Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Die Monte Carlo Simulation  2

2.1  Geschichte der Monte Carlo Simulation  2

2.2  Wesen der Monte Carlo Simulation  3

3  Zufallszahlen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen  4

3.1  Diskrete Verteilungen  4

3.2  Stetige Verteilungen  5

3.2.1  Die Gleichverteilung  6

3.2.2  Die Exponentialverteilung  7

3.2.3  Die Normalverteilung  8

4  Erzeugung von Zufallszahlen  10

4.1  Gleichverteilte Zufallszahlen  10

4.1.1  Mid-Square-Methode  10

4.1.2  Kongruenzmethode nach Lehmer  11

4.2  Statistische Tests  13

5  Beispiel: Produktentwicklung  14

6  Zusammenfassung  20

Literaturverzeichnis   21

I

Abbildungsverzeichnis   

3.1  Dichte- und Verteilungsfunktion der Gleichverteilung  7

3.2  Dichte- und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung  8

3.3  Dichtefunktion der Standardnormalverteilung  9

5.1  Verteilung der Entwicklungs- und Testkosten  15

5.2  Szenario 1 (1. Durchlauf der Simulation)  16

5.3  Szenario 2 (2. Durchlauf der Simulation)  17

5.4  Szenario 3 (3. Durchlauf der Simulation)  17

5.5  Histogramm - H aufigkeitsverteilung  18

5.6  Statistische Kennzahlen  18

5.7  Quantile  19

II

Tabellenverzeichnis   

4.1  Beispiel zur Mid-Square-Methode  11

4.2  Beispiel zur Kongruenzmethode nach Lehmer  12

5.1  Base Case - Beispiel: Produktentwicklung  14

III

Abk¨ urzungsverzeichnis

Bsp. Beispiel

bzw. beziehungsweise

ca. circa

d.h. das heißt

EUR Euro

F&E Forschung und Entwicklung

GASP General Activity Simulation Programs

GPSS General Purpose Simulation System

i.H.v. in H¨ ohe von

Mio. Millionen

SIMULA Simulation Language

u.a. unter anderem

usw. und so weiter

Vgl. Vergleiche

z.B. zum Beispiel

IV

Symbolverzeichnis

P (X = x i ) Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsvariable X die Auspr¨ agung x i

annimmt

f (x) Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichtefunktion

F (x) Verteilungsfunktion

E(X), μ Erwartungswert V (X), σ ² Varianz

[a, b] Intervall in den Grenzen a und b

λ Parameter der Exponentialverteilung

Φ(z) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

mod Modulo-Operation N

R

μ ∈ R μ ist Element der Menge R

V

1 Einleitung

Viele Probleme in der Praxis sind so komplex, dass sie nicht mathematisch exakt gel¨ ost werden k¨ onnen. In solchen F¨ allen werden heuristische Verfahren wie die Simulation ben¨ otigt. Bei der Simulation werden komplexe technische oder wirtschaftliche Abl¨ aufe mit Hilfe eines Modells nachgebildet, analysiert und ausgewertet. ¹ Simulationen sind be-

sonders dann n¨ utzlich, wenn keine analytischen Methoden zur Probleml¨ osung vorhanden sind oder der Einsatz von solchen Methoden einen zu hohen Aufwand erfordert oder reale Experimente aufgrund der Kosten, der Zeit oder des Risikos unm¨ oglich sind. 2

Fr¨ uher oft nur f¨ ur die Technik bedeutend, geh¨ ort die Simulation heute zu den wichtigsten Teilgebieten des Operations Research. Sie dient hier vor allem der Analyse stochastischer Problemstellungen. ³ Im Operations Research bedeutet Simulation, die Nachbildung der Realit¨ at mit mathematischen, numerischen bzw. statistischen Modellen. ⁴ Es

existiert eine Vielzahl an Anwendungsm¨ oglichkeiten und Systematisierungsvorschl¨ agen. Dabei wird u.a. zwischen deterministischer und stochastischer Simulation unterschieden. Wie der Name schon sagt, werden bei der deterministischen Simulation Probleme analysiert und gel¨ ost, bei denen alle Inputdaten bekannt sind. Beispiele hierf¨ ur sind deterministische Lagerhaltungsabl¨ aufe oder Tourenplanungsprobleme. Bei der stochastischen Simulation (in der Literatur als Monte Carlo Simulation bezeichnet) werden dagegen Probleme analysiert, die von zuf¨ alligen Einfl¨ ussen abh¨ angen. Als Beispiel k¨ onnen Wartungs- und Instandhaltungs-, Warteschlangen-, Lagerhaltungs- und Reihenfolgeprobleme genannt werden. ⁵ Diese Arbeit besch¨ aftigt sich im Folgenden genauer mit der

Monte Carlo Simulation. Es wird erkl¨ art, was darunter zu verstehen ist und welche Instrumente f¨ ur die Anwendung ben¨ otigt werden. Außerdem soll anhand eines Beispiels der Stellenwert verdeutlicht werden. Am Ende der Arbeit wird eine kurze Zusammenfassung gegeben.

¹ Vgl. Zimmermann (1999): Operations Research, S. 336.

² Vgl. Corsten/Corsten/Sartor (2005): Operations Research, S. 224f.

³ Vgl. Domschke/Drexl (2005): Einfuhrung in Operations Research, S. 223.

⁴ Vgl. Grundmann (2002): Operations Research: Formeln und Methoden, S. 141.

⁵ Vgl. Zimmermann (1999): Operations Research, S. 337 und Neumann/Morlock (2004): Operations Research, S. 698.

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