1. Einleitung

„Brüche besitzen viele verschiedene Gesichter und nicht nur einen formalisierten Schattenriss, (...). Wer daher die Bruchrechnung wirklich verstehen und nicht nur Brüche nach fehleranfälligen Regeln manipulieren will, muss zuvor diese Gesichter gründlich betrachtet und ihre Zusammenhänge erkannt haben.“ (Padberg 2009, 28f.).

Für ein angemessenes Verständnis der Bruchrechnung ist für viele mathematikdidaktische Autoren ein Verstehen der Bruchzahlen und derer Zusammenhänge unumgänglich (Behr 1983, Wartha 2007, Padberg 2009, Watson 1999). Diverse Autoren führen Interpretationen hinsichtlich Bruchzahlen und einem elementaren Bruchzahlverständnis an (Padberg 2009, Neumann 1997).

Padberg spricht beispielsweise von acht Teilaspekten, in welche er Bruchzahlen ei-nordnet (vgl. Padberg 2009, 29). Für ein fundamentales Verständnis von Brüchen sieht er die Grundvorstellungen „Teil vom Ganzen“ und „Teil mehrerer Ganzer“ als notwendig an. Wartha (2009) hingegen unterscheidet zwischen dem „Bruch als Anteil“, „Bruch als Operator“ und dem Verhältnis als drei verschiedener Grundvorstellungen mentaler Modelle, in welche er die Bruchzahlaspekte von Padberg (und andere) einordnet. Diverse empirische Studien belegen, dass Schüler vor der Einführung der Bruchrechnung in der sechsten Klasse ein schwach ausgeprägtes elementares Bruchzahlverständnis besitzen (Padberg 2009; Wartha 2007; Altevogt u.a. 1996). Padberg (2002) untersuchte in seiner Studie Kinder unmittelbar vor Einführung der Bruchrechnung hinsichtlich verschiedener Bruchzahlen. Auffällig in seinen Ergebnissen waren die besonders guten Ergebnisse bei den Brüchen 1 2 und 1 4 , während alle anderen Brüche deutlich

schlechter abschnitten. Dies führt er auf die hohe Bedeutung dieser Brüche im täglichen Leben zurück. Diese Sicht wird von verschiedenen anderen Autoren (Neumann 1997, Hasemann 1993, Gabriel 1997, Altevogt u.a. 1995) geteilt. Die Studien zum elementaren Bruchzahlverständnis finden allerdings meist bei Kindern kurz vor Einführung der Bruchrechnung in der sechsten Klasse statt. Für meine Bache-lorarbeit soll nun der Schwerpunkt auf jüngere Schüler ¹ der dritten und vierten Klasse gelegt werden, die nicht im Fokus der mir bekannten Studien liegen. Als Fragestellungen sind mir folgende Aspekte wichtig:

¹ Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit für beide Geschlechter stellvertretend die männliche Form verwendet. Dabei ist, wenn nicht ausdrücklich anders erwähnt, die weibliche Form immer mit eingeschlossen.

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Sind die sogenannten Alltagsbrüche

ser bekannt als einfache Stammbrüche?

Gibt es Grundvorstellungen, die bei den Kindern besser aktiviert werden können als andere?

Ist die Wahl von konkreten oder abstrakten Größen entscheidend für kindliche Lösungen und sorgt die Wahl des Ebenenwechsels (von ikonisch auf symbolisch oder symbolisch auf ikonisch) für unterschiedliche Ergebnisse?

Hierbei werde ich mich auf die Grundvorstellungen von Wartha (2007) beziehen, die ein Fundament zur Untersuchung des elementaren Bruchzahlverständnisses bieten. Die vorliegende Arbeit gliedert sich in folgende Kapitel: Im zweiten Kapitel werden die Betrachtungsweise der beiden mathematikdidaktischen Autoren Padberg und Wartha, die in der Bruchrechnung im deutschsprachigen Raum eine bedeutende Rolle spielen, exemplarisch skizziert und in der Folge gegenübergestellt. Das dritte Kapitel befasst sich mit Studien zum Bruchzahlverständnis, die nach den Grundvorstellungen Warthas und den untergeordneten Bruchzahlaspekten gegliedert sind. Im vierten Kapitel folgt eine Auseinandersetzung mit der Behandlung von Brüchen in der Grundschule. Hier wird zum einen auf den Lehrplan und die Bildungs-standards geschaut und zum anderen eine Schulbuchanalyse von Büchern der dritten und vierten Klasse bezüglich der Bruchzahlaspekte durchgeführt. Das fünfte Kapitel stellt eine kurze Schlussfolgerung aus dem dritten und vierten Kapitel dar und zeigt auf, welche Schlüsse aus diesen beiden Kapiteln für die empirische Studie getroffen werden. Die empirische Studie findet sich in Kapitel 6 wieder. Jeweils vier Kinder aus einer dritten und vierten Grundschulklasse wurden in einem dreißigminütigem, halbstandardisierten Interview hinsichtlich ihrem jeweiligen elementarem Bruchzahlverständnis getestet. Dazu wurden Aufgaben mit verschiedenen Brüchen (Alltagsbrüche, Stammbrüche, weitere Brüche) in verschiedenen Aspekten (Maßzahl, Anteil, Operator und Erweitern/Kürzen) gestellt. Kapitel 7 beschäftigt sich mit der Auswertung der Aufgaben. Dabei werden die Schülerlösungen aus verschiedenen Blickwinkeln begutachtet. Im letzten Kapitel wird die Auswertung final zusammengefasst, die formulierten Fragestellungen beantwortet und mögliche Konsequenzen für den Grundschulunterricht diskutiert.

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2. Aspekte von Bruchzahlen

Brüche besitzen viele verschiedene Gesichter. Es gibt nicht eine einzige Betrachtungsweise, sondern es bieten sich immer mehrere Zugangswege (vgl. Hefendehl-Hebeker 1996, 20). Aus diesem Grunde gibt es diverse Interpretationen von Bruchzahlen und diverse Einteilungen in Bruchzahlaspekte (vgl. Wartha 2007, 47, Padberg 2009, 29).

Grundsätzlich spielen aber für das Bruchzahlverständnis mehrere miteinander agierende Grundvorstellungen und Bruchzahlaspekte eine Rolle, welche sich auch überlagern können (vgl. Padberg 2009, 30, Wartha 2007, 65).

Es ist nicht Ziel dieser Bachelorarbeit, alle vorhandenen Interpretationen und Bruchzahlauffassungen zu erfassen und zu vergleichen. Eine vollständige Auflistung der vorhandenen Literatur findet sich bei Neumann (1997) wieder. In der vorliegenden Arbeit werden exemplarisch zwei Betrachtungsweisen zu Bruchzahlaspekten (Padberg, Wartha) und dem Aufbau eines elementaren Bruchzahlverständnisses vorgestellt sowie Unterschiede und Gemeinsamkeiten miteinander verglichen. Hierbei soll besonders auf die verschiedenen Grundvorstellungen, die für ein umfassendes Bruchzahlverständnis nötig sind, eingegangen werden.

2.1 Bruchzahlaspekte nach Padberg

Padberg unterscheidet zwischen Grundvorstellungen, die für ein Bruchzahlverständnis essentiell sind, und weiteren Teilaspekten, die auftauchen, aber für den Aufbau eines Grundverständnisses nicht notwendig sind (vgl. Padberg 2009, 28).

Für Padberg spielen acht verschiedene Teilaspekte für einen komplexen Bruchzahlbegriff eine Rolle: (1) Teil vom Ganzen, (2) Maßzahl, (3) Operator, (4) Verhältnis, (5) Quotient, (6) Lösung einer linearen Gleichung, (7) Skalenwert und (8) Quasikardinalität.

Auf die Teilaspekte fünf bis acht wird aufgrund ihrer geringen Anwendungsorientierung (vgl. Padberg 2009, 31) und der für Kinder der dritten und vierten Klasse zu hohen Komplexität, nicht eingegangen.

Der erste Teilaspekt Teil vom Ganzen ist nach Padberg in zwei Grundvorstellungen zu unterteilen, die für den Bruchzahlaspekt fundamental sind: „Teil eines Ganzen“ und „Teil mehrerer Ganzer“.

Die erste Grundvorstellung „Teil eines Ganzen“ meint gleich große Teilstücke eines Ganzen. Für diesen Teilaspekt werden oftmals Pizzadarstellungen gewählt, aber auch

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Rechtecksformen finden sich für diesen Teilaspekt als mögliche Darstellungsform wieder. „Offensichtlich lässt sich auf dieser enaktiven bzw. ikonischen Ebene gut ein handlungsnahes Verständnis der ersten Grundvorstellung erzielen. Neben Strecken, Streifen und Kreisen sollten hierbei auch Rechtecke benutzt werden“ (Padberg 2009, 35). Bruner u.a. (1971) beschrieben diese drei Ebenen aus einer psychologischen Sichtweise. Für Kinder gibt es enaktive (Handlung), ikonische (bildliche Darstellung) und symbolische (Sprache) Darstellungen, die unabhängig voneinander sind. Zugleich gibt es die Möglichkeit zwischen den einzelnen Medien zu übersetzten (vgl. Bruner u.a. 1971).

Mathematikdidaktisch kann hier auch auf den Aspekt der Zahlauffassung und Zahldarstellung eingegangen werden, die eine andere Art der Interpretation dieser Ebenen Bruners darstellen. Während Zahlauffassung mit der symbolischen Ebene einhergeht, ist Zahldarstellung mit einer ikonischen Ebene gleichzusetzten. Die zweite Grundvorstellung „Teil mehrerer Ganzer“ sieht Padberg als schwierigere Grundvorstellung, weil Schüler hier erkennen müssen, dass „mehrere Ganze (z.B. 3 Riegel oder 2 Waffeln) zusammen das neue Ganze bilden“ (Padberg 2009, 36). Vorstellbar ist hierfür eine Situation, in der mehrere Objekte (Pizzen, Sandwiches etc.) an verschiedene Personen verteilt werden und ein derartiges Stück liegt nun vor einer Person. Dazu muss die Person jetzt den Zusammenhang zu allen Objekten und nicht mehr zu einem Objekt erkennen.

Ein für Padberg weiterer wichtiger Aspekt ist der Maßzahlaspekt. Hierbei werden Brüche als Bezeichnungen von Größen angegeben. Padberg nennt diese Brüche deswegen auch konkrete Brüche. Der Vorteil bei dieser Art von Brüchen liegt Padberg zufolge in der Alltagsgegenwart. Kinder können sehr gut auf Vorkenntnisse zurückgreifen (vgl. Padberg 2009, 14). Seiner Meinung nach stellt dieser Teilaspekt die größte Rolle im Leben der Schüler dar.

Der Operatoraspekt wird als Beschreibung von Größen in multiplikativer Handlungsweise benutzt. Ein Beispiel dafür ist das Geben eines Drittels von zwölf Äpfeln oder die Ausschenkung der Hälfte von einem Liter Milch. Padberg sieht eine hohe Bedeutsamkeit für den Multiplikationsprozess und verknüpft den Operatoraspekt eng an den Maßzahlaspekt aufgrund der vorhandenen Größen, die bei diesem Teilaspekt Einsatz finden. Der Autor nimmt allerdings für den Operatoraspekt mehrere Nachteile wie zum Beispiel dem nicht vorhandenen Anknüpfungspunkt an Vorerfahrungen der Schüler mit Bruchzahlen wahr.

Der vierte Aspekt bei Padberg ist der Verhältnisaspekt. Als Beispiel führt er eine Perlenkette mit schwarzen und weißen Perlen an. Während zwei aufeinanderfolgende Perlen weiß sind, ist eine von drei Perlen schwarz. Somit erhält man ein Drittel schwar-

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ze Perlen und zwei Drittel weiße Perlen (vgl. Padberg 2009, 30). Padberg sieht im Verhältnisaspekt entgegen anderer Forscher (z.B. Streefland) zwar einen wichtigen Teil eines anwendungsorientierten Bruchzahlbegriffs, allerdings zweifelt er an der Tragfähigkeit für den Aufbau der Bruchrechnung.

2.2 Bruchzahlaspekte nach Wartha

Wartha unterscheidet drei Grundvorstellungen für die Begriffsbildung der Bruchzahlaspekte. So werden (1) Anteilsvorstellungen, (2) Operatorvorstellungen und (3) Verhält-nisvorstellungen als Grundvorstellungen unterschieden (vgl. Wartha 2007, 48). Die Grundvorstellung „Bruch als Anteil“ sieht Wartha meist in Alltagskontexten gegeben. So wird ein dreiviertel Kuchen als ein Kuchen gesehen, der in vier gleich große Teile geteilt wird, wovon drei Teile betrachtet werden. Wartha weist auf die Möglichkeit hin, diesen Aspekt an konkreten Alltagsgegenständen (Pizza) oder abstrakter an Größen zu veranschaulichen (vgl. Wartha 2007, 49). Aus Warthas Sicht wird der Anteilsaspekt eng mit dem Maßzahlaspekt verknüpft. Hierbei wird die Bruchzahl als Bezeichnung einer festen Größe genutzt. Somit gehen Maßzahlen immer mit Größen einher, werden aber in der Behandlungsweise wie Anteile verwendet. Wartha geht demnach davon aus, dass ein inhaltliches Verständnis für den Maßzahlaspekt als Anteilsvorstellung maßgebend ist. Weiterhin betrachtet er für den quasikardinalen Aspekt, auf den aufgrund fehlender Relevanz für die eigene Studie nicht weiter eingegangen werden soll, auch eine „Aktivierung als Anteilsvorstellung [als] naheliegend“ (Wartha 2007, 51). Außerdem sei der Skalenwertaspekt, der beispielsweise bei einer Tankanzeige eines Autos auftaucht, eng verknüpft mit einer symbolischen Darstellung eines konkreten Anteils, der auch eine Verbindung zum Anteilsaspekt erkennen lässt. Die zweite Grundvorstellung „Bruch als Operator“ wird als „von-Kontext“ beschrieben. Ein Bruch wird in diesem Zusammenhang nicht als Anteil, sondern als Operation beschrieben.

Warthas dritte Grundvorstellung „Bruch als Verhältnis“ ist eher als „Bindeglied zum Inhaltsbereich der Proportionalität“ (Wartha 2007, 59) zu sehen und entgegen der Ope-rator- und Anteilvorstellung nicht wesentlich für ein elementares Bruchzahlverständnis. Wartha unterscheidet grundsätzlich zwei Arten von Verhältnisangaben: Zum einen die Repräsentation der gleichen Art von Mengen oder Einheiten, zum anderen die Verbindung verschiedener Arten von Größen (z.B. m/s). Der Autor zeigt in einem eigenen Kapitel Vernetzungen und Unterschiede dieser drei Teilaspekte auf.

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Während der Bruch als Anteil ein Ergebnis (Zustand) darstellt, wird beim Operatoraspekt eher eine Änderung („Von-Kontext“) beschrieben. Es wird zwischen statischen (Anteil) und dynamischen (Operator) Aspekten unterschieden (vgl. Wartha 2007, 64). Zusammenfassend sagt Wartha, dass Bruchzahlen erst verstanden werden, wenn diese Grundvorstellungen vollkommen aktiviert und verstanden wurden. Allerdings sei ein Arbeiten mit den Operationen bei der Beherrschung der Regeln grundsätzlich möglich.

2.3 Vergleich und Relevanz für die eigene Studie

Diese zwei exemplarischen Ansichten zu einem elementaren Bruchzahlverständnis zeigen viele Ähnlichkeiten, aber auch durchaus einige Unterschiede. Eine erste Auffälligkeit ist hinsichtlich der Anzahl der Bruchzahlaspekte zu erkennen. Während Padberg mit acht Bruchzahlaspekten aufwartet, differenziert Wartha lediglich in drei Grundvorstellungen und ordnet diesen die Bruchzahlaspekte einiger anderer Autoren zu.

Tabelle: Bruchzahlaspekte und Grundvorstellungen(*) nach Sicht beider Autoren

Um ein Verständnis der jeweiligen Einordnung der Bruchzahlaspekte zu bekommen, muss man sich fragen, wie die beiden Autoren Grundvorstellungen verstehen. Wartha bezieht sich mit seinem Verständnis von Grundvorstellungen auf die Arbeit von Rudolf vom Hofe (1995) mit dem Titel „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte“. Ausgangspunkt ist der mentale Prozess der Übersetzung von reale auf mathematische Situationen (und umgekehrt). Grundvorstellungen werden in zwei Aspekten gebraucht: Der normative Aspekt beschreibt die Grundvorstellungen als didaktische Leitlinien, die Schüler im Lernprozess ausbilden sollen. Dieser Aspekt ist eher als theoretischer Hin-tergrund und als sachanalytische Sichtweise des Lehrers zu sehen. Der deskriptive

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Aspekt ist die Grundvorstellung, die Schüler dann tatsächlich ausbilden. Deskriptive Grundvorstellungsaspekte lassen sich über empirische Studien erheben und sollen Lösungswege der Kinder erkennen lassen (vgl. vom Hofe 1995, 117). Grundvorstellungen haben eine wechselseitige Wirkung und lassen sich gut als mentale Werkzeuge zur Übersetzung in andere Darstellungsmodi beschreiben.

Padberg hingegen beschreibt keine tiefere Begriffsdefinition für Grundvorstellungen. Grundvorstellungen sind für ihn lediglich Teilaspekte von Bruchzahlen mit denen man ein elementares Bruchzahlverständnis erlangt. Somit lassen sich Padbergs Bruchzahlaspekte eher einer normativen Ansicht zuordnen. Gerade aus den einzelnen Bruchzahlaspekten ist es schwierig Lösungswege der Kinder empirisch zu verifizieren. Während Padberg die Aspekte „Teil eines Ganzen“ und „Teil mehrerer Ganzer“ als grundlegend für das Verständnis sieht, unterscheidet Wartha seine drei Grundvorstellungen in „Anteil“, „Operator“ und „Verhältnis“, wenngleich er das Verhältnis „eher als Bindeglied zum Inhaltsbereich der Proportionalität“ (Wartha 2009, 59) sieht. Diese Ansicht teilt Padberg und zitiert bei seinen Ausführungen zum Verhältnisaspekt die Meinung Warthas. Für Wartha gehören Padbergs Grundvorstellungen „Teil eines Ganzen“ und „Teil mehrere Ganzer“ beide zur gleichen Anteilsvorstellung. Zwar sind beide Vorstellungen auf den ersten Blick verschieden, insgesamt komme man aber über beide Vorstellungen zum gleichen Ergebnis und erhalte eine Gleichwertigkeit beider, auch wenn dies für Kinder im ersten Moment nicht trivial ist. So erhält man beim Teilen eines Papierstückes in vier Teile, von dem drei Teile genommen werden, das gleiche beim Verdreifachen eines Papiers und anschließendem Teilen durch vier. (vgl. Padberg (2009), S. 38) Somit lässt sich für Wartha aus dieser Gleichwertigkeit keine neue Grundvorstellung, sondern ein Teilaspekt der Anteilsvorstellung ableiten. Die Grundvorstellung als Anteil (Wartha) umfasst die vier verschiedenen Aspekte (siehe Tabelle). Teil eines Ganzen und Teil mehrerer Ganzer wird bei Padberg als ein Aspekt gesehen. Wartha sieht beispielsweise den Maßzahlaspekt als eine Anteilsvorstellung, da für die Aktivierung einer Maßzahl wie ein Viertel Meter auch immer eine Anteilsvorstellung benötigt wird. Die Handlung und das Verständnis geschehen kongruent (vgl. Wartha 2007, 49). Aus diesem Grund sieht Wartha u.a. den Maßzahlaspekt als Teil der Grundvorstellung „Anteil“. Auch der quasikardinale Aspekt und Skalenwertaspekt von Padberg fallen bei ihm in diese erste Grundvorstellung, da auch hier die Aktivierung der Anteilsvorstellung nahe liegt. Die Teilaspekte Padbergs „Quotient“ und „Lösung einer linearen Gleichung“ werden bei Wartha im Bereich Operation mit Brüchen vertieft und nicht als Grundvorstellung, sondern als algebraisch-technische Interpretation (vgl. Wartha 2009, 59) gesehen. Diese Vorstellungen sollen aber aufgrund des fehlenden Grundschulbezugs in diesem Vergleich nicht weiter behandelt werden. Ein weiterer Unterschied der beiden

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Autoren liegt in der Gewichtigkeit des Operatoraspektes. Während Padberg nur einen Zusammenhang zwischen Maßzahlaspekt und Operatoraspekt sieht, benutzt Wartha den Begriff Grundvorstellung für den Operatoraspekt. Für Wartha lässt sich der Opera-toraspekt nicht als Anteils-Vorstellung aktivieren, sondern als Operatoren, die sich auf andere Einheiten beziehen („Von-Kontext“). Als Beispielaufgabe dient die Aufgabe 3

⁴ von 12m. Hierbei ist 3 4 der Operator der Aufgabe. Dies stellt eine andere Vorstellung

dar als die Anteilsvorstellung und muss somit als eigene Grundvorstellung verstanden werden. Auch Wartha verknüpft und vernetzt den Operatoraspekt mit Maßzahl- und Verhältnisaspekt. Dies ist schon allein deswegen der Fall, weil Grundvorstellungen nach Wartha (2007) flexibel sind und einander bedingen. Insgesamt sehen beide Autoren ein Überlappen der einzelnen Aspekte und erklären unisono, dass für den Aufbau eines elementaren Bruchzahlverständnisses ein Zusammenspiel der einzelnen Teilaspekte von Nöten ist.

Insofern lässt sich bei Wartha eine Verallgemeinerung der einzelnen Bruchzahlaspekte von Padberg in flexible Grundvorstellungen wiederfinden. Wartha widerspricht Padbergs Bruchzahlaspekten nicht, teilt sie aber in verschiedene Grundvorstellungen ein. Zwar finden sich Unterschiede hinsichtlich der Betrachtungsweisen, es lässt sich aber für mich keine Wertung pro einer der beiden Autoren vornehmen. Meiner Meinung nach lässt sich durch die Einordnung der Bruchzahlaspekte von Padberg in die Grund-vorstellungen von Wartha ein umfassender Überblick über ein elementares Bruchzahlverständnis erreichen. So widersprechen sich beide Autoren nicht, wenngleich Wartha durch seine Definition der Grundvorstellungen einen deutlich fundierteren Hintergrund über das empirische Bruchzahlverständnis bereitstellt als Padberg, der eher viele verschiedene Teilaspekte aufzeigt und erläutert. Für meine Studie werde ich mich auf die Einordnung in die drei Grundvorstellungen nach Wartha, die einen besseren Überblick für ein elementares Bruchzahlverständnis bieten, stützen, aber auch einzelne Bruchzahlaspekte von Padberg an gegebener Stelle einbeziehen, wenn auf Teilaspekte der Grundvorstellungen Bezug genommen werden soll.

3. Studien zum Bruchzahlverständnis

Im Folgenden werden einige Studien zum Bruchzahlverständnis vorgestellt und hinsichtlich einzelner Grundvorstellungen nach Wartha gegliedert. Dabei werden Ergebnisse zu den Alltagsbrüchen 1 2 und 1 4 gesondert beschrieben. Au-

ßerdem wird auf Studien, die das Erweitern und Kürzen behandeln, in einem eigenen Unterkapitel eingegangen. Insbesondere aus der Gleichwertigkeit von verschiedenen

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Brüchen lassen sich Schlüsse zu einem elementaren Bruchzahlverständnis ziehen. Der Prozess, dass eine Bruchzahl auf verschiedene Weisen dargestellt werden kann, zeugt von einem elementaren Bruchzahlverständnis (vgl. Malle 2004). Wartha geht noch weiter, indem er das Erweitern und Kürzen als wichtiges Konzept in der Mathematik allgemein bezeichnet: „Die Äquivalenz von Brüchen ist nicht nur für den Aufbau adäquater Vorstellungen zum Bruchzahlbegriff sowie zu den Operationen mit Brüchen von Bedeutung, sondern stellt ein wichtiges Konzept mathematischer Grundkenntnisse dar“ (Wartha 2007, 67). Auch für mich ist das Verstehen der Äquivalenz mehrerer Brüche ein guter Indikator für ein elementares Bruchzahlverständnis. Daher werde ich auch auf den Äquivalenzaspekt des Erweiterns und Kürzens sowohl in der Darstellung der ausgewählten Studien als auch in meiner empirischen Studie eingehen. Insgesamt wird der Fokus nicht auf eine umfassende Darstellung aller Studien gelegt, sondern nur auf eine Vorstellung der Gesichtspunkte, die auch in der eigenen empirischen Studie von Bedeutung sind. Zugleich lassen sich viele Studien nicht direkt in die Grundvorstellungen einordnen, so dass es unumgänglich ist, Studien zu separieren und hinsichtlich ihrer Grundvorstellungen zu beschreiben. Dementsprechend tauchen teilweise empirische Studien mehrfach unter anderen Gesichtspunkten auf.

3.1. Studien zu Grundvorstellungen als Anteil

3.1.1. Allgemeine Studien zur Anteilsvorstellung

Altevogt, Lager und Viet (1995) haben in ihrer Studie unter anderem den Maßzahlaspekt und Anteilsaspekt von Brüchen untersucht. Hauptziel ihrer Untersuchung war es, die Vorstellungen von Kindern der zweiten bis vierten Klasse von den im Alltag vorkommenden Brüchen zu ermitteln. Dazu wählten die Autoren schriftliche Tests und Interviews in allen Altersklassen mit unterschiedlichen Aufgabentypen. Bei den Anteilsaufgaben nutzten die Autoren Aufgaben im Sinne des „Von-Kontextes“, die sicherlich eher dem Operatoraspekt entsprechen (vgl. Wartha 2009). Unter dem Unterpunkt „Erkennen und Darstellen von Brüchen“ wurden zusammenhängende und nicht zusammenhängende Figuren von Brüchen dargestellt. Von diesen Figuren sollte der Anteil an gefärbten Kästchen als Bruch erläutert werden. Außerdem wurden Figuren gezeigt von denen die Schüler einen als Bruch angegeben Teil der Figur erklären sollten. Hierzu wurden den Kindern Aufgaben in Rechtecks- und Kreisform präsentiert. Bei Rottmann (2006) werden solche Figuren als verschiedene Quantitäten benannt. Er unterscheidet zwischen kontinuierlichen, diskreten und gemischten Quantitäten (vgl. Rottmann 2006, 58). Während kontinuierliche Quantitäten eine Menge sind, die sich

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nicht aus verschiedenen Untereinheiten zusammenfassen lassen (bspw. Kreisdarstellung), sind diskrete Quantitäten als Mengen oder Zahlen mit Untereinheiten (bspw. Murmeln) zu sehen. Gemischte Quantitäten sind für Rottmann diejenigen Quantitäten, die je nach Sichtweise des Kindes sowohl als kontinuierliche als auch als diskrete Quantität interpretiert werden können.

Weiterhin wurde in der Studie von Altevogt u.a. (1995) Kindern die in der Literatur durchaus bekannte Verteilaufgabe gestellt, Pizzen an Kinder zu verteilen (vgl. Streef-land 1991, Lamon 1996, Charles/Nason 2000). Auch diese Aufgabe kann in die Grundvorstellung als Anteil eingeordnet werden. Es wurde festgestellt, dass bei allen

Aufgabentypen die Brüche 1

gemeinerungen auf andere Brüche können die Kinder hingegen kaum leisten. Die Pizzenaufgabe war für wenige Kinder zu lösen. Häufig wurden bei mehreren Pizzen lediglich die Pizzen einzeln geteilt, aber nicht mehr als Bruch dargestellt. Die Autoren fordern als Konsequenz ihrer Ergebnisse die Behandlung von Bruchvorstellungen schon in der Grundschule, damit sich keine Fehlvorstellungen verfestigen, die sich in der weiterführenden Schule negativ auswirken könnten.

Weitere Studien, die Unterschiede zwischen diskreten und kontinuierlichen Objekten behandeln, sind beispielsweise bei Lamon (1996) oder Charles/Nason (2000) zu finden. In diesen Studien wird der Fokus auf Verteilungsstrategien von Schülern in noch jüngeren Jahren gerichtet und ihre Strategien in diverse Kategorien eingeordnet, auf die hier nicht explizit eingegangen werden soll, weil dies den Rahmen der Arbeit überschreiten würde.

Watson u.a. (1999) haben Kindern von der Vorschule bis zur vierten Klasse Aufgaben zu diskreten und kontinuierlichen Quanitäten gestellt. Lösungen der Kinder werden hierbei in ein sogenanntes SOLO-Modell eingeordnet, welches fünf verschiedene (sen-sumotorische, ikonische, konkret-symbolische, formale oder post-formale) Stadien beschreibt. Auf eine genaue Beschreibung des SOLO-Modells wird an dieser Stelle verzichtet, weil dies nicht der Hauptanspruch der Arbeit ist und die formalen Grenzen überschritten werden würden. In der Aufgabenstellung sollen die Kinder den Pfannkuchen gerecht auf drei Personen verteilen. Die zweite Aufgabe besteht darin, einen Sack Murmeln zu verteilen. Die Testpersonen erhalten dafür einen Sack Murmeln und bekommen Besuch von drei weiteren Personen, an die die Murmeln ausgegeben werden sollen. Die erste Person bekommt die Hälfte der Murmeln, während die zweite Person noch ein Drittel erhält. Diese Probleme lassen sich nicht in die Grundvorstellung des Anteils einordnen.

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Watson u.a. sortierten nun die Antworten der Schüler in die vorgegebenen Einheiten des SOLO-Modells ein und unterscheiden zwischen ikonischen und symbolischen Schülerlösungen. Anzumerken ist bei einer solchen Vorgehensweise, dass zumindest hinterfragt werden müsse, ob immer alle Lösungsmöglichkeiten zu einer Kategorie passen, die schon im Vorfeld erstellt wurde. Rottmann (2006) fügt in seiner Beobachtung weiterhin dazu an, dass teilweise Kinder anscheinend willkürlich in die Stadien eingeordnet worden seien (vgl. Rottmann 2006, 54f.).

Eine Schlussfolgerung der Autoren aus ihrer Studie ist der bestehende Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Objekten. Während bei diskreten Modellen die Anzahl entscheidend für ein gerechtes Verteilen sei, sei bei kontinuierlichen Modellen die Anzahl am Ganzen und nicht die Zahl selber entscheidend. Auch in meiner Studie kommen diskrete (Äpfel) und kontinuierliche (Pizzen/Kreise) Figuren vor, so dass ich, trotz der Kritik an der Einordnung der Kinder in das SOLO-Modell, Strategien der Kinder mit Strategien in dieser Studie vergleichen kann.

Wartha/Güse (2009) untersuchten in Feldstudien mit 45 Sechstklässlern einer Hauptschule in Ostwestfalen Zusammenhänge zwischen Grundvorstellungen von Bruchzahlen und arithmetischem Grundwissen. Ein Teilaspekt war die Grundvorstellung als Anteil, die mit einer Kreisdarstellung überprüft wurde. Bei dieser Aufgabe sollte ein Übergang von einer ikonischen zu einer symbolischen Darstellungsform stattfinden. Lediglich ein Drittel der Schüler löste die Aufgabe richtig. Wartha/Güse schlossen daraus, dass nur bei einem Drittel die Grundvorstellung als Anteil aktiviert werden könne und sahen Defizite in beiden Richtungen der Übersetzungen zwischen symbolischen und ikonischen Darstellungen (vgl. Wartha&Güse 2009).

Auch Ebneth u.a. (1990) führten Aufgaben zum Anteilsaspekt in Klassen der Jahrgangsstufe 9 durch. Die Autoren schlussfolgerten aus ihrer Untersuchung, dass sich beim Kreismodell für einige Bruchzahlen vielfach feste Vorstellungen als Tortenstücke bildeten, die für einen Umgang in Rechtecks- oder Streckendarstellungen hinderlich seien.

Neumann (1997) untersuchte die beiden Grundvorstellungen nach Padberg und verglich diese miteinander. Außerdem durchleuchtete er den Maßzahlaspekt auf bestimmte Merkmale (Schülerfehler, korrekte Größenvorstellungen). Seine empirische Studie besteht aus einem schriftlichen Test und Einzelinterviews. Der schriftliche Test umfasste 44 Aufgaben, die in einer Zeitstunde gelöst werden sollten. Diese große Anzahl der Aufgaben könnte meiner Ansicht nach zu einem Konzentrationsverlust bei den Schü-

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