Einleitung

Die vorliegende Ausarbeitung beschäftigt sich mit der Spieltheorie und behandelt neben allgemeinen Aspekten dieser mathematischen Disziplin das von John F. Nash begründete Lösungskonzept, das Nash-Gleichgewicht.

Das Nash-Gleichgewicht ist ein Lösungskonzept für nicht-kooperative Spiele, weshalb auch lediglich dieser Zweig der Spieltheorie behandelt wird. In der nicht-kooperativen Spieltheorie sind keine verbindlichen Abmachungen zwischen den Akteuren möglich. Desweiteren ist zu erwähnen, dass es im Rahmen dieser Arbeit nicht möglich ist, ein vollständiges Gerüst der Spieltheorie auszubauen, um das Konzept darzustellen. Es ist aber möglich, mithilfe eines intuitiven Verständnisses und einigen spieltheoretischen Aspekten das Konzept vorzustellen, vor diesem Hintergrund wird das Nash-Gleichgewicht und auch Teilaspekte der Spieltheorie vorgestellt.

Das Wort Spieltheorie wird von vielen Leuten, die zum ersten Mal mit dieser Disziplin in Kontakt treten, falsch verstanden. In diesem Zusammenhang muss erwähnt werden, dass die Spieltheorie eine Wissenschaft ist, die eher aus dem englischen Sprachgebrauch kommt und dort mit „Game Theory“ beschrieben wird. Der Begriff „Game“ ist weniger vieldeutig als der deutsche Begriff „Spiel “. „Game“ deutet eher auf das strategische Spiel ¹ hin (vgl. [1], S. 25).

John Nash ist 1928 in Bluefield, Virginia, geboren. Nash promovierte nach dem Mathematikstudium an der Princeton University. Er galt als ein vielseitig und überaus begabter Mathematiker. 1959 erkrankte Nash an Schizophrenie, konnte die Krankheit aber Mitte der 1980er Jahre besiegen. Seine spannende Lebensgeschichte wurde in dem Oscar prämierten Film „A Beautiful Mind“ im Jahr 2001, verfilmt. Nash war bei der Produktion des Films selbst als Berater tätig (vgl. [2], S. 2). Nashs wichtigste Beiträge sind u. a.: Die Formulierung des Nash-Gleichgewichtes (eine ausführliche Behandlung des Themas erfolgt in Kapitel 2) und die Nash-Verhandlungslösung, die u. a. beschreibt, wie Verhandlungspartner einen gemeinsam erwirtschafteten Mehrgewinn aufteilen können. Darüber hinaus prägte Nash die Unterscheidung von kooperativer und nichtkooperativer Spieltheorie. Bemerkenswert ist auch die Dissertation von Nash, die lediglich aus 32 Seiten bestand, handgeschriebenen Formeln und nur einem Anwendungsbeispiel: Das Spiel Poker. Trotzdem gilt die Arbeit als bahnbrechend. Historisch betrachtet, kann man durchaus behaupten, dass Nash den Grundstein für die Anwendung der Spieltheorie auf realwissenschaftliche Sachverhalte gelegt hat (vgl. [3]).

¹ Glückspiele werden in der Regel mit dem englischen Wort „gamble“ und Kinderspiele mit dem

Wort „play“ beschrieben.

1

Das erste Kapitel gibt einen kleinen Einblick in die Spieltheorie. Es beginnt mit einer Erklärung, was die Spieltheorie ist, anschließend wird ein geschichtlicher Abriss dieser mathematischen Disziplin gegeben, darauf folgend werden einige Anwendungsgebiete erläutert.

Das zweite Kapitel spricht das Nash-Gleichgewicht an, neben allgemeinen Voraussetzung wird erläutert, wie man ein Nash-Gleichgewicht in Normalformspielen findet und warum das Nash-Gleichgewicht so ein wichtiges, universelles Lösungskonzept ist.

1 Die Spieltheorie

1.1 Was ist die Spieltheorie?

Gegenstand der Spieltheorie ist die Analyse von strategischen Entscheidungssituationen, derartige Situationen setzen folgende Aspekte voraus (vgl. [4], S. 1): 1. Das Ergebnis hängt nicht nur von dem eignenen Verhalten, sondern auch von dem Verhalten der anderen Akteure (Mitspieler) ab.

2. Die Entscheidungsträger sind sich dieser wechselseitigen Abhängigkeit bewusst. 3. Jeder Entscheidungsträger geht davon aus, dass alle anderen sich ebenfalls dieser wechselseitigen Abhängigkeit bewusst sind. 4. Jeder Spieler berücksichtigt 1-3 bei seiner Entscheidung. Es werden mathematische Modelle aufgestellt, die bestimmte Aspekte formal und präzise darstellen und dadurch analysiert werden können. Eine Problemstellung wird so modelliert, dass mathematische Verfahren für ein Lösungskonzept angewendet werden können. Begriffe wie Nutzen, Information, Strategie, Auszahlung und Gleichgewicht sind alles Begriffe, die auch in der Alltagssprache Verwendung finden, im Rahmen der Spieltheorie aber präzise definiert sind.

Rieck fasst den Gegenstandsbereich der Spieltheorie sehr prägnant zusammen:

2

1.2 Geschichte

Im Schriftwechsel von Bernoulli und Montmort aus dem Jahr 1713 ist scheinbar die älteste wissenschaftliche Abhandlung über „Spiele“ zu finden. Die ersten formalen spieltheoretischen Grundlagen, die vor allem aus der wirtschaftlichen Perspektive von großer Bedeutung waren, gehen auf Antoine Corunot 1838 zurück (vgl. [2], S. 1). Auch Ernst Zermelo und Emile Borel haben spieltheoretische Analysen betrieben. In dem Artikel „Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels“ von 1913 hat Zermelo bewiesen, dass es bei einer bestimmten Art von Spielen (die sogenannte Nullsummenspiele) mit endlicher Zahl von Strategien und perfekter Information nur eine optimale Strategie gibt. Dame, Schach, Mühle wären typische Beispiele derartiger Spiele. Bis heute wurde allerdings nicht herausgefunden, wie die jeweilige optimale Strategie hierfür aussieht (vgl. [6], S. 4f).

Ende der 20er Jahre entwickelte John von Neumann in dem Buch „Theory of parlor Games“ eine formale Analyse von Gesellschaftsspielen und wandte diese Erkenntnisse später auf wirtschaftliche Fragestellungen an (vgl. [7], S. 4f).

Die Geschichte der Spieltheorie als wissenschaftlich-mathematische Disziplin beginnt schließlich 1944 mit dem Buch „Theory of Games and Economic Behavior“ von Oskar Morgenstern und John von Neumann. Dieses Buch legte den Grundstein der heutigen Spieltheorie, die durch viele Aspekte, Terminologien und Problemstellungen, die die Autoren entwickelten, geprägt ist und somit die Spieltheorie bis in die Gegenwart beeinflusst. Insgesamt ist zu sagen, dass die Entwicklung der Spieltheorie eine spannende Erfolgsgeschichte ist. Berninghaus u. a. stellen fest, dass sie sich von einem „Teilgebiet der ange-wandten Mathematik zu einem mächtigen methodischen Werkzeugkasten für die gesamte ökonomische Theorie wie auch darüber hinaus für andere Sozialwissenschaften entwickelt“ ([8], S. 7) hat.

3