Kristina  Kuhlmann  

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  2

2  Matrizen - Mathematische Grundlagen.  2

2.1  Definitionen  2

2.2  Rechenoperationen.  4

2.2.1  Addition und Subtraktion.  4

2.2.2  Multiplikation mit einem Skalar  5

2.2.3  Multiplikation zweier Matrizen.  5

2.3  Inverse.  5

3  Anwendungsbeispiele  6

3.1  Bedarfsplanung  6

3.1.1  Beispiel einer einstufigen Produktion  6

3.1.2  Beispiel für einen mehrstufigen Produktionsprozess.  8

3.1.3  Behandlung praxisrelevanter Erzeugnisstrukturen.  9

3.2  Stochastische Prozesse - Markow-Ketten  10

3.2.1  Ein einführendes Beispiel  11

3.2.2  Die Berechnung der Grenzverteilung  12

3.3  Populationsprozesse - Zyklische Prozesse.  13

3.3.1  Ein einführendes Beispiel  14

3.3.2  Aussagen zur Populationsentwicklung  15

4  Zusammenfasung  16

5  Literatur  17

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Kristina Kuhlmann

1 Einleitung

Eine Vielzahl von ökonomischen, technischen bzw. naturwissenschaftlichen Fragestellungen lassen ¹ sich modellhaft durch lineare Gleichungssysteme abbilden. Zur Behandlung solcher

Gleichungssysteme in kompakter Form werden sogenannte Matrizen genutzt. Auch werden oft größere Datenblöcke, die häufig in den Wirtschaftswissenschaften vorkommen, in Matrizenform ² da sich die Beziehungen zwischen den Datenblöcken durch die Schreibweise verarbeitet,

übersichtlicher darstellen und berechnen lassen. Die Bezeichnung Matrizen und das Rechnen mit ³ Die Betrachtung von linearen ihnen führen auf den Mathematiker Arthur Cayley (1821-1895) zurück. ⁴ Gleichungssystemen und Matrizen ist Gegenstand der Linearen Algebra.

Das erste Kapitel soll die mathematischen Grundlagen für das Thema Matrizen schaffen, d.h. die erforderlichen Definitionen zu Matrizen erläutern und die im späteren Verlauf der Arbeit genutzten Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) allgemein sowie an einfachen Beispielen erklären.

Im Hauptkapitel meiner Arbeit stelle ich unterschiedliche Anwendungsbeispiele vor, bei denen Matrizen zur Problembeschreibung und -lösung eingesetzt werden können.

Als erste Anwendung wird ein Ansatz zur Bedarfsplanung als Teilaufgabe der Produktionsplanung untersucht. Zentraler Begriff ist hierbei die Bedarfsmatrix. Die Grundidee des Verfahrens soll anhand verschiedener Beispiele und Fragestellungen dargestellt werden.

Der zweite Anwendungsfall beschäftigt sich mit stochastischen Prozessen. Als besondere Klasse von stochastischen Prozessen sollen für sogenannte Markow-Ketten mit Hilfe der Matrizenrechnung ausgewählte Fragestellungen beleuchtet werden. In diesem Zusammenhang soll der Begriff der Übergangsmatrix eingeführt werden.

Die Untersuchung von Populationsprozessen, die als stochastische zyklische Prozesse zu verstehen sind, dient als letztes Anwendungsfeld von Matrizen. Auch hier sollen mittels eines einführenden Beispiels unterschiedliche Fragestellungen und deren mathematische Lösung vermittelt werden. Zum Abschluss soll als Zusammenfassung eine kurze Bewertung der Anwendungsfälle erfolgen.

2 Matrizen - Mathematische Grundlagen

2.1 Definitionen

m ⋅ geordneten Elementen a ik wird Matrix A genannt. ⁵ „Die Indizes i n Ein rechteckiges Schema von

und k eines Elementes a ik bestimmen den Platz in dem geordneten Schema. Hierbei ist der erste Index i die Zeilennummer und der zweite Index k die Spaltennummer in der das Element steht.

¹ Lineares Gleichungssystem: Ein System linearer Gleichungen, die mehrere unbekannte Größen (Variable) enthalten.

² Holland, Heinrich; Holland, Doris (2006), S. 168f

³ M. Koecher (1997)

⁴ Holland, Heinrich; Holland, Doris (2006), S. 161

⁵ Matrizen werden durch große lateinische Buchstaben bezeichnet.

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Alle Elemente a ik einer Zeile i haben den gleichen Zeilenindex i. Alle Elemente a ik einer Spalte k haben den gleichen Spaltenindex k. So stehen alle Elemente a 2k in der zweiten Zeile und alle Elemente a i3 in ⁶ der dritten Spalte der Matrix A.“ Wenn nicht anderes festgelegt ist, sind Matrizenelemente

§ a a

¨ 12 11

a a ¨ 22 21

¨

¨

a a ©

m m 2 1

m × -Matrix ⁷ n Abb. 1 artig, wenn sie vom selben Typ sind.

Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie das gleiche Format

haben und alle entsprechenden Elementen a ik = b ik übereinstimmen, ⁸ sodass man schreiben kann: A = B. A = B

Stimmen die Zeilenanzahl n und die Spaltenanzahl m überein, liegt

⁹ Die Diagonale einer Matrix verläuft eine quadratische Matrix vor.

von links oben nach rechts unten und besteht somit aus den 10 Elementen a 11 , a 22 , ,a nn .

Eine quadratische Matrix A mit der Eigenschaft a ik = a ki für alle Indexpaare heißt symmetrisch. Für eine symmetrische Matrix gilt: A T = . ¹² A

Man spricht von einer Nullmatrix 0, wenn sämtliche Elemente Null

¹³ sind.

⁶ Larek, Emil (2000), S.27

⁷ Larek, Emil (2000), S.27f

⁸ Feldmann, Dietrich; Kruse, Arian; Merziger, Peter; Mühlbach, Günter; Wirth, Thomas (1985), S.108f

⁹ Freudigmann, Hans u.a. (2009), S.304

¹⁰ Kneis, Gert (2005), S.39

¹¹ Larek, Emil (2000), S.29

¹² Larek, Emil (2000), S.29

¹³ Kamps, Udo; Cramer, Erhard; Oltmanns, Helga (2009), S.229 Seite 3 von 18

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i ≠ gilt, heißt Diagonalmatrix. ¹⁴ ) j für alle Indexpaare mit

Eine Diagonalmatrix mit a ii = 1 für alle i, ist es eine Einheitsmatrix

¹⁵ E.

Matrizen mit nur einer Zeile oder nur einer Spalte werden als Vekto-

¹⁶ EineMatrix, die nur durch eine einzige Spalte ren bezeichnet.

definiert ist, heißt Spaltenvektor. Eine Matrix, die nur durch eine einzige Zeile definiert ist, ist ein Zeilenvektor.

¹⁸ (A, B) von Matrizen heißt verkettet, wenn

Ein Paar die Spaltenzahl der Matrix A gleich der Zeilenzahl der Matrix B, wenn also A von einem Typ (m, p) und B von ¹⁹ (A, B) ist verkettet, (B, A) ist nicht verkettet. einem Typ (p, n) ist.

2.2 Rechenoperationen

2.2.1 Addition und Subtraktion

Addieren und Subtrahieren ist nur für Matrizen des gleichen Typ möglich.

Man addiert zwei Matrizen A und B mitein-ander, indem man die Summe entsprechender Elemente der Matrizen bildet: + = b a s A + B = S ;

ik ik ik

für i =1, 2,…, m und k = 1, 2,…,n

Zwei Matrizen A und B werden subtrahiert, indem die entsprechenden Elemente vonein-ander subtrahiert werden:

− = b a s A - B = S

ik ik ik

i = 1,2,…, m und k = 1,2,…,n

Beim Addieren zweier Matrizen A und B gelten:

• Das Kommuntativgesetz: A + B = B + A

• Das Assoziativgesetz: A + B + C = (A + B) + C = A + (B) + C) ^T = A ^{T +} B ^{T 20} • Bei transponierten Matrizen:: (A + B)

¹⁴ Kneis, Gert (2005), S.41

¹⁵ Luderer, Bernd; Würker, Uwe (2009), S.132

¹⁶ Larek, Emil (2000), S.28

¹⁷ Luderer, Bernd; Würker, Uwe (2009), S.135

¹⁸ Bei einem Paar ist die Reihenfolge im Gegensatz zu einer zwei-elementigen Menge signifikant.

¹⁹ Larek, Emil (2000), S.33

²⁰ Tietze, Jürgen (2005), S.454f Seite 4 von 18