Danksagung

Mein Dank gilt Professor Doktor Sabiwalsky von der Freien-Universität Berlin für die

Betreuung des Themas und seine Hilfe in fachlichen Fragen.

Weiterhin danke ich meinen Eltern, die mir Zeit meines Studiums mit Rat und Tat beiseite

standen.

Für verbleibende Fehler in dieser Arbeit, trage ich natürlich allein die Verantwortung.

Abstract

Seit Ihrer Entstehung im Jahr 2006 erfreuen sich gehebelte sowie inverse Exchange Traded Funds (ETFs) äußerster Beliebtheit und ihr Marktvolumen ist in den letzten Jahren kontinuierlich angestiegen. Gehebelte und inverse ETFs versprechen, wie ihr Name bereits verrät, ein Vielfaches der Tagesrenditen eines Basisindexes. Investoren sehen in ihnen deshalb ein kapitalschonendes und einfaches Instrument, an den Gewinnen aber auch Verlusten eines Referenzportfolios zu verdienen. Gerade in jüngster Vergangenheit mussten Investoren aber feststellen, dass die kumulierten Renditen dieser Fonds langfristig teils erheblich von den vervielfachten Renditen der Basisindizes des gleichen Zeitraumes abwichen. Auf den ersten Blick könnte für die schlechte Performance ein vermeintlich hoher Tracking Error verantwortlich sein. Der Tracking Error ist Anlegern ein Indikator dafür, wie gut ein Fonds seinen Basiswert repliziert. Dennoch ist der Tracking Error dieser Fonds verhältnismäßig gering und es ist vielmehr die Ausgestaltung dieser Fonds selbst, die langfristig zu einer hohen Renditeabweichung führen kann.

Die vorliegende Diplomarbeit erklärt die Funktionsweise gehebelter und inverser ETFs und analysiert außerdem die langfristigen Renditeaussichten dieser ETFs. Dabei wird insbesondere auf den Zusammenhang der langfristigen Performance dieser ETFs und der langfristigen Performance der Basisindizes eingegangen. Darüber hinaus wird gezeigt, wie für die Prozesse der Basisindizes dieser Fonds ARMA-GARCH Modelle angepasst werden können, um den langfristigen Zusammenhang der Renditen in einer empirisch getreuen Umgebung genauer zu untersuchen.

Inhaltsverzeichnis

1  Einführung  1

2  Prinzipielle Funktionsweise und Indexberechnung  7

2.1  Indexberechnung gehebelter ETFs  7

2.1.1  Indexberechnung eines positiv gehebelten ETF  7

2.1.2  Indexberechnung eines inversen ETF  8

2.2  Methoden der Replikation eines Indexes  9

2.2.1  Implikationen der Replikationsmethode auf den Tracking Error  11

3  Langfristige vs. kurzfristige Renditen  13

4  Auswirkung der Tagegeldzinsen und des Tracking Errors auf die Renditen  

gehebelter  und inverser ETFs  17

4.1  Auswirkung der Zinssätze auf Indexebene  17

4.2  Auswirkung des Tracking Errors auf Fondsebene  19

4.3  Signifikanz für die täglichen Renditen der ETFs  21

5  Produktion und Effekt der Aufzinsung von täglich vervielfachten Renditen  25

5.1  Tägliche Anpassung des Investitionsvolumens im Fonds.  25

5.2  Performance gehebelter und inverser ETFs in verschiedenen Marktphasen  28

5.2.1  Performance inverser und gehebelter ETFs einem trendigem Markt  31

5.2.2  Gehebelte und inverse ETFs in einem Marktumfeld ohne Trend und  

geringer  Volatilität  32

5.2.3  Performance gehebelter und inverser ETFs in einer stagnierender, stark  

volatiler  Kurse  33

5.2.4  Marktzyklen und die Performance gehebelter ETFs  34

5.2.5  Fazit  35

5.3  Langfristiger Zusammenhang zwischen einem gehebelten ETF und seinem  

Basisindex.   36

5.3.1  Das Modell  37

5.3.1.1  Ökonomische Interpretation  43

5.3.1.2  Eignung gehebelter ETFs für eine Langzeitinvestition  44

5.3.1.3  Der optimale Hebel eines ETF  48

i

5.3.1.4  Das Modell in der Empirie  50

6  Modellierung der langfristigen Renditen von gehebelten ETFs der Deutschen Bank  56

6.1  Daten Methodologie  58

6.1.1  Schätzung der Modellgleichungen  59

6.1.1.1  Erster Schritt: Schätzung des ARMA(p,q)-Modells  60

6.1.1.2  Zweiter Schritt: Anpassung der ARMA-GARCH(1,1)-Modelle.  63

6.1.2  Simulation der Renditen für die ETFs  67

6.1.2.1  Erzeugung der Zeitreihen der Tagesrenditen für die Basisindizes  68

6.1.2.2  Erzeugung der Zeitreihen für die ETFs  69

6.1.3  Auswertung  69

6.1.3.1  Performancedifferenz zwischen einem gehebelten ETF und einem statisch  

gehebelten  Fonds  73

6.1.3.2  Langfristig realisierte Hebelwerte der simulierten Zeitreihen  76

6.1.3.3  Test des theoretischen, langfristigen Zusammenhangs der Renditen eines  

gehebelten  ETF und der Renditen seines Basisindexes  77

7  Zusammenfassung und Schlussfolgerungen  82

8  Appendix  85

8.1  Langfristige Renditen eines gehebelten ETF vs. langfristige Renditen eines  

statischen  Fonds  85

8.2  Performancedifferenzen zwischen den Fonds der Deutschen Bank und ihrem  

jeweiligen  Referenzindex  85

8.2.1  Renditeabweichungen der zweifach gehebelten ETFs  86

8.2.2  Renditeabweichungen der einfach inversen ETFs  87

8.2.3  Renditeabweichungen der zweifach inversen ETFs.  88

8.3  Streudiagramme des DAX Regression  89

8.4  Verteilung und Logarithmierung täglicher Renditen  91

8.4.1  Interpretation logarithmierter Renditen  92

8.5  Gegenüberstellung der Methoden zur Identifizierung eines ARMA(p,q)-  

Modells   93

8.6  Output der Schätzung eines ARMA(p,q)-Modells am Beispiel des DAX  94

8.7  Verteilungen der simulierten ein-Jahres Renditen der Indizes  95

ii

8.8  Verteilung der standardisierten Residuen nach Anpassung der ARMA-  

GARCH  -Modelle  96

8.9  Performancedifferenzen zwischen den gehebelten ETFs und den Basisindizes  97

8.9.1  Performancedifferenz der Renditen der gehebelten ETFs und der  

implizierten  Renditen eines statisch gehebelten Fonds  97

8.9.2  Realisierte Hebelwerte der simulierten Werte für die langfristigen Renditen  

eines  ETF  99

8.9.2.1  DAX  100

8.9.2.2  FTSE 100  101

8.9.2.3  Euro STOXX 50  102

8.9.2.4  S P 500  103

8.9.3  Untersuchung der Faktoren die zu einer Performancedifferenz führen  104

8.9.4  Untersuchung der Faktoren die zu unterschiedlichen Hebelwerten aus  8.9.2

f  ühren  105

8.9.5  Test des Modells ohne Aufnahme eines Terms für die Autokovarianzen  106

8.9.6  Test des Modells mit Aufnahme eines Terms für die Autokovarianz erster  

Ordnung   108

Literaturverzeichnis   110

iii

Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

Abbildung 1: Renditedifferenzen zwischen einem Index und zweier Fonds mit unterschiedlicher

Replikationsmethode ........................................................................................................................... 12

Abbildung 2: Die kumulierten Renditen des zweifach gehebelten und zweifach invers gehebelten ETF des

S&P500’s der Deutschen Bank und dem S&P 500 Index (09.10.2007 - 29.09.2010)

............................................................................................................................................................ 15

Abbildung 3: Gegenüberstellung verschiedener Tagesgeldzinssätze. Aufgeführt ist eine Historie der EONIA-

Zinssätze, der SONIA-Zinssätze und der USD-LIBOR-Zinssätze (01.01.1999 - 08.01.2010)

............................................................................................................................................................ 18

Abbildung 4: Die historische Kursentwicklung der Basisindizes der zu modellierenden LETFs (01.01.2007 -

15.12.2010).......................................................................................................................................... 59

Abbildung 5: Kumulierte Renditeabweichung des zweifach gehebelten ETF des DAX von seinem Referenzindex .......... 86

Abbildung 6: Kumulierte Renditeabweichung des zweifach gehebelten ETF des Euro STOXX 50 von seinem

Referenzindex ...................................................................................................................................... 86

Abbildung 7: Kumulierte Renditeabweichung des zweifach gehebelten ETF des S&P 500 von seinem Referenzindex .... 86

Abbildung 8: Kumulierte Renditeabweichung des zweifach gehebelten ETF des FTSE 100 von seinem

Referenzindex ...................................................................................................................................... 86

Abbildung 9: Kumulierte Renditeabweichung des einfach inversen ETF des DAX von seinem Referenzindex ................. 87

Abbildung 10: Kumulierte Renditeabweichung des einfach inversen ETF des Euro STOXX 50 von seinem

Referenzindex ...................................................................................................................................... 87

Abbildung 11: Kumulierte Renditeabweichung des einfach inversen ETF des S&P 500 von seinem Referenzindex ......... 87

Abbildung 12: Kumulierte Renditeabweichung des einfach inversen ETF des FTSE 100 von seinem Referenzindex ........ 87

Abbildung 13: Kumulierte Renditeabweichung des zweifach inversen ETF des DAX von seinem Referenzindex ............. 88

Abbildung 14: Kumulierte Renditeabweichung des zweifach inversen ETF des Euro STOXX 50 von seinem

Referenzindex ...................................................................................................................................... 88

Abbildung 15 Kumulierte Renditeabweichung des zweifach inversen ETF des S&P 500 von seinem Referenzindex ....... 88

Abbildung 16: Streudiagramm der täglichen Renditen des DAX (x-Achse) und der täglichen Renditen des ShortDAX

Daily ETF .............................................................................................................................................. 89

Abbildung 17: Streudiagramm der täglichen Renditen des DAX (x-Achse) und der täglichen Renditen des LevDAX

Daily ETF .............................................................................................................................................. 89

Abbildung 18: Streudiagramm der täglichen Renditen des DAX (x-Achse) und der täglichen Renditen des ShortDAX

x2 Daily ETF .......................................................................................................................................... 90

Abbildung 19: Verteilung der nicht-logarithmierten Tagesrenditen des DAX (16.12.2009 - 15.12.2010) ........................ 91

Abbildung 20: Verteilung der logarithmierten Tagesrenditen des DAX (16.12.2009 - 15.12.2010) ................................. 91

Abbildung 21: EViews-Output der Regressionsgleichung nach der Anpassung eines ARMA(2,2)-Modells für die

logarithmierten Tagesrenditen des DAX ................................................................................................ 94

Abbildung 22: Verteilung der simulierten 252-tägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH-Modells für den

DAX ..................................................................................................................................................... 95

Abbildung 23: Verteilung der simulierten 252-tägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH-Modells für den

FTSE 100 .............................................................................................................................................. 95

Abbildung 24: Verteilung der simulierten 252-tägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH-Modells für den

Euro STOXX 50 ..................................................................................................................................... 95

Abbildung 25: Verteilung der simulierten 252-tägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH-Modells für den

S&P 500 ............................................................................................................................................... 95

Abbildung 26: Verteilung der standardisierten Residuen der Regressionsschätzung des DAX nach der Anpassung

des ARMA-GARCH-Modells ................................................................................................................... 96

Abbildung 27: Verteilung der standardisierten Residuen der Regressionsschätzung des FTSE 100 nach der

Anpassung des ARMA-GARCH-Modells ................................................................................................. 96

Abbildung 28: Verteilung der standardisierten Residuen der Regressionsschätzung des Euro STOXX 50 nach der

Anpassung des ARMA-GARCH-Modells ................................................................................................. 96

Abbildung 29: Verteilung der standardisierten Residuen der Regressionsschätzung des S&P 500 nach der

Anpassung des ARMA-GARCH-Modells ................................................................................................. 96

Abbildung 30: Streudiagramm der 21-tägigen Renditen des DAX (x-Achse) und der Renditeabweichung zwischen

Abbildung 31: Streudiagramm der 21-tägigen Varianz des DAX (x-Achse) und der Renditeabweichung zwischen

zweifach gehebelten ETF und statischen Fonds (y-Achse) .................................................................... 104

Abbildung 32: Streudiagramm der 252-tägigen Renditen des DAX (x-Achse) und der Renditeabweichung zwischen

zweifach gehebelten ETF und statischen Fonds (y-Achse) .................................................................... 105

Abbildung 33: Streudiagramm der 252-tägigen Varianz des DAX (x-Achse) und der Renditeabweichung zwischen

zweifach gehebelten ETF und statischen Fonds (y-Achse) .................................................................... 105

Abbildung 34: Streudiagramm der 21-tägigen Renditen des DAX (x-Achse) und den realisierten Hebelwerten des

zweifach gehebelten Fonds (y-Achse) ................................................................................................. 106

Abbildung 35: Streudiagramm der 21-tägigen Varianz des DAX (x-Achse) und den realisierten Hebelwerten des

zweifach gehebelten Fonds (y-Achse) ................................................................................................. 106

Abbildung 36: Streudiagramm der 252-tägigen Renditen des DAX (x-Achse) und den realisierten Hebelwerten des

zweifach gehebelten Fonds (y-Achse) ................................................................................................. 106

Abbildung 37: Streudiagramm der 252-tägigen Varianz des DAX (x-Achse) und den realisierten Hebelwerten des

zweifach gehebelten Fonds (y-Achse) ................................................................................................. 106

Als Datenquelle wurde außer für die selbst simulierten Daten ausnahmslos Bloomberg genutzt. Dies betrifft alle Daten der Indi zes, ETFs

und Tagesgeldzinssätze. Die Graphen wurden in EViews und Excel erstellt.

Tabelle 1: Übersicht der 2-fach gehebelten und 2-fach inversen Produkte von db x-trackers ........................................ 17

Tabelle 2: Marktbewegungen und Anpassung eines dreifach gehebelten ETF ............................................................... 27

Tabelle 3: Marktbewegungen und Anpassung eines doppelt inversen ETF ................................................................... 27

Tabelle 4: Performance eines zweifach gehebelten und zweifach inversen ETF in einer stetig steigenden

Marktphase ......................................................................................................................................... 31

Tabelle 5: Performance eines zweifach gehebelten und zweifach inversen ETF in einer stetig fallenden Marktphase .... 31

Tabelle 6: Performance eines zweifach gehebelten und zweifach inversen ETF in einer stagnierenden Marktphase

geringer Volatilität ............................................................................................................................... 32

Tabelle 7: Performance eines zwiefach gehebelten und zweifach inversen ETF in einer stagnierenden Marktphase

hoher Volatilität ................................................................................................................................... 33

Tabelle 8: Performance eines doppelt gehebelten bzw. doppelt inversen ETF in einem Marktzyklus ............................. 34

Tabelle 9: Geschätzte ARMA-Modellgleichungen für die logarithmierten Renditen der Basisindizes ............................. 62

Tabelle 10: Simulation der Performance eines Assets mit einer weniger extremen und einer extremeren Verteilung

aber gleichem Erwartungswert der Renditen ........................................................................................ 64

Tabelle 11: Verteilungseigenschaften der simulierten mehrtägigen Renditen des DAX ................................................. 71

Tabelle 12: Verteilungseigenschaften der simulierten mehrtägigen Renditen des FTSE 100 .......................................... 71

Tabelle 13: Verteilungseigenschaften der simulierten mehrtägigen Renditen des Euro STOXX ...................................... 72

Tabelle 14: Verteilungseigenschaften der simulierten mehrtägigen Renditen des S&P 500 ........................................... 72

Tabelle 15: Gegenüberstellung der jährlichen Verwaltungsgebühren und der durch die Fortschreibung

berechneten Renditeabweichungen des Fonds ..................................................................................... 87

Tabelle 16: Gegenüberstellung der jährlichen Verwaltungsgebühren und der berechneten Renditeabweichungen

und implizierten Leihgebühren des Fonds ............................................................................................. 88

Tabelle 17: Gegenüberstellung der jährlichen Verwaltungsgebühren und der durch die Fortschreibung

berechneten Renditeabweichungen und implizierten Leihgebührendes Fonds ...................................... 89

Tabelle 18: Regressionsgleichungen der täglichen Renditen der LETFs und der täglichen Renditen der Basisindizes ...... 90

Tabelle 19: Anpassung eines ARMA-Modells am Beispiel der Tagesrenditen des DAX mithilfe von

Informationskriterien nach der Methode von BROOKS ............................................................................ 93

Tabelle 20: Renditeabweichungen der simulierten mehrtägigen Renditen der gehebelten ETFs von den Renditen

eines theoretisch statisch gehebelten Fonds für den DAX ...................................................................... 97

Tabelle 21: Renditeabweichungen der simulierten mehrtägigen Renditen der gehebelten ETFs von den Renditen

eines theoretisch statisch gehebelten Fonds für den FTSE 100............................................................... 98

Tabelle 22: Renditeabweichungen der simulierten mehrtägigen Renditen der gehebelten ETFs von den Renditen

eines theoretisch statisch gehebelten Fonds für den Euro STOXX 50 ...................................................... 98

Tabelle 23: Renditeabweichungen der simulierten mehrtägigen Renditen der gehebelten ETFs von den Renditen

eines theoretisch statisch gehebelten Fonds für den S&P 500 ............................................................... 99

Tabelle 24: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des einfach inversen ETF für den DAX .......................... 100

Tabelle 25: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach gehebelten ETF für den DAX .................... 100

Tabelle 26: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach inversen ETF für den DAX ........................ 100

Tabelle 27: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des einfach inversen ETF für den FTSE 100 ................... 101

Tabelle 28: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach gehebelten ETF für den FTSE 100............. 101

v

Tabelle 29: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach inversen ETF für den FTSE 100 ................. 101

Tabelle 30: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des einfach inversen ETF für den Euro STOXX 50 .......... 102

Tabelle 31: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach gehebelten ETF für den Euro STOXX 50 .... 102

Tabelle 32: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach inversen ETF für den Euro STOXX 50 ........ 102

Tabelle 33: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des einfach inversen ETF für den S&P 500 .................... 103

Tabelle 34: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach gehebelten ETF für den S&P 500 ............. 103

Tabelle 35: Verteilung der langfristig realisierten Hebelwerte des zweifach inversen ETF für den S&P 500 .................. 103

Tabelle 36: Test des langfristigen Zusammenhangs zwischen den Renditen gehebelter ETFs und den Renditen und

der Varianzen der Basisindexes für den DAX ....................................................................................... 107

Tabelle 37: Test des langfristigen Zusammenhangs zwischen den Renditen gehebelter ETFs und den Renditen und

der Varianzen der Basisindexes für den FTSE 100 ................................................................................ 107

Tabelle 38: Test des langfristigen Zusammenhangs zwischen den Renditen gehebelter ETFs und den Renditen und

der Varianzen der Basisindexes für den Euro STOXX 50 ....................................................................... 107

Tabelle 39: Test des langfristigen Zusammenhangs zwischen den Renditen gehebelter ETFs und den Renditen und

der Varianzen der Basisindexes für den S&P 500 ................................................................................. 108

Tabelle 40: Test des langfristigen Zusammenhangs für den DAX unter der Einbeziehung der Autovarianz erster

Ordnung als erklärende Variable......................................................................................................... 108

Tabelle 41: Test des langfristigen Zusammenhangs für den FTSE 100 unter der Einbeziehung der Autovarianz erster

Ordnung als erklärende Variable......................................................................................................... 109

Tabelle 42: Test des langfristigen Zusammenhangs für den Euro STOXX 50 unter der Einbeziehung der Autovarianz

erster Ordnung als erklärende Variable ............................................................................................... 109

Tabelle 43: Test des langfristigen Zusammenhangs für den S&P 500 unter der Einbeziehung der Autovarianz erster

1 Einführung

Seit der Einführung des ersten Exchange Traded Fund (im Folgenden ETF), dem Standard & Poor's Depository Receipt, durch State Street Global Advisors, widerfährt dieser Anlageform ein ungeheures Wachstum. Das rasante Wachstum dieser Anlageform ist sicherlich zu großen Teilen der Forschung und Erkenntnis zu verdanken, dass aktiv gemanagte Fonds hinsichtlich der Performance nach Abzug der Kosten nur unsystematisch vergleichbare passiv gemanagten Fonds (bzw. Indizes) mit gleicher Risikostruktur schlagen.

Beschleunigt wurde das Wachstum außerdem durch die Lehren aus der im Jahr 2007 einsetzenden Finanzkrise und dem damit verbundenen Vertrauensverlust vieler Investoren in alternative aktive aber auch passive Anlageformen wie z.B. Zertifikate. Die Finanzkrise stärkte außerdem das Bedürfnis vieler privater Investoren in ihre

Investmententscheidungen stärker eingebunden zu werden und diese nicht einfach an einen Zweiten abzugeben (z.B. an eine Bank oder einen Fonds bzw. Fondsmanager).

Traditionelle ETFs entsprechen in vielerlei Hinsicht den Bedürfnissen der oben beschriebenen Investorengruppe. Sie haben das Ziel das Rendite-Risiko-Profil breit diversifizierter Portfolien möglichst genau und in einer möglichst Steuer-effizienten Form widerzuspiegeln. ETFs sind - wie ihr Name impliziert - börsennotiert. Dadurch sind sie wie herkömmliche Aktien ganztägig handelbar. Die zugrundeliegenden Indizes dieser

ETFs waren ursprünglich zumeist rein indikativer ¹ Natur, sprich die Fonds konnten passiv gemanagt werden und mussten nur selten angepasst werden, was mit relativ niedrigen Verwaltungsgebühren einherging. Um die Anlagepräferenzen verschiedener Investorengruppen zu bedienen, gibt es mittlerweile börsengehandelte ETFs auf Portfolien unterschiedlichster Art. Zugrundeliegende Indizes oder Baskets an Wertpapieren von börsengehandelten Fonds umfassen mittlerweile verschiedene Anlageklassen (vorwiegend Aktien, Anleihen und Rohstoffe), lokale Segmente (Länder, Regionen, etc.) und Wirtschaftssektoren (Banken, Immobilien, etc.).

¹ Indikativ meint in diesem Zusammenhang einen Index (Benchmark) der nur zum Ziel hat die Performance

eines Portfolios zu messen, dieses aber nicht zu optimieren. Es wäre natürlich auch vorstellbar einen Index

aktiver Natur zu errechnen, dieser würde allerdings nicht nur einen Benchmark für eine vorher bestimmtes

Portfolio darstellen sondern auch für die Investmentstrategie die in die Berechnung mit einfließt. Ein Beispiel

eines rein indikativen Indexes wäre z.B. der DAX, der die Performance der 30 größten Unternehmen

Deutschlands misst.

1

Dank ihrer Popularität und des starken Anstiegs des verwalteten Vermögens im Bereich der ETFs, zog dieser Markt immer mehr Anbieter (diese sind ausschließlich Vermögensverwalter und Banken) auf sich. Der starke Konkurrenzdruck auf dem Markt hat in jüngster Vergangenheit dafür gesorgt, dass sich eine immer größer werdende Produktvielfalt an börsengehandelten Fonds auf dem Markt wiederfindet. Im Zuge der Suche nach neuen Produkten und der Werbung um Kunden, entwickelten Anbieter immer neuere Produkte unter dem Deckmantel eines Exchange Traded Funds. Unter ihnen befinden sich immer komplizierter werdende Produkte derivativer oder gar strukturierter Art. Dadurch sind die Produkte zuweilen nicht mehr so passiv und transparent wie es ihre ursprüngliche Investmentphilosophie vorsieht.

Trotzdem beziehen sich ETFs meist nach wie vor auf die Performance eines

Referenzindex. ² Im Grunde genommen gilt es also immer noch einen Index möglichst genau zu replizieren. Die Aufgabe der Indexberechnung übernimmt meistens ein unabhängiger Indexanbieter (der Indexsponsor). Der Fonds erscheint dadurch als transparent in der Berechnung und als passives Investmentvehikel. Es sind jedoch die Indizes selbst die längst nicht mehr rein indikativer Natur sind. Einige Indizes implizieren ein Management aktiver Art. Vereinzelt treten deshalb auch Indizes auf, die in ihrer Funktion ausschließlich als Referenzindex für einen ETF dienen.

So entstanden in jüngster Vergangenheit ETFs, die Indizes abbilden, welche in ihrer Berechnung alternativen Vermögensformen gleichen. Ein relativ prominentes Beispiel stellt der db Hedge Fund Index ETF der Deutschen Bank dar, der im Produktangebot ³ explizit unter der Kategorie „Alternativ“ aufgeführt wird. Er bezieht sich auf den gleichnamigen Index, der in diesem Fall eigens von der Deutschen Bank kreiert worden ist und sich an der Entwicklung ausgewählter Hedge-Fonds der Deutschen Bank Plattform orientiert.

Die Innovationsfreudigkeit der Anbieter brachte im Jahr 2006 den ersten inversen (engl.: short) und gehebelten ETF durch ProShares hervor. Viele andere ETF-Anbieter zogen

² Referenzindex und Basisindex werden in dieser Arbeit mit unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Wie in

Kapitel 2.1 deutlich wird, wird in der Regel für jeden ETF ein eigener Index berechnet, der als Benchmark

des jeweiligen Indexes dient. Im Falle gehebelter ETFs beinhaltet dieser Index bereits die gehebelten

Renditen und Teile der Kosten. Der Referenzindex bezeichnet im Folgenden, denjenigen Index der die

gehebelten Renditen enthält, z.B. den LevDax. Während sich der Basisindex auf den zugrundeliegenden

Index bezieht, in diesem Fall der z.B. der DAX.

³ Eine Übersicht aller ETFs der Deutschen Bank ist unter

(http://www.etf.db.com/DE/pdf/DE/overallfactsheet/overallfactsheet.pdf) erhältlich. (Letzter Aufruf

05.01.2011)

2

nach, weshalb mittlerweile ein großes Sortiment von inversen und gehebelten ETFs auf dem Markt verfügbar ist. Die neuen ETFs erfreuten sich schnell großer Beliebtheit unter institutionellen aber auch privaten Investoren. Wie die ganze ETF Branche, erfreute sich auch diese Sparte eines schnellen Wachstums. Dies war sicherlich nicht zuletzt dem sehr volatilen, zuweilen sehr pessimistisch geprägten Marktumfeld zu verdanken. Dieses barg, vorausgesetzt es gelang dem Investor einen Trend frühzeitig zu erkennen, unter Anwendung des richtigen Hebels die Aussicht auf außerordentlich hohe Renditen.

Gehebelte und inverse ETFs versprechen eine Rendite, die dem positiven bzw. negativen

Vielfachen der Tagesrenditen eines Basisportfolios entspricht. ⁴ Sie stellen also eine Produktklasse dar, die unter dem Einsatz geringen Kapitals außerordentlich hohe Renditen erwirtschaften kann. In der Tat werden diese Produkte überwiegend von kurzfristig orientierten institutionellen oder privaten Anlegern genutzt. Neben der Chance an bestimmtgerichteten Marktbewegungen übermäßig zu profitieren, bieten sie Investoren außerdem die Möglichkeit Vermögenspositionen in einer kapitalschonenden Art und Weise abzusichern (engl.: hedging).

Unter manchen privaten Investoren erfreuen sich diese ETFs sicherlich auch deshalb großer Beliebtheit, weil das Produkt „alle“ Eigenschaften eines herkömmlichen ETFs suggeriert. Diese sind ihrer Anlageform nach oft passiver Natur und wie herkömmliche Aktien an den Börsen ganztägig handelbar. Darüber hinaus bieten gehebelte ETFs eine Alternative zu vermeintlich komplizierteren Investitionsprodukten derivativer Art wie z.B. Swaps, Optionen und Futures. Nicht zuletzt ist der maximale Verlust eines gehebelten

ETFs auf das eingesetzte Kapital beschränkt. 5

Trotz der hohen Akzeptanz auf die gehebelte und inverse ETFs bei Investoren gestoßen sind, sind sich viele - oft sogar professionelle - Anleger darüber im Unklaren, welche Renditen mit diesen Wertpapieren langfristig zu erwirtschaften sind. Empirisch hat sich herausgestellt, dass die kumulierten Renditen (d.h. drei Monate, ein Jahr oder mehr) dieser Fonds langfristig erheblich von den mit dem Hebelfaktor gewichteten Renditen ihrer Basisindizes abweichen können (siehe z.B. LU ET AL. 2009). Laut einer Studie von

AVELLANEDA & ZHANG (2009) ⁶ waren im Jahr 2008 die vierteljährlichen Renditen fast

⁴ Natürlich ist es auch vorstellbar ein Vielfaches der Performance eines anderen Bezugszeitraumes zu liefern,

z.B. monatlicher Renditen. Es gibt bereits einige wenige Produkte die dieses tun, fast alle Produkte beziehen

sich aber auf Tagesrenditen.

⁵ Vgl. Kapitel 5.3

⁶ AVELLANEDA & ZHANG (2009, S. 2)

3

aller gehebelten ETFs niedriger als die theoretischen Renditen einer statisch gehebelten ⁷ Position in dem gleichen Basisindex. Ein unaufgeklärter Anleger mag deshalb irrtümlicher

Weise dazu geneigt sein, gehebelten ETFs einen sehr hohen Tracking Error ⁸ zu unterstellen. ⁹ Durchaus kann es im Laufe der Zeit zu Performancedifferenzen zwischen einem ETF und seinem Referenzindex kommen, dieser ist im Falle gehebelter ETFs aber vergleichsweise gering. Der langfristige Renditeunterschied zwischen einem gehebelten ETF und einer statisch gehebelten Vermögensposition des Basisindexes ist vielmehr ein Ergebnis des Produktdesigns selbst. Der Verdacht eines sehr hohen Tracking Errors seitens vieler Investoren zeugt also von der Fehlinterpretation der Funktionsweise dieser Fonds.

Viele Anbieter dieser ETFs weisen deshalb explizit darauf hin, dass ein ETF im Regelfall nur kurzfristig einen bestimmten Hebelwert der Basisrenditen liefern wird. ¹⁰ Die hier vorliegende Diplomarbeit widmet sich der genaueren Funktionsweise gehebelter und inverser ETFs und untersucht, welche Renditen diese Fonds langfristig liefern.

Die Gliederung dieser Diplomarbeit ist wie folgt: Kapitel 2 liefert eine Erklärung über die prinzipielle Funktionsweise gehebelter und inverser ETFs. Dabei wird insbesondere auf die Berechnung des Referenzindexes eingegangen. Dieser enthält bereits die mit dem Hebelfaktor gewichteten Renditen des Basisindexes und wesentliche Kosten, die zumindest theoretisch bei der Erzeugung gehebelter und inverser ETFs entstehen. Außerdem wird erläutert, welche Annahmen der Index darüber trifft, in welcher Art und Weise die Renditen des Basisindexes vervielfacht werden.

Darauf folgend wird kurz umrissen, welche Replikationsmethoden dem Fonds zur Erzeugung der Renditen des Referenzindexes zur Verfügung stehen (Kapitel 2.2). Diese

⁷ Eine statisch gehebelte Vermögensposition meint ein Investitionsprodukt, welches den versprochenen

Hebel nicht auf Tagesbasis liefert sondern über den ganzen Referenzzeitraum oder die Haltedauer des ETFs

(vgl. Appendix 8.1).

⁸ Der Tracking Error berechnet sich aus der Varianz der Differenzrendite zwischen einem ETF und seinem

Referenzindex. Somit liefert der Tracking Error eine Güte-Kennzahl, inwieweit der ETF tatsächlich der Spur

des Referenzindexes folgen kann. Optimaler Weise ist diese Zahl null.

Ein hoher Tracking Error ist nicht zwangsweise gleichbedeutend mit einer hohen Renditeabweichung

zwischen Fonds und Referenzindex. Trotzdem unterstellen wir in dieser Arbeit, dass der Tracking Error eine

repräsentative Kennzahl für die Renditeabweichung darstellt. Wenn also von einem hohen Tracking Error die

Rede ist, unterstellen wir eine hohe Renditeabweichung vom Referenzindex, die durch Kosten oder andere

Friktionen zustande kommt.

⁹ Das teils auch Kenner der Branche fälschlicher Weise einen derartigen Tracking Error unterstellen bezeugt

ein Artikel von HELGE KIEFER (Begründer der boersenreport.de AG) auf

(http://www.etf-indexfonds.de/hebel-etfs-nicht-ohne-probleme). (Letzter Aufruf 05.01.11)

¹⁰ Die Deutsche Bank beispielsweise hat viele ihrer gehebelten und inversen ETFs mit dem Zusatz

„leveraged daily“ bzw. „short daily“ versehen.

4

stellt einen nicht unerheblichen Faktor für die Höhe der Renditedifferenz zwischen Referenzindex und dem ETF dar.

Intuitiv könnte man vermuten, dass ETFs auch langfristig die mit dem Hebelfaktor gewichteten Renditen des Basisindexes liefern. Dass dem nicht so ist, zeigt ein Fallbeispiel eines zweifach positiven und inversen ETF des S&P 500’s in einem Beobachtungszeitraum von einem Jahr (Kapitel 3). Beide Indizes hatten eine deutlich schlechtere Performance, als es der Fall gewesen wäre, wenn die Produkte dazu im Stande gewesen wären auch langfristig den Hebelwert des Basiswertes zu liefern. Zwar wird in dieser Diplomarbeit in empirischen Fragestellungen überwiegend auf die gehebelten ETFs der Deutschen Bank Bezug genommen, dennoch waren die verhältnismäßig niedrigen Renditen zu Zeiten der Finanzkrise sinnbildlich für viele gehebelte ETFs anderer Banken (vgl. AVELLANEDA & ZHANG 2009).

Kapitel 4 erörtert deshalb, welche Höhe die Kosten und die durch die Konstruktion der ETFs hervorgerufene Renditedifferenz langfristig typischerweise haben werden. Die Kosten sind für den langfristig orientierten Investor durchaus relevant, dennoch liegen die täglichen Renditen der Fonds der Deutschen Bank sehr nahe am erklärten Renditeziel. Das legt den Schluss nahe, dass die Kosten und der Tracking Error nicht alleine für die Performancedifferenz verantwortlich sein können.

Um auch langfristig ein Vielfaches der täglichen Renditen eines Basisindexes zu erzeugen, muss ein Fonds theoretisch täglich Anpassungen im Investitionsvolumen vornehmen. Es wird deshalb beschrieben, wie die Anpassungen des investierten Vermögens in einem Index durchgeführt werden (Kapitel 5.1). Die Anpassungen erklären außerdem, warum es langfristig zu einer Performancedifferenz zwischen einem gehebelten ETF und einem statisch gehebelten Fonds kommen muss, der diese Anpassungen nicht durchführt.

Die Renditeabweichungen müssen sich aber nicht unbedingt nur negativ auf die langfristigen Renditen gehebelter und inverser ETFs auswirken. In Abschnitt 5.2 identifiziere ich bestimmte Eigenschaften von Marktphasen, in denen mithilfe dieser Produkte außerordentlich hohe Renditen erwirtschaftet werden können.

Anschließend wird in Kapitel 5.3 eine Formel hergeleitet, die trotz der Pfadabhängigkeit gehebelter und inverser ETFs einen Bezug zu den langfristigen Renditen des Basisindexes herstellt. Aus dieser lassen sich außerdem Eigenschaften eines optimal gehebelten ETF herleiten (Abschnitt 5.3.1.3).

5

Schlussendlich demonstriere ich, wie sich die langfristigen Renditen gehebelter und inverser ETFs mittels geschätzter ARMA-GARCH-Modelle simulieren lassen (Kapitel 6). Über diese lassen sich auch Rückschlüsse auf die langfristig realisierten Hebelwerte und die Performancedifferenz von Hebelprodukten machen. Aus den simulierten Daten lassen sich darüber hinaus Beobachtungswerte für einen Test der langfristigen Beziehung eines gehebelten ETF und seinem Basisindex konstruieren.

6

2 Prinzipielle Funktionsweise und Indexberechnung

ETFs versprechen die Replikation der Renditen eines Referenzportfolios. Dabei beziehen sie sich im Regelfall auf einen Index, dessen Renditen möglichst genau widergespiegelt werden sollen. Die Indizes werden meist von einem unabhängigen Anbieter (z.B. S&P, STOXX, Deutsche Börse oder FTSE) berechnet und zur Verfügung gestellt, dem sogenannten Indexsponsor. Um die Berechnungsmethode dieser Indexanbieter einem transparenten Prozess zu unterwerfen, wird die Methodik der Berechnung auf den Internetseiten des jeweiligen Indexanbieters bekannt gegeben.

Im Falle gehebelter und Inverser ETFs (im Folgenden LETFs) beziehen sich die Fonds auf für sie eigens berechnete Indizes. Im Folgenden wird deshalb kurz beschrieben, welcher Investmentphilosophie ein solcher Index zugrundeliegt und wie er sich berechnet.

2.1 Indexberechnung gehebelter ETFs

Gehebelte und inverse Indizes fungieren als Benchmark für den jeweiligen LETF. Das heißt, dass sich jeder LETF auf einen Referenzindex bezieht, der bereits die mit dem

Hebelfaktor gewichteten Renditen des Basisindexes enthält. ¹¹ In der Regel handelt es sich dabei um die täglichen Renditen die vervielfacht in die Indexberechnung mit eingehen. Darüber hinaus werden bereits Teile der Kosten der Fonds in der Indexkalkulation mit berücksichtigt. Um zu verstehen warum dies der Fall ist, ist es hilfreich sich vorzustellen, man wolle die Renditen eines beliebigen Portfolios physisch vervielfachen.

2.1.1 Indexberechnung eines positiv gehebelten ETF

Angenommen das Portfolio bestünde aus nur einer Aktie. Um einen Vermögenswert zu schaffen der dem Wert der Aktie folgt, wäre es ausreichend, in die Aktie selbst zu investieren. Nehmen wir nun an, wir wollten ein anderes Portfolio kreieren, welches annähernd und einmalig das Zweifache der Tagesrendite des ersten Portfolios, der Aktie, erzeugt. Es wäre uns möglich zweimal in die Aktie zu investieren, einmal mit eigenem Kapital, ein zweites Mal mit geliehenem Kapital. Für eine dreifach gehebelte Vermögensposition könnte man einmal mit eigenem und zweimal mit geliehenem Kapital in die Aktie investieren, usw. Am anschließenden Tag würden wir alle Aktien verkaufen

¹¹ Es sei darauf hingewiesen, dass ETF-Anbieter oft den Referenzindex als Basisindex bezeichnen. Dieser

dient schließlich auch als Benchmark für den LETF. Da in dieser Arbeit aber auf die derivativen

Eigenschaften der LETF eingegangen wird, wird als Basisindex derjenige Index bezeichnet, aus dem die

gehebelten Renditen berechnet werden.

7

und so ein Vielfaches der Tagesrendite der Aktie erzielen. Für das geliehene Kapital würden dann Zinszahlungen fällig. Im Falle eines positiv gehebelten Indexes wird davon ausgegangen, dass der ETF das Portfolio auf die oben beschriebene Art und Weise repliziert. Bei einem höheren erwünschten Hebelfaktor, müsste mehrfach geliehenes Kapital aufgenommen werden. Für die Tagesrendite eines gehebelten Indexes gilt deshalb:

x ℎ ist der Hebelfaktor 12

x , ist die Rendite des Basisindexes

x und , ist der Tagesgeldzinssatz zudem die Bank das Kapital beleiht 13

Für die Indexberechnung gilt analog:

2.1.2 Indexberechnung eines inversen ETF

Die Idee der Replikation eines inversen ETF ist analog. In diesem Fall muss aber nicht in das Portfolio investiert werden, sondern es müssen Leerverkäufe stattfinden. Nehmen wir wieder an unser Portfolio bestünde aus einer Aktie und wir wollten einen Index erzeugen, der einmalig die täglich einfach inverse Performance des Basisindexes erzeugt. Hierzu müsste die Aktie geliehen und augenblicklich verkauft werden. Am darauffolgenden Tag würde die Aktie zum dann vorherrschenden Marktpreis gekauft und an den Besitzer zurückgeliefert werden. In der Zwischenzeit würde Kapital in Höhe des Marktpreises der Aktie frei, das zu einem Tagesgeldzinssatz angelegt werden könnte. Gleichzeitig würden

Gebühren für die Beleihung der Aktie fällig. ¹⁴ Obwohl durch diese Transaktion Kapital frei wird, eigentlich also kein Kapital von Seiten des Anlegers benötigt würde, investiert er für den Erwerb eines inversen ETF Kapital in Höhe des Net-Asset-Values (im Folgenden

NAV). ¹⁵ Auch dieses Kapital wird zum Tagesgeldzinssatz angelegt, so dass in die

¹² ℎ nimmt für den Basisindex den Wert 1 an, dann gilt: , = = ,

¹³ Die verwendeten Zinssätze können je nach Index variieren z.B. der EONIA für in EUR notierte Indizes

(vgl. Tabelle 1).

¹⁴ Die Beleihungsgebühren der Wertpapiere fließen oft nicht in die Indexberechnung mit ein, da sie im

Gegensatz zu den Tagesgeldzinssätzen zwischen den Anbietern von ETFs sehr inhomogen sein können. In

diesem Fall tragen sie also zu dem Tracking Error zwischen Referenzindex und ETF mit bei.

¹⁵ Dem NAV fließen Gewinne zu und Verluste ab, gewissermaßen dient der Bank das eingebrachte Kapital

des Anlegers also als Sicherheit.

8

Indexberechnung die zweifache Tagesrendite für angelegtes Kapital mit einfließt. Für einen zweifach inversen ETF, würde die Aktie zweimal leer verkauft werden und Kapital frei werden, das zum dreifachen Tagesgeldzinssatz angelegt werden könnte, usw. Die Tagesrendite eines invers gehebelten Indexes wird im allgemeinen Fall deshalb wie folgt berechnet:

x , sind die Leihgebühren für die Wertpapiere zum Zeitpunkt 13

Analog gilt für die Indexberechnung:

2.2 Methoden der Replikation eines Indexes

Eine möglichst genaue Replikation des Referenzindex ist bei Investoren eines der wichtigsten Auswahlkriterien für einen bestimmten Fonds. Von einer systematischen Outperformance abgesehen, sollte deshalb die Performancedifferenz zwischen Referenzindex und ETF möglichst klein sein. Um einen Index nach einem möglichst getreuen Vorbild nachzubauen gibt es mehrere Techniken. Diese weisen nicht nur Unterschiede bezüglich der Güte des Spurhaltens (engl.: tracking) eines gewissen Indexes auf, sondern besitzen darüber hinaus auch noch andere Vor- und Nachteile. Auf eine ausführlichere Diskussion aller Überlegungen die bei der Auswahl einer bestimmten Methode eine Rolle spielen können wird an dieser Stelle verzichtet und auf die entsprechende Fachliteratur und Informationsbroschüren der ETF-Anbieter verwiesen. Wir wollen der Vollständigkeit halber dennoch kurz benennen, welches die häufigsten Unterschiede sind, die von Fachartikeln diskutiert werden:

x Besteuerungsunterschiede der Fonds, die durch die jeweilige

Replikationstechnik entstehen können

x Die Höhe des Tracking Errors, d.h. die Genauigkeit mit der der Referenzindex

x Das Kontrahentenrisiko, dass durch unterschiedliche Replikationsmethoden unterschiedlich hoch ausfällt

x Und die Transparenz in der Berechnung der NAVs durch die ETF Anbieter

Es gibt drei Möglichkeiten des Nachbaus eines Referenzindexes. Sie umfassen die vollständige Replikation (engl.: full replication), die approximative Replikation (engl.: optimized oder representative sampling) und die Swap-basierte Replikation (auch oft synthetische Replikation).

x Vollständige Replikation

Bei der vollständigen Replikation kauft der Fond alle im Referenzindex enthaltenen Wertpapiere im entsprechenden Verhältnis nach. x Approximative Replikation

Ein vollständiger Nachbau eines Indexes ist angesichts der Kosteneffizienz nicht immer sinnvoll. Dies ist vor allem bei Indizes der Fall, die sehr viele Wertpapiere enthalten (der MSCI World enthält beispielsweise rund 1800 Aktien). Es besteht dann das Problem der optimalen Auswahl der Wertpapiere. Optimiert wird überwiegend zwischen der Reduktion der Transaktionskosten, der Korrelation der Performance mit der des Referenzindex und einer ausreichenden Liquidität des Fonds. Im Falle einer approximativen Replikation, wird also nur ein repräsentativer Teil der im Index enthaltenen Wertpapiere gekauft.

Tendenziell zeigt sich, dass sich überwiegend Unternehmen mit einer Expertise im Bereich des Asset Managements (z.B. Black Rock mit seiner ETF-Sparte iShares) auf eine physische (d.h. approximative oder vollständige) Replikationstechnik spezialisiert haben. In der Praxis stößt diese Vorgehensweise aber auf einige Schwierigkeiten, da die Indizes oft von theoretischen Annahmen ausgehen, die in

der Realität nicht voll zutreffen. ¹⁶ Der Tracking Error eines solchen Fonds ist in der Praxis deshalb oft größer als der eines synthetisch replizierenden Fonds. x Synthetische Replikation

ETF-Anbieter von Investmentbanken (darunter Lyxor [eine Tochter der Société Générale], Comstage [eine Tochter der Commerzbank] und db x-trackers [eine Tochter der Deutschen Bank]) haben sich in ihrem traditionellen Bewusstsein auf Produkte derivativer Art auf eine synthetische Replikation spezialisiert. Diese Replikationspraktik basiert auf einem Total-Return-Swap zwischen der

¹⁶ Z.B. finden Indexumstellungen oft ohne Kosten statt, etc.

10

Investmentbank und der von der Investmentgesellschaft aufgelegten Fonds. Dies hat zur Folge, dass der Fonds ganz andere Wertpapiere halten kann als diejenigen die im Index enthalten sind. Das Obligo die Performance des Indexes zu liefern wird also auf Bankenebene verlagert. Folglich werden die abgeworfenen Renditen der Wertpapiere im Fonds mit den Renditen des Indexes (abzüglich einer Verwaltungsgebühr) getauscht. Während sich die Investmentbank dazu verpflichtet die Renditen des Indexes an den Fonds zu liefern, bleibt es ihr überlassen, wie sie sich gegen die zu leistende Zahlungsverpflichtung absichert. Im Falle der Fonds von db x-trackers zum Beispiel dienen die Wertpapiere des Anlagevermögens der Fonds oft nur als Absicherung des Kontrahentenrisikos, das durch das Swap-Geschäft mit der Deutsche Bank als Kontrahent entsteht. ¹⁷ Für die Deutsche Bank bestehen viele Möglichkeiten sich gegen die Zahlungen, zu denen sie an die Fonds verpflichtet ist, abzusichern. Sie könnte beispielsweise in Wertpapiere des Indexes investieren, in Instrumente derivativer Natur oder Teile des Risikos unabgesichert auf sich nehmen.

2.2.1 Implikationen der Replikationsmethode auf den Tracking Error

Eines der wichtigsten Qualitätsmerkmale eines ETF ist ein möglichst niedriger Tracking Error. Er wird im Wesentlichen durch zwei Merkmale des ETF bestimmt. Diese sind zum einen die Höhe der Verwaltungsgebühren und zum anderen die Replikationstechnik. In der Praxis wird einer synthetischen Replikation eine geringere Renditedifferenz zwischen Fonds und Index zugeschrieben, da sie eine fest vorgeschriebene Zahlungsverpflichtung

darstellt. ¹⁸ Die Performance physisch replizierender ETFs hingegen, hängt sehr stark mit der Performance der im Fonds enthaltenen Wertpapiere zusammen. Abbildung 1 zeigt die Renditedifferenz eines synthetisch replizierenden ETF von db x-trackers (blau markiert) gegenüber der Renditedifferenz eines ETF von iShares welcher physisch repliziert (violett markiert). Beide ETFs beziehen sich auf den gleichen Basisindex, den Euro STOXX 50 (rot markiert). Die Renditedifferenzen zwischen ETF und Index sind im Falle des ETF von iShares viel größer. Der Fonds profitiert zunächst von dem Abwärtstrend des Euro STOXX im Jahr 2008, aufgrund seiner liquiden Mittel im Anlagevermögen. ¹⁹ Anschließend liefert

¹⁷ Dies kann z.B. dazu führen, dass sich in einem Geldmarkt-ETF von db x-trackers ausschließlich Anleihen

im angelegten Vermögensbestand befinden.

[http://www.etf.db.com/DE/DEU/ETF/LU0335044896/DBX0A2/EONIA_TOTAL_RETURN_INDEX_ETF

_.html (Unterpunkt: ETF Informationen/Sicherheiten)]. (letzter Aufruf 05.01.11)

¹⁸ Nachteile dieser Replikationstechnik betreffen andere der in Kapitel 2.2 aufgeführten Punkte. Eines der

meistdiskutierten ist das Kontrahentenrisiko, das durch den Swap-Partner entsteht.

¹⁹ Auf eine Abbildung des Kursverlaufes des Euro STOXX wurde hier verzichtet.

11

er allerdings eine vergleichsweise schlechte Performance gegenüber dem Index. Der Fonds der Deutschen Bank repliziert die Performance des Indexes aufgrund der synthetischen Replikationsmethode sehr viel besser.

Abbildung 1: Renditedifferenzen zwischen einem Index und zweier Fonds mit unterschiedlicher

Replikationsmethode

12

3 Langfristige vs. kurzfristige Renditen

Gehebelte und inverse ETFs hebeln die Renditen von einem Referenzindex eines bestimmten Zeitraumes. Dabei beziehen sich die meisten LETFs, wie die Fonds der Deutschen Bank, auf täglichen Renditen. Viele - in Teilen sogar professionelle - Anleger schlussfolgerten daher intuitiv, dass ein solches Anlageinstrument auch langfristig den Hebelwert des Basisindexes liefern müsse.

Wäre dies der Fall, dann müsste man die erwarteten Renditen des Indexes nur mit dem Hebelfaktor eines LETF multiplizieren, um seine erwarteten langfristigen Renditen zu errechnen. Für viele Investoren wäre dies eine angenehme Eigenschaft von LETFs, da zwischen den langfristigen Renditen ein relativ einfacher Zusammenhang bestünde. Darüber hinaus würden sich die Renditen aus einer Investition in einen positiv gehebelten ETF und der Investition in einen invers gehebelten ETF mit betragsmäßig gleichem Hebelfaktor zu null addieren.

In der Praxis hat sich jedoch sehr schnell herauskristallisiert, dass dem nicht so ist. Vielmehr sind insbesondere in jüngerer Vergangenheit die langfristigen Renditen von LETFs teils erheblich von den vervielfachten langfristigen Renditen des Basisindexes abgewichen.

Abbildung 2 zeigt die Wertentwicklung von drei Indizes von Standard & Poor’s. Dabei handelt es sich um den S&P 500 Basisindex (kein Hebel) und die täglich zweifach und zweifach invers gehebelte Variante des gleichen Indexes. ²⁰ Für jeden der drei Indizes existiert ein gleichnamiger ETF der Deutschen Bank. Abgebildet sind die kumulierten Renditen der drei Indizes vom 09.10.2007 bis zum 29.09.2010.

Die Abbildung illustriert die Erfahrungen, die Anleger in der Vergangenheit mit LETFs gemacht haben. Sie zeigt die scheinbar unberechenbaren Eigenschaften langfristiger Renditen dieser Investitionsprodukte. Im Folgenden möchten wir kurz zwei Beobachtungen zu den kumulierten Renditen aller drei Indizes liefern. Aus diesen lassen sich die Attribute der langfristigen Beziehung der Renditen von LETFs untereinander und gegenüber ihren Basisindizes herleiten.

²⁰ Die letzteren zwei Indizes werden auf die in Kapitel 2.1 beschrieben Art und Weise berechnet.

13

(Beobachtung 1)

Der Basisindex verlor im gesamten Betrachtungszeitraum ungefähr 23 Prozent, der zweifach invers gehebelte Index verlor ungefähr 22 Prozent und der Index mit zweifachem Hebel verlor sogar 57 Prozent.

(Beobachtung 2)

Obwohl der Basisindex in der gesamten Beobachtungsperiode um maximal ca. 50 Prozent gesunken ist, stieg die zweifach invers gehebelte Variante des Indexes um fast bis zu 200 Prozent an. Dies entspricht fast einer negativen Vervierfachung der Renditen des Basisindexes über den Bezugszeitraum.

(Beobachtung 1) macht deutlich, dass die von LETFs langfristig deutlich von ihrem Hebelwert abweichen können. Angenommen wir würden in einen Fonds mit hoher Tracking-Güte und statischem Hebel investieren, würden wir bei einem zweifach inversen Produkt über den gesamten Beobachtungszeitraum eine Rendite von ca. 46 Prozent erwarten. Der auf täglicher Basis invers gehebelte ETF hat diese Performance deutlich unterschritten. Das Beispiel verdeutlicht außerdem, dass eine positive bzw. negative Performance des Basisindexes nicht unbedingt eine positive Performance eines gehebelten bzw. inversen ETF impliziert.

Auch der zweifach gehebelte ETF liefert mit -57 Prozent eine signifikant niedrigere Rendite als es mit einem statischen Fonds und einer theoretischen Rendite von ca. -46 Prozent der Fall gewesen wäre.

Dass LETFs nicht zwangsweise eine kleinere Rendite liefern müssen als ein statischer Fonds macht Beobachtung 2 deutlich. Ein zweifach inverser statischer Fonds hätte im gesamten Beobachtungszeitraum eine maximale Rendite von ca. 100 Prozent erzielen können.

Noch eine andere mögliche intuitive Vermutung zum Verhalten langfristiger Renditen von LETFs wird durch die Abbildung negiert. Sie zeigt, dass sich die Renditen aus einem positiv gehebelten Produkt (hier eine Rendite von -57 Prozent) und einem inversen Produkt (hier -22 Prozent) mit gleichem Hebelfaktor nicht zu null addieren.

An den ETFs anderer Anbieter mit höherem Hebel waren die oben beschriebenen Besonderheiten der langfristigen Renditen teilweise noch besser beobachtbar.

14

Beispielsweise erwirtschaftete ein dreifach positiv gehebelter ETF von Direxion, der Direxion Daily Financial Bull 3x ETF, in knapp neun Monaten ²¹ eine Rendite von -63,25 Prozent. Die dreifach inverse Variante des gleichen Basisindexes, der Direxion Daily Financial Bear 3x ETF, lieferte eine noch kleinere Rendite mit -86,77 Prozent. Diese Fonds hätten also rund 2/3 bzw. 5/6 des Anlagevermögens zerstört, obwohl der Basisindex, der Russel 1000 Financials Index, im gleichen Bezugszeitraum eine positive Rendite von

18,58 Prozent lieferte. 22

Auch die langfristigen Renditen einfach inverser ETFs weisen, wie im Laufe der Diplomarbeit noch deutlich wird, die beschriebenen Eigenschaften langfristiger Renditen auf. Auch hier kann es langfristig zu erheblichen Abweichungen der Performance vom implizierten Hebel kommen. Dadurch bieten auch eine Investition in einem inversen ETF und eine gleichhohe Investition in dem Basiswert keinen perfekten Hedge (im Sinne einer beta-neutralen Position).

Abbildung 2: Die kumulierten Renditen des zweifach gehebelten und zweifach invers gehebelten ETF des

S&P500’s der Deutschen Bank und dem S&P 500 Index (09.10.2007 - 29.09.2010)

Einige Privat- und Profianleger, aber auch Fachmagazine machten zunächst intuitiv einen vermeintlich hohen Tracking Error für die langfristigen Renditeunterschiede der ETFs von dem Vielfachen ihrer Basisindizes verantwortlich. Bei vielen Anlegern erweckte sich daher den Eindruck, dass die Verwaltungsgebühren, die Replikationstechnik oder andere

²¹ Vom 31.12.2008 bis zum 24.09.2009

²² Quelle: AMERY (2009b)

15

Faktoren, die auf die mangelnde Qualität des Investmentproduktes zurückzuführen seien, die Renditen von LETFs auffräßen. Deshalb existieren viele Studien, die den Tracking Error und die langfristigen Renditen dieser Produkte untersuchen. Darunter befinden sich die Arbeiten von LU ET AL. (2009), AVELLANEDA & ZHANG (2009) und CHENG & MADHAVAN (2009), um nur einige zu nennen.

Die Ergebnisse dieser Studien belegen aber, dass nicht die mangelnde Qualität von LETFs für die Renditeunterschiede verantwortlich gemacht werden kann. Vielmehr kommen diese durch das Produktdesign selbst zustande. Dennoch möchten wir im Folgenden Kapitel zunächst diejenigen Faktoren untersuchen, die dazu führen, dass ein LETF die täglichen Renditen eines Basisindexes in der Praxis nie ganz genau um einen bestimmten Faktor vervielfacht. Diese umfassen sowohl die Kosten (d.h. die Verwaltungsgebühren) eines ETF, aber auch die in Formel (2.1) bzw. Formel (2.3) enthaltenen Zinsraten für Kapital und die Leihgebühren für die Leerverkäufe der Wertpapiere.

16

4 Auswirkung der Tagegeldzinsen und des Tracking Errors auf die

Renditen gehebelter und inverser ETFs

Renditedifferenzen von LETFs gegenüber einer reinen Vervielfachung der Tagesrenditen von den Basisindizes entstehen auf zwei Ebenen.

i. Auf Indexebene: Bereits auf Indexebene werden die Tagesrenditen der Basisindizes gehebelter und inverser Indizes nicht nur mit dem Hebelfaktor multipliziert. Hier fließen die in Kapitel 2.1 benannten Zinssätze für das Kapital in die Berechnung mit ein. ii. Auf Fondsebene: Hier erzeugen die Faktoren aus Kapitel 2.2 wie z.B. die Verwaltungsgebühren einen Renditeunterschied zwischen ETF und Referenzindex. Darüber hinaus werden die Leihgebühren der Wertpapiere die Renditeabweichung

inverser ETFs vom Referenzindex vergrößern [vgl. Formel (2.3)]. 23

4.1 Auswirkung der Zinssätze auf Indexebene

Tabelle 1 listet alle gehebelten und invers-gehebelten ²⁴ ETFs von db x-trackers auf. ²⁵ Aufgeführt sind außerdem die Verwaltungsgebühren (TER) und die verwendeten Tagesgeldzinssätze, die als Leihgebühren für das benötigte Kapital in die Berechnung des

Indexes mit einfließen. ²⁶ Die Gebühren für die Beleihung der Wertpapiere im Falle inverser ETFs, fließen bei keinem der aufgeführten Produkte in die Indexberechnung mit ein.

²³ Die Leihgebühren sind wie Tabelle 1 zeigt in keinem Index der aufgeführten inversen ETFs enthalten.

²⁴ Einfach gehebelte Short-Produkte sind nicht aufgeführt. Ein vollständiges Produktangebot ist auf

(http://www.etf.db.com/DE/pdf/DE/overallfactsheet/overallfactsheet.pdf) erhältlich. (Letzter Aufruf

05.01.11)

²⁵ db x-trackers führt bisher nur gehebelte ETF-Produkte mit einem Hebel von 2 und -2. Darüber hinaus führt

db x-trackers sehr viele einfach inverse Produkte (Hebel -1).

²⁶ Bei der Indexberechnung inverser Produkte fließt dieser Zinssatz den Indexwerten hinzu.

17

Auf Indexebene sind die Tagesgeldzinssätze die einzigen Faktoren, die zu einer Abweichung der Tagesrenditen des LETF gegenüber den mit dem Hebelfaktor multiplizierten Renditen des Basisindexes führen. Für einen 2-fach gehebelten ETF fließen sie den Tagesrenditen einfach ab und für einen 2-fach inversen ETF dreifach hinzu. Um die durch die Tagesgeldzinssätze erzeugte Renditeabweichung einschätzen zu können, werfen wir einen Blick auf alle relevanten Zinssätze aus Tabelle 1. Abbildung 3 zeigt den historischen Verlauf aller drei Zinssätze. Sie sind auf einen einwöchigen Zeitraum geglättet worden und in annualisierter Form dargestellt. Das heißt, dass pro Kalendertag - je nach Art der Zinsberechnungsmethode - in etwa 1/360 des abgebildeten Zinssatzes als Tagesgeldzinssatz in die Kalkulationen aus Kapitel 2.1 mit einfließen.

Abbildung 3: Gegenüberstellung verschiedener Tagesgeldzinssätze. Aufgeführt ist eine Historie der EONIA-

Zinssätze, der SONIA-Zinssätze und der USD-LIBOR-Zinssätze (01.01.1999 - 08.01.2010)

Alle drei Geldmarktzinssätze liegen in der gesamten Betrachtungsperiode zwischen ca. einem und sieben Prozent. Erst in jüngster Vergangenheit sind sie, aufgrund expansiver Geldpolitiken gekoppelt mit dem Wiedergewinn des Vertrauens im Interbankensektor, auf einen Zinssatz knapp über null gefallen.

Die Abbildung zeigt, dass die Kapitalzinsen ein durchaus relevantes Niveau erreichen können. Dies gilt umso mehr für höher gehebelte Fonds, da bei ihnen ein Vielfaches der Tagesgeldzinssätze in die Indexberechnung mit einfließt. Sie sollten daher in der Praxis bei einem langfristigen Investitionshorizont in die Erwartungen eines Investors mit einbezogen werden. Wenn auch nicht alleine dafür verantwortlich, tragen die Zinsen zumindest dazu bei, dass sich die langfristigen Renditen von positiv und invers gehebelten ETFs mit gleichem Hebel betragsmäßig voneinander unterscheiden. Wie bei anderen Investitionen

18

bei denen eine Verschuldung in Kauf genommen wird, um durch den Leverage-Effekt höhere Renditen zu erwirtschaften, muss die erwartete Rendite für eine sich lohnende

Investition über der der Beleihungszinsen liegen. 27

4.2 Auswirkung des Tracking Errors auf Fondsebene

Auch die Beschaffenheit des Fonds führt zu weiteren Renditedifferenzen. Sie sind als

Performancedifferenz zwischen dem NAV eines Fonds und dem Referenzindex messbar. ²⁸ Steuerliche Aspekte, Transaktionskosten oder andere nicht ganz zutreffende Annahmen der Indexberechnung tragen zu einem Tracking Error seitens des Fonds bei.

Daneben spielt aber auch die Expertise und die Replikationstechnik des Fonds eine große Rolle für die Höhe des Tracking Errors (vgl. Kapitel 2.2.1). Da sich ein ETF quasi durch die Performance seines Referenzindexes definiert, ist ein niedriger Tracking Error ein viel zitiertes Qualitätsmerkmal eines ETF. Durch die synthetische Replikationstechnik weisen ETFs von db x-trackers einen vergleichsweise niedrigen Tracking Error auf. Durch das

Swap-Geschäft wird die Performance des Indexes abzüglich der Verwaltungsgebühren ²⁹ einfach in den Fonds hinein getauscht. Dadurch wird der Tracking Error der ETFs der Deutschen Bank im Regelfall allein von den Verwaltungsgebühren abhängen.

Die Abbildungen in Appendix 8.2 stellen die Renditeabweichungen zwischen den LETFs der Deutschen Bank aus Tabelle 1 und ihren Referenzindizes dar. Zudem sind auch die Renditeabweichungen der einfach gehebelten Short-Produkte der vier Indizes abgebildet. Der jeweilige Referenzindex (roter Graph) dient dem ETF als Benchmark und erzeugt definitionsgemäß keinerlei Abweichungen von sich selbst. Bei einem ETF hingegen (blauer Graph), kommt es gegenüber dem Index mit anwachsendem Investitionshorizont zu immer größeren, kumulierten Renditeabweichungen. Abgebildet ist, wo genügend Daten vorhanden waren, die Renditeabweichung eines Jahres. Da die gehebelten ETFs der Deutschen Bank erst Mitte März 2010 aufgelegt wurden, ist der Betrachtungszeitraum hier entsprechend verkürzt. Die Renditeabweichungen wurden so berechnet, dass sie einen

²⁷ Auf einen optimalen Verschuldungsgrad eines LETFs wird in Kapitel 5.3.1.3 genauer eingegangen.

²⁸ Eine Performancedifferenz impliziert nicht zwangsweise eine schlechtere Performance von Seiten des

ETFs. In seltenen Fällen fallen die Renditen des ETFs systematisch höher aus als die des zugrunde liegenden

Indexes. So z.B. im Fall des Euro STOXX 50 ETF von db x-trackers. Diese liefert sogar nach Abzug der

Verwaltungsgebühren kontinuierlich höhere Renditen als der Euro STOXX 50.

²⁹ In seltenen Fällen entstehen zusätzliche Kosten. Im Falle inverser ETFs z.B. durch die Wertpapierleihe.

19

stetigen Verlauf des Referenzindexes unterstellen. ³⁰ Das hat den Vorteil, dass die kumulierten Renditeabweichungen nach einem Jahr einfach den impliziten Jahreskosten des Fonds entsprechen.

Trotz dem der Betrachtungszeitraum der gehebelten ETFs nur ein gutes halbes Jahr umfasst, lassen sich durch Fortschreibung der Renditeabweichungen auf ein Jahr Rückschlüsse auf die Jahreskostenstruktur der ETFs ziehen. Tut man dies, fällt auf, dass die jährlichen Renditeabweichungen der positiv gehebelten ETFs in etwa den jährlichen Verwaltungsgebühren entsprechen. Bei den inversen ETFs hingegen sind die Abweichungen bedeutsam größer als die Verwaltungsgebühren.

Die Renditeabweichungen der inversen ETFs sind sowohl auf die Verwaltungsgebühren als auch auf die Gebühren für die Wertpapierleihe zurückzuführen. Das heißt, dass die Beleihungsgebühren weder in den Verwaltungsgebühren noch in der Indexkalkulation berücksichtigt werden und Zusatzkosten darstellen. Sie fallen für inverse Produkte einmal und für doppelt inverse Produkte zweimal an. Der Verlauf der doppelt Inversen ETFs wird

um 01.07.2009 etwas steiler. ³¹ Unter Zuhilfenahme der Abbildungen der einfachgehebelten Short-Produkte lassen sich durch Abzug der Verwaltungsgebühren je nach ETF Leihgebühren errechnen die in etwa zwischen 0,5 und einem Prozent liegen. ³² Dies impliziert doppelt so hohe Leihgebühren für die zweifach inversen ETFs von etwa einem

bis zwei Prozent per annum. 33

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass auf Fondsebene Faktoren dazu führen werden, dass ein mit dem Anlagehorizont größer werdender Renditeunterschied zwischen einem ETF und dem Referenzindex entsteht. Hierbei stellen für die LETFs der Deutschen Bank die Verwaltungsgebühren einen entscheidenden Faktor. Sie liegen z.Z. zwischen 0,35 und 0,7 Prozent per annum (vgl. Tabelle 1). Für inverse Produkte kommen die Leihgebühren

³⁰ Insbesondere ist die Renditeabweichung trotz konstanter Kosten des ETFs von der Performance des

Indexes abhängig. Bei starkem Zuwachs des Indexes werden die Renditeabweichungen stärker ausfallen, bei

starker Abnahme des Indexes schwächer ausfallen als die Abbildungen implizieren. Insbesondere gilt:

= − 1.

Mit : Rendite des Fonds; : Rendite des Indexes und : die Renditeabweichung zwischen Fonds und

Index

³¹ In der Tat bestätigte mir die Deutsche Bank, dass die Fonds aufgrund ihrer kleinen Größe anfangs keine

Leihgebühren trugen. Diese Kosten vielen erstmals im Juli an.

³² IndexUniverse geht in einer Präsentation davon aus, dass diese für den S&P 500 je nach Marktbedingung

in etwa 0.5 Prozent betragen (vgl. AMERY 2009b). Diese Einschätzung befindet sich am unteren Rand der

hier errechneten Gebühren.

³³ Der steilere Verlauf nach Juli 2009 repräsentiert die Kosten der Fonds folglich besser.

20

hinzu. Diese werden mit dem Hebel multipliziert und betragen in etwa zwischen 0,5 und einem Prozent.

4.3 Signifikanz für die täglichen Renditen der ETFs

Trotz der Faktoren, die dazu führen, dass LETFs nicht ganz den Hebelfaktor der täglichen Renditen ihrer Basisindizes liefern, sind die Unterschiede kaum wahrnehmbar. Die drei Streudiagramme in Appendix 8.3 stellen die täglichen Renditen der DAX-basierten ETFs der Deutschen Bank und die täglichen Renditen des DAX gegenüber. ³⁴ Zusätzlich wurde in jedes Streudiagramm eine Gerade eingezeichnet. Diese Gerade stellt für jeden ETF die theoretischen Hebelwerte der Renditen der Basisindizes ohne Kosten dar. Die Streudiagramme illustrieren, dass die tatsächlich erzielten Renditen der ETFs sehr dicht an

den theoretischen Werten liegen. 35

Direkt im Anhang an die Streudiagramme wurden die Renditen aller ETFs auf die Renditen des jeweiligen Basisindexes und auf eine Konstante regressiert. Theoretisch müsste die Konstante die von den Renditen unabhängigen Kosten widerspiegeln und der Regressionskoeffizient dem Hebelwert entsprechen. Die Konstante der

Regressionsschätzungen ist in fast allen Fällen signifikant von null verschieden. Sie tragen für positiv gehebelte ETFs ausnahmslos ein negatives Vorzeichen. Dieses ist bedingt durch die Verwaltungsgebühren und die Tagesgeldzinssätze für das geliehene Kapital. Im Falle der inversen ETFs mit Hebelfaktor eins trägt fast jede Konstante ein positives Vorzeichen. Hier wiegt der Zusatzertrag aus dem Tagesgeldzinssatz, zu dem das Kapital angelegt wird, die Kosten der Verwaltungsgebühren und der Wertpapierleihe meistens mehr als auf. Bei den doppelt inversen ETFs sieht es etwas anders aus. Diese Produkte sind erst vor kurzem entstanden. In dieser Zeit waren die Tagesgeldzinssätze wie Abbildung 3 zeigt sehr niedrig. Zusätzlich sind die Verwaltungsgebühren für diese ETFs relativ hoch. Alles in allem sind hier die Leihgebühren für die Wertpapiere und die Verwaltungsgebühren größer als die Tagesgeldzinsen. Die Konstanten sind auch der Höhe nach plausibel. Durch Multiplikation mit 360 erhält man Werte zwischen -4,3 Prozent und +4,5 Prozent per annum. Lediglich der Wert mit -0,0382 Prozent fällt aufs Jahr gerechnet mit 13,8 Prozent, im Vergleich zu den in den Abschnitten 4.1 und 4.2 geschätzten Kosten, viel zu hoch aus.

³⁴ Hier wurden alle verfügbaren Beobachtungen der täglichen Renditen eines ETFs seit Auflage in die

Betrachtung mit einbezogen und nicht wie im vorangegangen Kapitel nur die Renditen eines Jahres.

³⁵ Es wurden auch Streudiagramme für die ETFs der drei anderen Basisindizes erstellt, auch hier lagen die

Streupunkte sehr nah an dem theoretischen Hebelwert. Da diese Bilder keine zusätzlichen Erkenntnisse

liefern, wurde hier aber auf eine Darstellung verzichtet.

21

Dies ist auf einige im Vergleich zum Basisindex anormal niedrig ausfallenden Beobachtungen für die Renditen des EURO STOXX 50 Leveraged Daily ETF zurückzuführen. Dies betrifft insbesondere die Renditen der Periode April 2010 bis Ende Mai 2010. In diesem Zeitraum beobachteten wir hohe negative Werte für die geschätzten

Residuen ³⁶ der Regression. Es ist sehr Wahrscheinlich, dass es sich bei diesen Werten um Ausreißer handelt. Die Konstante der nicht-beobachtbaren wahren Regressionsgleichung ist vermutlich, konform mit den Ergebnissen aus den Abschnitten 4.1 und 4.2, viel niedriger.

Der Regressionskoeffizient aus der Schätzgleichung sollte theoretisch dem Hebelwert des jeweiligen ETF entsprechen. Die Werte in Klammern unter den geschätzten Regressionskoeffizienten geben die t-Statistik der Nullhypothese, dass der Regressionskoeffizient dem theoretischen Hebelwert des ETF entspricht, an. Zwar kann die Nullhypothese in vielen Fällen abgelehnt werden, jedoch liegt der Schätzwert in allen

Fällen hinreichend nahe am theoretischen Hebelwert. 37

LU ET AL. (2009) führen die gleichen Regressionsschätzungen für gehebelte ETFs von ProShares durch. Sie kommen zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen. Bei ihrer Studie fallen die Schätzwerte für die Konstanten betragsmäßig viel kleiner aus und sind in allen Fällen insignifikant von null verschieden. Die Regressionskoeffizienten hingegen weichen wie in unserem Fall in den meisten Fällen signifikant vom theoretischen Hebelwert ab.

Darüber hinaus sind die Abweichungen etwas größer. ³⁸ Die Werte für das Bestimmtheitsmaß sind zwar relativ hoch (kein Wert unter 94%), jedoch in allen Fällen weit niedriger als die von mir errechneten. Dies deutet auf eine höhere Varianz der Störterme hin. Die schlechteren Schätzergebnisse der Studie von LU ET AL. (2009) sind auf die zwei unterschiedlichen Replikationstechniken von db x-trackers und ProShares zurückzuführen. Im Gegensatz zu den ETFs der Deutschen Bank replizieren die ETFs von ProShares physisch. Die Fonds von ProShares müssen dabei nicht unbedingt nur in den Basiswerten eines Indexes investiert sein. Sie benutzen u.a. auch Geldmarktinstrumente

und Derivate um einen Index zu replizieren. ³⁹ Diese Replikationsmethode ist ihrer Art nach ungenauer als eine synthetische Replikation. Trotz der etwas schlechteren

³⁶ Auf eine Darstellung der geschätzten Residuen wurde verzichtet.

³⁷ Die Abweichungen vom theoretischen Hebelwert liegen alle im Bereich von drei Nachkommastellen.

³⁸ Es treten Abweichungen bis zu einer Nachkommastelle auf.

³⁹ Siehe hierzu z.B. das Prospekt der inversen ETFs von ProSahres

(http://www.proshares.com/funds/prospectus.html?ticker=psq). (Letzer Aufruf 05.01.10)

22

Nachbildung, sind die geschätzten Koeffizienten in den meisten Fällen immer noch relativ nah an den theoretischen Hebelwerten.

Die Studie von LU ET AL. (2009) und die hier durchgeführten Regressionsgleichungen bezeugen, dass LETFs, trotz des Tracking Errors der Fonds und den in den Indizes enthaltenen Kosten, die versprochene Performance abliefern. Sie liefern börsentäglich annähernd die gehebelten Renditen der Basisindizes. Faktoren (d.h. Verwaltungsgebühren, Zinsen für das benötigte Kapital, etc.), die zu einer Performancedifferenz der ETFs von den täglichen Hebelwerten der Basisrenditen führen, lassen sich insbesondere bei den Fonds der Deutschen Bank, durch die synthetische Replikationstechnik, gut einschätzen. Verwaltungsgebühren und die aktuellen Tagesgeldzinssätze sind am Anfang einer Investition in einen LETF bekannt. Darüber hinaus wurde die Höhe der Leihgebühren eingeschätzt (s.o.). Die langfristige Performancedifferenz, die durch diese Faktoren ausgelöst wird, ist also leicht zu überschlagen. Sie steigt über einen längeren Zeitraum (z.B. ein Jahr) annähernd linear in den Kosten an.

Da die Kosten für Wertpapierleihe und Kapital ihrer Höhe nach marktabhängig sind, sollte ein Investor trotzdem beobachten, wie sie sich im Laufe einer Investition verändern.

Obwohl sich alle hier benannten Faktoren auf die langfristigen Renditen von LETFs auswirken, sind sie sind nur partiell im Stande die Performanceunterschiede gegenüber statisch gehebelten Renditen eines Basisindexes zu erklären.

Ab dem Jahr 2009 sind die Tagesgeldzinssätze auf dem Interbankenmarkt vernachlässigbar niedrig. In der Zeit von März bis Ende Dezember 2009 stieg der S&P 500 Index um ca. 61

Prozent. In der gleichen Zeit sank der doppelt inverse Index um nur ca. 67 Prozent. ⁴⁰ Ein statisch gehebelter ETF hätte in dieser Zeit um ca. 120 Prozent sinken müssen. Es lässt sich also leicht nachvollziehen, dass die Charaktereigenschaften von LETFs, die wir aus den zwei Beobachtungen aus Kapitel 3 ableiteten, nicht nur auf die Kosten und den Tracking Error zurückzuführen sind.

Wenn dem nicht so ist, müssen die Phänomene langfristiger Renditen von LETFs auf das Produktdesign selbst zurückzuführen sein. Um die langfristige Rendite eines LETF zu errechnen, müssen die vervielfachten Tagesrenditen askontiert werden. Es ist in der Tat der

⁴⁰ Vergleiche Abbildung 2

23

Effekt der Aufzinsung vervielfachter Tagesrenditen, der langfristig zu scheinbar unvorhersehbaren Renditen führt.

Die folgenden Kapitel widmen sich der Fragestellung, welche Implikationen die Askontierung für die langfristigen Renditen gehebelter Fonds hat. Zuerst wird das Augenmerk darauf gerichtet, wie auch längerfristig gehebelte Tagesrenditen eines Basisindexes erzeugt werden können. Darauffolgend wird untersucht, wie sich unterschiedliche Marktphasen auf die kumulierten Renditen gehebelter Fonds auswirken. Zuletzt widme ich mich der Fragestellung, welcher langfristige Zusammenhang zwischen den Renditen der LETFs und den Renditen der Basisindizes besteht.

In den folgenden Kapiteln wird von Kosten und einem Tracking Error der Fonds abstrahiert. D.h. es wird unterstellt, dass ein LETF einfach ein Vielfaches der Tagerenditen des Basisindexes liefert. Dadurch kann die durch die Aufzinsung entstehende Performancedifferenz partiell und losgelöst von anderen Faktoren betrachtet werden. Wie bereits in diesem Kapitel erläutert wurde, lässt sich der durch die Kosten entstehende Performanceunterschied leicht abschätzen. Er stellt über dies eine verhältnismäßig kleine Störgröße zwischen einem statisch und auf Tagesbasis gehebelten Fonds dar.

24

5 Produktion und Effekt der Aufzinsung von täglich vervielfachten

Renditen

5.1 Tägliche Anpassung des Investitionsvolumens im Fonds

Um die Eigenheiten kumulierter Renditen von LETFs zu verstehen, ist es hilfreich einen Blick darauf zu werfen, wie ihre gehebelten Tagesrenditen langfristig produziert werden.

In Kapitel 2 wurde beschrieben, welche Investmentidee LETFs zugrunde liegt. Zur Erzeugung der täglich gehebelten Renditen wurde beispielhaft davon ausgegangen, dass wir ein Portfolio kreieren, welches nur einmalig ein Vielfaches seines Basisindexes liefert. Würde das erzeugte Portfolio nach einem Tag unverändert bestehen bleiben, so erhielten wir einen statisch gehebelten Fonds gemäß Appendix 8.1. Dieser würde ein Vielfaches der über den Investitionshorizont angelaufenen Renditen des Basisindexes erzeugen. LETFs liefern aber nicht die langfristig gehebelten Renditen, sondern meist täglich gehebelte Renditen eines Basisindexes.

Damit ein LETF aber wiederholt einen konstanten Hebelfaktor der täglichen Renditen des zugrunde liegenden Indexes liefert, muss das investierte Vermögen in den Basiswerten täglich neu angepasst werden. Weiterhin wird davon ausgegangen, dass der Fonds die gehebelten Renditen auf die in Kapitel 2 beschriebene Art und Weise erzeugt. Er sichert sich also gegen seine Zahlungsverpflichtungen ab. Um täglich aufs Neue ein beliebiges

Vielfaches ⁴¹ der Basisrenditen zu liefern, wird er am Ende jedes Tages eine Anpassung seines Investitionsvolumens durchführen, folgend mathematisch abgebildet: 42

Sei der Net Asset Value ⁴³ eines LETF zum Schlusskurs des Tages . ⁴⁴ Sei außerdem das investierte Vermögen das benötigt wird, um den gewünschten Hebel der Renditen zum nächsten Tag herzustellen. Folgerichtig mit den Überlegungen aus Kapitel 2, beträgt dann das von dem Fonds investierte Vermögen in den Basistitel:

⁴¹ Einfach inverse ETFs eingeschlossen.

⁴² vgl. CHENG & MADHAVAN (2009)

⁴³ Der NAV repräsentiert zugleich das Vermögen, das vom Anleger in den Fonds investiert wurde und zu

dem er den Fonds verkaufen kann.

⁴⁴ Das Modell lässt sich natürlich auch auf Fonds ausweiten, die ein Vielfaches der Rendite eines anderen

Bezugszeitraumes liefern (Monat, Jahr, etc.). Dann repräsentiert den Schlusskurs eines Monats, Jahres, etc.

25

Wenn , die Rendite darstellt, die der Basisindex bis zum Schlusskurs des Folgetages liefert, dann hält der Fonds am Folgetag Vermögenstitel (engl. Assets), die sich auf den folgenden Wert belaufen:

Gleichzeitig verzeichnet ein LETF einen Gewinn oder Verlust, der der mit dem Hebelfaktor gewichteten Rendite des Basisindexes entspricht. Zum Zeitpunkt + 1 beträgt der NAV des Fonds also:

Das Vermögen welches am Folgetag in dem Fonds investiert sein muss ergibt sich analog zu Formel (5.1):

Ausgangswert des NAVs am Folgetag ist jedoch der Wert aus Formel (5.4). Einsetzen von (5.4) in (5.5) ergibt:

Es ist leicht erkennbar, dass das in + 1 benötigte Investitionsvolumen von den sich nun im Fonds befindlichen Assets (aus Formel (5.3)) abweicht. Es muss also der Differenzbetrag neu aufgenommen und zusätzlich in den Fonds investiert werden:

Das investierte Vermögen des Fonds im Basistitel muss also theoretisch börsentäglich und zur Schlussauktion der Börse, gemäß dem Wert aus Formel (5.8) angepasst werden. ⁴⁶ Der Wert selbst hängt sowohl von dem Hebelfaktor des ETF als auch von der Rendite und dem NAV des Vortages ab. Das Vorzeichen des Wertes hingegen, hängt nur von dem Vorzeichen der Rendite ab.

⁴⁵ Ein negatives Investitionsvolumen im Falle inverser ETFs ist gleichbedeutend mit einer Short-Position im

Portfolio um den Betrag .

⁴⁶ Eine tatsächlich und ganz genaue Anpassung des investierten Vermögens auf die hier dargestellte Weise

mag in der Praxis schwierig sein. Formel (5.8) zeigt, dass die Mittelzuflüsse bzw. Mittelabflüsse von der

Rendite abhängen. Diese wird jedoch selbst erst in der Schlussauktion bestimmt.

26

Bei einer positiven Rendite wird das Investitionsvolumen in das Basisportfolio erhöht, dies bedeutet nichts anderes, als dass sich der Fonds netto im Basistitel einkauft. Im Falle gehebelter ETFs bedeutet dies faktisch eine Nettoaufnahme an Kredit um den Betrag aus

Formel (3.8). ⁴⁷ Im Falle inverser ETFs nimmt der Fonds gegenüber der den Basistiteln eine Short-Position ein. Hier kauft der Fonds faktisch Anteile am Basistitel zurück und verringert seine Short-Position.

Wenn die Rendite negativ ausfällt, dann senkt der Fonds sein Investitionsvolumen am Markt. Tilgt also Kredit im Falle eines gehebelten ETF oder erhöht den Wert seiner Short-Position in den Basistiteln im Falle eines inversen ETF.

Von besonderem Interesse ist der Term (ℎ − ℎ). Dieser gibt nämlich Aufschluss darüber, warum sich die langfristigen Renditen einer Investition in einen gehebelten und in einen inversen ETF mit betragsmäßig gleichem Hebel nicht zu null addieren. Zum einen ist der Term asymmetrisch, d.h. ETFs mit gleichem Hebelbetrag liefern verschiedene Werte (z.B. den Wert 2 für einen doppelt gehebelten ETF und den Wert 6 für einen doppelt invers gehebelten ETF). Zum anderen ist er immer positiv, d.h. Anpassungen eines gehebelten und inversen Fonds sind immer der Indexperformance gleichgerichtet. Die Renditen aus einem gehebelten und inversen ETF divergieren also betragsmäßig bei einem Investmenthorizont länger als einem Tag. Dies gilt im übrigen auch für einfach invers gehebelte ETFs (Wert des Terms 2) und einem herkömmlichen ETF mit dem Hebelwert eins (Wert des Terms 0). Dies bedeutet, dass für einen herkömmlichen ETF keinerlei Anpassungen stattfinden.

⁴⁷ Das Verhältnis des Wertes in bleibt zu gleichen Teilen aus dem Kapital der Anleger und zu gleichen

Teilen kreditfinanziert.

27

Tabelle 2 und Tabelle 3 illustrieren den oben beschriebenen Sachverhalt anhand zweier frei entworfener Beispiele. Die Beispiele zeigen die Performance eines dreifach und zweifachinvers gehebelten Fonds. Beide beziehen sich auf den gleichen Index ( ), der eine Zweitages Performance abbildet. Sowohl der Index als auch die NAVs der Fonds nehmen anfangs einen Wert von hundert an (das entspricht einem Abbildungsverhältnis von eins zu eins). Um den gewünschten Hebel auf das vom Anleger eingebrachte Kapital (dem NAV) zu erzielen, beträgt das Anfangsinvestitionsvolumen des ersten Beispiels 300 EUR. Im zweiten Beispiel ist der Fonds mit -200 EUR (dies entspricht einer Short-Position) am Markt postiert. Am ersten Tag fällt der Basisindex um 10 Prozent. Der NAV, das heißt das dem Anleger zustehende Vermögen, des dreifach gehebelten ETF fällt dementsprechend auf 70, während der doppelt invers gehebelte ETF auf 120 ansteigt. Der Wert des Anlagevermögens in den Fonds fällt hingegen um zehn Prozent auf 270 EUR bzw. steigt auf -180 EUR. Mit andern Worten, der doppelt inverse Fonds benötigt nun nur noch 180 EUR, wenn er die Basistitel am Markt zurückkaufen wollte.

Damit ein Fonds dem Anleger am zweiten Tag immer noch eine Performance liefern kann, die dem gewünschten Hebel entspricht, muss an Tag 1 abermals ein Investitionsvolumen investiert werden, dass dem hebelgewichteten Net Asset Value entspricht (vgl. Formel (5.5)). Dies bedeutet für Fonds 1 ein Investitionsvolumen von 210 EUR und für Fonds 2 ein Volumen von -240 EUR. Die Differenz zwischen dem sich im Fonds befindlichen Vermögen und dem am Tag 1 benötigten Vermögen muss nun von dem Fond angepasst werden. In beiden Fällen geschieht dies durch den Verkauf von Basistiteln in Höhe von 60 EUR. Das Volumen das zum Ausgleich der beiden Fonds vorgenommen werden muss entspricht sich an Tag 1. An Tag 2 jedoch unterscheiden sich die Volumina, die zum Ausgleich benötigt werden. Dies liegt an den unterschiedlichen Werten für den NAV, die beide Fonds an Tag 1 annehmen.

5.2 Performance gehebelter und inverser ETFs in verschiedenen Marktphasen

Im letzten Abschnitt wurde beschrieben, wie es wiederholt gelingt die täglichen Renditen eines Basisindexes zu vervielfachen. Dazu war es notwendig, dass Investitionsvolumen der Fonds täglich neu anzupassen. Diese Neuanpassung und die anschließende Aufzinsung der auf diese Weise gehebelten Renditen impliziert eine andere wichtige Eigenschaft von LETFs. Sie sind pfadabhängig:

28

„Ein pfadabhängiges Derivat (auch vergangenheitsabhängiges Derivat) ist ein Derivat, dessen Auszahlung nicht nur von seinem Endwert abhängt, sondern auch von dem Pfad, dem der Preis des Underlyings gefolgt ist.“ (HULL 2009, S. 734).

Die ökonomische Intuition, warum eine Neuanpassung eine Pfadabhängigkeit impliziert, liefert Formel (5.8). Und zwar ist die Höhe dieser Anpassung von der Rendite abhängig, die der Basiswert am gleichen Tag liefert. Trotz konstantem Hebel und Net Asset Values eines bestimmten ETF, ergeben sich in Abhängigkeit von der Rendite für einen Tag theoretisch unendlich Werte, die diese Formel annehmen kann. In anderen Worten, bei gegebenem Anfangswert des NAVs eines LETF entscheidet die Rendite eines Tages darüber, welches Investitionsvolumen am nächsten Tag den Schwankungen des Marktes ausgesetzt ist. Die Rendite eines LETF hängt deshalb nicht nur von der Rendite ab, die der Basiswert über den gesamten Investmenthorizont lieferte, sondern von den Renditen jedes einzelnen Tages. In Abhängigkeit vom Pfad des Basistitels ergeben sich trotz gegebener Rendite über den gesamten Betrachtungszeitraum für das Basisprodukt unendlich viele

Ausprägungsmöglichkeiten für die Rendite eines LETF. 48

Die Pfadabhängigkeit von LETFs stellt eine hohe Anforderung an potentielle Investoren. Um die Rendite eines solchen Derivats zu errechnen ist es von Nöten, den gesamten Kursverlauf des Basisproduktes zu kennen. Dies bedeutet im Umkehrschluss, dass ein Investor in seine Investitionsentscheidung nicht nur Erwartungen über den Endwert des Basistitels mit einbeziehen sollte. Ob sich ein LETF für eine Anlagestrategie eignet, hängt vom ganzen unterstellten Kursverlauf ab.

Viele Quellen untersuchen deshalb die Performance gehebelter ETFs in allen denkbaren Ausprägungen möglicher Kursverläufe der Basistitel. Sie untersuchen mit unterschiedlichen Kursverläufen einhergehende Anlagestrategien von LETFs und werfen die Frage nach der Rentabilität dieser Produkte auf. Hervorzuheben sind hier insbesondere die Untersuchungen von MACKINTOSH (2008, 2009b), AMERY (2009a) und HOUGAN (2009).

Die Studien, die die Rentabilität gehebelter ETFs bei unterschiedlichen Kursverläufen der Basisindizes testen, sind oft praktischer Natur. Das heißt, es wird die empirische Performance eines Basisindex der Performance eines LETF gegenübergestellt. In der

⁴⁸ Vorausgesetzt der Investmenthorizont umfasst mehr als zwei Tage

29

Praxis wiesen LETFs aufgrund der außerordentlichen Marktsituation seit Markteinführung oft eine sehr schlechte Performance auf.

Andere Studien stützen sich, aufgrund der jungen Historie von LETFs, auf simulierte Daten. Dazu werden dann einfach Zeitreihen für einen Basisindex erzeugt und es wird

davon ausgegangen, dass der ETF die täglichen Renditen vervielfacht. 49

Eine ebenfalls legitime, aber weniger häufig angewendete Methode, würde ein Backtesting anhand von existierenden Daten darstellen.

Trotz der unterschiedlichen Methodik in der Simulation, identifizieren die meisten Studien Marktphasen, in denen gehebelte Produkte bessere oder schlechtere Ergebnisse erzielen. Vom Grundgehalt liefern die Studien deshalb gleichgute Erkenntnisse über LETFs.

Auch an dieser Stelle möchten wir Marktphasen entwerfen, die durch bestimmte Charaktereigenschaften geprägt sind, um dann Rückschlüsse darüber zu ziehen, in welchen Marktphasen Investitionen in LETFs sinnvoll sind.

Zu Erzeugung bestimmter Zeitreihen wird hier, aufgrund ihrer Einfachheit, an die Vorgehensweise aus Tabelle 2 und Tabelle 3 angeknüpft. Dabei werden die Marktphasen und die dazugehörigen Daten frei entworfen. Wie noch deutlich wird hat diese Methodik den Vorteil, dass die Marktphasen so generiert werden können, dass sie eindeutige Eigenschaften aufweisen, z.B. einzig und allein einen Trend aufweisen oder aber stagnierend und volatil sind.

Die Marktphasen sind zwar sehr stark konstruiert, jedoch geht es hier vorerst nur darum eine Intuition dafür zu vermitteln, welche Kursverläufe ein Basisindex annehmen muss, damit die Investition in einen LETF lohnenswert ist. In der Realität treten mehrere der unten genannten Faktoren gleichzeitig auf. Das heißt, ein Markt kann langfristig sowohl volatil sein, aber auch gleichzeitig einen Trend aufweisen. In diesem Fall entscheiden mehrere Faktoren gleichzeitig über Erfolg und Misserfolg einer Investition in LETF. Eine etwas differenzierte Analyse der langfristigen Performance gehebelter ETFs liefert Kapitel 5.3.

Repräsentativ vergleichen wir in allen Fällen die Performance des Marktes mit der

Performance eines zweifach positiv und zweifach inversen ETF. 50

⁴⁹ Für Simulationszwecke wird meistens, konform mit unserer Vorgehensweise, von den Kosten eines LETFs

abstrahiert.

30

5.2.1 Performance inverser und gehebelter ETFs einem trendigem Markt

Tabelle 4 zeigt die theoretische Performance eines doppelt gehebelten und eines zweifach inversen ETF im Vergleich zu seinem Basisindex in einem stetig steigenden Marktumfeld. Der Basisindex steigt im Betrachtungszeitraum um 12,55 Prozent. Intuitiv würde man erwarten, dass der zweifach gehebelte ETF um die doppelte Rendite ansteigt und der inverse ETF um die doppelte Rendite fällt. Dementsprechend dürfte die Performance des Long-Indexes nur ca. 25,10 Prozent betragen. Mit einem Wert von über 26 Prozent übertrifft die Performance des zweifach gehebelten ETF diese Erwartung. Das Beispiel zeigt, dass die kumulativen Renditen des gehebelten Indexes nicht einfach den zweifachen kumulativen Renditen des Basisindexes entsprechen. Der Grund dafür ist in Formel (5.8) ersichtlich. Ein positiv gehebelter Fonds wird sein Investitionsvolumen in einem steigenden Markt ständig erhöhen und so stärker zukünftigen Marktbewegungen ausgesetzt

⁵⁰ Von den in der Praxis anfallenden Kosten eines LETFs abstrahieren wir weiterhin.

31

sein. Somit liefern gehebelte ETFs in stark steigenden Marktphasen eine außergewöhnlich gute Performance.

Der doppelt invers gehebelte ETF erzielt mit einer Rendite von nur -21,93% eine bessere Rendite als intuitiv vermutet. Dies liegt daran, dass der Fonds in stetig fallenden Märkten sukzessiv Positionen des Portfolios zurückkauft, der Fonds reduziert also gemäß Formel (5.8) seine Short-Position am Markt.

Umgekehrt, aber analog zu dem Beispiel aus Tabelle 4 verhalten sich die beiden Fonds in einer Marktphase fallender Kurse. In Tabelle 5 tauschen der doppelt gehebelte ETF und der doppelt inverse ETF, aufgrund des Vorzeichenwechsels der täglichen Renditen des Basisindexes, einfach die Renditen aus Tabelle 4. In einer fallenden Marktphase wird ein invers gehebelter ETF also ständig seine Short-Positionen erhöhen, während ein gehebelter ETF Positionen am Markt verkauft und somit sein Investitionsvolumen senkt. Ein gehebelter ETF wird in dieser Marktphase, trotz negativer Rendite, eine verhältnismäßig gute Performance erzielen. Auch der negativ gehebelte ETF würde eine bessere Performance liefern als ein statisch gehebelter Fonds.

5.2.2 Gehebelte und inverse ETFs in einem Marktumfeld ohne Trend und

geringer Volatilität

Das Beispiel aus Tabelle 6 ist zugegebenermaßen sehr stark vereinfacht, veranschaulich dennoch sehr schön, welche Performance gehebelte und inverse ETFs bei stark seitwärts verlaufenden Märkten liefern. Bei sehr niedrigen Renditen des Basisindexes, werden auch die Renditen der gehebelten und inversen ETFs sehr gering ausfallen. Dadurch wird die

32

Performance von LETFs in stark stagnierenden Märkten in etwa genauso hoch sein wie die der Basistitel.

5.2.3 Performance gehebelter und inverser ETFs in einer stagnierender, stark

volatiler Kurse

Obwohl der Basisindex im Betrachtungszeitraum eine kumulierte Rendite von fast 0 Prozent liefert, liegen die Renditen der gehebelten Indizes weit unter diesem Wert. Ein gehebelter ETF hätte in dieser Marktphase also eine weitaus niedrigere kumulierte Rendite geliefert. Zwar trifft dies auf beide ETFs zu, jedoch schneidet der Short-Index signifikant schlechter ab, als der betragsmäßig gleichgehebelte positive Index. Dies ist, wie in Kapitel 5.3 ersichtlich wird, kein Zufall, da ein negativ gehebelter ETF sein Investitionsvolumen nach einer Marktbewegung viel stärker anpassen muss (vgl. Formel (5.8)).

Warum sich volatile Marktphasen sehr negativ auf die Performance von gehebelten und inversen ETFs auswirken, wird auch in Kapitel 5.3 noch einmal gezeigt werden. Gehebelte ETFs jedoch verfolgen in stark volatilen Märkten in gewisser Weise eine „Buy high, sell low“- Strategie. Nach einer Aufwärtsbewegung erhöht ein gehebelter ETF sein Investitionsvolumen, während ein inverser ETF seine Short-Positionen verringert. Einer anschließenden Abwärtsbewegung des Marktes ist der positiv gehebelte ETF nun viel stärker ausgesetzt, während der negativ gehebelte ETF nun nicht mehr über genug Positionen verfügt, um die Renditen wieder gut zu machen. Analoges gilt für die Aufwärtsbewegung nach einer Abwärtsbewegung. Hier verringert der positiv gehebelte ETF zuerst sehr stark sein Investitionsvolumen (profitiert also weniger stark von der anschließenden Aufwärtsbewegung), während der inverse ETF seine Short-Positionen

33

erhöht (und nun stärker der anschließenden Aufwärtsbewegung, die für ihn negative Renditen impliziert, ausgesetzt ist).

Wie sich die Pfadabhängigkeit von LETFs bemerkbar macht, wird aus Tabelle 6 und Tabelle 7 deutlich. Obwohl in beiden Fällen der Basistitel über den gesamten Bezugszeitraum eine Rendite von 0 Prozent liefert, unterscheiden sich die Renditen der zwei ETFs in den zwei Beispielen signifikant voneinander. Damit sei bewiesen, dass im Falle gehebelter ETFs wirklich der ganze Kursverlauf des Basiswertes für die Endwertberechnung herangezogen werden muss und nicht nur der Wert am Fälligkeitstag, wie es bei vielen anderen Derivaten (z.B. bei Optionen) der Fall ist.

Das Beispiel macht darüber hinaus verständlich, warum viele Autoren, die die bisherige Performance existierender ETFs untersuchen, dazu kommen, die Sinnhaftigkeit dieser Investmentprodukte anzuzweifeln. Nach der Finanzkrise waren die Märkte bisher von einer hohen Volatilität gekennzeichnet. In trendigen Marktphasen (bei verhältnismäßig geringer Volatilität), sollten Investoren weit bessere Erfahrungen mit diesen Produkten machen. Ein interessantes Thema für zukünftige Studien für diese Produkte, wäre sicherlich der Zusammenhang zwischen der Volatilität und dem Trend in verschiedenen Marktphasen und für verschiedene Indizes.

5.2.4 Marktzyklen und die Performance gehebelter ETFs

Durch die einfache Umstellung der Renditen aus Tabelle 7 erhalten wir Tabelle 8. Die hier simulierte Marktphase zeichnet sich durch einen anfänglichen starken Anstieg der Kurse des Basisindexes aus. Anschließend fallen die Kurse des Underlyings auf ihren

34

Anfangswert zurück. Über den gesamten Beobachtungszeitraum liefert der Basisindex also eine Rendite von 0 Prozent. Wie im vorhergehenden Beispiel, schneiden auch hier die beiden gehebelten ETFs weit schlechter ab als ihr Basiswert. Genau genommen sind die Renditen die der gehebelte und der inverse ETF liefern sogar gleichhoch wie im Beispiel zuvor. Dies ist angesichts der chronologisch umgestellten Renditen keine Überraschung.

Demzufolge würde auch eine zuerst abfallende Marktphase mit anschließendem wiederaufstieg auf den Ursprungswert die gleichen kumulierten Renditen aus der obigen Tabelle liefern. Es spielt also, vorausgesetzt sie sind sonst gleich groß, keine Rolle in welcher Sequenz die Renditen des Basisindexes auftreten.

Die Erklärung, warum ein gehebelter und ein inverser ETF in einem Marktzyklus eine vergleichsweise schlechte Rendite liefert, liefert abermals Formel (5.8). In stark steigenden Marktphasen wird das Investitionsvolumen eines gehebelten ETF stetig erhöht. Die Gewinne erhöhen also das sogenannte „Exposure“ gegenüber einer Marktkorrektur. Im Gegensatz dazu wird das Volumen der Short-Positionen eines inversen ETF zunächst stark gesenkt. Bei der anschließenden Marktkorrektur nach unten, von der der ETF profitiert, ist nun nicht mehr genug Investitionsvolumen im Fonds vorhanden, um die vorhergehenden Verluste auszugleichen.

Umgekehrtes gilt für den gehebelten und den inversen ETF, wenn auf einen fallenden Markt eine Marktkorrektur nach oben erfolgt. Hier würde das Investitionsvolumen des gehebelten ETF zunächst stark gesenkt werden (der Fonds würde nun weniger stark von einem Aufschwung profitieren), während die Short-Positionen des inversen ETF zunächst stark ansteigen würden (der Fonds würde daraufhin übermäßig stark an wiederansteigenden Kursen leiden).

5.2.5 Fazit

Die obigen Beispiele machen deutlich, dass es Marktsituationen gibt, in denen sich eine Investition in LETFs lohnt. Wiederum andere wirken sich aber advers auf die Performance dieser ETFs aus. Insbesondere in Marktphasen mit geringer Volatilität und starkem Trend,

können Investoren übermäßig ⁵¹ hohe Renditen erwirtschaften. In Marktphasen ohne erkennbaren Trend und hoher Volatilität, wird eine Investition in diese gehebelten Produkte gegenüber einer Investition in den Basiswert aber zu übermäßigen Verlusten

⁵¹ Das heißt langfristig kumulierte Renditen, die über den Hebelwert hinausgehen.

35

führen. Das heißt, die kumulierte Rendite eines gehebelten ETF wird sogar niedriger sein als die des Basiswertes.

Wir fassen außerdem zusammen, dass es durch die Pfadabhängigkeit von LETFs keine genaue funktionale Beziehung zwischen den langfristig kumulierten Renditen dieser Produkte und den langfristig kumulierten Renditen des Basisproduktes gibt. Vielmehr spielt der gesamte Kurspfad des Basistitels eine Rolle für den Endwert des gehebelten ETF.

In der Praxis werden deshalb viele strategische Anleger in diese Produkte investieren, vor allem dann, wenn sie einen starken Auf- oder Abwärtstrend erwarten. Der Effekt der Aufzinsung der gehebelten Tagesrenditen wird dann zu einer signifikanten Outperformance des Marktes führen werden.

Es wurde bereits angesprochen, dass viele Artikel LETFs eine tendenziell schlechte Performance bescheinigen. Der ein oder andere Artikel aus Fachmagazinen bezweifelte gar die sinnvolle Existenz derartiger ETFs. Darüber hinaus wurde erwähnt, dass gehebelte ETFs eine noch sehr junge Vergangenheit haben. Die ersten gehebelten ETFs der Deutschen Bank beispielsweise wurden am 18. März 2010 ins Leben gerufen. Es liegt die Vermutung nahe, dass insbesondere das sehr marktvolatile Umfeld nach der Finanzkrise für diese schlechte Performance mitverantwortlich ist. Es bleibt die zukünftige Performance dieser Produkte abzuwarten, um festzustellen, ob es in der Empirie auch mittel- bis langfristige Phasen gibt, in denen sich LETFs als sehr lohnenswert erweisen.

5.3 Langfristiger Zusammenhang zwischen einem gehebelten ETF und seinem Basisindex

Im vorhergehenden Kapitel wurden verschiedene Marktcharakteristika getrennt voneinander betrachtet. Diese gewissermaßen partielle Betrachtungsweise war notwendig, um die Effekte z.B. eines sehr marktvolatilen Marktumfeldes von dem Effekt eines sehr trendbehafteten Marktes zu trennen. Diese Betrachtungsweise war zugegebenermaßen sehr stark vereinfacht. In der Empirie wird es nie einen positiven Trend eines Marktes geben, ohne dass es nicht gleichzeitig zu gewissen Marktschwankungen kommt. Auch wenn in einzelnen Marktphasen ein Charakteristikum ein anderes dominiert, tritt es nicht ganz allein auf.

36

Darüber hinaus wird es einem Investor ex-ante unmöglich sein, sich eine Meinung darüber zu bilden, wie der genaue Pfad des Basiswertes verlaufen wird. In Anbetracht der Markteffizienzhypothese mag es dem Investor schon schwer genug fallen, überhaupt einen zukünftigen Trend mit hinreichender Genauigkeit vorherzusagen. Dennoch mag der Investor eine Idee davon haben, welchem statistischen Prozess der Basiswert folgt. D.h. er mag eine Vorstellung darüber besitzen, welchen statistischen Momenten der datengenerierende Prozess des Basiswertes folgt.

Daher gilt es den langfristigen Zusammenhang zwischen den Renditen eines gehebelten ETF und seinem Basiswert zu konkretisieren. AVELLANEDA & ZHANG (2009) und CHENG & MADHAVAN (2009) leiten einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Renditen eines LETF und den Renditen seines Basiswertes her. In ihrem Modell benötigt der Investor nur eine Vorstellung über die ersten und zweiten Momente der Prozesse, den die Basiswerte folgen. Trotz Unkenntnis des vollständigen Kursverlaufes erhält er durch Prognostizierung des Erwartungswertes und der Volatilität eines Basiswertes eine Idee davon, wie die langfristigen Renditen eines LETF verteilt sein werden.

Die Artikel von AVELLANEDA & ZHANG (2009) und CHENG & MADHAVAN (2009) benutzen ein stetiges Modell für die Prozesse des Basiswertes. AVELLANEDA & ZHANG (2009) beziehen die Kosten der ETFs in ihre Modellierung der langfristigen Renditen von LETFs mit ein. Von den Kosten abgesehen kommen aber beide Modelle inhaltlich zu dem gleichen Ergebnis.

Das Modell nach CHENG & MADHAVAN (2009) abstrahiert von den Kosten. Welche Kosten von einem LETF zu erwarten sind, wurde bereits thematisiert. An dieser Stelle geht es eher um die Beschreibung des Prozesses der täglich vervielfachten Renditen, der von den gehebelten Produkten im engeren Sinne erzeugt wird. Welche Auswirkungen darüber hinaus die Kosten eines ETF auf die Performance haben, lässt sich durch die Aufschlüsselung aus Kapitel 4 relativ leicht einschätzen.

5.3.1 Das Modell

LETFs stellen Derivate ihrer Basisindizes dar. Um einen Zusammenhang zu ihren Basiswerten herzustellen, brauchen wir zunächst eine Idee darüber, welchem stochastischen Prozess ihr Underlying folgt. Für die Kursentwicklung dividendenloser Aktien wird dabei häufig eine geometrisch Brownsche Bewegung unterstellt. Diese stellt

37

eine Form des Random Walks mit Drift dar, welcher eine unmittelbare Schlussfolgerung aus der Markteffizienzhypothese ist.

Wir unterstellen, dass der Performanceindex ⁵² eines LETF einer Brownschen Bewegung folgt, diese ist gegeben durch:

Sowohl die Driftrate (μμ), als auch die Volatilität () des Prozesses sind nicht konstant, d.h. sie hängen vom Level des Indexes selbst ab. Um den Prozess zu interpretieren ist es hilfreich, ihn umzustellen. Teilt man durch den Kurs des Indexes (S) erhält man:

Auf der linken Seite der Gleichung stehen nun die Renditen des Indexes. Der abgebildete Prozess lässt sich unterteilen in einen deterministischen Drift mit konstanter Driftrate µ (Term 1) und den stochastischen Teil des Prozesses. ist ein Wiener Prozess und lässt sich ausschreiben als:

unterliegt der Standardnormalverteilung mit (0; 1). Im Zeitintervall = hat der Wiener Prozess folglich einen Erwartungswert von null und eine Standardabweichung von

√ bzw. Varianz von .

Die Kursänderungen des Indexlevels aus Formel (5.10) beschreiben also einen Prozess, für dessen Renditen in einem sehr kurzen diskreten Zeitintervall ∆∆ gilt:

Das heißt die Renditen sind in einem sehr kurzen Zeitintervall ∆∆ normalverteilt mit einer konstanten Driftrate und einer Varianz von .

Aus den Gleichungen (5.9) und (5.10) folgt, dass die erwarteten Kursänderungen mit steigendem Kursstand zunehmen. Dies ist eine sehr plausible Annahme, da Investoren die Performance von Aktien nicht in absoluten Änderungen messen, sondern anhand der Renditen. Unterstellt man konstante erwartete Renditen, wird die Änderung der Aktienkurse wie in Formel (5.9) vom Kursstand selbst abhängen. Gleiches gilt für die

⁵² Der Performanceindex rechnet die gezahlten Renditen aller Aktien mit ein, kann daher so behandelt

werden wie ein dividendenloser Aktienkorb.

38

Volatilität. Die Schwankungen der Kurse nehmen mit erhöhtem Kurslevel zu. Die Variabilität bezüglich der Rendite bleibt aber gleich. Sprich ein Aktienanleger hat die gleiche Unsicherheit bezüglich der Rendite seiner Investition bei einem Kursstand von 10 EUR oder 80 EUR.

Der Prozess aus Formel (5.12) erzeugt in einem sehr kurzen Zeitintervall ∆∆ normalverteilte Zufallswerte für die Renditen unserer Indizes. Über den Zeitraum von ∆∆ hinaus werden die so erzeugten Werte für die Renditen kumuliert. Durch die Kumulation mehrerer Renditen einer Normalverteilung entsteht eine neue Verteilung. Die dabei neu entstehende Verteilung ist ihrerseits jedoch nicht normalverteilt. Man kann aber zeigen, dass sie lognormalverteilt ist (vgl. HULL 2009, S. 338 f.). ⁵³ Würde man also die Bruttorenditen von Aktienkursen oder einem Aktienindex eines bestimmten Zeitraumes

logarithmieren und eine Verteilung aufstellen, so wären diese normalverteilt. ⁵⁴ Ist der Anfangskurs des Basiswertes gegeben durch , dann ergibt sich die logarithmierte Rendite der Zufallsvariable in aus:

Es lässt sich zeigen, dass d ln S einem allgemeinen Wiener Prozess folgt, der gegeben ist durch:

Die Normalverteilung der logarithmierten Renditen ist, wie in Formel (5.13) unschwer erkennbar, gegeben durch:

Sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz der logarithmierten Renditen hängen beide von ab. misst bei gegebenem Anfangskurs ( ) den Bezugszeitraum dieser Renditen. Der Erwartungswert der Renditen nimmt linear mit dem Investmenthorizont zu. Grundsätzlich gehen in der Empirie mit größer werdendem Investmenthorizont durchaus höhere Renditen einher. Auch die Varianz ( ) aus einer Verteilung der Renditen wächst mit größer werdendem Investmenthorizont linear an. Es steigen bei längerer

⁵³ Dies impliziert für die nicht-logarithmierten Aktienkurse eine rechtsschiefe Verteilung.

⁵⁴ In der Empirie ist die Annahme normalverteilter logarithmierter Renditen oft unzutreffend.

39

Investitionsdauer also sowohl die Ertragschancen als auch die Unsicherheit über die tatsächlich gemessenen Renditen.

Im nächsten Schritt gilt es einen Zusammenhang zwischen den Kursbewegungen des NAVs eines gehebelten ETF und seinem Basiswert herzustellen. Dazu sei erneut Formel (5.4):

Durch Umformung erhalten wir:

Inhaltlich stimmt diese Formel mit den Formeln der Indexberechnungen aus (2.1) bzw. (2.3) überein, nur dass in diesem Fall keine Kosten in die Berechnung mit einfließen. Die Renditen des ETF stellen hier einfach ein Vielfaches der Renditen des Basisindexes dar.

In der Grenzwertbetrachtung ergibt sich aus Formel (5.15):

Das heißt, eine kleine Bewegung des Basiswertes resultiert renditemäßig in einer um den Hebelwert vervielfachten Bewegung des NAV des Fonds. In vorhergehenden Kapiteln wurde erwähnt, dass der Fonds sein Investitionsvolumen in diskreten Abständen anpasst. Dennoch erhält der Fonds zu jedem Zeitpunkt ein Investitionsvolumen, das den Marktschwankungen um das ℎ-Fache ausgesetzt ist, wie in Formel (5.16) ausgedrückt wird.

Einsetzen von Formel (5.10) in (5.16) führt schließlich zu:

bzw. zu:

Die logarithmierten Renditen folgen also analog zu Formel (5.13) dem Prozess:

40

Die Renditen des NAVs folgen also ebenfalls einer Brownschen Bewegung mit einer Driftrate von ℎℎ und einer Volatilität von |ℎℎ|. ⁵⁵ Sowohl die Driftrate als auch die Volatilität des Prozesses entsprechen also einfach dem Produkt aus dem Hebel des Fonds und der Driftrate bzw. Volatilität des Basisproduktes. Das ist eine sehr nützliche Information für Derivate auf gehebelte ETFs, in dessen Preisgleichung die Volatilität mit einfließt. In der Zwischenzeit haben einige Investmentbanken beispielsweise bereits Optionen auf ETFs emittiert.

Die Erkenntnisse über die Prozesse aus den Formeln (5.9) bis (5.19) denen der Basiswert und ein gehebelter Fonds folgen, helfen dabei, den genauen Zusammenhang der beiden Wertpapiere zwischen dem heutigen Zeitpunkt und einem beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft zu verstehen.

Wir wissen, dass zwischen dem heutigen Kursstand in = 0 und dem Kursstand des Basiswertes in jedem beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft = =, der Zusammenhang aus Formel (5.13) gilt. Es gilt also der folgende Zusammenhang zwischen dem Indexstand an Tag N und Tag 0:

Man beachte, dass ln − ln die Verteilungseigenschaften aus (5.14) besitzt.

Durch Umstellung erhält man Formel (5.20). Der Level des Indexstandes in T hängt also von dem Anfangskurs ab und von dem deterministischen Trend, beide sind bei gegebenem Investitionshorizont bekannt. Darüber hinaus ist der Kursstand des Indexes in T von den realisierten Werten des stochastischen Prozesses abhängig.

Gleichermaßen gilt für den Prozess des gehebelten Indexes aus (5.19):

⁵⁵ Da die Volatilität ein positives Streuungsmaß ist, gilt der Betrag.

41

Analog zu (5.14) besitzen die logarithmierten Renditen des Hebelproduktes eine Normalverteilung mit:

Man beachte, dass der stochastische Prozess aus (5.20) und (5.21) dem gleichen Realisationspfad folgt. Mit anderen Worten für beide Gleichungen werden in jedem Zeitpunkt Zufallswerte aus dem gleichen Zufallsprozess erzeugt. Von daher sind die Realisationen der Standardnormalverteilung für aus (5.20) und (5.21) identisch.

Zunächst formen wir (5.21) um:

Vergleicht man den geklammerten Term aus Formel (5.23) mit Formel (5.20), fällt auf, dass wir ihn substituieren können. Dies ist zulässig, da die Standardnormalverteilung () in beiden Prozessen die gleichen Zufallswerte erzeugt. Schlussendlich erhält man:

Die Renditen eines gehebelten oder inversen ETF über einen Zeitraum von N Tagen sind gleich dem Produkt der mit dem Hebel potenzierten Renditen des Basisindexes (Term 1)

42

des gleichen Zeitraumes und des zweiten Terms, der ausschließlich von dem Hebel des Fonds und der Variation des Basisindexes während der Investitionsdauer abhängig ist.

5.3.1.1 Ökonomische Interpretation

LETFs sind so konstruiert, dass sie die täglichen Renditen eines Basisindexes vervielfachen. Ignoriert man den zweiten Term aus Gleichung (5.24), ist die Askontierung der gehebelten Renditen ökonomisch mit einer Potenzierung der langfristigen Renditen des Basiswertes um den Hebelfaktor des ETF gleichbedeutend.

Da (ℎ − ℎ ) immer kleiner als null ist, wird der zweite Term aus Gleichung (5.24) immer kleiner als eins sein. Darüber hinaus wird der zweite Term immer positiv sein. Das heißt, es besteht für einen LETF nie die Möglichkeit, dass er völlig an Wert verliert. Die ständige Neuadjustierung des Investitionsvolumens macht einen totalen Wertverlust eines

gehebelten oder inversen ETF quasi unmöglich. ⁵⁶ Darin besteht auch ein wesentlicher Unterschied zu einem statisch gehebelten Fonds, der einen Totalverlust erleiden kann, weil er diese Anpassungen nicht durchführt.

Da die Formelgleichung (5.24) in einem stetigen Modell hergeleitet wurde, lässt sich das Modell auch auf Fonds beziehen, die beispielsweise die Renditen eines Monats oder eines anderen Zeitraumes vervielfachen. In der Praxis würde aber dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fonds einen Totalverlust erleidet, ansteigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Basisindex eines zweifach gehebelten ETF innerhalb eines Jahres mehr als 50 Prozent verliert, ist natürlich höher als die, dass er 50 Prozent innerhalb eines Handelstages verliert.

Der NAV eines LETF in Zeitpunkt erschließt sich aus Term 1, der bei bekanntem Anfangswert ( ) nur von dem Kurs des Basisindexes in abhängig ist. Term 2 spiegelt die Pfadabhängigkeit gehebelter und inverser ETFs wider. Er ist von der Varianz des Basisindexes und der Investitionsdauer abhängig. Bei gegebener Rendite des Basisindexes hat ein idealer Pfad eines LETF einen kurzen Zeithorizont () und eine geringe Volatilität ( ). 57

Formel (5.24) bestätigt die Ergebnisse aus Kapitel 5.2. Ein LETF hatte in Marktphasen geringer Volatilität eine wesentlich bessere Performance als in sehr volatilen Phasen, dies

⁵⁶ In der Praxis kann ein gehebelter ETF nur dann völlig an Wert verlieren, wenn beispielsweise der

Basisindex eines zweifach gehebelten ETFs innerhalb eines Tages mehr als 50 Prozent verliert, der

Basisindex eines dreifach gehebelten Indexes mehr als 33 Prozent, etc.

Selbst hier haben aber manche Indexanbieter gehebelter ETFs einen Stop-Loss-Mechanismus in den Index

mit eingebaut (siehe Deutschen Bank [2010b]).

⁵⁷ Im Regelfall wird ein längerer Investitionshorizont auch mit höheren Renditen einhergehen.

43

galt sowohl für gehebelte als auch inverse ETFs. Inverse ETFs aber zeigten in einem marktvolatilen Umfeld eine noch schlechtere Performance als positive ETFs mit gleichem Hebelbetrag. Formel (5.24) zeigt, dass dies kein Zufall war. Term 2 liefert für invers gehebelte ETFs niedrigere Werte. Die Beeinträchtigung durch die Variation des Basisindexes wirkt sich folglich viel stärker auf die Performance eines inversen ETF aus.

Kapitel 5.2 und Kapitel 3 zeigten außerdem, dass die langfristigen Renditen des ETF viel höher ausfallen können als die mit dem Hebelwert multiplizierten Renditen des Basiswertes. Term 1 zeigt, dass ein LETF, durch Potenzierung der Basisrenditen, bei gleichzeitig niedriger Volatilität, sehr hohe Renditen liefern kann. Die Formel bestätigt, dass die Renditen von LETFs über einen längeren Zeitraum nicht zwangsweise den mit dem Hebelwert multiplizierten Renditen des Basiswertes entsprechen. Die langfristigen Renditen eines LETF hängen von der Rendite des Basisindexes, von der realisierten Volatilität, von dem Investitionszeitraum und in einem praktischen Kontext sicherlich auch von den Kosten die der ETF verursacht ab.

5.3.1.2 Eignung gehebelter ETFs für eine Langzeitinvestition

Immer wieder betonen Banken, dass sich LETFs ausschließlich für kurzfristig orientierte Anleger eignen. Formel (5.24) liefert eine Begründung, warum Banken vor langfristigen Renditen von gehebelten ETFs warnen. Obgleich die Potenzierung der Renditen des Basisindexes im ersten Term zu erheblichen Auszahlungen führen kann und eine Investition in gehebelte ETFs vergleichsweise wenig Kapital beansprucht, kann der zweite Term die Performance unter bestimmten Umständen erheblich beeinträchtigen. Dies kann dazu führen, dass eine Investition in einen LETF weniger einbringt als eine Investition in den Basisindex oder sogar noch schlimmer, die Renditen des ersten Terms völlig eliminiert werden. Dieses Problem gilt insbesondere für höher gehebelte ETFs. Hält man beispielsweise einen dreifach gehebelten ETF (ℎ=3) oder zweifach inversen ETF (ℎ=-2) über fünf Jahre (=5), bei einer Volatilität von 50 Prozent ( = 50%), betrüge der zweite Term nur noch 2,3 Prozent.

Wir haben in Kapitel 3 jedoch auch festgestellt, dass die Renditen eines gehebelten ETF zumindest mittelfristig das Vielfache der langfristigen Basisrenditen um einiges übersteigen können. Dies könnte durch die Potenzierung der Renditen im ersten Term auch bei längerfristigem Investitionshorizont der Fall sein. CHENG & MADHAVAN (2009) untersuchen deshalb die Renditen, die ein Investor langfristig von einer Investition in einen

44

LETF erwarten kann. Im Folgenden werden kurz die Ergebnisse ihrer Überlegungen präsentiert.

Die erwartete Rendite langfristiger Investitionen kann mithilfe der Eigenschaften einer Lognormalverteilung hergeleitet werden. Angenommen sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und einer Standardabweichung , dann gilt für den Erwartungswert der exponenzierten Variable:

war, mit einem Erwartungswert von = −

= √. Einsetzen in Formel (5.25) (mit = 1) ergibt:

bzw.:

Auf analoge Weise liefert Formel (5.22) in Verbindung mit (5.25) für die erwarteten Renditen des ETF:

Die langfristig erwarteten Renditen eines gehebelten ETF ergeben sich durch die Potenzierung der erwarteten Renditen des Basiswertes mit dem Hebelwert. Daraus folgt, dass die Bruttorenditen langfristig gegen null tendieren, wenn in einen inversen Fonds investiert wird und der Basisindex einen positiven Trend aufweist (ℎ < 0 und > 0), oder in einen gehebelten Fonds investiert wird aber ein negativer Trend unterstellt wird (ℎ > 0 und < 0). Andernfalls sind bei positiven Trends von gehebelten ETFs langfristig höhere Renditen zu erwarten als von dem Basisindex.

45

CHENG & MADHAVAN (2009) weisen aber auch darauf hin, dass die langfristig erwarteten Renditen Mittelwerte darstellen. Es sollte unbedingt in Erinnerung behalten werden, dass die langfristigen Renditen einer Lognormalverteilung unterliegen, diese ist ihrer Eigenschaften nach rechtsschief. Es gehen also Kursverläufe mit extrem hohen Renditen in die Mittelwertberechnung mit ein, sind aber sehr unwahrscheinlich.

Ein numerisches Beispiel verdeutlicht diesen Sachverhalt: Angenommen die Renditen eines Indexes sind an einem Tag mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder 4 Prozent oder -2 Prozent. Über zwei Tage liefert der Index dann vier Möglichkeiten für die kumulierte Rendite. Diese wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder 8,16; 1,92; 1,92 oder -3,96 Prozent betragen. Obwohl der Durchschnitt der Renditen bei 2,01 Prozent liegt, wird dieser nur im Fall der Rendite von 8,16 Prozent überschritten, d.h. in 25 Prozent aller Fälle.

Die Rechtsschiefe einer Lognormalverteilung steigt mit zunehmender Varianz der Renditen. Bei sehr volatilen Assets wird der Mittelwert also nur in extrem seltenen Fällen die Erfahrungen der Anleger widerspiegeln. CHENG & MADHAVAN (2009) schlagen deshalb vor, sich auf den Medianwert der Renditen über einen bestimmten Zeitraum zu fokussieren. Dieser würde die Erfahrungen eines Investors besser widerspiegeln. Von dem Medianwert der langfristigen Renditen schließen sie auch auf die Geeignetheit eines „buy- and-hold-investments“bei LETFs.

Wie oben wird unterstellt, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung darstellt. Der Median von ist dann unabhängig von der Varianz der Zufallsvariable gleich . Einsetzen des Mittelwerts

m=ℎℎ −

bzw.

Für ein bestimmtes Zeitintervall lassen sich daraus drei Situationen herleiten, in denen der Index negative Renditen für den Medianwert liefert. Dies ist dann der Fall wenn der Medianwert der Bruttorenditen eines gehebelten Fonds kleiner als eins ist, also wenn:

46

bzw.:

Die drei Situationen lassen sich folgendermaßen charakterisieren:

1. ℎ < 0 (d.h. ein invers gehebelter ETF) und μ > 0 (und ein positiver Drift)

2. ℎ > 0 (d.h. ein positiv gehebelter ETF) und 0 < μ <

3. ℎ > 0 und μ < (d.h. ein positiv gehebelter ETF aber negativem Index Trend)

Im ersten Fall wird der Median der Renditen langfristig negativ sein, weil der ETF invers ist, der Markt langfristig aber einem Aufwärtstrend folgt. Dies gilt natürlich auch für den Mittelwert der Renditen, obwohl dieser bei lognormalverteilten Renditen stets größer ist als der Median. Aus Formel (5.24) ist ersichtlich, dass in einem solchen Fall Term 1 mit zunehmendem Investitionshorizont () gegen null konvergiert. Inverse ETFs werden sich deshalb für langfristig orientierten Anleger in keinem Fall lohnen.

Fall zwei zeigt, dass es Fälle geben kann in denen die Varianz den Drift-Term dominiert. Auch in diesem Fall wird der Median-Investor langfristig negative Renditen erwirtschaften. Selbst wenn also ein Aktienindex langfristig einem positiven Trend unterworfen ist, kann die Median-Investition negative Langzeitrenditen liefern. Mit höherem Hebel eines ETF wird es immer wahrscheinlicher, dass wie im zweiten Fall die Varianz den Drift-Term dominiert. Obwohl LETFs langfristig nicht unbedingt den Hebelwert der Renditen des Basisindexes liefern, sind sie stets um das ℎ-Fache volatiler. CHENG & MADHAVAN (2009) schließen deshalb auf eine zumindest nur bedingte Geeignetheit gehebelter ETFs für Investoren.

Fall 2 mag der Intuition des einen oder anderen Lesers etwas widersprüchlich erscheinen. Wie ist es möglich, dass der Medianinvestor mit zunehmender Investitionsdauer eine immer kleinere Rendite erwirtschaftet, während die erwartete Rendite ansteigt.

Mit zunehmender Investitionsdauer nähert sich die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Betrag X zu erwirtschaften (z.B. einen Cent) der 0 Prozent, indes gibt es aber vereinzelt Kursverläufe, die äußerst hohe Renditen liefern. Der Prozess gleiche deshalb mit

47

zunehmender Investitionsdauer immer mehr einer Lotterie, in der der Investor zwar fast nie gewinnen würde, im Falle eines Gewinnes aber sehr hohe Auszahlungen erwirtschaftet würden (vgl. CARVER 2009).

Fall drei haben wir mehr der Vollständigkeit halber aufgeführt und spiegelt eine Situation wider, in der der Markt langfristig einem negativen Drift folgt, der ETF aber positiv gehebelt wird. In der langfristigen Betrachtung erscheint dieser Fall aber zumindest für Aktienindizes ausgeschlossen.

5.3.1.3 Der optimale Hebel eines ETF

Die Überlegungen im letzten Abschnitt lassen Rückschlüsse auf ein optimales Portfolio, d.h. ein LETF mit optimiertem Hebelfaktor zu. CARVER (2009), zurückgehend auf einen Artikel von KELLY (1956), betont, dass ein Portfolio, das die erwarteten logarithmierten Renditen maximiere, langfristig alle anderen Strategien einer Portfolioauswahl schlage. Die Standard Portfolio Theorie (nach Markowitz) impliziert, dass sich durch Aufnahme von Fremdkapital zwar immer höhere erwartete Renditen erwirtschaften ließen, allerdings unter evtl. höchst ungewünschten Nebenwirkungen. Demgegenüber liefere ein Portfolio welches den logarithmierten Erwartungswert maximiere, langfristig wünschenswertere Ergebnisse bezüglich der Verteilungseigenschaften der langfristigen Renditen. Dementsprechend sei eine Strategie, welche den Erwartungswert der logarithmierten Renditen maximiere einer Strategie, die den bloßen Erwartungswert der Renditen maximiert, vorzuziehen. Erstere liefere zwangsweise höhere Medianwerte (nicht aber zwangsweise höhere Mittelwerte) für die langfristige Rendite eines Portfolios.

Anknüpfend an unsere Überlegungen über die Eigenschaften eines Portfolios, das einer geometrisch Brownschen Bewegung folgt, lässt sich daraus ein Portfolio mit optimaler Hebelstruktur herleiten. Es gelte weiterhin für den Erwartungswert der logarithmierten Renditen unseres Basisindexes (im Folgenden als Wachstumsrate bezeichnet), gemäß den Verteilungseigenschaften aus (5.14):

CARVER (2009) nimmt einen Portfoliomanager an, der die Möglichkeit hat, sein Vermögen in eine risikobehaftete Anlage (in unserem Fall der Basisindex) und in eine risikolose Anlage (hier der Tagesgeldzinssatz) zu investieren. Wenn den Anteil des in den Index investierten Anteils angibt, den logarithmierten risikolosen Zinssatz, den

48

Erwartungswert der Rendite und die Varianz der logarithmierten Renditen der risikobehafteten Anlage, dann beträgt die Wachstumsrate dieser Anlage:

Für einen zweifach gehebelten ETF gilt z.B. = 200% und 1 − = −100%. Durch Optimierung der Wachstumsrate des Portfolios aus (5.28), erhält man den optimalen Anteil des Vermögens, der in die risikobehaftete Anlage investiert werden soll:

Angenommen die erwartete Rendite des DAX für das kommende Jahr betrüge 10 Prozent, die Standardabweichung der Renditen betrüge 20 Prozent und eine risikolose Verzinsung brächte einen Jahreszinssatz von 0,5 Prozent, dann betrüge der optimale Anteil des investierten Vermögens in den DAX ca. 238 Prozent. Dies entspräche einer Investition in einen gehebelten ETF mit einem Hebelfaktor von ca. zwei.

Unser Beispiel ist willkürlich gewählt. Als erwartete Rendite könnte man aber zum Beispiel Durchschnittswerte historischer Renditen oder Werte aus einem CAPM Modell in die Formelgleichung mit einfließen lassen. Für die erwartete Volatilität z.B. Werte von einem Volatilitätsindex (im Falle des DAX z.B. die implizierte Volatilität vom VDAX) und für die risikolose Rendite z.B. Tagesgeldzinssätze.

Formel (5.29) impliziert konstante Anteile des Vermögens in der risikobehafteten und risikolosen Anlage. Für LETFs ist diese Annahme durch die Neuanpassungen des Investitionsvolumens erfüllt. Sich ändernde Erwartungswerte der Variablen die in die Formelgleichung eingehen, würden zu einem veränderten optimalen Hebelfaktor führen.

CARVER (2009) testet einen derartigen ETF des S&P 500‘s mit optimiertem Hebelfaktor. Als Benchmark dient der S&P 500 Index. Für die Bestimmung des optimalen Hebelfaktors benutzt er die implizite Volatilität von Optionen und als risikolosen Zinssatz die USD-LIBOR Rate. Die erwartete Rendite des Indexes hält er konstant bei 5,5 Prozent. Im Beobachtungszeitraum 2005-2007 ist die Performance seines selbstkonstruierten Indexes in etwa gleichgut wie die des Basisindexes.

49

Um einen wirklichen Index mit variablem Hebelfaktor zu konstruieren, bedarf es zwar sicherlich besserer Indikatoren für die Variablen Gleichung (5.29). Dennoch bietet die Konstruktion eines solchen Indexes eine Möglichkeit, die unvorteilhaften Charaktereigenschaften von LETFs in sehr volatilen Zeiten zu verbessern.

Auf der anderen Seite bringen sehr volatile Marktphasen häufig außerordentlich hohe Renditen zustande. Dieses Phänomen könnte die Nützlichkeit des Modells etwas in Frage stellen. In der Empirie müssten Indikatoren gefunden werden, die den Erwartungswert der Rendite und den Erwartungswert der Volatilität des Basisindexes getrennt vorhersagen. Andernfalls bestünde ein Trade-off der Effekte dieser beiden Variablen auf die abhängige Variable in Gleichung (5.29).

5.3.1.4 Das Modell in der Empirie

Zwar ist die positive Auswirkung der Basisrenditen und negative Auswirkung der Varianz auf die Renditen eines gehebelten ETF klar zu erkennen, es wäre aber trotzdem denkbar, dass der konkrete Zusammenhang aus Formel (5.24) die langfristigen Renditen eines LETF nur ungenau approximiert. Dies könnte z.B. der Fall sein, wenn die getroffenen Annahmen über den Kursverlauf der Basisrenditen unzutreffend sind. Im Folgenden möchte ich deshalb kurz darauf eingehen, ob und wie gut sich das Modell in der Praxis bewährt hat.

AVELLANEDA & ZHANG (2009) testen eine leicht modifizierte Variante des Modells, in welchem auch die Kosten der ETFs Berücksichtigung finden. Sie testen das Modell an insgesamt 56 Hebelprodukten. Davon sind 22 Fonds zweifach gehebelt, 22 Fonds zweifach

invers und 12 Fonds dreifach gehebelt. ⁵⁸ Der Betrachtungszeitraum beträgt 308 Handelstage (vom 2. Januar 2008 bis zum 20. März 2009). Die akkumulierte Varianz in Formel (5.24) wird in fünf Tagesabständen berechnet, d.h. sie schätzen die momentane Varianz in einem Intervall von fünf Tagen. Jeder dieser ca. 62 (308:5) Schätzer geht nun gewichtet (mit dem Faktor 5) in die Variationsberechnung über die gesamte Laufzeit mit ein. Die realisierte Performance des Basisindexes über die 308 Handelstage ist dagegen einfacher zu ermitteln und muss nur mit dem Hebelfaktor potenziert werden. Mithilfe dieser Werte für die Variablen aus Formel (5.24) erhält man für jeden Fonds einen Wert für die theoretische Performance. Die theoretische Performance lässt sich mit der tatsächlich realisierten Performance des gehebelten Fonds vergleichen. Im Schnitt liegt die Performancedifferenz zwischen der theoretischen und der tatsächlichen Performance für

⁵⁸ Die 44 zweifach oder zweifach invers gehebelten Produkte sind ETFs von Proshares. Die dreifach

gehebelten Produkte sind ETFs von Direxion Funds.

50

die zweifach gehebelten ETFs bei unter 100 Basispunkten. Auch die der dreifach gehebelten liegt in etwa in diesem Bereich. Die zweifach invers gehebelten ETFs verfehlen die wahre Performance etwas stärker. Die Autoren begründen dies damit, dass die Kosten für die Wertpapierleihe für inverse ETFs als einzige Kosten nicht als erklärende Variable

in ihr Modell mit einflossen. ⁵⁹ Dennoch liegt auch hier die Renditeabweichung im Schnitt unter 200 Basispunkten. Sie kommen deshalb zu dem Schluss, dass Formel (5.24) eine sehr gute Approximation für die langfristigen Renditen von LETFs darstellt.

LU ET AL. (2009) wählen einen etwas anderen Weg. Sie untersuchen die Renditen gehebelter ETFs von vier Basisindizes. Zu jedem Index werden die Renditen eines zweifach und zweifach invers gehebelten ETFs mit unterschiedlichem Zeithorizont untersucht. ⁶⁰ Dabei vergleichen sie jeweils die Renditen der ETFs und der Basisindizes über zwei Tage, fünf Handelstage (eine Woche), 21 Handelstage (einen Monat), 63 Tage (ein Quartal) und 252 Tage (ein Jahr), diese stellen nachher die Beobachtungsgruppen dar. Aufgrund der Neuartigkeit dieser Produkte müssen die Autoren neue Zufallswerte für die

langfristigen Renditen des Basisindexes und dazugehörige Werte der ETFs generieren. ⁶¹ Insgesamt generieren Sie aus den existierenden Daten mittels einer Bootstrapping-Methode, die einen stationären aber schwach abhängigen datengenerierenden Prozess unterstellt, 1000 neue Beobachtungen. Auf diese Art und Weise erhalten sie mehrere Beobachtungswerte kumulierter Renditen der Basisindizes für die oben aufgeführten Laufzeiten und dazugehörige kumulierte Renditen der Hebelprodukte. Für jede Beobachtung errechnen sie die über die gesamte Laufzeit realisierte Varianz und errechnen

daraus die Variation durch Gewichtung der jeweiligen Laufzeit. 62

Die Beobachtungswerte gleicher Laufzeit (2 Tage, 5 Tage, etc.) bilden eine Gruppe. Für jede Gruppe und jeden der vier Indizes wird nun der Zusammenhang zwischen den langfristigen Renditen des gehebelten Fonds und den Renditen und der Variation des Basisindexes geschätzt. Dies passiert durch eine Regression mittels OLS-Verfahren, indem die Renditen des gehebelten ETF auf die Renditen und die Variation des Basisindexes regressiert werden. Die Schätzwerte für die Regressionskoeffizienten der Renditen des Basisindexes sind alle relativ nah an den wahren Hebelwerten der ETFs. Darüber hinaus

⁵⁹ Diese sind für sie nicht beobachtbar und finden in keiner der Variablen Berücksichtigung.

⁶⁰ Alle untersuchten ETFs sind Produkte von ProShares.

⁶¹ Die eigentlichen Zeitreihen reichen von Juli 2006 bis Dezember 2008, für die Renditen eines Jahres

bedeutet dies weniger als drei Beobachtungen.

⁶² Im Gegensatz zu dem Verfahren von AVELLANEDA & ZHANG (2009) gibt es für jeweils eine Beobachtung

nur eine Gesamtvarianz.

51

besitzt die realisierte Variation eine starke Erklärungskraft für die Performance eines ETF. Dies gilt für jede Gruppe jedes ETF. In allen Fällen besteht, wie erwartet, ein signifikant negativer Zusammenhang zwischen der realisierten Variation und der Rendite des gehebelten ETF. Das Bestimmtheitsmaß beträgt in jedem Fall mindestens 95 Prozent und ist für lange Beobachtungszeiträume in der Regel nicht weniger schlecht als für kurze.

In einer zweiten Regression fügen die Autoren die Autovariation als erklärende Variable hinzu. Überraschenderweise hat diese eine noch höhere Erklärungskraft für die Renditen der gehebelten ETFs als die Variation, meine eigenen Untersuchungen konnten diesen Zusammenhang nicht bestätigen (s. Kapitel 6.1.3.3). Darüber hinaus nähern sich die geschätzten Koeffizienten für die Renditen der Basisindizes noch ein bisschen näher ihren theoretischen Hebelwerten an.

Tendenziell bestätigt die Studie von LU ET AL. (2009) die Gültigkeit von Formel (5.24). Je höher die Renditen für den Basisindex ausfallen, desto höher werden ceteris paribus die Renditen des gehebelten ETF ausfallen. Insbesondere werden diese in etwa den Hebelwerten entsprechen. Die realisierte Variation zeigte auch in ihrer Studie eine stark negative Auswirkung auf die Performance eines LETF. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die Interpretation der Höhe der geschätzten Werte der Koeffizienten schwierig ist. LU ET AL. (2009) unterstellen in ihrer Studie für die Regressionsgleichungen einen linearen Zusammenhang zwischen den Laufzeitrenditen der ETFs und den Renditen bzw. den realisierten Variationen der Indizes. Formel (5.24) zeigt, dass in Wirklichkeit jedoch kein linearer Zusammenhang besteht. Die Schätzung müsste ggf. mit logarithmierten Werten wiederholt werden. Es verwundert auch, dass die Autovariationen der Basisindizes einen so hohen Erklärungsgehalt liefern. Für die Performance eines LETF hatte ich argumentiert, dass die Sequenz der Renditen keine Rolle spielt (vgl. Kapitel 5.2.4). Möglicherweise ist aber die Autovariation mit einer anderen Variable korreliert, die einen Erklärungsgehalt für

die Performance der Hebelprodukte liefert. ⁶³ LU ET AL. (2009) liefern zumindest keine stichhaltige Erklärung für die Signifikanz dieses Terms.

Abgesehen von AVELLANEDA & ZHANG (2009) und LU ET AL. (2009) beschäftigen sich viele weitere Autoren mit der historischen oder langfristen Performance gehebelter und inverser ETFs. Viele von ihnen richten ihr Augenmerk aber weniger darauf, ob das Modell

⁶³ Dies würde bedeuten, dass die Koeffizienten der Autovariationen verzerrt wären und nur scheinbar ein

Zusammenhang bestünde (im Sinne eines „omitted-variable bias“).

52

aus Formelgleichung (5.24) gute Ergebnisse liefert, sondern vielmehr darauf, ob LETFs als solche sinnvolle Investitionsprodukte darstellen.

Wann der Medianinvestor theoretisch eine positive Wertentwicklung eines LETF erwarten kann, wurde mithilfe des Modells aus Kapitel 5 gezeigt. Es lassen sich durchaus Situationen konstruieren in denen besonders hohe Renditen für die gehebelten ETFs zu erwarten wären. Ein Hebelprodukt wird demnach außerordentliche hohe Erträge aufweisen, wenn der Basisindex in einem kurzen Betrachtungszeitraum besonders hohe Renditen abwirft, die realisierte Varianz der Renditen hingegen relativ gering ist. Bezieht man in der Praxis die Kosten eines LETF in die Betrachtung mit ein, wird diese Bedingung umso dringlicher. Es stellt sich die Frage, ob diese Marktbedingungen in der Empirie mittel- bis langfristig erfüllt sind.

Überwiegend stellen Artikel der bisher erzielten Performance gehebelter ETFs ein sehr schlechtes Zeugnis aus. Dazu muss man aber bedenken, dass die meisten Studien, die die tatsächlich erzielte historische Performance von LETFs untersuchen, in der jungen Vergangenheit durchgeführt wurden. Diese war von sehr widrigen Markteigenschaften für gehebelte ETFs geprägt. Zu Zeiten der im Jahre 2007 einsetzenden Finanzkrise waren die Märkte sehr volatil und zeitweise stagnierend. Aber auch simulierte Kursverläufe für die Basisindizes von LETFs unterstellten oft Markteigenschaften der jüngeren Vergangenheit. Es könnte deshalb durchaus sein, dass gehebelte ETFs langfristig bessere Resultate erzielen als ihr Ruf.

HILL & FOSTER (2009) sind der Ansicht, dass die meisten bisherigen Artikel ein verzerrtes Bild der Performance gehebelter ETFs wiedergeben. So würden sich die meisten Artikel auf eine sehr volatile Marktphase stützen und hätten sich auf wenige Indizes konzentriert, die ihren Eigenschaften nach auch eher als sehr volatil einzustufen sind. Deshalb untersuchen sie die theoretischen zwei Tages-, wöchentlichen, monatlichen, vierteljährlichen und halbjährlichen Renditen eines zweifach und zweifach inversen ETFs des S&P 500 Indexes. ⁶⁴ Dabei untersuchen sie alle potentiell möglichen Ein- und Austritte einer Investition für die letzten 50 Jahre (1959 bis 2008), d.h. sie benutzen sich überlappende Zeiträume zur Generierung der Beobachtungswerte. Sie beobachten, dass ein ETF auch noch bis zu dreißig Tagen eine Rendite liefert, die nahezu der eines statischen Fonds entspricht. Die Durchschnittswerte sowie die Medianwerte der Renditedifferenz der

⁶⁴ Die Tagesrenditen des S&P 500‘s werden einfach mit den Hebelwerten multipliziert. Von den in der Praxis

anfallenden Kosten eines ETFs wird in dieser Studie abstrahiert.

53

Renditen eines gehebelten ETF und einem theoretisch statisch gehebelten Fonds liegen in den Beobachtungszeiträumen bis zu 30 Tagen sehr nahe an der Null. ⁶⁵ Auch das 25- und 75-Perzentil liegt mit Abweichungen im Bereich von einer Nachkommastelle im vertretbaren Bereich. Für Beobachtungszeiträume über 30 Tage hinaus liefern sie ausschließlich Werte für den tatsächlich realisierten Hebel der ETFs im Gesamtzeitraum. Auch nach 183 Tagen lieferte ein zweifach gehebeltes Produkt in gut 90 Prozent aller Fälle Renditen die dem 1,5 bis 2,5 fachen der Renditen des Basisindexes entsprachen. Bei dem zweifach inversen Produkt lag dieser Wert für das -1,5 bis -2,5 fache bei immerhin 70 Prozent.

Für andere untersuchte Indizes ⁶⁶ , die volatiler waren, liefert die Studie aber schlechtere Ergebnisse. Trotzdem kommen die Autoren zu dem Schluss, dass die Produkte erfolgreiche Langzeitinvestitionen darstellen können, da die aufgelaufenen Zinsen gehebelter ETFs im Schnitt sehr nahe an den mit dem Hebel gewichteten Renditen der Basisindizes lagen. Für einen gehebelten ETF sei die Wahrscheinlichkeit demzufolge in etwa gleichgroß sich besser bzw. schlechter als ein statisch gehebelter Fonds zu entwickeln.

Für die 30-Tagesrenditen untersuchen sie darüber hinaus, welche Faktoren die Renditedifferenzen verursachen. Prinzipiell geht eine geringe Volatilität mit einer geringen Performancedifferenz zwischen einem LETF und einem theoretischen, statischen Fonds einher. Eine hohe Volatilität kann zu großen Performanceeinbußen der ETFs führen. Viel interessanter ist jedoch die Entdeckung, dass auch die Marktphasen, in denen ETFs sehr viel höhere Renditen lieferten als ein statisch gehebelter Fonds, durch eine hohe Volatilität gekennzeichnet waren. Dies kann im ersten Moment überraschen, jedoch gibt es eine Erklärung für dieses Phänomen. Sowohl hohe als auch sehr niedrige Renditen, scheinen mit einer hohen Volatilität korreliert zu sein. Marktphasen mit einer sehr hohen Volatilität tragen also das Risiko hoher Verluste, bergen aber auch die Chance auf sehr hohe Renditen. HILL & FOSTER (2009) leiten aus diesem Grund einen U-förmigen Zusammenhang zwischen der Höhe der Renditen und der Volatilität eines Indexes her. Außerdem schlussfolgern sie, dass sich eine hohe Marktvolatilität nicht zwangsweise nur negativ auf die Renditen eines gehebelten Fonds auswirken muss.

⁶⁵ Die Abweichungen liegen prozentual gesehen im Bereich von zwei Nachkommastellen.

⁶⁶ Insbesondere dem NASDAQ-100, dem Dow Jones Oil & Gas und dem Dow Jones Financials

54

Obwohl es sicherlich noch weiterer Tests bedarf, deuten erste Ergebnisse darauf hin, dass Formel (5.23) eine gute Approximation für die langfristige Performance gehebelter ETFs darstellt.

Die Formel zeigt aber auch auf, dass eine Investition in einen LETF allgemeinen Problemen unterliegt. Auf der einen Seite kann sie dem kurzfristig orientierten Investor beträchtliche Renditen liefern, wenn der Investor eine für den Fonds günstige Marktphase erwischt und den richtigen Ein- und Ausstiegspunkt wählt. Die vervielfachten, aufgelaufenen Zinsen können durch eine zinseszinsartige Entwicklung für eine signifikante Outperformance des Basisindexes sorgen.

Indes wirft das Produkt für langfristig orientierte Investoren einige Fragen auf. So wäre es durchaus interessant, die kumulierten Renditen, die ein gehebelter ETF in der Empirie abwirft, weiterhin zu beobachten. So könnte die Frage nach der Sinnhaftigkeit von einem „buy-and-hold-Investment“ in einem LETF in praktischer Hinsicht beantwortet werden.

Außerdem gilt es den Zusammenhang zwischen der Varianz eines Indexes und seinen erwarteten Renditen weiter zu ergründen. Es könnten sich dann einige Marktphasen und Indizes herauskristallisieren, die sich besser für ein langfristiges Engagement in einem LETF eignen als andere. Dass eine einstweilig hohe Varianz immer ungünstig für die Rendite eines LETF ist, muss man indes relativieren. Durchaus bergen volatile Marktphasen die Chance auf hohe Renditen. Theoretisch ist z.B. eine Marktphase vorstellbar, in der ein Index zwar sehr volatil ist, aber ausschließlich positive Renditen abwirft.

Möglichkeiten zur Identifizierung und Vorhersage von bestimmten Marktphasen wäre gerade bezüglich gehebelter ETFs von besonderer Relevanz.

55

6 Modellierung der langfristigen Renditen von gehebelten ETFs

der Deutschen Bank

In der Praxis haben Investoren sicherlich vielerlei Motive in gehebelte ETFs zu investieren. So mögen es strategisch orientierte Investoren auf die außerordentlich hohen Renditen abgesehen haben, die ein LETF über einen relativ kurzen Investitionszeitraum liefern kann. Andere Investoren suchen vielleicht nach einer langfristigen Investition zur Ergänzung ihres Portfolios. Wiederum andere suchen nach der Möglichkeit, die Renditen eines Referenzportfolios zu übertreffen oder angesichts knappen und kostbaren Kapitals ein Referenzportfolio in effizienter Weise zu hedgen.

Dieses Kapitel soll aufzeigen, wie die Renditen von LETFs modelliert werden können, um herauszufinden, welche Performance mittel- bis langfristig von ihnen zu erwarten ist. Je nach Beweggrund für die Investition in einen gehebelten ETF wird sich der Investor unterschiedliche Fragen stellen: So ist von Interesse, welche Renditen ein LETF mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert bzw. welche Verluste er im Extremfall erleidet. Im Hinblick auf meine Ausführungen in Kapitel 5 muss als sehr wahrscheinlich angenommen werden, dass die Renditen eines LETF langfristig von denen eines statisch gleichgehebelten Fonds abweichen. Dementsprechend muss auch geklärt werden, wie untersucht werden kann, welcher Hebelfaktor von LETFs bei langfristigen Investitionen zu erwarten ist.

Nicht zuletzt soll diese Arbeit zur Literatur beitragen, die die Zuverlässigkeit der Approximation langfristiger Renditen von LETFs aus Formelgleichung (5.24) untersucht. Es ist denkbar, dass das Modell unter realistischen Annahmen in der Praxis nur unzuverlässige Ergebnisse liefert - selbst wenn es einen guten Erwartungswert für die Renditen eines LETF liefert, können die tatsächlichen Renditen sehr stark um diesen Erwartungswert streuen.

Darüber hinaus werfen viele Fachautoren immer wieder die Frage nach der Eignung solcher Instrumente für einen langfristig orientierten Investor auf. ⁶⁷ In Kapitel 5.3.1.2 wurde eine Bedingung hergeleitet, nach der sich die Investition in einen LETF auch langfristig lohnen wird. In der Praxis wird eine auf längere Zeit ausgerichtete Investition

⁶⁷ vgl. YATES & KOK (2007) oder CHENG & MADHAVAN (2009)

56

dann rentabel sein, wenn dem Verlustrisiko hinreichend große Chancen auf Gewinne gegenüberstehen.

In jedem Fall untersuchen wir die zukünftigen Renditen eines gehebelten ETF aus Sicht

eines quasi-effizienten ⁶⁸ Marktes. Wir schätzen also den scheinbar datengenerierenden Prozess und extrapolieren das Fortbestehen dieses Prozesses. Es ist durchaus vorstellbar, dass z.B. veränderte strukturelle Variablen dazu führen, dass die Renditen einem anderen Prozess folgen. Darüber hinaus mag vor allem ein kurzfristig orientierter Investor seine Anlageentscheidungen auf ganz andere Prognosen oder Informationen stützen, welche

wiederum vollkommen andere Anlagestrategien oder Intervallschätzer ⁶⁹ für die Renditen der LETFs implizieren. Doch auch in diesem Fall kann die hier gezeigte Methodik zur Modellierung der langfristigen Renditen eines LETF mit leicht veränderten Annahmen oder Variablen verwendet werden.

In Kapitel 5.3.1.4 wurde erwähnt, dass bereits andere Autoren die langfristigen Renditen eines LETF untersucht haben. In den häufigsten Fällen haben diese die historischen Renditen existierender LETFs geprüft (z.B. MACKINTOSH 2008; 2009b) oder Renditen untersucht, die durch eine Modellierung mit anschließender Simulation entstanden (vgl. CARVER 2009)

Auch im Rahmen dieser Arbeit werden die Renditen modelliert und simuliert. Allerdings greife ich für die Modellierung der Renditen auf ein ARMA-GARCH-Modell zurück, während in den bisherigen Quellen meist ein Itô-Prozess als Grundlage der Renditemodellierung gewählt wurde. Für die langfristige Performance von LETFs stellt jedoch die realisierte Varianz im Investitionszeitraum einen wesentlichen Einflussfaktor dar. Darüber hinaus beobachteten LU ET AL. (2009) einen starken Zusammenhang zwischen den Autovariationen der Renditen der Basisindizes und der Performance gehebelter ETFs. Im Vergleich zu den bereits verwendeten Modellen liegen einem ARMA-GARCH-Modell meines Erachtens realistischere Annahmen bezüglich der Eigenschaften empirischer Renditen zu Grunde. So kontrolliert es beispielsweise für Autokorrelationen,

⁶⁸ „Quasi-effizient“ meint, dass der datengenerierende Prozess keine Eigenschaften aufweist, die dem

Investor ex-ante irgendwelche Arbitragemöglichkeiten bieten. Auch ein leicht autokorrelierter Prozess muss

nicht unbedingt von Arbitragemöglichkeiten zeugen, da die Transaktionskosten zu groß sein können, um

diese Information auszunutzen.

⁶⁹ Wir simulieren aus den stochastischen Prozessen, die wir für jeden Index bilden, sehr viele mögliche

Kursverläufe eines Basisindexes. Wir erhalten also mehrere mögliche Werte, die der Basisindex am Ende

einer gewissen Beobachtungsperiode einnehmen kann. Folglich erhalten wir keinen einzelnen Schätzwert für

die Entwicklung eines Indexes (einen Punktschätzer) sondern einer Verteilung an Schätzwerten

(Intervallschätzer).

57

für Volatilitätscluster und für eine leptokurtische Verteilungskurve der Renditen. Diese Merkmale könnten gerade für die Performance eines LETF eine nicht unwesentliche Rolle einnehmen und sollten daher meiner Meinung nach explizit berücksichtig werden. Außerdem wird der Zusammenhang aus (5.24) genau unter der Annahme eines Itôs Prozesses hergeleitet. Es darf also nicht verwundern, wenn er, für die aus einem Itô-Prozess hervorgehenden Renditen, gute Ergebnisse liefert. Allerdings wäre es ein starkes Argument für das Modell, wenn es auch unter leicht erschwerten Bedingungen gute Ergebnisse liefern würde.

Der Aufbau dieses Kapitels sei hier folgendermaßen skizziert: Zunächst beschreiben wir kurz den verwendeten Datensatz zur Schätzung der Modellgleichungen für die Renditen der Basisindizes. Danach erfolgt die Beschreibung der Methodik der Modellierung der datengenerierenden Prozesse und der anschließenden Simulation langfristiger Renditen von LETFs. Anschließend untersuche ich die langfristigen Renditen gehebelter ETFs. Zu guter Letzt werten ich aus und liefere eine Schlussfolgerung meiner Ergebnisse.

6.1 Daten & Methodologie

Die zukünftigen, langfristigen Renditen der inversen, zweifach inversen und zweifach gehebelten ETFs der Deutschen Bank sollen geschätzt werden. Dabei handelt es sich um

ETFs auf den DAX, den Euro STOXX 50, den S&P 500 und den FTSE 100. 70

Wie LU ET AL. modellieren wir die Performance dieser Fonds über einen Zeitraum von 5 Handelstagen (eine Woche), 21 Handelstagen (einen Monat), 63 Handelstagen (ein Quartal), 128 Handelstagen (ein halbes Jahr) und 252 Handelstagen (ein Jahr).

Dazu werden wir zunächst den datengenerierenden Prozess aus den historischen Kursdaten der Basisindizes dieser Fonds schätzen. Es besteht das Problem der Wahl des Zeithorizonts der historischen Daten, aus dem wir die Prozesse schätzen. Zwar führt die Wahl eines längeren Zeitraums aufgrund der größeren Datenmengen zu einer höheren Genauigkeit der Schätzung, auf der anderen Seite können sich die Parameter für den datengenerierenden Prozess über die Zeit ändern und zu weit zurückliegende Daten irrelevant sein. HULL (2009, S. 354) schlägt als Faustregel einen Zeithorizont vor, der so lange ist, wie der Zeithorizont der zu prognostizierenden Renditen In unserem Fall lassen wir deswegen die

⁷⁰ Obwohl die Deutsche Bank eigentlich keinen doppelt inversen ETF des FTSE 100 führt, modellieren wir

die theoretische Performance eines solchen Fonds mit.

58

Schlusskurse der Basisindizes eines Jahres (vom 16.12.2009 bis zum 15.12.2010) in unsere Schätzung mit einfließen.

Abbildung 4: Die historische Kursentwicklung der Basisindizes der zu modellierenden LETFs (01.01.2007 -

15.12.2010)

Abbildung 4 stellt die Kursentwicklung der vier Basisindizes dar. Alle Daten rechts der vertikalen dunkelblauen Linie fließen in unser Daten-Sample zu Schätzung des Prozesses der Basisrenditen mit ein. Etwa ein Jahr zuvor (Anfang 2009) hatten alle Indizes einen Tiefpunkt erreicht. Die Zeit danach spiegelt eine Erholung der Aktienkurse wider. Der Aufwärtstrend hat sich zwar etwas abgeschwächt, wird aber von unserem Beobachtungszeitraum noch erfasst. Bei weiterhin positiven Nachrichten für die Aktienmärkte ist es nicht ausgeschlossen, dass sich dieser Trend fortsetzt. Je länger sich der Aufwärtstrend fortsetzt, desto wahrscheinlicher wird es zwar, dass er sich abschwächt (dies hätte negative Auswirkungen auf die Performance unserer ETFs) auf der anderen Seite könnte dies aber mit sinkenden Marktvolatilitäten einhergehen (dies hätte positive Auswirkungen). Negative Nachrichten hingegen könnten eine Trendumkehrung oder Stagnation der Aktienindizes verursachen. In diesem Fall würden die langfristigen Renditen der Basisindizes im unteren Bereich unserer später durchgeführten Intervallschätzung liegen.

6.1.1 Schätzung der Modellgleichungen

Die datengenerierenden Prozesse der Basisindizes sollen mithilfe eines ARMA-GARCH-Prozesses modelliert werden. BROOKS (2008, S. 392 ff.) schlägt zur Schätzung eines

59

ARMA-GARCH-Modells ein zweistufiges Verfahren vor. Für die Anpassung der GARCH-Terme sei es notwendig, eine Vorstellung von der Mittelwertsgleichung (d.h. der ARMA-Struktur) des datengenerierenden Prozesses zu besitzen. Wir folgen seiner Argumentation und bestimmen in einem ersten Schritt diejenigen ARMA-Terme, die eine Signifikanz für den datengenerierenden Prozess besitzen. Diese fließen dann auch später in die Maximum-Likelihood-Schätzung mit ein, in der die ARMA- und GARCH-Koeffizienten in einer Schätzung gemeinsam bestimmt werden. Die losgelöste Anpassung eines ARMA-Modells erfolgt also nur, um die relevanten AR- und MA-Terme unserer Regressionsgleichung ausfindig zu machen. Die konkreten Werte für die Koeffizienten des ARMA(p,q)-Modells werden deshalb erst im zweiten Schritt gemeinsam mit den Werten für die Koeffizienten der GARCH-Terme bestimmt. Der Vollständigkeit halber sind im nächsten Kapitel aber auch die geschätzten Koeffizienten für die AR- und MA-Terme aus dem ersten Schritt aufgeführt.

6.1.1.1 Erster Schritt: Schätzung des ARMA(p,q)-Modells

Der datengenerierende Prozess der Kurse des DAX, des FTSE 100, des Euro STOXX 50 und des S&P 500 besitzt für die Schätzung eines Modells höchst unvorteilhafte Eigenschaften. Alle Zeitreihen der Kursdaten sind instationär. ⁷¹ Die Kursverläufe sollten deshalb zunächst in einen stationären Prozess überführt werden. Dazu errechnen wir die logarithmierten Renditen (ln − ln ) der Indizes. Trotz der Umformung lassen sich die logarithmierten Renditen immer noch gut interpretieren, da sie näherungsweise den nicht-logarithmierten Renditen entsprechen. ⁷² Logarithmierte Renditen besitzen gegenüber nichtlogarithmierten Renditen den Vorteil, dass diese gemäß dem Modell aus Formel (5.14)

bessere Verteilungseigenschaften besitzen, d.h. sie sollten theoretisch normalverteilt sein. 73

Anschließend schätzen wir den datengenerierenden Prozess der Renditen. Dabei kontrollieren wir durch die ARMA-Terme für die Autokorrelation der Renditen. In der Zeitspanne vom 16.12.2009 bis zum 15.12.2010 stehen je nach Index 242 bis 253 Beobachtungen für die Schätzung einer Regressionsgleichung zur Verfügung. Aus diesen passen wir einen ARMA(p,q) Prozess an. Ein allgemeines ARMA-Modell für die Renditen mit einem autoregressiven Prozess des Grades p und einem Moving-Average-Prozess des Grades q ist gegeben durch:

⁷¹ Alle Kurse der Basisindizes wurden mittels eines ADF- und KPSS-Tests unter Zuhilfenahme einer

Konstanten auf Stationarität überprüft. Die Ergebnisse dieser Tests wiesen beide und zu jedem bekannten

Signifikanzniveau auf einen instationären Prozess aller Kursdaten hin.

⁷² Für einen Beweis, siehe Appendix 8.4.1.

⁷³ Insbesondere weisen die logarithmierten Renditen eine geringere Schiefe auf. Siehe Appendix 8.4.

60

Die aktuelle Rendite ( ) wird also erklärt von einer Konstanten (), von zeitverzögerten Werten von sich selbst ( ), von einem normalverteilten Residuum ( ) und von zeitverzögerten Werten des Residuums ( ). Für = 1 gilt der zeitverzögerte Wert eines Tages, usw.

Um über die Anzahl der ARMA-Grade zu entscheiden, die in die Regressionsgleichung mit aufgenommen werden sollen, benutzen wir Informationskriterien. Im Gegensatz zum Box-Jenkins Verfahren, bei dem das Modell vor allem durch eine graphische Analyse der Korrelogramme identifiziert wird, liefern Informationskriterien eine meiner Meinung nach etwas objektivere Methode zur Bestimmung der Anzahl der ARMA-Grade.

Dabei gilt es, dasjenige Modell zu wählen, welches das entsprechende Informationskriterium minimiert. Ein Informationskriterium besteht aus zwei Faktoren: einem Term, der eine Funktion der Summe der quadrierten Residuen darstellt und einem Strafterm für den Verlust der Freiheitsgrade. Das Hinzufügen einer neuen Variable wird also zwei konkurrierende Effekte für das Informationskriterium haben. Zum einen wird der Erklärungsgehalt der Regressionsschätzung größer (der erste Term sinkt), dies passiert allerdings auf Kosten eines Freiheitgrades (der zweite Term steigt). Das Informationskriterium liefert also eine Auskunft darüber, welcher Effekt überwiegt.

An dieser Stelle soll nach Akaikes Informationskriterium entschieden werden. ⁷⁴ Überdies wird angenommen, dass das ARMA-Modell höchstens dem Grad (6,6) entspricht. D.h. ich teste für einen autokorrelativen Prozess, der Terme umfasst, die bis zu 6 Tage (z.B. von einem Montag bis zum darauffolgenden Montag) zurückreichen können. Dabei fügen wir der Schätzung zunächst sukzessiv AR-Terme zu. Falls diese signifikant sind und das Informationskriterium senken, werden sie in die Modellgleichung mit einbezogen. Sollte durch Hinzunahme eines neuen AR-Terms ein alter insignifikant werden, der neue Term jedoch signifikanter sein, so deutet dies auf Multikollinearität hin und der neue Term wird

anstelle des altern Terms beibehalten. ⁷⁵ Anschließend wurden auf gleiche Weise MA-Terme hinzugenommen. Eine Konstante wurde immer in die Modellgleichungen mit einbezogen.

⁷⁴ Dieses Kriterium gewichtet den Strafterm schwächer als andere Kriterien (d.h. als das Bayessche-

Kriterium nach Schwarz oder als das Hannan-Quinn-Kriterium). Es führt deshalb oft zu einem Modell mit

größerem Erklärungsgehalt.

⁷⁵ Diese Methodik führt in meinem Fall immer gleichzeitig zur Senkung des vorgeschlagenen

Informationskriteriums.

61

BROOKS (2008, S. 234 ff.) nutzt bei der Modellierung eines ARMA Prozesses zwar auch das Informationskriterium als Entscheidungsfaktor, allerdings gehen bei ihm gleich alle Terme bis zum Grad p für den AR-Prozess und bis zum Grad q für den MA-Prozess in die Regressionsgleichung mit ein. Er wählt dann dasjenige Modell, welches das Informationskriterium minimiert. Die hier vorgeschlagene Methode brauchte weniger Schätzungen für die Wahl des Modells. Sie erzeugte außerdem Modelle, welche das

Informationskriterium stärker senkten und in der Regel auch sparsamer waren. ⁷⁶ Es sei an dieser Stelle trotzdem darauf hingewiesen, dass die Suche nach einem geeigneten Modell immer etwas Tüftelei erfordert und verschiedene Ansätze (z.B. die Nutzung der graphischen Identifizierung eines Modells oder die Nutzung eines bzw. verschiedener Informationskriterien) mehrere mögliche Ergebnisse für die Wahl eines Modells zulassen. Es ist dennoch nicht ausgeschlossen, dass ARMA-Modelle unterschiedlicher Ordnung die Merkmale einer Zeitreihe in ähnlich guter Weise beschreiben.

Das Ergebnis einer Schätzung für die Renditen des DAX ist exemplarisch in Appendix 8.6 aufgeführt. Für die logarithmierten Renditen des DAX in haben wir also die folgende Modellgleichung geschätzt:

Auf die oben beschriebene Weise wurden Schätzgleichungen eines ARMA(p,q)-Modells für alle vier Indizes identifiziert. Die folgende Tabelle liefert eine Übersicht aller

ermittelten Schätzgleichungen in Lag-Schreibweise ⁷⁸ :

⁷⁶ Appendix 8.5 stellt die Ergebnisse beider Methoden, am Beispiel der für den DAX durchgeführten

Regressionschätzungen, gegenüber.

⁷⁷ Der Koeffizient der Konstante, weicht von dem Wert des Schätzergebnisses im Appendix ab. Der Wert aus

dem Output im Appendix spiegelt den unerwarteten Erwartungswert wider (siehe Appendix 8.6).

⁷⁸ Der Lag-Operator ist gleichbedeutend mit einer Zeitverzögerung. Es gilt also z.B.:

= = , usw.

62

Die obige Tabelle beinhaltet die geschätzten ARMA-Modellgleichungen für die logarithmierten Renditen aller vier Basisindizes. Jede Gleichung lässt sich wie die des DAX aus (6.1) ausschreiben. Die ARMA-Gleichungen liefern u.a. den unbedingten Erwartungswert denen die Renditen folgen. Diese sind in der Spalte ganz rechts gelistet. Der DAX verspricht laut unserer Modellgleichung den höchsten Erwartungswert für die Renditen, während der Euro STOXX die niedrigsten Renditen aufweist.

Die ARMA-Terme aus unseren Schätzgleichungen konnten zwar für einen Teil der leptokurtischen Eigenschaften der Renditen kontrollieren, jedoch hatten die Residuen auch nach Anpassung der ARMA-Modelle noch stark leptokurtische Verteilungen. Es ließen sich außerdem signifikante Autokorrelationen in den Korrelogrammen der quadrierten Residuen aller vier Indizes finden. Trotz der Anpassung der ARMA Terme ist also nicht davon auszugehen, dass die Residuen der Renditen normalverteilt sind. Dies deutet darauf hin, dass die Störterme heteroskedastisch sind, d.h., dass sich die Varianzen der Störterme im Zeitablauf ändern.

Zur endgültigen Bestimmung der datengenerierenden Prozesse sollen deshalb zusätzlich GARCH(1,1)-Terme in die Modellgleichungen mit einfließen. Die Schätzergebnisse dieser Modellgleichungen werden dann für die Modellierung der logarithmierten Renditen verwendet. Es ist zu erwarten, dass der Prozess für die Volatilität neben dem Prozess des Erwartungswertes einen entscheidenden Faktor für die Performance der gehebelten ETFs darstellen wird.

6.1.1.2 Zweiter Schritt: Anpassung der ARMA-GARCH(1,1)-Modelle

In Kapitel 5.3.1 wurde gezeigt, dass die Varianz eines Basisindexes einen entscheidenden Faktor für die Performance eines gehebelten börsengehandelten Fonds darstellt. Um die langfristige Performance von LETFs zu simulieren, soll die Varianz explizit in den hier beschriebenen Modellen berücksichtigt werden. Idealisierend wird in einfacheren Modellen der Zeitreihenanalyse davon ausgegangen, dass die Residuen zu jedem Zeitpunkt die gleiche Varianz besitzen und normalverteilt sind. In der Empirie wurde jedoch beobachtet, dass Renditen häufig leptokurtische Verteilungen aufweisen. Im Gegensatz zu einer Normalverteilung häufen sich dabei die Beobachtungen um den Mittelwert und an den Rändern der Verteilung. Für die Renditen der Basisindizes bedeutet dies, dass vermehrt durchschnittliche, aber auch vermehrt sehr extreme Werte beobachtbar sind. Darüber hinaus treten bei empirischen Renditen sehr häufig Volatilitätscluster auf. In Zeitpunkten vor denen eine erhöhte bzw. verminderte Volatilität beobachtet wurde, ist

63

demnach die Wahrscheinlichkeit relativ hoch, dass die Volatilität hoch bzw. niedrig bleibt. Das führt dazu, dass Renditen längere Phasen erhöhter oder verminderter Volatilität aufweisen.

Ich möchte im Folgenden kurz eine intuitive Vorstellung davon entwickeln, warum die Modellierung dieser Eigenschaften von Bedeutung sein könnte. Die leptokurtische Eigenschaft impliziert extremere Verteilungen der täglichen Renditen des Basisindexes um einen Durchschnittswert. Dies bedeutet, dass auch die Renditen der LETFs extremer um einen Durchschnittswert verteilt wären.

Tabelle 10 zeigt, die theoretische Rendite zweier Assets über vier Zeitpunkte. Sie liefern beide die gleiche Durchschnittsrendite. Angegeben sind außerdem der Anfangs- und Endwert beider Wertpapiere. Trotz der gleichen Durchschnittsrendite liefert das erste Wertpapier mit der weniger extremen Verteilung der Renditen einen höheren Endwert als das zweite mit der extremeren Verteilung der Renditen. Die leptokurtischen Eigenschaften der Basisrenditen bedeuten deshalb höchstwahrscheinlich eine Performanceeinbuße für die Renditen unserer LETFs.

Dies heißt nicht zwangsweise, dass der Zusammenhang aus Formelgleichung (5.24) an Gültigkeit verliert. Das zweite Asset ist durch eine höhere Varianz der Renditen gekennzeichnet. Auch aus der Gleichung gingen also niedrige Werte für die langfristigen Renditen der LETFs hervor.

Es wäre zwar durchaus vorstellbar, dass die Formelgleichung an Gültigkeit verliert. Ob sie die langfristigen Renditen im Falle leptokurtischer Renditen aber überschätzt oder unterschätzt, lässt sich schwer einschätzen. In jedem Fall sei darauf hingewiesen, dass die Abweichung von der Annahme einer Normalverteilung zu Problemen für den Zusammenhang aus Gleichung (5.24) führen kann.

Bei Volatilitätsclustern ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine hohe oder eine niedrige Volatilität in einer bestimmten Phase anhält, erhöht. Dies bedeutet, dass einige der

64

simulierten Kurspfade eines Basisindexes eine sehr hohe Volatilität besitzen werden, andere wiederum eine eher geringere. Dies sollte zur Folge haben, dass auch die Intervallschätzer für die Renditen eines Basisindexes und gehebelten ETFs größer werden. Wir werden also am Investitionsende über einen bestimmten Zeitraum kumulierte Renditen beobachten, die stärker streuen. Dies gilt insbesondere für kurze Investitionshorizonte. Langfristig wird es trotz Volatilitätscluster aufgrund der großen Zahlen immer Wahrscheinlicher, dass alle Kurspfade in etwa die gleiche Durchschnittsvarianz besitzen (und zwar den unbedingten Erwartungswert der Varianz des datengenerierenden Prozesses).

Im Folgenden möchte ich deshalb für jeden der Basisindizes ein ARMA-GARCH(1,1)-Modell schätzen. Dieses Modell sollte für einen Großteil der leptokurtischen Charaktereigenschaften der Residuen und für Volatilitätscluster kontrollieren. Das GARCH-Modell ist ein sehr sparsames Modell. Trotz weniger geschätzter Parameter wird die bedingte Varianz von der realisierten Varianz der gesamten Historie abhängen. Wie ein Großteil der Literatur in der Finanzökonomie werden wir uns auf die Schätzung eines GARCH(1,1)-Modells beschränken. Dieses ist im Normalfall hinreichend groß, um für die Autokorrelationen in den quadrierten Residuen zu kontrollieren (vgl. BROOKS 2008, S. 394).

Die GARCH-Modelle werden hier mittels Maximum-Likelihood-Methode in EViews geschätzt. In die Maximum-Likelihood-Schätzung gehen alle Terme des gleichen Grades mit ein, die auch in der Schätzung für den ARMA-Prozess als relevant erachtet wurden. Das bedeutet z.B., dass für den DAX die Konstante, ein AR(2)- und ein MA(2)-Term als Parameter in das Optimierungsproblem für das Maximum-Likelihood Verfahren mit einfließen.

Aus der Schätzung erhalten wir jeweils eine Gleichung für die Renditen (i) und eine Varianzgleichung für die Residuen der Renditen (ii). Aus ersterer lassen sich die unbedingten und die bedingten Erwartungswerte der Renditen und aus letzterer die

unbedingten und bedingten Erwartungswerte der Varianz der Residuen ablesen. ⁷⁹ Die geschätzten Prozesse für die logarithmierten Tagesrenditen des jeweiligen Indexes lassen sich wie folgt darstellen:

⁷⁹ Die Varianz der Tagesrenditen ergibt sich aus Formelgleichung (i) und (ii).

65

DAX:

FTSE 100:

Euro STOXX 50:

S&P 500:

Wir verzichten an dieser Stelle auf eine genaue Charakterisierung der vier geschätzten

Prozesse. ⁸⁰ Viele Eigenschaften lassen sich aber später implizit aus den simulierten Beobachtungswerten für die Tagesrenditen ablesen.

Die Gleichungen (i) und (ii) jedes Indexes bilden die Grundlage für die Modellierung der Renditen. Ich unterstelle im Folgenden, dass diese Gleichungen den wahren datengenerierenden Prozess der logarithmierten Tagesrenditen widerspiegeln. Zur Modellierung benötigen wir außerdem eine Vorstellung über die Verteilung der Residuen für die Gleichungen der Indizes. Wenn unsere Schätzgleichungen eine gute Anpassung für die unbeobachtbaren wahren Prozesse der Renditen darstellen, dann besitzen die Residuen die Verteilung aus Formel (6.2). Um Aufschluss darüber zu erhalten, ob die Modellgleichungen (i) und (ii) gute Approximationen für die datengenerierenden Prozesse

⁸⁰ Dies betrifft z.B. die Berechnung der theoretischen Varianz der Tagesrenditen, langfristig erwartete

Renditen etc. Die Prozesse werden hinreichend durch die simulierten Werte und durch die Tabellen aus

Kapitel 6.1.3 charakterisiert.

66

der Indizes darstellen, untersuchen wir die standardisierten Residuen der Schätzgleichungen. Dabei haben wir der Genauigkeit halber einen Blick auf die

Histogramme ⁸¹ der standardisierten Residuen ⁸² geworfen. Im Falle des DAX und des FTSE 100 kann die Nullhypothese normalverteilter Residuen zu keinem herkömmlichen Signifikanzniveau abgelehnt werden. ⁸³ In zwei Fällen gehen wir davon aus, dass die obigen Modelle gut für die leptokurtischen Eigenschaften und die Schiefe der Residuen kontrollieren. Im Falle des S&P 500 und des Euro STOXX 100 muss die Nullhypothese normalverteilter Residuen zwar abgelehnt werden, jedoch zeigten die Residuen auch in diesem Fall eine signifikante Verbesserung hinsichtlich einer Normalverteilung nach der Anpassung der Modellgleichungen. Die Schätzgleichungen aus (i) und (ii) kontrollieren also auch in diesem Fall zumindest für einen großen Teil der leptokurtischen und schiefen Eigenschaften der Residuen. Zur Modellierung der Renditen aller vier Basisindizes unterstellen wir deshalb die folgende Verteilung der Resiuden:

Dabei stellt eine identisch, unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariable dar. Ein Residuum in ergibt sich aus der Gewichtung eines Wertes dieses Zufallsprozesses mit der bedingten Standardabweichung des Residuums in . Die Standardabweichung ( ) ergibt sich aus der Quadratwurzel des Wertes aus Gleichung (ii) des jeweiligen Indexes in . Die ) ist abhängig von der Zeit. Folglich ist zwar eine unabhängige, aber nicht identisch verteilte Zufallsvariable.

6.1.2 Simulation der Renditen für die ETFs

Um die zukünftigen Renditen über die gewählten Zeiträume zu modellieren, verwenden wir unter der Annahme, die wahren datengenerierenden Prozesse der Basisindizes geschätzt zu haben, die Formelgleichungen (i), (ii) und (iii) aus dem vorhergehenden Kapitel. In diesem Kapitel soll beschrieben werden, wie die Simulation durchgeführt wurde. Zunächst simulieren wir aus den Formelgleichungen ein Beobachtungspanel für die Renditen der Basisindizes.

⁸¹ Die Histogramme sind in Appendix 8.8 abgebildet.

⁸² Wir untersuchen nun nicht mehr auf vorhandene Autokorrelationen in den Residuen und quadrierten

Residuen. Dies wurde bereits bei der Anpassung eines ARMA-GARCH-Modells getan. Dabei war bei der

Untersuchung der Autokorrelogramme der Residuen und der quadrierten Residuen keine signifikante

Autokorrelation in allen vier Indizes feststellbar.

⁸³ Die Nullhypothese eines Jarque-Bera-Tests.

67

6.1.2.1 Erzeugung der Zeitreihen der Tagesrenditen für die Basisindizes

Zu Beginn erzeugen wir für jeden Basisindex 1000 Zeitreihen à 252 Tagesrenditen (für die 252-tägigen Renditen) in Excel. ⁸⁴ Diese sind gemäß den Gleichungssystemen - bestehend aus Gleichung (i), (ii) und (ii) - der vier Indizes gebildet worden. Für jeden Index müssen also alle relevanten Variablen für die drei Gleichungen in Excel gebildet werden. Dazu sind folgende Schritte notwendig:

1. Zuerst erzeugen wir 1000 Zeitreihen à 252 Zufallswerte einer Standardnormalverteilung (für [[ ], vgl. Formel (6.2)). Dieser Schritt erfolgt für jeden Index separat.

2. Als nächstes bilden wir die Störterme ( ) für jeden Beobachtungswert. Dazu gewichten wir die Zufallswerte aus Schritt 1 mit der Wurzel aus der bedingten Varianz (siehe Schritt 4) gemäß Formel (6.2). ) werden durch Quadratur der Werte aus Schritt 2 gebildet.

4. Für die Zeitreihen der Varianzgleichungen benutzen wir für jeden Index die )

entsteht durch Aufsummierung der Konstanten eines zeitverzögerten quadrierten ) aus Schritt 3 und des zeitverzögerten Wertes von sich selbst für den DAX).

5. Anschließend bilden wir aus der Strukturgleichung (i) für den jeweiligen Index Beobachtungswerte für die Renditen ( ). In diese fließen die Konstante, zeitverzögerte Werte der Residuen ( ), das Residuum und ein zeitverzögerter Wert der Rendite ( ) mit ein. Die Residuen, die in die Gleichung mit eingehen, sind bereits in Schritt 2 erzeugt worden.

Durch das obige Verfahren erhalten wir für jeden Index 1000 Zeitreihen à 252 Zufallswerte für die täglichen Renditen. Jede simulierte Zeitreihe stellt dabei eine Beobachtung der theoretischen Tagesrenditen eines Jahres dar.

Jede Zeitreihe ist dabei durch die typischen Charakteristika (Volatilitätscluster, autokorrelierte Renditen etc.) empirischer Renditen gekennzeichnet, für die in den hier

⁸⁴ In Wirklichkeit wurden sogar 500 Werte pro Zeitreihe erzeugt. Die ersten 248 Zufallswerte wurden jedoch

wieder gelöscht, um wechselnde, zufällige Anfangsbedingungen für die Varianz- (ii) und die

Mittelwertsgleichungen (i) zu erhalten. Außerdem musste sicher gegangen werden, dass die Momente der

Renditen und Varianzgleichungen gegen ihre wahren Werte konvergierten, schließlich braucht man durch die

zeitverzögerten Variablen in der Varianz- und Mittelwertsgleichung bereits Anfangswerte für die Variablen.

68

verwendeten ARMA-GARCH-Modellen kontrolliert wurde. Man erinnere sich, dass die Schätzgleichungen für die logarithmierten Renditen gelten. Alle 252 Werte einer Zeitreihe werden deshalb schließlich exponenziert, um herkömmliche Renditen eines Basisindexes zu erhalten. Durch Akkumulieren der so gewonnenen Tagesrenditen erhalten wir schließlich 1000 Zeitreihen der theoretischen Performance eines Jahres für jeden Basisindex. Die ersten fünf Beobachtungen der 1000 Zeitreihen stellen die theoretische Performance eines 5-Tages-Zeitraums dar, die ersten 21 die eines 21-Tages Zeitraums usw.

6.1.2.2 Erzeugung der Zeitreihen für die ETFs

Die LETFs der Deutschen Bank vervielfachen die Renditen eines Indexes auf täglicher Basis. Zur Simulation der täglichen Renditen eines gehebelten ETF multiplizieren wir alle erzeugten Beobachtungswerte für die Renditen der Basisindizes einfach mit dem theoretischen Hebelwert des jeweiligen ETF. Wir abstrahieren also auch an dieser Stelle von den Kosten eines ETF. Je Zeitreihe der simulierten einjährigen Renditen eines Basisindexes erhalten wir demzufolge eine dazugehörige Zeitreihe der Renditen eines LETF. Wir simulieren auf diese Weise die Renditen einfach inverser, zweifach gehebelter und zweifach inverser ETFs. Durch einfache Aufzinsung der Renditen erhalten wir, wie zuvor bei den Basisindizes, die theoretischen Kurspfade dieser ETFs. Jede so erzeugte Zeitreihe lässt sich mit der dazugehörigen Zeitreihe des Basisindexes vergleichen. 1000 Zeitreihen pro Index sollten ausreichen, um einen repräsentativen Vergleich zwischen den langfristigen Renditen eines LETF und denen der Basisindizes für die von uns geschätzten Prozesse zuzulassen. Wir erhalten also Verteilungen bzw. Intervallschätzer für die langfristigen Renditen der LETFs und Basisindizes, die wir im Folgenden vergleichen und untersuchen können.

Unter anderem soll geprüft werden, ob Formelgleichung (5.24), unter realistischen Verteilungsannahmen der Tagesrenditen eines LETF, eine gute Approximation für die langfristigen Renditen gehebelter ETFs darstellt.

6.1.3 Auswertung

Die Histogramme in Appendix 8.7 zeigen die Verteilungseigenschaften der simulierten 252-tägigen Renditen aller vier Indizes (in %). Die Renditen haben je nach Index einen Durchschnitt von etwa knapp 39 bis 44 Prozent. Lediglich Ein-Jahres-Renditen des Euro STOXX liefern einen Durchschnitt, der weit darunter liegt. Aufgrund der relativ schlechten Performance im vergangenen Jahr, wurde für diesen Index ein datengenerierender Prozess

69

geschätzt, der durchschnittlich eine jährliche Rendite von (nur) ca. 11 Prozent liefert. Die simulierten Ein-Jahres-Renditen weisen allesamt erwartungsgemäß eine rechtsschiefe Verteilung auf. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass Renditen um die 40 Prozent historisch gesehen außergewöhnlich hohe Vorhersagen darstellen. Um einen Vergleich zu liefern: Selbst die Renditen, die als Beobachtungswerte in die Schätzung des datengenerierenden Prozesses mit eingeflossen sind, haben im vergangenen Jahr - je nach Index - zu einer Performance von ca. 0 (Euro STOXX) und 19 Prozent (DAX) geführt. Die Performanceeinschätzung der geschätzten Prozesse für die vier Indizes im kommenden Jahr erscheint also relativ hoch. Wir werfen deshalb erneut einen Blick auf die standardisierten Residuen ⁸⁵ der ARMA-GARCH-Regressionschätzungen aus Kapitel 6.1.1.2. Selbst wenn die Performance der Basisindizes im vergangenen Jahr durch einen stationären Prozess verursacht wurde, der auch noch im kommenden Jahr anhält, könnten die Modell-Gleichungen die Renditen überschätzen. In der Tat besitzen die standardisierten Residuen einen Durchschnittswert, der unter 0 liegt und eine Kurtosis, die über 3 liegt. Trotz der vielen Anpassungen, die in die hier dargestellte Modellierung der Renditen mit einbezogen wurden, entspricht der wahre Störterm ( ) eben nicht ganz einer Standardnormalverteilung. Die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführte Simulation unterstellt allerdings die Standardnormalverteilung der Residuen aus Formelgleichung (6.2). Bei der Kumulation der Renditen über eine lange Simulationsperiode kann dies zu Ungenauigkeiten der vorhergesagten Werte führen. Folglich könnten weitere Anpassungen zur Schätzung eines datengenerierenden Prozesses notwendig sein, die vielleicht noch

bessere Simulationsergebnisse lieferten. 86

Ein anderes Problem bestünde, wenn die geschätzten Koeffizienten weit von den Parametern des wahren datengenerierenden Prozesses abweichen würden. Dies wäre vor allem dann der Fall, wenn die Stichproben der Renditen des vergangenen Jahres, die in unsere Modellschätzung mit einflossen, keine repräsentativen Beobachtungen für die

⁸⁵ Siehe Appendix 8.8

⁸⁶ So könnte man z.B. ausprobieren, ob die Hinzunahme von noch mehr GARCH-Termen bessere Modelle

liefert. Da jedoch hinreichend viele Untersuchungen durchgeführt wurden, um die ARMA-GARCH-Struktur

anzupassen (insbesondere wurden keine Autokorrelationen mehr in den Korrelogrammen der Residuen bzw.

quadrierten Residuen gefunden), halte ich es für wenig wahrscheinlich, dass weitere Anpassungen im

Rahmen eines ARMA-GARCH-Modells zu signifikanten Verbesserungen führen würden. Es ist nicht

ausgeschlossen, dass ein ARMA-GARCH Modell selbst bei einer sehr guten Anpassung nicht für alle

Merkmale der Renditen kontrollieren kann (vgl. Brooks 2008, S. 238 f.). Eine zweite Möglichkeit, um die

langfristig geschätzten Renditen nach unten zu korrigieren, bestünde in der Korrektur der Konstanten aus den

Gleichungen (ii). Diese könnten einfach manuell verkleinert werden.

Ich verzichte aber auf weitere Anpassungen und nehme weiterhin an, dass die hier geschätzten Gleichungen

dem wahren datengenerierenden Prozess sehr nahe kommen.

70

zukünftigen Renditen der Basisindizes darstellten. Auch in diesem Fall käme es mit hoher Wahrscheinlichkeit zu großen Abweichungen zwischen den hier simulierten und den theoretisch wahren Intervallschätzern.

Trotz einiger Probleme, die mit einer Prognose der Performance der Indizes einhergeht, berücksichtigen die hier geschätzten Modelle viele Charaktereigenschaften täglicher Renditen in der Empirie. Deshalb sollten insbesondere Ergebnisse, die die relative Performance zwischen einem LETF und einem anderen Wertpapier betreffen (hier ein theoretisch statisch gehebelter Fonds oder der Basisindex), an Aussagekraft nicht

verlieren. ⁸⁷ Dies gilt auch für Ergebnisse bezüglich des Zusammenhangs aus Formel (5.24).

In jedem Fall stehen uns nun genügend Beobachtungswerte der langfristigen Performance von LETFs zur Verfügung, um zu untersuchen, wie sich die mehrtägigen Renditen von LETFs unter vergleichsweise realistischen Bedingungen verhalten. Da LETFs derivativer Natur sind, geht es uns insbesondere um eine relative Betrachtung der Performance zu andern Wertpapieren, sogenannten Benchmarks.

Bevor ich mich den Untersuchungen widme, möchte ich kurz eine Übersicht der Eigenschaften der in dieser Arbeit simulierten mehrtägigen Renditen der Basisindizes liefern.

⁸⁷ Dies gilt insbesondere für kurze Investitionszeiträume. Über kurze Investitionszeiträume sind die Probleme

eines zu hohen Driftparameters für unsere Analyse weniger relevant. Hier sollte der stochastische Prozess

den Driftparameter dominieren.

71

Die Tabellen zeigen die Verteilungseigenschaften der täglichen und mehrtägigen Renditen eines Basisindexes. In den Spalten ist die unterstellte Investitionsdauer, auf die sich die kumulierten Renditen der Basisindizes beziehen, aufgeführt. Für jeden Index und Betrachtungszeitraum standen jeweils 1000 Beobachtungen zur Verfügung. Die Tabellen liefern also eine Zusammenfassung von über 1000 simulierten Zeitreihen für die kumulierten Renditen eines Betrachtungszeitraumes und eines Indexes.

Die erste Zeile der Tabellen stellt die durchschnittlich erzielte Rendite des Indexes über den jeweiligen Zeitraum dar. Diese nimmt in allen vier Fällen mit länger werdendem Investitionshorizont, aufgrund des unterstellten Drifts, zu. Zeile zwei beinhaltet die Varianz der mehrtägigen Renditen, liefert also ein Maß dafür, wie stark die langfristigen Renditen um ihren Durchschnittswert streuen.

Die dritte und vierte Zeile beziehen sich auf die Varianzen der täglichen Renditen. Für jede der jeweils 1000 Beobachtungen wurde über den entsprechenden Zeitraum die Varianz der täglichen Renditen ermittelt. Die dritte Zeile gibt den Durchschnittswert der Varianzen dieser Beobachtungen über den jeweiligen Betrachtungszeitraum an. Der Wert ist über alle Beobachtungszeiträume hinweg sehr ähnlich. Es ist außerdem zu erwarten, dass er sich mit zunehmendem Betrachtungszeitraum dem wahren Erwartungswert der Varianz der täglichen Renditen unserer Prozesse nähert. Da für jeden Beobachtungszeitraum jeweils 1000 Stichprobenwerte der realisierten Varianz ermittelt wurden, wurde in der vierten Zeile die Varianz der täglichen Varianzen aus Zeile drei angegeben. Die Erwartung war, dass diese mit zunehmendem Beobachtungszeitraum asymptotisch gegen null tendiert.

72

Dementsprechend wird diese Varianz, gemäß des Gesetzes der großen Zahlen, mit zunehmendem Investitionshorizont kleiner.

Da Volatilitätscluster eine wesentliche Rolle für die hier generierten Prozesse darstellen, kann die Varianz aus Zeile vier als eine Kennzahl interpretiert werden, die angibt, inwieweit die tatsächlich realisierte Varianz im Beobachtungszeitraum von ihrem Erwartungswert aus Zeile drei abweicht. Folglich liefert sie eine Kennzahl darüber, inwieweit die tatsächlich realisierte Varianz der täglichen Renditen von der erwarteten Varianz der täglichen Renditen abweicht. Sie stellt also gewissermaßen eine Maß für die „Ausgeprägtheit“ von vorhandenen Volatilitätsclustern dar. Je höher diese Zahl für ein Varianzniveau im entsprechenden Beobachtungszeitraum ist, desto ausgeprägter sind auch die Volatilitätscluster. Da die vierte Zeile sehr kleine Werte aufweist und die Werte aufgrund der verschiedenen Erwartungswerte der Varianz aus Zeile drei nur schwer zu vergleichen sind, habe ich unterhalb der Kennzahl aus Zeile vier außerdem auch noch den

Variationskoeffizienten angegeben. ⁸⁸ Dieser stellt eine normierte Kennzahl der Volatilitätscluster dar. ⁸⁹ Nachdem die Basisprozesse aus Kapitel 6.1.1.2 hinreichend charakterisiert wurden, widme ich mich nun der Untersuchung der langfristigen Performance eines LETF.

Zur Untersuchung wird die absolute Performancedifferenz zwischen den Renditen der LETFs und den Renditen eines theoretisch gleichgehebelten statischen Fonds des jeweiligen Basisindexes verglichen. Hinzu kommt die Prüfung der langfristigen Hebelwerte, die die entsprechenden ETFs in den Bezugszeiträumen liefern. Zu guter Letzt soll getestet werden, inwieweit sich die simulierten Renditen der LETFs von den theoretisch implizierten Renditen aus Formelgleichung (5.24) unterscheiden.

6.1.3.1 Performancedifferenz zwischen einem gehebelten ETF und einem statisch

gehebelten Fonds

In Appendix 8.9.1 sind die Renditedifferenzen zwischen den gehebelten ETFs und einem theoretisch gleichgehebelten statischen Fonds dargestellt. Ein statischer Fonds wurde so konstruiert, dass er die mehrtägige Rendite eines Basisindexes einer Betrachtungsperiode vervielfacht (vgl. Appendix 8.1). Die Renditedifferenzen wurden auf einfache Art und

⁸⁸ Die Variationskoeffizienten sollten für jeden Betrachtungszeitraum getrennt betrachtet werden. Es können

also nur die Variationskoeffizienten der Indizes innerhalb eines Betrachtungszeitraumes untereinander

verglichen werden. Ein abnehmender Variationskoeffizient mit zunehmendem Betrachtungszeitraum

bedeutet nicht, dass die Volatilitätscluster bei längeren Beobachtungszeiträumen verschwinden.

⁸⁹ Dieser wird gebildet, indem man die Standardabweichung (d.h. die Quadratwurzel des Wertes aus Zeile

vier) durch den Mittelwert aus Zeile drei teilt.

73

Weise berechnet. So musste nur die langfristige Rendite eines Basisindexes mit dem theoretischen Hebelfaktor des statischen Fonds multipliziert und dann von der jeweiligen

Rendite des LETF abgezogen werden. 90

Die Tabellen im Appendix stellen eine statistische Zusammenfassung der Beobachtungen

für die absoluten Renditeabweichungen dar. ⁹¹ Sie enthalten Perzentile und Mittelwerte der Beobachtungswerte. Eine positive Abweichung bedeutet, dass der LETF eine höhere Rendite abgeworfen hat als ein statisch gehebelter Fonds. Eine negative Renditeabweichung bedeutet umgekehrt, dass die statisch gehebelten Renditen des Basisindexes höher waren. Sie bedeuten also nicht unbedingt eine negative Rendite für die gehebelten ETFs im Investitionszeitraum. Es wird außerdem angegeben, in wie viel Prozent aller Fälle ein LETF eine höhere Rendite als sein Benchmark (d.h. ein statisch gehebelter Fonds) geliefert hätte.

Die Tabellen zeigen, dass die Performancedifferenzen mit zunehmender Investitionsdauer zunehmen. Dies macht deutlich, dass es einem LETF mit zunehmender Investitionsdauer immer schwerer fällt, die gehebelten Renditen seines Basisindexes zu liefern. Dennoch liegen die Renditeabweichungen bis zu einer Investitionsdauer von einem Vierteljahr in einem annehmbaren Bereich. Hier lieferten sowohl der Durchschnitt, der Median als auch das 25- und 75-Prozent-Perzentil aller Indizes überwiegend Werte, die betragsmäßig kleiner sind als ein Prozent.

Langfristig lieferte der DAX die größten Performancedifferenzen zwischen einem LETF und dem Benchmark. Der S&P 500 und FTSE 100 lieferten im Schnitt etwas kleinere Performancedifferenzen, während der Euro STOXX 50 die kleinsten

Renditeabweichungen produzierte. Aus den Tabellen aus Kapitel 6.1.3 geht hervor, dass der DAX vergleichsweise geringe Variabilitätskennzahlen aufweist. Es liegt deshalb die Annahme nahe, dass hohe Renditeabweichungen vor allem durch hohe Driftraten des Indexes hervorgerufen werden. Der DAX verfügt über die höchste Driftrate, während der Euro STOXX die geringste Driftrate hat. Dieser weist auch die geringsten Performancedifferenzen auf. Dies bedeutet, dass in der Praxis insbesondere der erste Term

⁹⁰ Es wurde angenommen, dass ein statischer Fonds mehr als einen Totalverlust erleiden kann. Das bedeutet,

falls z.B. die Rendite des Basisindexes über den Betrachtungszeitraum 60 Prozent betragen hätte, bedeutet

dies eine Rendite von -120 Prozent für einen statisch negativ gehebelten Fonds mit dem Hebelfaktor -2.

Ein gehebelter ETF wird wegen seiner Konstruktionsweise quasi nie einen Totalverlust erleiden. Die Rendite

ist also immer größer gleich 100 Prozent.

⁹¹ Für jeden Index und Beobachtungszeitraum bildeten also wiederum 1000 Beobachtungen unsere

Stichprobe.

74

aus Formelgleichung (5.24) die Renditeabweichungen dominieren könnte. ⁹² Trotzdem bergen die langfristigen Renditeabweichungen der gehebelten ETFs überwiegend positive Überraschungen für langfristig orientierte Investoren. Da sie überwiegend positive Vorzeichen besitzen, erzielen die ETFs in der hier vorgestellten Simulation langfristig außerordentlich hohe Renditen. Dies wird auch daran deutlich, dass der prozentuale Anteil derjenigen Renditen, die höher waren als die des Benchmarks, mit zunehmender Investitionsdauer steigt. Trotz dem der Median-Investor eine niedrigere Rendite erzielt als

die Durchschnittsrendite suggeriert, ⁹³ zeigen die hier gemachten Beobachtungen, dass sich eine langfristige Investition in einen LETF unter gewissen Annahmen durchaus lohnen kann. Dies ist allerdings bedingt durch die relativ hohen Driftraten, die durch die ARMA-GARCH-Schätzungen unterstellt wurden. Im Falle des Euro STOXX hingegen sinkt langfristig der Anteil der Beobachtungen, der höhere Renditen geliefert hat als ein statisch gehebelter Fonds. Der Index weist gleichzeitig die deutlich geringste Driftrate aus. Dennoch hätte der langfristig orientierte Median-Investor auch im Falle des Euro STOXX positive Renditen erzielt. Dies macht der Medianwert der 252-tägigen Renditen des Euro STOXX in Appendix 8.7 deutlich. Diese Beobachtung führt jedoch auch vor Augen, dass dem Basisprozess theoretisch eine sehr hohe Driftrate unterstellt werden muss, damit ein LETF gegenüber einem statisch gehebelten Fonds eine Outperformance liefert. Die Driftrate einer Outperformance muss in jedem Fall höher sein, als es der Fall wäre, wenn nur eine positive Rendite eines LETF gefordert werden würde.

Wie erwartet nehmen die Renditeabweichungen mit höherem Hebel zu. Außerdem verursachen inverse ETFs prinzipiell größere Renditeabweichungen, da hier die täglichen Anpassungen des Investitionsvolumens größer sind (vgl. Kapitel 5.1). Die Renditen eines inversen ETFs werden langfristig bei allen vier Indizes negativ sein, weil hier eine positive Driftrate unterstellt wurde. Trotzdem sind die Renditen im Falle einer hinreichend großen Driftrate größer als die eines statisch gehebelten Fonds. Dies hängt damit zusammen, dass ein inverser ETF sein Investitionsvolumen täglich neu anpasst und der Verlust auf das investierte Vermögen begrenzt ist. Bei sehr niedrigen Driftraten ist hingegen langfristig

von einem statisch gehebelten Fonds eine bessere Performance zu erwarten. 94

⁹² Siehe Appendix 8.9.3

⁹³ Dies ist bedingt durch eine rechtsschiefe Verteilung der langfristigen Renditen der gehebelten ETFs.

⁹⁴ Diese Situation gleicht gewissermaßen einem stagnierenden Markt aus Kapitel 5.2.3. Die

Performanceeinbußen der Variation des Indexes werden im Falle eines LETFs den Performancegewinn durch

einen schwachen Aufwärtstrend dominieren.

75

6.1.3.2 Langfristig realisierte Hebelwerte der simulierten Zeitreihen

Analog zu den Renditedifferenzen, die im vorigen Kapitel untersucht wurden, soll in diesem Abschnitt ein Blick auf die Hebelwerte geworfen werden, die die vorgestellten LETFs langfristig gegenüber ihren Basisindizes lieferten. Dafür wurde jeder Beobachtungswert der über einen Beobachtungszeitraum realisierten Rendite eines LETF durch die jeweilige Rendite des Basisindexes geteilt. Die Tabellen in Appendix 8.9.2 liefern einen Überblick der langfristigen Hebel, die durch die ETFs erzielt wurden. Dabei sind für jeden ETF eines Indexes und Hebels verschiedene Intervalle für den langfristig realisierten Hebelfaktor angegeben. Zum Beispiel lieferten rund 85 Prozent der 1000 Beobachtungswerte des einfach inversen ETFs für den DAX in einem fünf-tägigen Investitionshorizont eine Rendite, die der 0,9- bis 1,1-fachen Rendite des Basisindexes entsprach.

Auch bei den beobachteten Hebelwerten der LETFs lässt sich feststellen, dass sie langfristig einen ganz anderen Wert liefern können, als ihr täglicher Hebelfaktor intuitiv vermuteten lässt. Es wurden relativ hohe Driftraten die für den DAX, den S&P 500 und den FTSE 100 unterstellt. Dadurch werden die Hebelwerte für positiv gehebelte Indizes langfristig vor allem nach oben abweichen, während sie für inverse Indizes einen vielleicht

negativen, aber betragsmäßig viel kleineren Hebelfaktor liefern werden. ⁹⁵ Die Renditen des zweifach gehebelten ETF des Euro STOXX weichen langfristig negativ von denen eines statisch gehebelten Fonds ab. Folglich sind hier auf längere Zeit gesehen immer kleinere Hebelfaktoren gegenüber ihrem Basisindex zu erwarten. Für inverse ETFs werden auch in diesem Fall die langfristigen Hebelfaktoren betragsmäßig kleiner ausfallen als die täglichen Hebelwerte der LETFs.

Wie zuvor bei den Renditedifferenzen wurde außerdem untersucht, ob für die langfristigen Abweichungen vom täglich implizierten Hebelfaktor vor allem die Renditen des Basisindexes oder die Varianzen im beobachteten Zeitraum verantwortlich gemacht

werden können. ⁹⁶ Hier war kein signifikanter Zusammenhang erkennbar. Vielmehr waren die beobachteten Hebelwerte einer bestimmten Investitionsdauer und für einen bestimmten ETF sehr konstant. Der Hebelwert wird also für einen gegebenen Prozess und einen gegebenen Beobachtungszeitraum, unabhängig von der tatsächlich realisierten Rendite und Varianz des Basisindexes, relativ konstant sein. Die Höhe des erwarteten Hebelfaktors

⁹⁵ Die hier genannten Phänomene sind aus den Tabellen für die Hebelwerte nicht ablesbar, ergeben sich aber

implizit mit den Ergebnissen aus Kapitel 8.9.1.

⁹⁶ Siehe Appendix 8.9.4

76

über verschiedene Betrachtungsperioden hinweg wird je nach ETF vor allem durch die Driftrate und Varianz bestimmbar sein. Für sehr hohe Driftraten wird ein positiv gehebelter ETF bei gegebener Varianz mit zunehmendem Investitionshorizont langfristig immer höhere Hebelwerte liefern. Für sehr niedrige Driftraten wird ein positiv gehebelter ETF langfristig Hebelwerte liefern, die gegen Null tendieren bzw. sogar negativ werden können.

Es muss also eine bestimmte Kombination des Drifts und der Varianz unterstellt werden, damit die Hebelfaktoren mit zunehmendem Investitionshorizont gleichbleiben. Dann wäre es möglich, dass ein LETF mit Hebelfaktor zwei auch langfristig das Zweifache der Renditen des Basisindexes liefert. Sowohl die Varianz als auch der Drift bestimmen den

langfristig erwarteten Hebelfaktor eines ETF, - der Drift positiv und die Varianz negativ. 97

In jedem Fall gilt bei einer positiven Driftrate, dass die langfristig realisierten Hebelwerte eines invers gehebelten ETF betragsmäßig kleiner werden. Diese tendieren dann asymptotisch gegen null.

Verfolgt ein Investor eines LETF das langfristige Ziel, einen bestimmten Hebelwert der Basisrenditen zu erwirtschaften, so stellt die Modellierung des Basisprozesses ein durchaus probates Mittel dar. Auf diese Weise können, wie im Appendix geschehen, Intervallschätzer für Hebelwerte verschiedener Beobachtungszeiträume modelliert werden.

6.1.3.3 Test des theoretischen, langfristigen Zusammenhangs der Renditen eines

gehebelten ETF und der Renditen seines Basisindexes

Nun soll getestet werden, ob Formelgleichung (5.24) eine gute Approximation für die langfristigen Renditen eines LETF darstellt. Die Formel wurde unter leicht idealisierten Annahmen über den Basisprozess der Renditen hergeleitet. Es wurde unterstellt, dass die Renditen einem Itô-Prozess folgen. Im Gegensatz dazu wurden bei der Modellierung der hier vorgestellten Zeitreihen für die Renditen der Basisindizes explizit Charakteristika berücksichtigt, die in der empirischen Literatur über Finanzmarktzeitreihen eine hohe Geltung haben.

Die Kosten der LETFs wurden nicht in die Modellierung mit einbezogen. Signifikante Abweichungen von den aus der Formelgleichung implizierten Renditen ließen deshalb ganz klar den Schluss zu, dass die Gleichung den empirischen Prozess der Renditen eines

⁹⁷ Die Varianz und Renditen (Driftrate) des Basisindexes haben bei gegebenem Basisprozess wenig Einfluss

auf den erwarteten Hebelfaktor innerhalb eines Beobachtungszeitraums, jedoch nicht über mehrere

Beobachtungszeiträume hinweg.

77

hohes Bestimmtheitsmaß erwartet, d.h. die Formelgleichung sollte einen hohen Anteil der Gesamtvarianz der logarithmierten Renditen erklären.

In Appendix 8.9.5 sind die Ergebnisse der hier vorgenommenen Schätzungen für alle Indizes und Laufzeiten für die modellierten Prozesse abgebildet. enthält die Schätzwerte für den ersten Term, während die geschätzten Koeffizienten für die Variationen beinhaltet. Über jeder Spalte sind für jeden Hebelwert die theoretischen Koeffizienten für und aus Formelgleichung (5.24) eingefügt. Überdies hinaus ist mittels t-Test für jeden Schätzer überprüft worden, ob sich dieser signifikant von seinem theoretischen Wert unterscheidet. Alle Schätzwerte sind hochsignifikant von 0 verschieden (t-Test nicht abgebildet), jedoch unterscheiden sich die meisten Schätzer auch signifikant von ihren theoretischen Werten. ⁹⁹ Die Schätzwerte für den zweiten Term aus unserer Schätzgleichung überschätzen die theoretischen Werte in alle Fällen für kurze Investitionshorizonte. Mit zunehmendem Investitionshorizont nähern sie sich den theoretischen Werten an und unterbieten diese nach einer Investitionsdauer von 252 sogar in vielen Fällen. Dies lässt darauf schließen, dass die Variation der täglichen Renditen der Basisindizes die langfristigen Renditen eines gehebelten ETF zunächst stärker beeinträchtigt, als von Formel (5.24) vorhergesagt. Mit zunehmender Investitionsdauer dürfte die Beeinträchtigung dagegen geringer sein als vorhergesagt. Außerdem war zu beobachten, dass sich auch die Koeffizienten des ersten Terms für die langfristige Rendite der Basisindizes mit zunehmender Investitionsdauer den theoretischen Werten annähern (für positiv gehebelte ETFs sind sie zunächst größer, für invers gehebelte ETFs kleiner). Sie werden jedoch auch nach einem 252-tägigen Investitionshorizont in keinem der Fälle größer als die theoretischen Koeffizienten. Die simulierten Prozesse lieferten für invers gehebelte ETFs also stets Renditen, die etwas negativer waren und für positiv gehebelte ETFs stets Renditen, die etwas kleiner waren als der theoretische Koeffizient des ersten Terms implizieren würde. Auch wenn dies aus oben aufgeführten Tabellen nicht ersichtlich wird, näherte sich auch das Bestimmtheitsmaß in allen Fällen mit zunehmendem Investitionshorizont der eins an (alle Werte entsprachen auf drei Nachkommastellen gerundet einer Bestimmtheit von 100 Prozent).

Alles in allem lässt sich dennoch festhalten, dass Formel (5.24) die langfristige Performance gehebelter ETFs unter Vernachlässigung der Kosten sehr gut approximiert.

⁹⁹ Die geschätzten Standardfehler für die Koeffizienten waren in jedem Fall sehr klein. Deshalb stellten selbst

kleinste Abweichungen vom theoretischen Wert eine signifikante Abweichung dar.

79

Dies gilt auch für die von uns simulierten Renditen, mit leicht veränderten Annahmen über die Basisprozesse. Dies gilt erfreulicherweise insbesondere für längere Investitionshorizonte. Für sehr kurze Investitionshorizonte unterschätzt die Formel hingegen die Beeinträchtigung der Variation in den täglichen Renditen. Auch die erklärte Varianz entspricht in allen Fällen nahezu 100 Prozent.

Trotz der hohen Stimmigkeit, die unsere Schätzgleichungen der Formelgleichung zusagen, testete ich die Formel nochmal unter der Hinzunahme eines Terms, der für die Autovarianz erster Ordnung kontrollieren sollten (siehe Appendix 8.9.6). Getestet wurde, ob diese einen signifikanten Einfluss auf die langfristigen Renditen der gehebelten ETFs ausüben. In einer

empirischen Studie von LU ET AL. (2009) wird der Autovariation ¹⁰⁰ erster Ordnung eine stark beeinträchtigende Rolle auf die langfristigen Renditen eines gehebelten ETF

zugesprochen. ¹⁰¹ Diese dominierten sogar den Einfluss der Variationen der täglichen Renditen, wodurch die Koeffizienten der Variation in Teilen insignifikant wurden. Auch unsere Prozesse waren durch die ARMA-GARCH-Modellierung explizit so modelliert worden, dass sie für Autokorrelationen kontrollierten. In den Regressionsgleichungen unter der Hinzunahme der Autokovarianzen in Appendix 8.9.6 wurde nur noch auf die Signifikanz des neuen Terms geachtet, alle anderen Terme blieben aber in allen Fällen hochsignifikant (zum 1-Prozent-Niveau). Die Tabellen zeigen, dass im hier vorgestellten Fall die Autovarianz nur in wenigen Fällen eine signifikante Wirkung auf die langfristigen Renditen der gehebelten ETFs hat. Außerdem wirkte sich die Autovarianz, falls signifikant, nicht unbedingt negativ auf die langfristigen Renditen gehebelter ETFs aus. Hier soll deshalb unter Vorbehalt festgehalten werden, dass die Autovariation durchaus

einen Einfluss auf die langfristigen Renditen gehebelter ETFs haben kann. ¹⁰² Dieser könnte beispielsweise die Unterschiede der Koeffizienten von den theoretischen Werten erklären. Jedoch war der Effekt bei den von mir modellierten Prozessen nicht immer nachweisbar und eindeutig. Der Einfluss bedarf also einer weiteren theoretischen Fundierung und es

¹⁰⁰ Zwar wurde hier nicht für die Autovariation sondern für die geschätzten Autovarianzen der Zeitreihen

getestet, doch bleibt der Aussagegehalt gleich, da die Autovariation nur eine lineare Umformung der

Autovarianzen darstellt (Gewichtung mit der Investitionsdauer, analog zur Autovariation). Dies mag die

Höhe der Schätzwerte beeinflussen, jedoch nicht die Signifikanz.

¹⁰¹ Aus der Studie geht keine zufriedenstellende theoretische Erklärung hervor, warum die Autokovariationen

die langfristigen Renditen negativ beeinflussen würden. Unklar ist indes auch, ob die

Regressionsgleichungen, wie hier, gemäß der theoretischen Formelgleichung transformiert wurden. Die

Regressionsschätzungen der Autoren liefern aber, bezüglich der Nähe zu den theoretischen Koeffizienten,

Signifikanz der Koeffizienten und Bestimmtheitsmaß, schlechtere Testergebnisse in Bezug auf die Güte der

Formelgleichung. Die Autoren berücksichtigten allerdings auch die Kosten der ETFs. Die Schätzergebnisse

bescheinigen der theoretischen Formelgleichung deshalb immer noch eine hohe Güte.

¹⁰² Nicht zuletzt deshalb wurde bei unserer Modellierung für diese kontrolliert.

80

könnte die Aufnahme zusätzlicher Terme höherer Ordnung nötig sein, um genauere Aussagen über die Einflussnahme zu tätigen.

In jedem Fall lieferte die Formelgleichung (5.24) im Großen und Ganzen auch unter leicht modifizierten Annahmen über die Basisprozesse gute Ergebnisse. Leichte Abweichungen lassen aber darauf schließen, dass die Modifizierungen, vorsichtig formuliert, durchaus sinnvoll und relevant waren.

81

7 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Gehebelte und inverse ETFs versprechen ein Vielfaches der Tagesrenditen ihrer Basisindizes. Anhand der Fonds der Deutschen Bank wurde gezeigt, dass ihnen dieses Vorhaben zu großen Teilen gelingt. Die Fonds verursachen auf den Tag gerechnet nur äußerst geringe Renditeabweichungen von ihren versprochenen Hebelwerten. Entgegen der intuitiven Vermutung vieler Investoren, werden die Hebelwerte der Renditen dieser ETFs auf längere Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit von ihren täglichen Hebelfaktoren abweichen.

Zwar üben sich über einen längeren Zeitraum auch die involvierten Kosten und Zinszahlungen auf die langfristige Performance eines gehebelten ETF aus, jedoch lassen sich diese relativ leicht abschätzen. Aufgrund der synthetischen Replikationsmethode der gehebelten ETFs der Deutschen Bank war es verhältnismäßig einfach, die Kosten zu identifizieren und eine Vorstellung über die Höhe der Kosten herzuleiten.

Ich habe gezeigt, dass für die Renditeabweichungen vielmehr das Produktdesign dieser Fonds verantwortlich gemacht werden muss, das langfristig zu scheinbar unvorhersehbaren Renditen gehebelter Fonds führt. Schuld daran sind die täglichen Anpassungen des Investitionsvolumens der ETFs, die zur Hebelung der Tagesrenditen eines Basisindexes durchgeführt werden müssen. Aus diesen entsteht eine weitere bedeutende Eigenschaft der ETFs, sie sind pfadabhängig.

Dies impliziert ein paar unangenehme Merkmale dieser ETFs. Im Grunde genommen müsste, um die langfristigen Renditen eines ETF zu errechnen, der ganze Kurspfad seines Basisindexes bekannt sein. Dennoch wurde eine Formel hergeleitet, die die langfristigen Renditen eines gehebelten und inversen ETFs approximiert. In diese fließen insbesondere die Variation und die langfristigen Renditen des Basisindexes als Determinanten für die langfristige Performance eines gehebelten ETF mit ein. Demzufolge wirken sich positive bzw. negative Basisrenditen hochgradig positiv auf die Renditen positiv gehebelter bzw. inverser Fonds aus. Eine hohe Variation des Basisindexes über die Investitionsdauer wird jedoch in beiden Fällen zu starken Performanceeinbußen führen. Es wurde deutlich, dass die negative Beziehung der Variation des Basisindexes und der Renditen solcher ETFs zu höchst unangenehmen Überraschungen für einen Investor führen kann. Insbesondere kann allein die Variation des Indexes - ohne einen Trend zu unterstellen - zu Elimination des investierten Vermögens eines gehebelten und inversen ETFs führen.

82

Deshalb wurden Bedingungen hergeleitet, unter denen Investitionen in einen gehebelten ETF sinnvoll sind und lieferten Außerdem eine Idee für den optimalen Hebel dieser ETFs.

Im Rahmen meines Anliegens, die Unvorhersehbarkeit langfristiger Renditen gehebelter ETFs einzuschränken, leitete ich aber nicht nur die Formel her, die Investoren einen guten Punktschätzer der zukünftigen Renditen bietet, sondern zeigte auch, wie sich die langfristigen Renditen gehebelter ETFs, unter leicht vereinfachten (d.h. Abstrahierung der Kosten) aber realistischen Annahmen empirischer Renditen (d.h. Volatilitätscluster, autokorrelativen Eigenschaften, etc.), mithilfe eines ARMA-GARCH-Modells simulieren lassen. Die Simulation stellt ein probates Mittel dar, um Intervallschätzer der langfristigen Performance eines ETF zu erhalten. Diese können Schätzungen über die langfristig erzielten Renditen eines Investitionsproduktes enthalten. Im Falle derivativer Anlageprodukte, kann aber auch - wie hier geschehen - eine Beziehung zu einem Benchmark hergestellt werden. Im hier behandelten Fall wurden Intervallschätzer der langfristigen Renditen eines ETF geliefert, die sich auf die jeweiligen Renditen des Basisindexes und auf einen theoretisch statisch gehebelten Fonds bezogen.

Die Simulationen können nach Bedarf unter veränderten Annahmen über den Basisprozess wiederholt werden. Ich führte die Simulation aufgrund der Regressionsschätzungen über die Basisprozesse mit relativ hohen Driftparametern durch. Die hohen Driftparameter waren u.a. bedingt durch die hohen Renditen, die Aktienindizes in junger Vergangenheit erzielten. Diese dienten als Stichprobe für die Regressionsschätzungen.

Außerdem wurden simulierte Daten genutzt, um die oben beschriebene Formel auf Gültigkeit zu überprüfen. Insbesondere abstrahierte diese in ihren Annahmen von einigen Merkmalen von Renditen, die in der Empirie durchaus relevant sind. Trotz der erschwerten Bedingungen, erzielte die Formel sehr gute Ergebnisse bezüglich der Vorhersage langfristig simulierter Renditen. Sie kann von Investoren also durchaus getrost benutzt werden, um die langfristigen Renditen gehebelter und inverser ETFs einzuschätzen.

Abschließend möchten ich noch ein paar Worte über ein potenzielles Themengebiet für zukünftige Untersuchungen verlieren. Die Varianz und die Renditen eines Basisindexes sind elementare Faktoren der Performance der hier vorgestellten Investitionsprodukte. Deshalb sind die Erwartungswerte dieser Variablen eine zentrales Element bezüglich der Sinnhaftigkeit einer Investition in einen gehebelten ETF. Durch sie gelingt es darüber hinaus, den aus theoretischer Sicht optimalen Hebelwert eines ETF zu bestimmen.

83

Normalerweise wird aber die Vorhersage eines hohen Erwartungswertes für die Varianz mit der Vorhersage eines hohen Erwartungswertes für die Renditen eines Basisindexes korrelieren. Diese beiden Informationen wirken sich genau entgegengesetzt auf die Renditen eines gehebelten ETF aus, so dass eine Information gewissermaßen durch die andere nivelliert wird. Modelle, die die Erwartungswerte dieser Variablen unabhängig voneinander vorhersagen, wären insbesondere für gehebelte Fonds von zentraler Bedeutung. Hier bietet sich viel Spielraum für zukünftige Studien. Diese dürfen verschiedene Indizes ruhig getrennt betrachten. Durch eine frühe Trend- sowie Varianzerkennung verschiedener Indizes ließen sich diverse Anlagestrategien mithilfe dieser Investitionsprodukte ausfindig machen.

84

8 Appendix

8.1 Langfristige Renditen eines gehebelten ETF vs. langfristige Renditen eines statischen Fonds

Mathematisch können die langfristigen Renditen eines gehebelten ETF folgendermaßen dargestellt werden (Kosten werden vernachlässigt):

Ein statisch gehebelter Fonds würde über eine bestimmte Zeitperiode () jedoch die folgende (Brutto-) Rendite liefern:

Wobei ℎ dem Hebelfaktor entspricht und die (Netto-)Renditen des Basisproduktes im Zeitpunkt darstellen. Ein gehebelter ETF kumuliert folglich die gehebelten Renditen einer Bezugsperiode, während der statisch gehebelte Fonds die kumulierten Renditen des Basisproduktes hebelt.

8.2 Performancedifferenzen zwischen den Fonds der Deutschen Bank und ihrem jeweiligen Referenzindex

Die Abbildungen stellen die Abweichungen der Renditen der LETFs der Deutschen Bank im Vergleich zu ihren Referenzindizes dar. Theoretisch sollte ein Fonds genau die gleiche Performance liefern wie sein Referenzindex [gemäß Formel (2.2) bzw. (2.4)]. Im Laufe der Zeit entstehen aber Unterschiede. Der Referenzindex dient in diesem Bild als Benchmark und erzeugt definitionsgemäß keine Abweichungen gegenüber sich selbst (rotmarkierte Linie). In einem ETF kommt es mit zunehmender Investitionsdauer zu einer Renditedifferenz gegenüber des Benchmarks (blaumarkierte Linie). Die

Renditeabweichungen entstehen bei positiv gehebelten Fonds vor allen Dingen durch die Verwaltungsgebühren und bei inversen ETFs der Deutschen Bank durch die Verwaltungsgebühren und die Wertpapierleihe. Im Folgenden sind die Renditeabweichungen aller zweifach gehebelten, inversen und zweifach inversen Fonds

85

der Deutschen Bank dargestellt. Beobachtungszeitraum ist der 18.03.2010 (das Auflagedatum aller gehebelten Fonds der Deutschen Bank) bis zum 29.09.2010. ¹⁰³ Für die inversen Produkte gilt aufgrund der längeren Existenz ein Beobachtungszeitraum von einem Jahr (30.09.2009-29.09.2010). Wir haben durch Fortschreibung der realisierten Renditeabweichung außerdem die ungefähre jährliche Abweichung jedes LETF vom Referenzindex errechnet. Durch Abzug der Verwaltungsgebühren eines Fonds entstehen dabei für die invers-gehebelten Fonds die implizierten Gebühren für die Wertpapierleihe.

8.2.1 Renditeabweichungen der zweifach gehebelten ETFs

¹⁰³ Für den zweifach-gehebelten ETF des FTSE 100 waren erst Daten ab dem 25.05.2010 verfügbar.

86

8.2.2 Renditeabweichungen der einfach inversen ETFs

¹⁰⁴ Die tatsächliche Renditeabweichung wurde bei zweifach-gehebelten und zweifach-inversen ETFs durch

die Fortschreibung der Renditeabweichung aus den Abbildungen errechnet.

87

8.2.3 Renditeabweichungen der zweifach inversen ETFs

¹⁰⁵ Die tatsächliche Renditeabweichung wurde bei zweifach-gehebelten und zweifach-inversen ETFs durch

die Fortschreibung der Renditeabweichung aus den Abbildungen errechnet.

88

8.3 Streudiagramme des DAX & Regression

In den Streudiagrammen sind die täglichen Renditen (Ordinatenachse) der DAX-ETF gegen die Renditen des Basisindexes, den DAX, (Abszissenachse) abgetragen. Zusätzlich wurde in jedes Streudiagramm eine Gerade eingezeichnet. Diese bildet die theoretischen Hebelwerte ab, die der jeweilige ETF liefern sollte, ohne die Kosten eines ETF zu berücksichtigen. Die Streupunkte liegen quasi alle auf dieser Geraden. Für jeden Fonds wurden alle beobachteten Renditen seit Auflage in die Betrachtung mit einbezogen d.h. für den zweifach gehebelten und zweifach inversen ETF vom 18.03.2010 bis zum 29.09.2010 und für den einfach inversen ETF vom 05.06.2007 bis zum 29.09.2010.

Die Streudiagramme anderer Indizes sind nicht abgebildet, da sie die gleichen Informationen enthielten. Auch hier waren die Streupunkte nur unerkennbar von den

¹⁰⁶ Die tatsächliche Renditeabweichung wurde bei zweifach-gehebelten und zweifach-inversen ETFs durch

die Fortschreibung der Renditeabweichung aus den Abbildungen errechnet.

¹⁰⁷ Für die zweifach inversen ETFs sollten die Leihgebühren theoretisch doppelt so hoch sein wie die der

einfach inversen ETFs.

89

Zusätzlich haben wir für jeden Beobachtungswert die Tagesrenditen der ETFs auf die Tagesrenditen des Basisindexes und eine Konstante regressiert. Die Tabelle liefert eine Übersicht der Ergebnisse unserer Regressionsschätzungen wider. Für die Konstante wurde getestet, ob diese signifikant verschieden von Null ist. Der Koeffizient des Benchmarks (Basisindex) sollte in etwa dem theoretischen Hebelwert des jeweiligen ETF entsprechen. Hier ist getestet worden, ob sich der Koeffizient signifikant von dem theoretischen Hebelwert unterscheidet. Die Konstante sollte die Kosten des Fonds enthalten und ist in fast allen Fällen verschieden von null. Auch die Koeffizienten sind in fast allen Fällen von ihren theoretischen Werten verschieden, liegen aber dennoch sehr nahe an ihnen dran. Das Bestimmtheitsmaß ist auf vier Nachkommastellen immer nahe an der Eins.

8.4 Verteilung und Logarithmierung täglicher Renditen

Die zwei Abbildungen stellen die nicht-logarithmierten Tagesrenditen den logarithmierten

Renditen des DAX beispielhaft gegenüber. ¹⁰⁸ Zwar kann in beiden Fällen die Nullhypothese eines Jarque-Bera Tests normalverteilter Renditen abgelehnt werden, doch ist das Schiefe-Maß (Skewness) im Falle der logarithmierten Renditen viel näher bei null. Zwar sind die Verteilungen der Renditen der anderen Indizes nicht abgebildet, jedoch zeigten auch diese bessere Normalverteilungseigenschaften bezüglich der Schiefe.

¹⁰⁸ Die Renditen sind an dieser Stelle nicht in Prozent angegeben.

91

8.4.1 Interpretation logarithmierter Renditen

Obschon die logarithmierten Renditen für die Schätzungen verwendet werden, können diese noch ähnlich interpretiert werden wie die die herkömmlichen Renditen. Median, Mittelwert und Varianz der Renditen liegen in beiden Abbildungen nah beieinander. Warum dies so ist, lässt sich einfach zeigen:

Für kleine Werte für gilt:

für die (Netto-)Renditen der Indizes gilt:

Durch Transformation und Einsetzen in Formel (8.1) erhält man:

bzw.:

8.5 Gegenüberstellung der Methoden zur Identifizierung eines ARMA(p,q)-Modells

Eine mögliche Methode zur Auswahl eines geeigneten ARMA(p,q)-Modells, stellt die Nutzung von Informationskriterien dar. Die Tabelle stellt die Informationskriterien verschiedener Modelle unterschiedlichen Grades gegenüber. Es gilt dasjenige Modell zu wählen, welches den niedrigsten Wert für das Informationskriterium besitzt. In diesem Fall würde die Auswahl mithilfe des Akaike-Kriteriums (AIC) auf ein Modell mit 4 AR-Termen und 4 MA-Termen fallen (ARMA(4,4)). Insgesamt würde das Modell also acht Terme beinhalten. Das Schwarz-Kriterium (BIC) würde hingegen ein ARMA(0,0)-Modell wählen. Im Grunde also ein Modell mit Konstanter und Fehlerterm.

Die in dieser Arbeit besprochene Methodik hingegen führt, wie im Text angesprochen, zu der Wahl eines Modells mit nur zwei Termen. Einem MA(2)-Term und einem AR(2)-Term (ARMA(2,2)). Das AIC-Kriterium lieferte in unserem Fall einen Wert von -6,1145 und das BIC-Kriterium einen Wert von -6,0725. Beide Werte sind noch niedriger als der jeweils niedrigste Wert in den Tabellen (unterstrichen). Diese Methodik zur Identifizierung eines ARMA-Modells liefert also ganz gute Ergebnisse.

93

Dieser  Wert stimmt mit dem Wert für die Konstante aus der Schätzung überein. Für den  

Index erwarten wir in einem Jahr also eine Rendite von ungefähr 18,9 Prozent

  ( 0,00075 252)  

8.7  Verteilungen der simulierten ein-Jahres Renditen der Indizes  

Die  Abbildungen veranschaulichen die durch unsere ARMA-GARCH-Simulation  

erhaltene  Verteilung der einjährigen Renditen aller vier Indizes. Alle Angaben erfolgen in  

Prozent.  Die simulierten Werte der 252-tägigen Renditen des DAX beispielsweise lieferten  

eine  durchschnittliche Rendite von etwa 44 Prozent.  

Series  :  RDAX252

Series  :  RFTSE252

Sample  1  1000

Sample  1  1000

Observations   1000

120   90

Observations   1000

Mean  43.79902  80

Mean   38.73676

   100

Median   42.33868

70  Median  36.50112

Maximum   148.1481

Maximum   135.8024

Minimum   -13.34593

80   60

Minimum   -25.35514

Std.  Dev.  22.12086

Std.  Dev.  25.57708

   50

Skewness   0.512381

Skewness   0.501858

   60

Kurtosis   3.658989

40  Kurtosis  3.389597

40  Jarque-Bera 61.85021  30

Jarque  -Bera  48.30126

Probability   0.000000

Probability   0.000000

   20

   20

   10

0   0

150  125 100 75 50 25 0 -25 0 25 50 75 100  125

Abbildung  22: Verteilung der simulierten 252- Abbildung 23: Verteilung der simulierten 252-  

t  ägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH- tägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH-  

Modells  für den DAX Modells für den FTSE  100

200  Series:  RSP252

Series  :  RSTOXX252

Sample  1  1000

Sample  1  1000

   140

Observations   1000

Observations   1000

   160

   120

11.15675  Mean Mean  40.31195

Median  10.98680 Median  38.21201

   100

48.86119  Maximum  120

Maximum   259.5563

Minimum   -19.11859

Minimum   -21.58471

   80

Std.  Dev.  9.095793

Std.  Dev.  27.18201

Skewness   0.207113

   80

Skewness   1.071119

   60

Kurtosis   3.653039

Kurtosis   7.506107

   40

Jarque  -Bera  24.91851

   40

Jarque  -Bera  1037.258

Probability   0.000004

20  Probability  0.000000

   0

   0

0  40 80 120 160 200  240

  -12.5 0.0 12.5 25.0 37.5  50.0

Abbildung  24: Verteilung der simulierten 252- Abbildung 25: Verteilung der simulierten 252-  

t  ägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH- tägigen Renditen des angepassten ARMA-GARCH-  

Modells  für den Euro STOXX 50 Modells für den S P  500

95

8.8 Verteilung der standardisierten Residuen nach Anpassung der ARMA-GARCH-Modelle

Die Abbildungen stellen für jeden Index die Verteilung der standardisierten Residuen nach Anpassung des ARMA-GARCH-Modells dar. Diese sollten, falls unsere Modelle den wahren datengenerierenden Prozess gut widerspiegeln, normalverteilt sein. Dennoch verwirft der Jarque-Bera Test in zwei Fällen die Nullhypothese normalverteilter Residuen.

96

8.9.1 Performancedifferenz der Renditen der gehebelten ETFs und der implizierten Renditen eines statisch gehebelten Fonds

8.9 Performancedifferenzen zwischen den gehebelten ETFs und den Basisindizes

8.9.2.1 DAX

8.9.2.2 FTSE 100

8.9.2.3 Euro STOXX 50

8.9.2.4 S&P 500

8.9.3 Untersuchung der Faktoren die zu einer Performancedifferenz (Appendix 8.9.1) führen

Die folgenden Grafiken untersuchen die Faktoren die zu einer Performancedifferenz der mehrtägigen Renditen eines gehebelten ETF und einem statischen Fonds führen.

Die ersten zwei Grafiken tun dies für die 21-tägigen Renditen und die zweiten zwei Grafiken für die 252 tägigen Renditen des DAX. Dabei zeigt jeweils das erste Bild ein Streudiagramm zwischen den Renditen des Basisindexes (Abszissenabschnitt) und der realisierten Performancedifferenz zwischen ETF und statischen Fonds

(Ordinatenabschnitt). In der jeweils zweiten Abbildung wurden auf der x-Achse die realisierte Varianz der simulierten Werte des DAX abgetragen.

Es ist zu erkennen, dass die Performancedifferenz insbesondere durch sehr hohe oder niedrige Renditen des Basisindexes zustande kommt. In beiden Fällen bedeutet dies, dass ein gehebelter ETF wesentlich bessere Renditen als ein statischer Fonds liefert. Die Varianz spielt weniger eine Rolle für die Performancedifferenz innerhalb eines bestimmten Zeitraumes. Hier ist kein konkreter Zusammenhang erkennbar.

104

8.9.4 Untersuchung der Faktoren die zu unterschiedlichen Hebelwerten aus 8.9.2 führen

Analog zu unserer Vorgehensweise aus Appendix 8.9.3 wurde hier untersucht, welche Faktoren innerhalb eines Beobachtungzeitraumes zu verschiedenen langfristigen Hebelwerten der ETFs führen. Die ersten zwei Abbildungen tun dies für die 21 tägigen Renditen, die zweiten für die 252-tägigen Renditen. An der y-Achse sind diesmal die realisierten Hebelwerte abgetragen, währen an der x-Achse in der jeweils ersten Abbildung wieder die vom Basisindex erzielte Rendite über den jeweiligen Zeitraum abgetragen ist und in der jeweils zweiten Abbildung für jeden Beobachtungswert die Varianz. Für die realisierten Hebelwerte ist innerhalb eines Betrachtungszeitraumes weder ein Zusammenhang mit der erzielten Rendite noch mit der realisierten Varianz des Basisindexes erkennbar. Beide Streuwolken verlaufen horizontal.

Für eine bestimmte Investitionsdauer wird also ein bestimmter Prozess relativ gleiche Hebelwerte für die Basisrenditen liefern.

105

8.9.5 Test des Modells ohne Aufnahme eines Terms für die Autokovarianzen

Die (logarithmierten) realisierten Renditen jedes Basisprozesses wurden auf die innerhalb des Zeitraumes realisierten Varianzen und die dazugehörigen (logarithmierten) langfristigen Renditen des Basisindexes regressiert. Falls Formelgleichung (5.24) eine gute Approximation für die langfristigen Renditen eines gehebelten ETF darstellt, ist zu erwarten, dass die Regressionskoeffizienten nahe an ihren theoretischen Werten liegen und ein hohes Bestimmtheitsmaß besitzen. gibt den geschätzten Koeffizient für die

langfristigen Renditen des Basisindexes an und den Koeffizienten für den Varianzterm.

106

Die Erwartungswerte dieser Koeffizienten aus Formel (5.24) sind für jeden Index in der jeweils ersten Spalte angegeben. Für jeden Koeffizienten wurde mittels eines t-Tests getestet, ob sich dieser signifikant von seinem theoretischen Erwartungswert unterscheidet. Alle Werte wurden auf drei Nachkommastellen gerundet. Das Bestimmtheitsmaß entsprach auf drei Nachkommastellen immer eins.

8.9.6 Test des Modells mit Aufnahme eines Terms für die Autokovarianz erster Ordnung

Die Regression aus Appendix 8.9.5 wurde an dieser Stelle wiederholt. Zusätzlich wurde diesmal die Varianz erster Ordnung als zusätzlich erklärende Variable in unser Modell mit aufgenommen ( ). Diesmal wurde lediglich getestet (wieder mittels t-Test), ob sich der

neue Funktionsterm signifikant von null unterscheidet. 109

¹⁰⁹ Die Koeffizienten und blieben aber in jedem Fall hochsignifikant

108

109

Literaturverzeichnis

ACKERT, L. und Y. TIAN (2008): „Arbitrage, Liquidity, and the Valuation of Exchange Traded Funds”.

Financial Markets, Institutions & Instruments, 17 (5), S. 331-362. AMERY, Paul (2009a): „Leveraged and Short ETFs: Seperating Fact from Fiction”. Audio & PDF

Präesentation von IndexUniverse.eu. Abrufbar auf

(http://www.indexuniverse.eu/europe/index.php?option=com_video&task=getVideoSource&id=9&t

mpl=ajax&Itemid=105). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

AMERY, Paul (2009b): „Leveraged and Short ETFs: Seperating Fact from Fiction”. PDF Präsentation von

IndexUniverse.eu. Abrufbar auf

(http://www.indexuniverse.eu/docs/db_webinar_inverse_leveraged100609_PA_final_version.pdf). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

AVELLANEDA, Marco und Peter LAURENCE (1999): „Quantitative Modeling of Derivative Securities: From

Theory to Practice”. CRC Press. 1 ^st edition.

AVELLANEDA, Marco und Stanley ZHANG (2009): „Path-Dependence of Leveraged ETF Returns”. SSRN eLibrary. Abrufbar auf: (http://ssrn.com/abstract=1404708). (Letzter Aufruf am 10.01.2011) BELL, Peter N. (2010): „Beta estimates for leveraged ETF”. Munich Personal RePEc Personal Archive. Abrufbar auf (http://ideas.repec.org/p/pra/mprapa/26950.html). (Letzter Aufruf am 10.12.2010) BROOKS, Chris (2008): „Introductory Econometrics for Finance”. Cambridge University Press. 2nd Edition.

CARVER, Andrew (2009): „Do Leveraged and Inverse ETFs Converge to Zero?”. ETF and Indexing 2009,

Institutional Investor Journals Investment, 2009 (1), S. 144-149. Abrufbar auf (http://www.iijournals.com/doi/abs/10.3905/ETF.2009.2009.1.144). (Letzter Aufruf am 10.01.2011) CAMPBELL, John Y., Andrew W. LO und A. Craig MACKINLAY (1997): „The Econometrics of Financial

Markets”. Princeton University Press.

CHENG, Minder und Ananth MADHAVAN (2009): „The Dynamics of Leveraged and Inverse-Exchange

Traded Funds”. Journal of Investment Management, 2009 (7), 4. S. 43-62 Abrufbar auf SSRN: (http://ssrn.com/abstract=1393995). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

CO, Richard (2009): „Leveraged Leveraged ETFs vs. Futures: Where Is the Missing Performance?”. CME

Group. Abrufbar auf (http://www.cmegroup.com/trading/equity-index/files/Embedded_Volatility_in_Leveraged_ETF_021709.pdf). Letzter Abruf (10.01.2010) DEUTSCHE BANK (2010a): db x-trackers Produkte-Prospekt. Abrufbar unter (http://www.etf.db.com/DE/DE/pdf/DE/prospectus/prospectusdbxtrackers1_2010_10.pdf). Letzter

Abruf (10.01.2010)

110

DEUTSCHE BANK (2010b): „db x-trackers ETFs on daily leveraged long and short indices”. Prospekt. (Hrsg.)

Deutsche Bank AG. Abrufbar auf (http://www.dbxtrackers.de/EN/binaer_view.asp?BinaerNr=1234). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

DEUTSCHE BANK (2010c): db x-trackers Produktübersicht. (Hrsg.) Deutsche Bank AG. Abrufbar unter (http://www.etf.db.com/DE/pdf/DE/overallfactsheet/overallfactsheet.pdf). Letzter Abruf

(10.01.2010)

ENGLE, R. and D. SARKAR (2008): „Pricing Exchange Traded Funds”. Arbeitspapier. SSRN eLibrary. Abrufbar auf (http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1296379). (Letzter Aufruf am

10.01.2011)

HILL, Joanne und George FOSTER (2009): „Understanding Returns of Leveraged and Inverse Funds:

Examining performance over periods longer than one day”. Journal of Indexes, September/Oktober 2009. Abrufbar auf (http://www.investmentnews.com/assets/docs/CI67169105.PDF). (Letzter

Aufruf am 10.01.2011)

HILL, Joanne und Solomon TELLER (2010): „Hedging With Inverse ETFs”. Journal of Indexes, November/Dezember 2010, S. 18-24.

HOUGAN, Matt (2009): „How Long Can You Hold Levearged ETFs?”. IndexUniverse.com. Abrufbar auf (http://www.indexuniverse.com/publications/journalofindexes/joi-articles/5421-how-long-can-you-

hold-leveraged-etfs.html). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

HULL, John C. (2009): „Optionen, Futures und andere Derivate”. Pearson Studium. 7. Auflage.

KNAIN LITTLE, Patricia (2010): „Inverse and Leveraged ETFs: Not Your Father’s ETF”. Journal of Index

Investing, 2010 (1), S. 82-89.

KELLY,J. (1956): „A New Interpretation of Information Rate". Bell System Technical Journal, 1956 (35), S. 917-926.

KREMER, Jürgen (2006): „Einführung in die diskrete Finanzmathematik”. Springer Verlag. LU, Lei, Jun WANG und Ge ZHANG (2009): „Long Term Performance of Leveraged ETFs”. SSRN eLibrary. Abrufbar auf: (http://ssrn.com/abstract=1344133). (Letzter Aufruf am 10.01.2011) MACKINTOSH, Phil (2008): „Double Trouble”. ETF and Indexing 2008, Institutional Investor Journals Investment, 2008 (1), S. 25-31. Abrufbar auf

(https://tradeview.csfb.com/edge/Public/Bulletin/Servefile.aspx?FileID=4198&m=1986924904).

(Letzter Aufruf am 10.01.2011)

MACKINTOSH, Phil (2009a): „Longer Term Plays on Leveraged ETFs”. (Hrsg.) Credit Suisse. Abrufbar auf (http://www.scribd.com/doc/36882316/DoubleShortLeveredETFs-Apr10). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

MACKINTOSH, Phil (2009b): „Triple Trouble”. (Hrsg.) Credit Suisse. Abrufbar auf (http://www.scribd.com/doc/37716379/Triple-Trouble2-Mar09). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

111

MOUGEOT, Nicolas (2009a): „Benchmark Tracking Strategies: On Optimal Tracking”. (Hrsg.) Deutsche

Bank AG. Abrufbar auf

(http://www.dbxtrackers.com.hk/pdf/EN/research/researchspecial_2009_03_26_On_Optimal_Tracki ng.pdf). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

MOUGEOT, Nicolas (2009b): „Portfolio & Index Strategy: Enhancing Beta through ETFs”. (Hrsg.) Deutsche

Bank AG. Abrufbar auf

(http://www.dbxtrackers.com.hk/pdf/EN/research/researchspecial_2009_03_26_Enhancing_Beta_th rough_ETFs.pdf). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

RUSPINI, Jason (2009): „Making Leveraged ETFs Work,” Seeking Alpha, 07. Juli.

SCHUBERT, Prof. Dr. Leo (2010): „Investitionsverhalten bei Short und Leveraged ETFs”. ETF-Risiko-

Bericht, HochschuleKonstanz. Abrufbar auf

(http://www.fundresearch.de/startseite/pdf/37361102112010_ETF-Risiko-Bericht_kurz.pdf).

(Letzter Aufruf am 10.01.2011)

TRAINOR, William J. und Edward A. BARYLA (2008): „Leveraged ETFs: A Risky Double That Doesn’t

Multiply by two”. Journal of Financial Planning. 2008 (21) 5, S. 48-55

TRAINOR, William J. (2010): „Do Leveraged ETFs Increase Volatility”. Technology and Investment, 2010 (1), S. 215-220

WANG, Zhenyu (2009): „Market Efficiency of Leveraged ETFs”. Arbeitspapier. Abrufbar auf

(http://olympiainv.com/Memos/ETFs.pdf). (Letzter Aufruf am 10.01.2011)

YATES, Tristan unde Lye KOK (2007). „Leveraged ETFs: A value destruction trap? ”. Seeking Alpha, 2. April 2007.

112