Die reellen Zahlen

Dieses Zitat macht deutlich, daß mit der Definition des Begriffs „Zahl“ alle Regeln der Arithmetik herleitbar sein müssen. Dies macht dann ein Axiomensystem der Arithmetik überflüssig. Den Begriff „ Zahl“ versucht Weierstraß dabei durch die Tätigkeit des Zählens zu verdeutlichen und schließlich zu definieren.

(2.1) Definition. Zählen ist eine Zusammenfassung von Einheiten.

(2.2) Beispiel. Für die Gültigkeit folgender Regeln

hat Weierstraß nur das Argument zur Verfügung, daß in beiden Summen dasselbe Quantum von Einheiten vorhanden ist.

Weierstraß geht mit seiner Definition des Zählens sogar noch weiter, indem er zuläßt, daß auch unendlich viele Einheiten in einer Zahl zusammengefaßt werden können. Man erhält somit folgende Erweiterung obiger Definition:

(2.3) Definition. Zählen besteht aus dem Herausgreifen gleichartiger Dinge bestimmter Beschaffenheit aus einem Aggregat ungleichartiger, die dann in der Vorstellung als bestimmte Vielheit zusammengefaßt werden.

Eine vollständige Anschauung des gesamten Aggregates erhält man, indem man diese Operation auf alle verschiedenen Arten von Dingen anwendet, die das Aggregat enthält. Weierstraß geht aber noch von einem weiteren zentralen Begriff aus:

(2.4) Definition. Unter einer Zahlgröße versteht man eine Zusammenfassung aller bestimmter Vielheiten unter sich gleichartiger Dinge, aus denen das Aggregat besteht. Treten mehrere Einheiten auf, so heißt die Zahlgröße komplex.

∑ a (a n , b n ganze Zahlen) als eine Zahlgröße auffassen mit der (2.5) Beispiel. Man kann beispielsweise n b =1 n n

Begründung, daß die Einheiten

Nach diesen begrifflichen Klärungen beginne ich nun, Weierstraß’ Theorie der positiven reellen Zahlen vorzustellen, die Frage nach der Einordnung der negativen reellen Zahlen in diese Theorie ist sehr technisch und würde den Rahmen des Vortrages sprengen, so daß an dieser Stelle darauf verzichtet wird.

Weierstraß macht zu Beginn seiner Theorie zwei Grundvoraussetzungen:

(1) Alle in einer Zahlgröße auftretenden Einheiten sind positive rationale Zahlen.

(2) Alle auftretenden Anzahlen sind positiv.

Um jedoch den Begriff der „endlichen Zahlgröße“, der dem der reellen Zahl entspricht, einführen zu können, benötigt Weierstraß die folgende Definition:

(2.6) Definition. Eine Zahlgröße z heißt Bestandteil einer Zahlgröße a, wenn jedes Element von z auch Element von a ist.

1 + ist Bestandteil von a = 1 + 1 3 + . 1 1 1 + + (2.7) Beispiel. z = 1 + , aber nicht von a’ = 1 + 4 2 8 4 8 4 2

Mit Hilfe dieses Begriffes ist nun folgende Definition möglich:

(2.8) Definition. Eine aus unendlich vielen Elementen bestehende Zahlgröße soll unendlich heißen, wenn jede beliebige, aus endlich vielen Elementen bestehende in ihr enthalten ist, endlich, wenn es eine Zahlgröße letzterer Art gibt, die nicht in ihr enthalten ist.

Für die oben definierten „endlichen Zahlgrößen“ werden dann, wie gewohnt, Rechenoperationen eingeführt, aus denen dann die Rechenregeln abgeleitet werden. Dabei ist diese Einführung der Operationen unabhängig davon,

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wie die betreffenden Zahlen eingeführt wurden, da die Operationen auf die entsprechenden Operationen und

Regeln in der Menge der rationalen Zahlen zurückgeführt werden.

Um den Begriff der „endlichen Zahlgröße“ nun anwenden zu können, bedient sich Weierstraß dem Prinzip der Intervallschachtelung. Dieses Prinzip ist jedoch schon sehr alt und findet sich bereits bei den Babyloniern, denen es um die Berechnung von Größen durch Näherungswerte ging ² . Weierstraß stellte nun die Wichtigkeit heraus, daß die fortgesetzte Halbierung eines Intervalls (a, a + d) auf eine endliche Zahlgröße führt:

wobei ε i = 0 oder ε i = 1 ist. Auch benutzte Weierstraß das Prinzip der Intervallschachtelung, um seinen bekannten Satz zu beweisen, daß jede unendliche beschränkte Menge reeller Zahlen einen Häufungspunkt hat. So lautet der Satz zumindest in unserem heutigen Sprachgebrauch. Weierstraß formulierte ihn wie folgt:

(2.9) Satz. Eine veränderliche Größe x möge unendlich viele reelle Werte zwischen endlichen Grenzen a, a + d annehmen können; dann gibt es zwischen a und a + d mindestens eine Stelle a’ derart, daß in jeder Umgebung derselben noch Werte vorhanden sind, welche die Veränderliche annehmen kann.

Beweis. Teilt man das Intervall a, a + d in die zwei a, a + ½ d; a + ½ d, a + d, so gibt es in mindestens einem der beiden Intervalle unendlich viele der mö glichen Werte x’;

das erste Intervall derart sei a 1 , a 1 + ½ d; a 1 = a + ε 1

d a 1 , a 1 + in die beiden a 1 , a 1 + ¼ d; a 1 + ¼ d, a 1 + ½ d, so sei hiervon das erste unendlich viele x’ enthaltende

2

a 2 , a 2 + ¼ d; a 2 = a 1 + ε 2 4

d d d d

a n = a + ε 1 2 + ε 2 4 + ... + ε n n . Dabei sind die ε genau bestimmt, wenn die x’ bekannt sind. Dann , a n + n

2 2

kann man von jedem ε sagen, ob es den Wert 0 oder 1 annimmt. Setzt man, was demnach möglich ist,

d d

a’ = a + ε 1 2 + ε 2 4 + ... i.inf,

so ist offenbar:

d

a n ≤ a’ ≤ a n + n ,

2 denn:

d d Die Länge n des Intervalls a n , a n + n kann beliebig klein gemacht werden; man hat also in den so erhaltenen

2 2

Intervallen eine Reihe von Umgebungen des Punktes a’, die beliebig klein gemacht werden können, und von denen jedes unendlich viele Stellen x’ enthält. a’ ist folglich eine Stelle der behaupteten Art, und zwar eine ganz d

bestimmte, da man von jedem Element k angeben kann, ob es einmal vorkommt oder nicht.

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² z.B. Sexagesimalbrüche als Näherungswerte für 2

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Mit G. Cantors (1845 - 1918) Theorie der Fundamentalfolgen entstand eine weitere Definition der reellen Zahlen. Kurz zuvor hatte C. Meray (1835 - 1911), ohne Wissen Cantors, diesen Ansatz zur Definition der irrationalen Zahlen als „ fiktive“ Grenzwerte konvergenter Folgen bzw. als „ nombres incommensurables“ verwendet; hierzu im Verlauf dieses Abschnittes mehr.

Im Unterschied zu Weierstraß hat Cantor, auf den die Beschreibung der reellen Zahlen mit Hilfe von Fundamentalfolgen gründet, zwei Vereinfachungen vorgenommen:

1. Für Cantor genügen zur Erzeugung der reellen Zahlen abzählbare Mengen, also Folgen, rationaler Zahlen, während Weierstraß auch beliebige Mengen zuließ.

2. Durch die Beschränkung auf Folgen wird es möglich, die brauchbaren Folgen durch eine Eigenschaft der Folge selbst zu charakterisieren. Cantor muß also nicht mehr eine Zahl außerhalb der Folge als obere Schranke finden.

Cantor greift den von Weierstraß eingeführten Begriff der Zahlengröße auf. Er spricht jedoch nur dann von einer Zahlgröße, wenn eine unendliche Folge von rationalen Zahlen (1) a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...

vorliegt. Diese hat die Eigenschaft, daß die Differenzen der Folgeglieder a i , 1 ≤ i < ∞, mit wachsenden Indizes beliebig klein werden. Er spricht dann von sogenannten Fundamentalfolgen, die demnach wie folgt definiert sind:

(3.1) Definition. Eine Folge (a n ) rationaler Zahlen heißt Fundamentalfolge oder Cauchysche Folge, wenn es zu jedem ε > 0 einen Index k gibt, so daß für alle m, n > k gilt, daß |a m - a n | < ε ist. (3.2) Definition. Eine solche Folge heißt dann rational konvergent, wenn es eine rationale Zahl b gibt, so daß zu jedem ε > 0 ein Index k existiert mit |a k - b| < ε für alle n ≥ k. Dann ist b eindeutig bestimmt, und man schreibt: b:= lim a n .

Jede rational konvergente Folge ist eine Fundamentalfolge.

(3.3) Beispi el. Es gibt Fundamentalfolgen, welche nicht rational konvergieren. Jeder nichtperiodische Dezimalbruch, wie beispielsweise derjenige für 2 , ist ein Beispiel: b 0 = 1; b 1 = 1,4; b 2 = 1,41; b 3 = 1,414; b 4 = 1,4142; ...

Ein weiteres Beispiel, wo zudem das Bildungsgesetz der Folge angegeben ist, liefert die Kettenbruchentwicklung für das Verhältnis ½ (1 + 5 ) des goldenen Schnittes.

Dieser Kettenbruch ist die durch b 0 = 1, b n+1 = 1 +

Auch über die Gleichheit von zwei gegebenen Fundamentalfolgen macht Cantor eine Aussage: Wenn eine weitere Folge (2) a 1 ’, a 2 ’, a 3 ’, ..., a n ’, ...

gegeben ist mit lim a n ’ = b’, so gilt für die beiden Folgen (1) und (2) immer eine der drei folgenden, sich gegenseitig ausschließenden Beziehungen:

1. a n - a n ’ wird mit wachsendem n unendlich klein,

2. a n - a n ’ ist an einem bestimmten n stets größer als eine positive (rationale) Größe ε,

3. a n - a n ’ ist ab einem bestimmten n stets kleiner als eine negative (rationale) Größe -ε.

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