Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  2

2  Grundlagen  6

2.1  Grundbegriffe  6

2.2  Hilfsmittel  10

3  Der Beweis  18

3.1  G ultigkeit vom Bertrandschen Postulat f ur n 4000  18

3.2  Absch atzung vom Primzahlenprodukt  19

2n   

3.3  Enthaltene Primzahlen in  21

n   

3.4  Absch atzung von 4 n  22

3.5  Das Bertrandsche Postulat  24

3.6  Anmerkung  26

4  Folgerungen  27

4.1  Primzahlsumme  27

4.2  Die Unendlichkeit der Primzahlen  29

Literaturverzeichnis   30

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Kapitel 1

Einleitung

Wann der Begriff der Primzahl in der Geschichte der Mathematik das erste Mal aufgetaucht ist, scheint nicht ganz sicher zu sein, aber sie geh¨ oren zu jenen mathematischen Objekten, welche seit jeher alle mathematisch Interessierten fasziniert haben. Jede Zahl setzt sich aus Primzahlen zusammen (Hauptsatz der Arithmetik), die Primzahlen sind also sozusagen die Atome des Zahlensystems, mit dem alle Mathematik beginnt.

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... werden von den Mathematikern als die nat¨ urlichen Zahlen bezeichnet. Eine Primzahl ist eine nat¨ urliche Zahl mit genau zwei nat¨ urlichen Zahlen als Teiler, n¨ amlich der Zahl 1 und sich selbst. Dass die Folge der so definierten Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . nicht abbricht, dass es also unendlich viele Primzahlen gibt, hat als erster Euklid 300 vor Christus bewiesen. Euklid f¨ uhrte einen Widerspruchsbeweis f¨ ur die Richtigkeit dieses Satzes: Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, l¨ asst sich die Existenz weiterer folgern, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele.

Aber es wird wohl auch schon vor Euklid in verschiedenen Kulturkreisen Menschen gegeben haben, welche einiges ¨ uber die Eigenschaften der Primzahlen

wussten. Trotz ihrer scheinbaren Einfachheit und ihres grundlegenden Charakters bleiben die Primzahlen die geheimnisvollsten Objekte, die von den Mathematikern untersucht werden. Es ist erstaunlich, dass einige der ¨ altesten Primzahlprobleme trotz gr¨ oßter Bem¨ uhungen von Generationen von Mathe-

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matikern bis heute ungel¨ ost sind. Wenn es um das Auffinden von Mustern und Ordnung geht, stellen die Primzahlen eine nicht mehr zu ¨ ubertreffende

Herausforderung dar. Es ist unm¨ oglich, f¨ ur eine Liste von Primzahlen vorherzusagen, wann die n¨ achste Primzahl auftauchen wird. Die Liste erscheint chaotisch und zuf¨ allig, und es gibt keinerlei Hinweise, wie man die n¨ achste Zahl bestimmen k¨ onnte. Seit jeher stellen sich Mathematiker die Frage, ob es eine Formel gibt, mit der sich eine Primzahl berechnen l¨ asst. Doch auch nach zweitausend Jahren intensivster Suche entdeckt man nicht irgendwelche einfache Muster. Die Primzahlfolge gleicht eher einer Zufallsfolge von Zahlen als einer geordneten Struktur.

Es ist auch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert. Seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen, gibt es stets eine gr¨ oßte bekannte Primzahl. Derzeit ist es 2 ^43.112.609 − 1, eine Zahl mit

12.978.189 dezimalen Stellen, die am 23. August 2008 auf einem Computer der mathematischen Fakult¨ at an der University of California, Los Angeles, gefunden wurde. Die Entdeckung dieser Primzahl qualifiziert sich mit mehr als 10 Millionen Dezimalstellen f¨ ur den von den von der Electronic Frontier Foundation ausgeschriebenen Preis von 100.000 US-Dollar. Die gr¨ oßte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form 2 n −1 (benannt nach dem Theologen und Mathematiker des 17. Jahrhunderts

Marin Mersenne). Seit einigen Jahren wird die jeweils gr¨ oßte Primzahl mit der Eintragung ins Guiness-Buch der Weltrekorde gew¨ urdigt. Die Zahlentheorie galt jahrhundertelang neben der Euklidischen Geometrie als das klassische Modell der reinen Mathematik: ein theoretisches Geb¨ aude voller Sch¨ onheit und Eleganz, ein Kunstwerk des menschlichen Geistes. Seit etwa 30 Jahren hat sich dies ge¨ andert: Die Primzahlen sind auch in das Zentrum der Anwendungen ger¨ uckt. F¨ ur die moderne Technologie sind sie unverzichtbar. Jede einzelne Kontenbewegung, jeder Banktransfer, der gesamte Internethandel sind vorrangig durch Codes gesch¨ utzt, die auf Primzahlen beruhen. Sie w¨ urde beispielsweise auch zum Zusammenbruch des heutigen Internetverschl¨ usselungssystems f¨ uhren. Es funktioniert n¨ amlich nur deshalb, weil wir grundlegende Eigenschaften von Primzahlen heute noch nicht kennen. Die Suche nach der Formel hat schon vielen Menschen zum Ruhm oder zum Wahnsinn verholfen.

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Seit Jahrhunderten haben sich die brillantesten mathematischen K¨ opfe mit verschiedenen Aspekten der Primzahlen besch¨ aftigt und sowohl geniale neuartige Ans¨ atze als auch L¨ osungen f¨ ur grundlegende Fragen gefunden. [1],[2],[3]

Diese Arbeit besch¨ aftigt sich mit der Verteilung der Primzahlen. Eine kleine Hinf¨ uhrung schildert die Entstehung der damaligen Vermutung von Bert-rand:

Wie schon oben erw¨ ahnt, ist die Menge der Primzahlen unendlich groß. Jetzt soll gezeigt werden, dass es beliebig große L¨ ucken zwischen den Primzahlen geben muss. Dazu w¨ ahlt man eine beliebige Primzahl p r die kleiner als k + 2 (k ∈ N) ist. Das Produkt aller Primzahlen bis p r werde mit N bezeich-

net.

N := 2 · 3 · 5 · . . . · p r (p r ∈ P, p r < k + 2)

Jeder dieser Primfaktoren teilt nat¨ urlich N ; wird zu N eine ganze Zahl addiert, teilt diese auch die Summe:

Jede dieser k Zahlen N + 2, N + 3, N + 4, . . . , N + k, N + (k + 1) hat also einen Primteiler i ∈ {2, 3, 4 . . . , k, k+1}, und damit sind all diese Zahlen keine Primzahlen. Die n¨ achste Primzahl p s ∈ P muss damit gr¨ oßer als N + (k + 1)

sein. Da k beliebig groß sein kann, muss es beliebig große L¨ ucken zwischen zwei Primzahlen p r und p s geben. Veranschaulicht dargestellt:

p r < N < N + (k + 1) < p s .

Mit dieser Methode kann man k aufeinanderfolgende nat¨ urliche Zahlen finden, welche nicht prim sind. Veranschaulicht an einem Beispiel: Sei k = 12. Das Produkt aller Primzahlen die kleiner als k + 2 = 14 sind

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lautet N = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 = 30030. Folglich ist keine der k = 12 Zahlen

30032, 30033, 30034, . . . 30043

prim.

Im Jahre 1845 vermutete Joseph Bertrand, dass es - obwohl die L¨ ucke zwischen zwei Primzahlen beliebig groß sein kann - eine obere Schranke f¨ ur die Gr¨ oße dieser L¨ ucke gibt. Seine Behauptung lautete:

Die L¨ ucke bis zur n¨ achsten Primzahl kann nie gr¨ oßer sein als die Zahl, an ”

der man die Suche beginnt.“

Das heißt also, dass zwischen n und 2n immer mindestens eine Primzahl liegen muss. Bertrand selbst belegte dies bis n = 3000000. Pafnuty Chebychev war es, der im Jahr 1850 die Bertrandsche Vermutung vollst¨ andig bewiesen hatte, allerdings auf eine sehr komplizierte Art und Weise. Sie wird seitdem als das Bertrandsche Postulat bezeichnet.

Einen einfacheren Beweis lieferte der Inder Ramanujan. Der eleganteste, elementarste und k¨ urzeste Beweis stammt jedoch vom damals 19-j¨ ahrigen Paul Erd˝ os (1932) und wurde als Grundlage dieser Arbeit herangezogen. [4]

Paul Erd˝ os wurde am 26. M¨ arz 1913 in Budapest geboren. Bis zu seiner Promotion im Jahre 1934 studierte er an der Universit¨ at Budapest. Seither war er st¨ andig auf Reisen und arbeitete mit sehr vielen Mathematikern in aller Welt zusammen. [5]

Die bemerkenswert zahlreichen Arbeiten von Erd˝ os konzentrierten sich auf Probleme der Zahlentheorie, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Mengen-theorie und der Kombinatorik und sind meist mit diffizilen kombinatorischen Abz¨ ahlverfahren verbunden, die Erd˝ os mit großer Meisterschaft zu handhaben wusste.

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Kapitel 2

Grundlagen

2.1 Grundbegriffe

Die in diesem Abschnitt angegebenen Voraussetzungen zur Durchf¨ uhrung des Beweises vom Bertrandschen Postulat sind aus B¨ uchern ^[6],[7],[8] entnommen. Sie stellen lediglich eine ¨ Ubersicht dar, ohne einzelne Beweise; diese werden als bekannt vorausgesetzt.

2.1.1 Notation

• Nat¨ urliche Zahlen. Die Menge der nat¨ urlichen Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, . . .} werde mit N bezeichnet. Weiter sei N 0 = N ∪ {0}.

• Ganze Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, . . .} werde mit Z bezeichnet.

• Rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen { a : a, b ∈ Z, b = 0} b

werde mit Q bezeichnet.

• Reelle Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen werde mit R bezeichnet.

Das Rechnen in diesen Mengen wird als bekannt vorausgesetzt, das heißt die Frage was nat¨ urliche, ganze, rationale und reele Zahlen eigentlich sind und

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wie sich das Rechnen mit ihnen axiomisch begr¨ unden l¨ asst wird hier nicht thematisiert.

2.1.2 Notation

• a ∈ Z heißt gerade, falls es ein b ∈ Z gibt mit der Eigenschaft a = 2 · b.

• a ∈ Z heißt ungerade, wenn a nicht gerade ist, das heißt wenn es ein b ∈ Z gibt mit der Eigenschaft a = 2 · b + 1.

2.1.3 Definition (Teilbarkeitsrelation)

Es seien a, b ∈ Z. a heißt Teiler von b genau dann, wenn es ein c ∈ Z gibt mit b = c · a, symbolisch: a | b.

Gibt es kein c ∈ Z mit b = c · a, so ist a kein Teiler von b, symbolisch: a b.

2.1.4 Proposition

F¨ ur alle a, b, c, d ∈ Z gilt:

• a | a (Reflexivit¨ at)

• a | b und b | c ⇒ a | c (Transitivit¨ at)

• a | b und b | a ⇒ |a| = |b|

• a | b und c | d ⇒ ac | bd

• a | b ⇒ a | bc und ac | bc

• a | b und a | c ⇒ a | (eb + fc) f¨ ur alle e, f ∈ Z

2.1.5 Definition (Teilermenge)

Die Menge aller positiven Teiler von a ∈ N, das heißt die Menge

T (a) = {x ∈ N : x | a}

nennt man Teilermenge von a.

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