Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Herleitung der Taylor-Reihe mit der Entwicklungs-  

stelle  x 0 und der Maclaurin-Reihe mit x 0 0 f  

ur  die  

Potenzreihenentwicklung  einer Funktion f (x)  4

3  Herleitung der Restgliedformel nach Lagrange  

mithilfe  des erweiterten Mittelwertsatzes der  

Di  fferentialrechnung  8

4  Herleitung spezieller Funktionen und Beispiele  

der  Potenzreihenentwicklung mit Konvergenz-  

betrachtungen   12

4.1  Konvergenzradius r einer Potenzreihe  13

4.2  Die nat urliche Exponentialfunktion exp(x)  14

4.3  Der Logarithmus naturalis  17

4.4  Die Kosinusfunktion cos(x)  21

5  Anwendungen der Potenzreihenentwicklung  25

6  Literaturverzeichnis  27

1 Einleitung

Die Welt der Mathematik und ihre dazugeh¨ origen zahlreichen Anwendungen weisen h¨ aufig komplizierte und abstrakte Funktionen auf, deren Auswertung lange und aufwendige Rechenwege mit sich zieht. Darum ist es sinnvoll, solche Funktionen durch umg¨ anglichere Funktionen m¨ oglichst gut zu approximieren, d.h. an zu n¨ ahern (lat. appropinquare: sich n¨ ahern). Dazu bieten sich der Einfachheit halber Funktionen an, welche sich durch Polynome oder durch eine unendliche Polynomfunktionen, also Potenzreihen, darstellen lassen. Potenzreihen besitzen die Form einer unendlichen Reihe 1 ∞ i=0 a i (x − x 0 ) i wobei gilt:

∞

a i (x − x 0 ) i = a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 ) ² + a 3 (x − x 0 ) ³ + ... (1) i=0

mit den Koeffizienten a i und der Entwicklungsstelle x 0 .

Diese Idee der Approximation sowie und ihr dazugeh¨ origer Sachverhalt mit einigen Schlussfolgerungen waren bereits Gregory, Newton, Leibniz und Johann Bernoulli bekannt, doch erst der britische Mathematiker Brook Taylor ² - ein Sch¨ uler Newtons und Mitglied des Komitees zur Kl¨ arung des Streits ¨ uber die ” Erfindung“ der Differential- und Integralrechnung zwischen Newton und Leibniz - f¨ uhrte die Gedanken zu Ende und publizierte sie als Erster im Jahr 1715 in seinem Werk Methodus incrementorum directa et inversa : heute als ” Satz von Taylor“ und ” Taylor-Reihe“ be-

kannt. Im Werk Treatise of Fluxions vom schottischen Mathematiker Colin Maclaurin ³ gewinnt die Reihe Brook Taylors noch weiter an Bedeutung, da Maclaurin daraus die vom Vorzeichen h¨ oherer Ableitungen abh¨ angigen Folgerungen ¨ uber Maxima und Minima ableitete. Der Sonderfall der Taylor-Reihe mit der festen Entwicklungsstelle x 0 = 0, den der Schotte

haupts¨ achlich betrachtete, ist heute in der Fachwelt der Mathematik noch Maclaurin-Reihe“ wohlbekannt. ^(vgl.[7]) als ”

¹ Zum vollst¨ andigen ¨ Uberblick Anlage 1 betrachten.

² 1685-1731, einer der bedeutendsten Mathematiker sowie zu jener Zeit anerkannter Maler und Musiker

³ 1698-1746, 1717 bereits Mathematikprofessor in Aberdeen und sp¨ ater in Edinburgh

3

2 Herleitung der Taylor-Reihe mit der Entwicklungsstelle x 0 und der Maclaurin-Reihe mit x 0 = 0 f ¨ ur die Potenz-reihenentwicklung einer Funktion f (x)

Nun zur¨ uck zur ¨ Uberlegung durch Approximation komplizierte Funktionen durch einfache Polynome auszudr¨ ucken. Man kann mithilfe einer linearen Funktion (N¨ aherungsfunktion P(x) genannt), die an die Stelle x 0 an den Graphen G f angelegt wird, was geometrisch betrachtet der Tangente der Funktion f (x) im Punkt S (x 0 | f (x 0 )) entspricht und zur Tangentengleichung

y T f¨ uhrt, eine relativ gute N¨ aherung f¨ ur f (x) erhalten, wie am folgenden Beispiel mit f (x) = sin(x) und x 0 = 0 ersichtlich wird: (vgl.[4], S.216)

P(x) = y T = f (x 0 ) + f (x 0 )(x − x 0 )

(2)

f (x) = sin(x) und f (x) = cos(x) mit f (0) = 0 und f (0) = 1 (3)

da x 0 = 0 und wegen (2) und (3) :

P(x) = y T = f (x 0 ) + f (x 0 )(x − x 0 ) = f (0) + f (0) · x = x und P (x) = 1

Die N¨ aherungsfunktion P(x) = x ist ein Polynom 1. Ordnung und wurde

hier mit Hilfe der Tangentengleichung so bestimmt, dass an der betrachteten Stelle x 0 = 0 die N¨ aherungsfunktion im Funktionswert und im Wert der 1.

Ableitung mit der gegebenen Funktion ¨ ubereinstimmt:

Wie deutlich in Abbildung 1 zu erkennen ist n¨ ahert sich der Graph von P(x) der Sinuskurve bei x 0 gut an, solange man sich nicht zu weit von x 0 = 0 in

x-Richtung entfernt.

4

Nach diesem Ansatz der linearen Ann¨ aherung soll nun aber eine noch genauere Approximation durch Polynome h¨ oherer Ordnung gelingen. Die gegebene Funktion und ihre N¨ aherungsfunktion sollen an der Stelle x ⁰ nicht nur in ihren Funktionswerten und den Werten ihrer ersten Ableitung ubereinstimmen, sondern desweiteren in ihren n ersten Ableitungswerten. ¨

F¨ ur die N¨ aherungsfunktion P(x) eignet sich wie oben genannt eine Polynomfunktion.

Es wird also gefordert ^(vgl.[10]) , dass

P(x 0 ) = f (x 0 ); P (x 0 ) = f (x 0 ); P (x 0 ) = f (x 0 ); P (x 0 ) = f (x 0 ); ... (4)

Da sich hier auf die Maclaurin-Methode beschr¨ ankt und konzentriert wird, ist per Definition x 0 = 0 und es ergibt sich mit (1) nun f¨ ur die N¨ aherungs-

funktion die (endliche) Polynomfunktion P n (x) der Form

Allerdings ist nicht zu erwarten, dass die Funktion und die Polynomfunktion an allen Punkten immer exakt die selben Werte besitzen - es existiert sozusagen geometrisch gesehen eine Diskrepanz zwischen dem Graphen des Polynoms und dem eigentlichen Funktionsverlauf, sprich ein ” Fehler“

R n (x) = f (x) − P n (x), welcher Restglied R n genannt wird (dazu aber mehr

im Kapitel 3).

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Zur n¨ aheren Bestimmung der Koeffizienten a i wird P n (x) gliedweise differenziert - man bildet also der Forderung (4) nachkommend die n ersten Ableitungen, n ∈ N:

n

P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x ² + a 3 x ³ + ... + a n x n = i=0 a i x i n P n (x) = 1 · a 1 + 2 · a 2 x + 3 · a 3 x ² + 4 · a 4 x ³ + ... + n · a n x ⁽ⁿ⁻¹⁾ = i=1 (i a i x i−1 ) n (x) = 1 · 2 · a 2 + 2 · 3 · a 3 x + 3 · 4 · a 4 x ² + ... + (n − 1) · n · a n x ⁽ⁿ⁻²⁾ P n (x) = 2 · 3 · a 3 + 2 · 3 · 4 · a 4 x + 3 · 4 · 5 · a 5 x ² + ... + (n − 2)(n − 1) · n · a n x ⁽ⁿ⁻³⁾ P

n (x) = 2 · 3 · 4 · a 4 + 2 · 3 · 4 · 5 · a 5 x + ... + (n − 3)(n − 2)(n − 1) · n · a n x ⁽ⁿ⁻⁴⁾ P (IV)

· · ·

n (x) = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n − 2)(n − 1) · n · a n = n!a n P (n)

Nun ergibt sich aus der Forderung, dass die Funktions- und Ableitungswerte von f (x) und P n (x) an der Stelle x 0 = 0 ¨ ubereinstimmen sollen, folgendes:

⇒ a 3 = f (0) n (0) = 2 · 3 · a 3

2·3

⇒ a 4 = f ^{(IV) (0)} f ^(IV) (0) = P ^(IV) n (0) = 2 · 3 · 4 · a 4

2·3·4

· · ·

Somit erh¨ alt man f¨ ur a i also f ⁽ⁱ⁾ (0)

und die Polynomfunktion lautet folglich: i!

Diese Polynomfunktion (5) heißt Maclaurin-Funktion ⁴ von f (x) mit Entwicklungsstelle x 0 = 0.

⁴ Bemerkung zur Notation: Im Folgenden wird die Maclaurin-Funktion mit T n (x; 0) bezeichnet. (F¨ ur weitere Bezeichnungen wird auf Anlage 1 verwiesen.)

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Wenn man von einer beliebigen Entwicklungsstelle ausgeht - also Null durch x 0 und x durch (x−x 0 ) ersetzt wird - und die Summierung bis ins Unendliche fortgesetzt werden soll erh¨ alt man die Taylor-Reihe:

Man darf f¨ ur eine Funktion f (x) eine Potenzreihenentwicklung nach Taylor bzw. Maclaurin nur dann anwenden, wenn gilt: Die Funktion f mit f : I → R ist ¨ uber einem Intervall I = [x 0 ; x] definiert

und darin stetig differenzierbar und auf dem offenen Intervall I wenigstens (n + 1) -mal differenzierbar. Differenzierbar nat¨ urlich deswegen, weil man

an der zu entwickelnden Stelle die Ableitungen bilden muss und stetig, was aus der Differenzierbarkeit folgert, damit die Funktion ohne Unterbrechung ist.

Um jeweils zur Taylor- bzw. Maclaurin-Reihe zu gelangen, ben¨ otigt man also die Potenzreihenentwicklung ⁵ nach Taylor bzw. Maclaurin der Funktion f (x).

Eine Funktion f (x) wird genau dann durch ihre Taylor- bzw. Maclaurin-Reihe dargestellt, wenn der Limes des dazugeh¨ origen Restgliedes f¨ ur alle x ∈]x 0 ; x 0 + h[ f¨ ur n → ∞ Null ist: lim n→∞ R n (x; x 0 ) = 0 . (vgl.[3])

Unter den obigen Voraussetzungen f¨ ur die Approximation einer Funktion gilt der Satz von Taylor

Speziell f¨ ur die Entwicklung nach Maclaurin (x 0 = 0) und ihr Restglied gilt

dann:

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