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1 Einleitung

Die Liberalisierung der Weltmärkte und die damit wachsenden Risikopotenziale auf den Finanzmärkten schaffen, insbesondere für global agierende ¹ Wenngleich die Unternehmen, veränderte wirtschaftliche Rahmenbedingungen. Risikosteuerung mittlerweile einen Kernbereich von Finanzunternehmen und Banken darstellt, wurden in der Vergangenheit erhebliche Risikobereiche massiv unterschätzt oder zu spät erkannt. Dabei kamen oftmals ungeeignete ² Der heutige Verfahren in der Praxis des Risikomanagements zur Anwendung. Standard in den Finanzinstituten nimmt eine isolierte Messung der einzelnen ³ Üblicherweise erfolgt dabei die grundlegende Unterteilung für Risikoarten vor.

die Risikoaggregation in Markt-, Kredit- bzw. operationelles Risiko. Hierbei soll eine Eigenkapitalunterlegung vorgenommen werden, die den Ansprüchen der ⁴ gerecht wird. Diese soll die 2007 in Kraft getretenen Basel II-Vorschriften ⁵ Solvenzsicherung der Institute bei großen Ausfällen beziehungsweise Krisen ⁶ gewährleisten.

In der Finanzwirtschaft wurden in den letzten Jahren verschiedene Veränderungen vorgenommen, um die Auswirkungen von Krisensituationen zu ⁷ Dennoch treten bedeutsame Markteinbrüche, wie die im Jahr 2007 minimieren.

einsetzende Subprimekrise, die sich zur Finanzkrise ausgeweitet hat, auf. Es wird also deutlich, dass die Analyse, Messung und damit insbesondere auch die Aggregation von Risiken, wie sie im Rahmen der 2.Säule der Basel II-Vorschriften vorgeschlagen wurde, in großen Teilen nicht der stetig komplexer ⁸ werdenden Welt des 21. Jahrhunderts genügt.

1

Vgl. Schmumann (1999).

2

Vgl. o.V. (2008b).

3

Diese ökonomische Sichtweise des Risikos wird im Deutschen seit dem 19. Jahrhundert verwendet. Risiko wird als die mathematische Prognose eines Schadens definiert. Vgl. Hirschmann/Romeike (2006), S. 6-8.

4

Das vom Basler Ausschuss für Bankenaufsicht 1999 veröffentlichte Konsultationspapier, das das Ziel verfolgt, eine risikogerechte Regelung von Eigenkapitalunterlegungen zu gewährleisten. Vgl. vertiefend BCBS (2001a), S. 1.

5

Zu nennen sind bspw. Mexikokrise (1994/95), Asienkrise (1997/98), Brasilienkrise (1999) und das Platzen der New Economy Blase (2000). Vgl. vertiefend Greßmann (2008).

6

Vgl. Deutsche Bundesbank (2004), S. 75.

7

So wurde bspw. Wert auf eine höhere Transparenz der Kreditinstitute gelegt und Bilanzierungsvorschriften nach IFRS angepasst. Vgl. Hull (2007).

8

Schon im Zuge der Implementierung der Basel II-Vorschriften wurde die zu schwache Risikoeinschränkung für Unternehmen und das Fehlen antizyklischer Maßnahmen

3

Ein Lösungsansatz besteht hier in einer ganzheitlichen Betrachtung von Risikopositionen, die im Bereich des Bankensektors durch eine integrierte ⁹ Probleme risikoorientierte Gesamtbanksteuerung vollzogen werden könnte. ergeben sich dabei in einer geeigneten Zusammenführung der einzelnen Risikokennzahlen, denn die einfache Addition von Werten ist nicht zweckmäßig. Vielmehr gilt es, die Diversifikationspotenziale zwischen den ¹⁰ Risikoarten zu berücksichtigen.

Einen alternativen Ansatz bietet hier die Modellierung mit Hilfe von Copula- ¹¹ DerVorteil von Copulas liegt in der Möglichkeit, beliebig verteilte Funktionen.

Zufallsvariablen mit beliebigen Abhängigkeitsstrukturen zu neuen gemeinsamen ¹² So müssen Risikoarten im Verteilungsfunktionen verknüpfen zu können.

Hinblick auf die Aggregation nicht als normalverteilt angenommen werden. Doch gerade die Normalverteilungsannahme ist bis heute in dem Großteil der Modelle zur Risikosteuerung Grundlagenwerkzeug und wird erst langsam von ¹³ asymmetrischen und leptokurtischen (fat-tailed) Verteilungen verdrängt.

Darüber hinaus brauchen die Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Risikoarten innerhalb der Modellierung mit Copulas nicht linear abgebildet ¹⁴ Dies erhöht die Flexibilität der Modelle erheblich. werden.

Für ein verbessertes Verständnis der komplexen Strukturen von Copula-Modellen soll dieses Papier mit dem speziellen Fokus des Bankensektors einen anwendungsorientierten Beitrag leisten. In Kapitel 2 wird zunächst ein Überblick über inhaltliche Gesichtspunkte des Risikomanagements gegeben. Kapitel 3 legt die theoretischen Grundlagen des Copula-Ansatzes. Das Kapitel beinhaltet die Algebra, die innerhalb des 4. Kapitels verwendet wird, um im Zuge einer Simulationsstudie eine Risikoaggregation von drei ausgewählten

kritisiert, die zur möglichen Kreditklemme in finanzwirtschaftlichen Krisenzeiten führen kann. Vgl. Deutsches Risk (2008), S. 2.

9

Vgl. Böve/Hubensack/Pfingsten (2006), S. 17.

10

Vgl. Beck et al. (2006b), S. 29-33.

11

Der Begriff Copula stammt aus dem Lateinischen von "copulare" (verbinden) bzw. "copulatio" (Verknüpfung). Im mathematischen bzw. statistischen Sinne wurde es erstmals von Sklar (1959) verwendet, um diejenigen Funktionen zu beschreiben, die die multivariate Verteilung mit ihren univariaten Randverteilungen verbindet.

12

Vgl. Lesko/Beck (2006), S. 289-293.

13

Anders ausgedrückt bedeutet leptokurtisch so viel wie „Hochgipfeligkeit“ oder „Steilgipfligkeit“, also im Vergleich zur Normalverteilung spitzer verlaufenden Verteilungen mit höheren Eintrittswahrscheinlichkeiten für Extremereignisse an den jeweiligen Enden der Verteilung. Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 87.

14

Vgl. Lesko/Beck (2006), S. 289-293.

4

Risikoarten vorzunehmen. Kapitel 5 fasst die Ergebnisse zusammen und schließt mit einer kritischen Würdigung der Anwendung von Copulas in der Risikobewertung.

2 Risikomanagement in Banken

In diesem Beitrag soll Risiko als „[. . .] die aus der Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen resultierende Gefahr der negativen Abweichung eines tatsächlich erzielten Wertes einer (finanzwirtschaftlichen) Zielgröße von seinem ¹⁵ Mit dem Fokus auf die Finanzwirtschaft Erwartungswert" verstanden werden.

und dort speziell auf den Bankensektor ist Risiko also die Unsicherheit über Abweichungen zwischen der erwarteten Zielgröße und den realwirtschaftlich erzielten Werten zu verstehen.

Um eine spätere Analyse mit Copula-Modellen verständlich durchführen zu können, bedarf es zunächst der Klassifizierung von Kredit-, Markt- und ¹⁶ Abschnitt 2.2 erläutert dann den Value-at-Risk (VaR) operationellen Risiken. als wichtigste Kennzahl der Risikomessung.

2.1 Hierarchische Klassifikation der Bankenrisiken

Eine umfassende Klassifizierung der Risikoarten ist essenziell für die richtige Quantifizierung von Risikopotentialen. Nachfolgend wird auf das Kredit-, Markt- und das operationelle Risiko näher eingegangen, da diese wesentlichen Arten des Erfolgsrisikos in Kapitel 4 innerhalb der Berechnung einer Gesamtrisikoposition betrachtet werden.

2.1.1 Kreditrisiko

Zentrale Bedeutung kommt im Geschäft von Finanzinstituten den Kreditrisiken zu. Im weitesten Sinne bezeichnet das Kreditrisiko die Gefahr der negativen Abweichung eines tatsächlich vollzogenen Zahlungsstroms, gegenüber dem ¹⁷ erwarteten aus einer Forderung resultierenden Zahlungsstroms. Die

Berechnung der Kreditrisiken erfolgt aufgrund von Interdependenzen der ¹⁸ Teilrisiken auf Portfolioebene, also mit Blick auf alle Kreditrisikoarten.

15

Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 21.

16

Diese Untergliederung folgt den Vorgaben des Basler Ausschusses für Bankenaufsicht, die innerhalb der Säule 1 der Basel II-Vorschriften zu den Mindestkapitalanforderungen für diese Risiken gemacht wurden. Vgl. BCBS (2004), S. 6.

17

Vgl. Knapp (2002), S. 9.

18

Grundlegend wird das Kreditrisiko in Ausfall-, Spread-, Länder- und Konzentrationsrisiko unterteilt. Für eine genaue Erörterung der Teilrisiken siehe Mitschele (2008).

5

Risikokomponenten der dabei verwendeten Portfoliomodelle sind die Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default (PD)), die erwartete Höhe der Forderung zum Zeitpunkt des Ausfalls (Exposure at Default (EAD)) und die Verlustquote bei einem Ausfall des Kreditnehmers (Loss Given Default ¹⁹ (LGD)).

Zur Berechnung des Kreditrisikos bedarf es der Aufstellung einer Ausfall- und einer Verlustverteilung. Die Ausfallverteilung quantifiziert jedes

Ausfallereignis, die Verlustverteilung wird durch die Zuordnung jedes Verlustes nach der Höhe und nach der Eintrittswahrscheinlichkeit erstellt. Die mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten bestimmten Kreditverluste werden als „Erwarteter ²⁰ Zur Berechnung des Verlust“, respektive „Expected Loss“ (EL) bezeichnet. erwarteten Verlustes kann auf die zuvor erläuterten Risikokomponenten zurückgegriffen werden: Formel 1: EL = PD ∗ EAD ∗ LGD

Der Expected Loss wird schon im Vorfeld der Kreditvergabe durch Risikoprämien abgesichert und kann dementsprechend nicht zum eigentlichen Kreditrisiko gezählt werden. Dieses wird vor allem durch den „Unerwarteten Verlust“ bzw. „Unexpected Loss“ beziffert. Diese Maßzahl bezeichnet einen ²¹ möglichen Verlustbetrag, der über den erwarteten Verlust hinausgeht. Abbildung 1 zeigt den graphischen Zusammenhang zwischen dem erwarteten und dem unerwarteten Verlust. Die Grafik verdeutlicht, dass die Verteilungsfunktion des Kreditrisikos deutlich rechtsschief aufgebaut ist. Diese Abweichung von der Gauß`schen Glockenkurve liegt in der Tatsache begründet, dass hohe Kreditverluste selten und daher mit niedrigen Wahrscheinlichkeiten eintreten. Kleinere Verluste weisen jedoch höhere Wahrscheinlichkeiten auf und ²² treten durchschnittlich häufiger auf.

19

Vgl. Friewald (2008), Folie 57.

20

Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 256.

21

Vgl. Bröker (2000), S. 13-15.

22

Vgl. Kirmße (2001), S. 122.

Innerhalb der empirischen Untersuchung dieses Beitrags wird eine Modellierung des Kreditrisikos mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation durchgeführt. Aufgrund beschränkter Datengrundlage werden beispielhaft gewählte Maßzahlen herangezogen, um folgend die Funktionsweise von Copula-Modellen näher zu V = 100 GE erläutern. Unter der Annahme eines Unternehmenswertes von t belaufen sich die Verbindlichkeiten auf Z = 70 GE. Der risikolose Zinssatz r σ = 30 Prozent. Unter

beträgt drei Prozent, die Standardabweichung

v

Verwendung der Monte Carlo Simulation wurden 10000 Unternehmenswerte simuliert und in Bezug zu der Ausfallschranke Z gesetzt. Innerhalb dieser Modellierung wird der Zeitraum eines Jahres betrachtet. Mit Hilfe des Modells ²⁴ werden die für die weitere Betrachtung notwendigen von Merton (1974)

Ausfallwahrscheinlichkeiten geschätzt und LGD-Werte simuliert. Ausfälle treten nach dem zur Optionspreistheorie zählenden Merton-Modell ein, wenn das entsprechende Unternehmen nicht fähig ist, die Schulden zu begleichen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit lässt sich algebraisch wie folgt definieren:

Definition 2.1: Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist jene Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Unternehmenswert V zu dem Zeitpunkt T unter der Ausfallschranke Z liegt. V t ≤ ] = P[ln V t ≤ ] Formel 2: PD = P[ Z Z

Umfangreiche Literatur zur Modellierung von Kreditrisiken bieten bspw. Lando (2004), Schonbucher (2003), Duffie (2003) oder Oehler (2002). Der

²³ In Anlehnung an Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 156.

24

Vgl. Merton (1974), S. 449-470.