Beim ”

K¨ astchen-Streifen vollst¨ andig ausgef¨ ullt werden soll. De Bruijn hat durch Einf¨ arben gezeigt, dass dies nicht m¨ oglich ist. In seinen Betrachtungen verwendete er eine 10 × 10 × 10 Box, die mit 1 × 1 × 4 Steinen gef¨ ullt werden sollte. Der ” Satz von Klarner“

ist ein zwei-dimensionaler Sonderfall von de Bruijns Beweis. Den einzelnen Zellen mit der Ausdehnung 1 × 1 × 1 in der Box werden die Koordinaten (x y z) zugeordnet. Die Summe aus x, y, z wird durch 4 dividiert. Jede Zelle wird blau, gelb, rot oder gr¨ un gef¨ arbt, je nachdem, ob die Koordinate der Zelle bei Teilbarkeit durch 4 den Rest 0, 1, 2 oder 3 l¨ asst. Die Zellecke mit den Koordinaten (1 1 1) ist gr¨ un, die benachbarte Zelle (2 1 1) blau, (3 1 1) gelb, (4 1 1) rot und bei (5 1 1) folgt wieder eine gr¨ une Zelle. Dieses Farbschema hat die Eigenschaft, dass auf jedem 1 × 1 × 4 Stein jede Farbe genau einmal vorkommt, egal an welcher Stelle er sich in der Box befindet. Das Gesamtvolumen der Box betr¨ agt 1000 Einheiten, welche auf die vier Farben aufgeteilt sind. Erwartungsgem¨ aß sollte jede Farbe 250 Mal in der Box enthalten sein. Dies ist

2

Katja Sachs 2 Mathematische Grundlagen

nicht der Fall: Das beschriebene Schema enth¨ alt von den Farben gr¨ un und blau jeweils 250 Zellen, von rot 251 und kann somit nur 249 gelbe Zellen enthalten. Da aber jeder Stein jede Farbe bedecken muss, existiert keine M¨ oglichkeit, die Box vollst¨ andig zu packen.

Die Abbildung 1 verdeutlicht das Farbschema f¨ ur den zweidimensionalen Fall, ein 10 × 10 K¨ astchen-Feld, wie es f¨ ur das Exponat im Erlebnisland Mathematik erstellt wurde. Es gibt zwei Farben, die sich an der Nebendiagonalen symmetrisch spiegeln lassen. Rot, welches die Nebendiagonale bildet, kommt mit 26 K¨ astchen am h¨ aufigsten vor und gelb, das keine Ecke belegt, ist die Farbe, die mit 24 K¨ astchen am wenigsten vorhanden ist. Gr¨ un und blau treten genau 25 Mal auf. Das Exponat wird im Abschnitt 3.1 ausf¨ uhrlich vorgestellt.

2.2 De Bruijns mathematischer Beweis

F¨ ur den mathematischen Beweis wandte de Bruijn ein Verfahren an, das in einem wohl bekannten Problem vorkommt: Man schneidet bei einem Schachbrett, ein 8 × 8 Feld, zwei diagonal gegen¨ uberliegende Ecken ab und versucht zu beweisen, dass es ubrigen 62 K¨ astchen mit 31 1 × 2 Dominosteinen zu bedecken. unm¨ oglich ist, die ¨

Die Unm¨ oglichkeit wird wie folgt gezeigt: Jeder Dominostein soll ein weißes und ein

3

Katja Sachs 2 Mathematische Grundlagen

schwarzes Feld bedecken. Die zu bedeckende Fl¨ ache hat aber nicht die gleiche Anzahl schwarzer und weißer Felder, da die beiden abgeschnittenen Felder die gleiche Farbe haben. Deshalb ist es unm¨ oglich, ein Schachbrett dieser Art mit solchen Dominosteinen auszulegen.

De Bruijn beweist in seiner Schrift ” Filling Boxes with Bricks“ [6] f¨ ur den dreidimen-

sionalen Fall, dass eine 10 × 10 × 10 Box nicht trivial mit 1 × 1 × 4 Steinen gef¨ ullt werden kann, da 4 nicht 10 teilt.

Die Maße n-dimensionaler Steine und Boxen werden durch ganze Zahlen ausgedr¨ uckt. Wir setzen a 1 × . . . × a n f¨ ur die Steine und A 1 × . . . × A n f¨ ur die Gr¨ oße der Boxen. Die Box A 1 × . . . × A n heißt ein Vielfaches vom Stein a 1 × . . . × a n , wenn es ganze Zahlen

q 1 , . . . , q n gibt, sodass sich durch a 1 q 1 , . . . , a n q n die Box A 1 , . . . , A n darstellen l¨ asst ² . Es ist leicht zu erkennen, dass eine Box nur dann auch trivial gef¨ ullt werden kann. Der Stein a 1 × . . . × a n heißt harmonisch, wenn die Zahlen a 1 , . . . , a n in a 1 , . . . , a

n

mit a 2 , a 3 , . . . , a n ge¨ andert werden k¨ onnen ³ . Die harmonischen Steine haben die Eigenschaft der 1 × 2 × 4 Steine gemeinsam. Im Gegensatz dazu fehlen den nicht-harmonischen Steinen diese Eigenschaften. Wenn der Stein harmonisch ist, kann jede Box, die gef¨ ullt werden kann, auf triviale Weise gef¨ ullt werden. Dies wird sp¨ ater bewiesen. Zuerst beweisen wir:

Satz 1. Wenn die Box A 1 × . . . × A n mit den Steinen a 1 × . . . × a n gef¨ ullt werden kann, dann ist wenigstens eines der A i ein Vielfaches von a 1 und wenigstens ein A i ein Vielfaches von a 2 etc. (Dies impliziert nicht notwendig, dass die Box ein Vielfaches des Steins ist, wie das Zahlenbeispiel der 1 × 5 × 6 Box mit 1 × 2 × 3 Steinen und die Abbildung 2 zeigt.)

Beweis. Es gen¨ ugt a 1 anzunehmen. Wie jeder Stein a 1 × . . . × a n in Steine mit a 1 × 1 × . . . × 1 unterteilt werden kann, k¨ onnen wir mit der Annahme beginnen, dass die Box auf irgendeine Weise mit solchen a 1 × 1 × . . . × 1 Steinen gef¨ ullt ist. Wir unterteilen jeden von ihnen in a 1 W¨ urfel mit 1 × . . . × 1. Die Box enth¨ alt nun A 1 · A 2 · . . . · A n W¨ urfel. Wir geben diesen W¨ urfeln die Koordinaten (k 1 , . . . , k n ) mit

² Beispiel: Eine Box 3 × 10 × 12 wird mit 1 × 2 × 3 Steinen gef¨ ullt, wobei q 1 = 3, q 2 = 5, q 3 = 4.

³ Beispiel: Der Stein 2 × 6 × 18 heißt harmonisch, da 2|6, 6|18.

4

(1 ≤ k 1 ≤ A 1 , . . . , 1 ≤ k n ≤ A n ). Wir betrachten die Summe

und das Summenvielfache

Jeder Term dieser Summenvielfache entspricht einem W¨ urfel in der Box. Diese Terme k¨ onnen in Bl¨ ocke von a 1 Termen gruppiert werden, um die Terme zu kombinieren, die den W¨ urfeln entsprechen und damit zu ein und demselben Stein geh¨ oren. In dieser Menge von Termen durchl¨ auft einer der Indizes einen Satz von a 1 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, w¨ ahrend die anderen Indizes unver¨ andert bleiben. Daraus folgt, dass der Beitrag einer solchen Gruppe von Werten gleich 0 ist, ungeachtet der Ausrichtung der Steine.

Wir schlussfolgern, dass die Summenvielfache ¨ uber die W¨ urfel ” verschwinden“ und daher eines der S(A j ) = 0 ergibt. Da

haben wir e

Satz 2. Wenn eine Box mit harmonischen a 1 × . . . × a n Steinen gef¨ ullt ist, dann ist die Box ein Vielfaches der Steine. uber n. Wenn n = 1, haben wir Beweis. Wir verwenden zum Beweis Induktion ¨

den trivialen Fall. Angenommen, dass die Behauptung den Fall (n − 1) unterdr¨ uckt,

5

Katja Sachs 2 Mathematische Grundlagen

sollten wir den Fall von n Dimensionen angehen.

Ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen wir an, dass a 1 |a 2 , a 2 |a 3 , . . . , a n−1 |a n . Wenn die Box A 1 × . . . × A n groß ist, wissen wir durch Satz 1, dass ein A i ein Vielfaches von a n ist. Wir nehmen somit an, das A n ein Vielfaches von a n ist Ber¨ ucksichtigen wir einen (n−1)-dimensionalen Fall mit der Box A 1 ×. . .×A n−1 . Diese wird vollst¨ andig mit (n − 1)-dimensionalen Steinen verschiedener Gr¨ oßen gef¨ ullt. Die Gr¨ oßen k¨ onnen folgendermaßen variieren: a 2 × . . . × a n oder a 1 × a 3 × . . . × a n oder a 1 × a 2 × . . . × a n−1 . Jeder dieser Steine kann auf Grund der Teilbarkeitseigenschaft von a 1 , . . . , a n in (n−1)-dimensionale Steine a 1 ×. . .×a n−1 unterteilt werden. Der Stein a 1 × . . . × a n−1 sei harmonisch. Wir stellen fest, dass auf Grund der Induktionsbehauptung A 1 × . . . × A n−1 ein Vielfaches von a 1 × . . . × a n−1 ist.

Da wir wissen, dass a n |A n , folgern wir, dass A 1 ×. . .×A n ein Vielfaches von a 1 ×. . .×a n ist.

Satz 3. Wenn der Stein a 1 × . . . × a n nicht harmonisch ist, dann gibt es eine Box, die, ohne ein Vielfaches der Steine zu sein, gef¨ ullt werden kann. Beweis. Wir nehmen an, dass n > 1, a 1 ≤ a 2 ≤ . . . ≤ a n und dass k die gr¨ oßte ganze Zahl ist, f¨ ur die a k−1 nicht a k teilt (sodass 2 ≤ k ≤ n). Eine Box (a + b) × ab kann mit a × b Steinen gef¨ ullt werden (siehe Abbildung 2). Daher kann die Box a 1 × . . . × a k−2 × (a k−1 + a k ) × a k−1 a k × a k+1 × . . . × a n mit a 1 × . . . × a n Steinen gef¨ ullt werden. Wir zeigen, dass diese Box kein Vielfaches des Steins ist. Sei j die kleinste gerade Zahl mit a j = a k−1 . Dann ist keine der Zahlen a 1 , . . . , a j−1 , a k−1 + a k durch eine der Zahlen a j , . . . , a k−1 , a k , . . . , a n teilbar. (Merke, dass a j = . . . = a k−1 und a k−1 + a k weder durch a k−1 oder a k , noch durch irgendein anderes Vielfaches von a k teilbar sind. Außerdem sind a k+1 , . . . , a n Vielfache von a k , je nachdem, wie k gew¨ ahlt wurde.) Wenn die Box A 1 × . . . × A n ein Vielfaches vom Stein a 1 ×. . .×a n ist, kann es h¨ ochstens j −1 i geben, sodass A i kein Vielfaches der Zahlen a j , . . . , a n ist. Daher ist die oben konstruierte Box kein Vielfaches des Steins. Somit wurde gezeigt, dass es nicht m¨ oglich ist, eine 10×10×10 Box trivial mit 1×1×4 Steinen zu f¨ ullen und damit auch nicht im zweidimensionalen Fall ein 10×10 K¨ astchen-Feld mit 1 × 4 Streifen vollst¨ andig auszulegen.

6

Katja Sachs 2 Mathematische Grundlagen

2.3 Beweis des Satzes von Klarner

David Klarner brachte einen sehr interessanten Beweis, der als Grundlage f¨ ur viele Packprobleme gilt. Bevor wir das Lemma f¨ ur diesen Satz beweisen, m¨ ussen wir ein paar Formalit¨ aten festschreiben: Der gr¨ oßte gemeinsame Teiler (ggT) der Zahlen a, b, . . . wird durch (a, b, . . .) dargestellt und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen durch [a, b, . . .].

Lemma. Jede Menge von nat¨ urlichen Zahlen {m 1 , m 2 , . . .} enth¨ alt eine endliche Teilmenge {n 1 , . . . , n t }, sodass (m 1 , m 2 , . . .) = (n 1 , . . . , n t ). Beweis. Wir k¨ onnen ohne Verlust der Allgemeinheit voraussetzen, dass {m 1 , m 2 , . . .} unendlich ist und dass (m 1 , m 2 , . . .) = 1, womit wir diese Voraussetzung treffen. Seien p 1 , . . . , p j die verschiedenen Primteiler von m 1 und f¨ ur jedes i = 1, . . . , j existiere ein x i ∈ {m 1 , m 2 , . . .}, sodass (p i , x i ) = 1, denn sonst w¨ are (m 1 , m 2 , . . .) durch p i teilbar. Jetzt ist offensichtlich (m 1 , x 1 , . . . , x j ) = 1 und damit der Beweis vollst¨ andig. Damit k¨ onnen wir den ” Box-Pack-Satz“ von D. Klarner beweisen:

Satz. Die Menge von Primzahlen P (A) ist endlich f¨ ur jede Menge A = {A i = a i1 , . . . , a ik : i = 1, 2, . . .}.

Beweis. Nehmen wir an, die Aussage des Satzes ist falsch und streben einen Widerspruch an. Wenn die Aussage falsch ist, dann existiert eine kleinste Dimension k, sodass eine Menge A = {A i = a i1 , . . . , a ik : i = 1, 2, . . .} existiert mit P (A) unendlich. Es folgt gleichzeitig aus dem Lemma, dass k ≥ 2. Da wir voraussetzen, dass P (A) unendlich ist, k¨ onnen wir die Angelegenheit vereinfachen und annehmen, dass P (A) = A ist.

Nun bemerken wir, dass jede der Folgen {a ij : i = 1, 2, . . .} f¨ ur j = 1, . . . , k gegen unendlich konvergiert. W¨ are dies nicht der Fall, h¨ atten wir eine unendliche Teilmenge B = {B i = b i1 , . . . , b ik : i = 1, 2, . . .} von A, sodass f¨ ur einige j = 1, . . . , k, b ij = b f¨ ur i = 1, 2, . . .; angenommen, dass j = k, dann ist b ik = b f¨ ur i = 1, 2, . . .. Sei

B ∗ b i1 , . . . , b i(k−1)

B ∗ = : i = 1, 2, . . . ; weil B ⊂ A, ist P (B) = B und daher i =

auch P (B ∗ ) = B ∗ . Dies ist ein Widerspruch, weil die Dimension der Boxen in B ∗ kleiner als k ist.

7