I

INHALTSVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS.   IV

TABELLENVERZEICHNIS.   V

ABK  ÜRZUNGSVERZEICHNIS.  VI

SYMBOLVERZEICHNIS.   VII

1  Einführung - 1 -  

2  Univariate Modellierung - 3 -  

2.1  ARCH-Modellspezifikation - 3 -  

2.1.1  Definition - 3 -  

2.1.2  Schwächen des ARCH-Modells - 5 -  

2.2  GARCH-Modellspezifikadion - 5 -  

2.2.1  Definition - 5 -  

2.2.2  Schwächen des GARCH-Modells und erweiterte Modelle. - 6 -  

2.2.3  Anwendungsbeispiel für das GARCH-Modell - 8 -  

3  Multivariate GARCH-Modelle - 11 -  

3.1  Vektorielle und diagonale Modelle - 13 -  

3.1.1  VECH-Modell - 13 -  

3.1.2  Diagonales VECH-Modell - 14 -  

3.1.3  BEKK-Modell - 16 -  

3.1.4  Diagonales BEKK-Modell - 18 -  

3.1.5  Skalar-BEKK-Modell. - 18 -  

3.2  Für hochdimensionale Systeme geeignete Modelle - 20 -  

3.2.1  Faktor-GARCH-Modell - 20 -  

3.2.2  Orthogonales GARCH-Modell - 22 -  

3.3  Modelle mit bedingter Korrelation - 25 -  

3.3.1 CCC-Modell ................................................................................................ - 25 -

II

3.3.2  DCC-Modell - 27 -  

3.3.3  TVC-Modell - 29 -  

3.4  Weitere mögliche Modelltypen - 31 -  

3.4.1  Flex-MGARCH-Modell - 31 -  

3.4.2  GDC-Modell. - 33 -  

3.4.3  ADC-Modell. - 34 -  

4  Ermittlung der Parameter für multivariate GARCH-Modelle - 35 -  

4.1  Vorgehensweise - 35 -  

4.1.1  Maximum-Likelihood-Methode - 35 -  

4.1.2  Zwei-Schritte-Schätzungsmethode. - 36 -  

4.1.3  Semiparametrische Schätzungsmethode - 39 -  

4.2  Verschiedene Möglichkeiten von multivariaten Verteilungen - 40 -  

4.2.1  Multivariate Normalverteilung - 40 -  

4.2.2  Multivariate Student-t-Verteilung - 41 -  

4.3  Ermittlung der Parameter - 41 -  

4.3.1  Beschreibung der Datengrundlage - 42 -  

4.3.2  Parameterschätzung mit Normalverteilungsannahme - 44 -  

4.3.3  Parameterschätzung mit Student-t-verteilungsannahme - 48 -  

4.4  Prognose von Volatilitäten - 50 -  

4.4.1  Prognose mit dem diagonalen VECH-Modell - 51 -  

4.4.2  Prognose mit dem CCC-Modell - 51 -  

5  Ermittlung des Value-at-Risk anhand multivariater GARCH-Modelle - 52 -  

5.1  Definition des Value-at-Risk - 53 -  

5.2  Ermittlung des Value-at-Risk - 55 -  

5.3  Bankaufsichtliche Anwendung des Value-at-Risk auf Basel II - 60 -  

5.3.1  Basel II-Richtlinien - 60 -  

5.3.2 Backtesting des Value-at-Risk .................................................................... - 63 -

III

6  Zusammenfassung und Ausblick - 64 -  

LITERATURVERZEICHNIS.  - 67 -  

QUELLENVERZEICHNIS.............................................................................................- 73 -

IV

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

Abbildung  1: Kursverlauf und Renditeverlauf des DAX - 8 -  

Abbildung  2: Autokorrelation der DAX Renditen - 8 -  

Abbildung  3: Autokorrelation der quadrierten DAX Renditen - 8 -  

Abbildung  4: Innovationen, Renditen und bedingte Standardabweichungen des DAX - 9 -  

Abbildung  5: Prognose der Volatilität des DAX - 10 -  

Abbildung  6: Kursverlauf des NASDAQ Index (links) und S P 500 Index (rechts) - 42 -  

Abbildung  7: Renditeverlauf des NASDAQ Index (links) und S P 500 Index(rechts)- 42 -  

Abbildung  8: Multivariate bedingte Volatilitäten des diagonalen VECH-Modells - 45 -  

Abbildung  9: Bedingte Korrelationen zwischen S P 500 und NASDAQ dem diagonalen  

VECH-Modell  - 46 -  

Abbildung  10: Bedingten Korrelationen zwischen S P 500 und NASDAQ - 46 -  

Abbildung  11: Quantil-Quantil-Diagramm der standardisierten Residuen des BEKK-  

Modells  (bei Normal- und Student-t-Verteilung) - 50 -  

Abbildung  12: 365-Schritt Prognose der bedingten Standardabweichung des CCC-  

Modells  - 52 -  

Abbildung  13: Value-at-Risk als (1 - α) Quantil der Verteilung der Verlusthöhe - 54 -  

Abbildung 14: Die drei Säulen von Basel II ................................................................. - 61 -

V

TABELLENVERZEICHNIS   

Tabelle 1:  Ljung-Box Test mit Signifikanzniveau von α 0,05 - 9 -  

Tabelle 2:  Ergebnis der Prognose der Rendite und Volatilität des DAX - 10 -  

Tabelle 3:  Zusammenfassung der vektoriellen und diagonalen Modelle - 19 -  

Tabelle 4:  Zusammenfassung des CCC-, DCC- und TVC-Modells - 31 -  

Tabelle 5:  Deskriptive Statistik der Datengrundlage - 43 -  

Tabelle 6:  Statistischer Test auf Normalverteilung, - 43 -  

Tabelle 7:  Parameterschätzung des diagonalen VECH- und des BEKK-Modells - 45 -  

Tabelle 8:  Parameterschätzung des CCC- und des DCC-Modells - 47 -  

Tabelle 9:  Parameterschätzung des diagonalen VECH- und des BEKK-Modells - 49 -  

Tabelle 10:  Parameterschätzung des CCC-Modells (Student-t-Verteilungsannahme) - 49 -  

Tabelle 11:  1-Schritt-Value-at-Risk Berechnung mit dem Signifikanzniveau 1 und  

5%  - 58 -  

Tabelle 12:  10-Schritt-Value-at-Risk Berechnung mit dem Signifikanzniveau 1 und  

5%  - 59 -  

Tabelle 13: Ampel-Ansatz für die Validierung der internen Value-at-Risk Modelle ... - 63 -

VI

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

ACF Autokorrelation ADC Asymmetric Dynamic Covariance AIC Akaike Information Criterion AG-DCC Asymmetric Generalized Dynamic Conditional Correlation ARCH Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ARMA Autoregressive Moving Average CAPM Capital Asset Pricing Model CCC Constant Conditional Correlation DAX Deutscher Aktienindex DCC Dynamic Conditional Correlation EGARCH Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity EKA Eigenkapitalanforderung F-GARCH Factor-Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ff. und folgende FlexM-GARCH Flexible Multivariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity GDC Generalized Dynamic Covariance IGARCH Integrated GARCH LIML Limited Information Maximum Likelihood MGARCH multivariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ML Maximum Likelihood S&P 500 Standard & Poor’s 500 QML Quasi Maximum Likelihood TGARCH Threshold-GARCH TVC Time-varying Correlation

VII

SYMBOLVERZEICHNIS

a Parameter I Einheitsmatrix Parameter K elementare Dublikationsmatrix A Parametermatrix Verlusthöhe des Aktienportfolios b Parameter

Μ bedingte Varianz-Kovarianz- Parameter

Matrix B Parametermatrix

ℳ skalare Bandbreite-Matrix Parameter

Vektor mit Element , =

c g g-te Spalte in der

Parametermatrix (Faktor- GARCH-Modell) C Parametermatrix Parametermatrix der

Faktorladungen (Faktor-GARCH-Modell) diagonale Varianz-Kovarianz-Matrix der Hauptkompenenten (O-GARCH-Modell) diagonale Matrix der bedingten

Standardabweichung ℎ ,

Parametervektor

standardisierten Residuen , Residuenvektor

Parametermatrix mit Element (Faktor-GARCH-Modell)

, i.i.d. Zufallsvariablen

^∗ Parametermatrix mit Element

(. ) Erwartungswert

Faktor (Faktor-GARCH-Modell) r t Renditezeitreihe

F t Vektor der Faktoren (Faktor- Portfoliorenditezeitreihe

GARCH-Modell) R Matrix der Renditezeitreihen ℱ multivariater Kern Γ() Gamma-Funktion (. ) Dichtefunktion i-te Hauptkomponente ℎ bedingte Varianz (O-GARCH-Modell) H elementare Eliminationsmatrix

VIII

Parameter zusätzliche Kapitalkosten Parameter

Zeitpunkt Ψ (n x n) Korrelationsmatrix von

bedingter Erwartungswert Innovation Z Parametermatrix (AG-DCC-Freitheitsgrad Modell)

ℎ(. ) VECH-Operator ∧ elementweise Exponentiation

V Kovarianz-Matrix von den Λ Matrix der Eigenwerte mit den

Fehlertermen (O-GARCH-Elementen ,

Modell) Parameter Wert des Aktienportfolios ξ Matrix mit Element ,

ω Gewichtungsvektor

W Matrix der Eigenvektoren (O-GARCH-Modell) Funktion (TGARCH-Modell)

Ξ symetrische Matrix mit Element

Ɯ Multiplikativer Faktor

Zufallvektor

÷

- 1 - 1Einführung

Für die Bewertung von Wertpapieren ist eine Vorstellung über das Risiko eines Wertpapieres von entscheidender Bedeutung: nicht nur, weil seine Rendite immer in Relation zu seinem Risiko betrachtet werden muss, sondern auch, weil die Art der Wertpapiere, die eine Bank hält, ihre Stabilität bestimmt. Als ein Risikomaß für die Unsicherheit der zukünftigen Aktienkursbewegung erfährt die Volatilität eine immer größere Beachtung. Bei der Modellierung finanzieller Systeme und Zeitreihen spielt Volatilität immer eine besondere Rolle. ¹ Der Begriff Volatilität spielt nicht nur in den Wirtschaftswissenschaften eine herausragende Bedeutung, sondern auch in fast allen Wissenschaftszweigen. Idealerweise wäre hierbei eine Betrachtung einer über die Zeit hinweg variierende Volatilität, da wie schon durch die Betrachtung einer Graphik der Zeitreihe deutlich wird: Die Volatilität kann stark variieren, und dieser Umstand sollte in eine ihr zugrundeliegende Berechnung miteinfließen. In Krisenperioden schwanken z.B. Aktienkurse auch stärker als in „ruhigen“ Perioden mit nur wenig neuen Informationen mit Einfluss auf den Aktienkurs.

Jedoch wurden seit langer Zeit bei der Untersuchung von Finanzmarktdaten statistische Methoden angewendet, die eine konstante Volatilität voraussetzen. Der Grund hierfür war das Fehlen einer Alternative, die die sich über die Zeit hinweg variierende Volatilität von Finanzmarktdaten betrachtet. Ein wichtiger Durchbruch in der Ökonometrie, der diesen Umstand zu berücksichtigen versucht, ist die Klasse der sogenannten Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)-Modelle von Professor Robert Engle im Jahr 1982. Sie ermöglicht die signifikant bessere Beschreibung der Eigenschaften von Zeitreihen und die Modellierung von sich zeitlich verändernden Volatilitäten. Die ARCH-Famile und deren Verallgemeinerung (GARCH-Modelle) werden im zweiten Kapitel der vorliegenden Arbeit als Grundlage vorgestellt. Um den GARCH-Prozess zu verdeutlichen, wird ein Anwendungsbeispiel gebracht, wobei die Renditezeitreihe des Deutsche Aktienindex (DAX) als Datenquelle für die Parameterschätzung des GARCH-Modells verwendet wird. Anhand der Schätzung werden die Volatilitäten des DAX anschließend prognostiziert. Allerdings sind diese Modelle auf ihre univariate Betrachtung beschränkt, weil sich die bedingte Varianz nur auf eine Finanzzeitreihe bezieht und daher unabhängig ist. Außerdem spielt nicht nur die Berücksichtigung der sich zeitlich verändernden Volitilität, auch das Verständnis über die gegenseitigen und dynamischen Beziehungen

¹ Vgl. Hull 2009, S.259

- 2 -zwischen Renditen verschiedener Wertpapiere eine immer wichtigere Rolle für den Entscheidungsprozess. Denn ökonomische Globalisierung und Internetkommunikation unterstützen die Integration der weltweiten Finanzmärkte signifikant, wodurch solche Wechselbeziehungen ausgebaut werden. ² Deshalb werden im dritten Kapitel die multivariaten generalisierten ARCH (GARCH)-Modelle, die die Korrelation verschiedener Finanzmarktdaten berücksichtigen und die die univariaten ARCH-Modelle als Grundlage nehmen, untersucht. Zusätzlich werden auch deren Erweiterungen, Alternativen sowie die Eigenschaften, Vor- und Nachteile erläutert.

Im Anschluss an die theoretische Übersicht über die multivariaten GARCH-Modelle werden die Parameterschätzungen anhand verschiedener Schätzmethoden vorgenommen. Unter Verwendung des Ergebnisses aus den Schätzungen lassen sich die Volatilitäten prognostizieren. Hierzu wird im vierten Kapitel zunächst auf die theoretischen Grundlagen eingegangen. Anschließend wird dann die praktische Anwendung demonstriert, indem ein Portfolios aus zwei Aktien betrachtet wird, deren Daten die täglichen Aktienkursen beziehungsweise die täglichen Renditen des Standard & Poor's 500 Index und des NASDAQ Index sind. Anhand dieses Portfolios werden die Schätzungen für Parameter und die Volatilitätsprognose der multivariaten GARCH-Modelle, nämlich der diagonalen VECH-, BEKK-, CCC- und DCC-Modelle, rechenerisch vorgenommen. Da es in der Praxis nicht geeignet ist, die Parameterschätzung multivariater GARCH-Modelle nur unter der Normalverteilungsannahme vorzunehmen, wird

zusätzlich die Student-t-Verteilung eingeführt. Im Anschluss soll anhand des Akaike Information Criterion (AIC) die Anpassungsgüte der geschätzten Modelle an die vorliegenden Finanzmarktdaten beurteilt werden. Dadurch lassen sich die Schätzungsergebnisse der vier Modelle miteinander vergleichen. Zur Anwendung bieten GARCH-Modelle verschiedene Möglichkeiten an. Für Risikomanagement sind GARCH-Modelle ein hervoragendes Werkzeug zur Ermittlung des Risikos eines Wertpapierportfolios mit dem Value-at-Risk, indem sie die Schwankungen der einzelnen Wertpapiere modellieren, sowie ihre wechselseitigen Beziehungen beschreiben. Dabei hat diese Arbeit das Ziel, durch die konkrete Vorstellung und Schätzung der multivariaten GARCH-Modelle den Value-at-Risk zu ermitteln. Als ein wichtiges Risikomaß zur Quantifizierung von Marktrisiken ermöglicht der Value-at-Risk eine adäquate Beurteilung der Risikosituation für Unternehmen und inbesondere für Finanzinstitute, da zur Abdeckung von Marktrisiken Eigenkapital in bestimmter Höhe

² Vgl. Tsay 2005, S. 339

- 3 -hinterlegt werden muss. Die Bedeutung davon ist signifikant, da in der Vergangenheit schon schwerwiegende Finanzkrisen wie etwa ausgelöst durch die Barings Bank, Metallgesellschaft, Daiwa, oder Orange Country, das Finanzsystem stark beeinflussten. Um die Stabilität des Finanzsystems zu gewährleisten, wurde ein regulatorischer Rahmen zur Abschätzung von Marktrisiken durch den Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht vorgegeben. Dafür wurde der Value-at-Risk Konzept verwendet, um die durch Basel II geregelten Eigenkapitalanforderungen zu ermitteln. Anschaulich darüber wird im Kapitel Fünft dieser Arbeit diskutiert. Dabei werden der 1-Schritt und 10-Schritt-Value-at-Risk anhand dreier multivariater GARCH-Modelle (das diagonale VECH-, BEKK-, CCC-Modell) unter Normalverteilungsannahme und Student-t-Verteilungsannahme

prognostiziert. Anschließend werden die Basel II-Richtlinien in Bezug auf die Eigenkapitalanforderungen beziehungsweise den Value-at-Risk für Finanzinstitute ausgearbeitet.

Im sechsten Kapitel schließt eine kritische Zusammenfassung mit einem Ausblick die Arbeit ab.

2 Univariate Modellierung

In diesem Abschnitt wird zuerst eine ökonometrische Grundlage, die Familie der sogenannten ARCH-Modelle, dargestellt, welche die zeitveränderliche Volatilität beobachtet. Diese ARCH-Modelle und deren Verallgemeinerung (GARCH-Modelle) werden als Bausteine für multivariate GARCH-Modellen bezeichnet, die die Interdependenz zwischen unterschiedlichen Finanzzeitreihen berücksichtigen.

2.1 ARCH-Modellspezifikation

2.1.1 Definition

Das Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)-Modell wurde vom Nobelpreisträger Professor Engle (1982) entwickelt und ist signifikant hilfreich, die Volatilität von Inflation, die Veränderung von Devisenmärkten, die Volatilität von Aktienrenditen, sowie die Zinsstruktur zu beschreiben. Weiterhin spiegelt die Familie der ARCH-Modelle auch einige empirisch untermauerte Eigenschaften von Aktien- und Wechselkurse, sowie Zinssätze und anderen Finanzzeitreihen wider, die sich durch die sogenannten Renditephänomene („stylized facts“) von anderen Zeitreihen unterscheiden lassen. Drei von vier stylized facts können durch die ARCH-Modellklasse sparsam und einfach modelliert werden:

- 4 - x LeptokurtischeVerteilung: die bei Änderungsraten von Daten geschätzte Kurtosis ist meist deutlich größer als drei.

x Volatilitätsclustering: nach Phasen mit stark (schwach) ausgeprägter Volatilität folgen ebenso Phasen mit höherer (geringerer) Volitilitätsveränderung. x Nicht unabhängige Renditen: obwohl Renditen bei Finanzzeitreihen häufig keine Autokorrelation aufweisen, zeigen die quadrieten Renditen aber deutlich größere Korrelation. 3

Das ARCH-Modell ist das erste Modell, das eine systematische Grundlage für die Modellierung der zeitveränderlichen Volatilität bietet, wobei die aktuelle Volatilität durch die Charakteristika der historischen Zeitreihe bestimmt wird. Ein ARCH-Modell lässt sich folgendermaßen beschreiben: Die Renditezeireihe r t wird als Regressionsmodell modelliert: = = + , = 1, … , , (2.1.1)

wobei = =( |Ω ) den bedingten Erwartungswert zur Informationsmenge Ω zum

Zeitpunkt t - 1 bezeichnet. Der Wert stellt die Abweichung der Renditezeitreihe vom bedingten Erwartungswert dar, daher wird er als Innovation bezeichnet. 4

Unter der Bedingung der Kenntnis sämtlicher Informationsmenge Ω bezeichnet dann ( |Ω ) = ℎ , = 1, … , , (2.1.2) . Ein ARCH-Modell kann nun durch die Modellgleichung = ℎ , (2.1.3)

beschrieben werden, wobei angenommen aus unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert E( ) = 0 und Varianz Var( ) = 1 besteht. Die bedingte Varianz ist in Abhängigkeit der quadrieten Innovationen gemäß

modelliert, wobei die Parameter die Bedingungen > 0 und , … … ≥ 0 erfüllen müssen, um zu gewährleisten, dass die bedingte Varianz ℎ stets positiv ist. 5

³ Vgl. Franke/Härdle/Hafner 2004, S. 201-204

⁴ Vgl. Fricke 2006, S. 38

⁵ Vgl. Engle 1982, S. 987-1008

- 5 - 2.1.2Schwächen des ARCH-Modells

Obwohl das ARCH-Modell simpel ist und eine umfangreiche Anwendungsmöglichkeit bietet, verfügt jedoch über einige Schwächen:

x Das Modell nimmt an, dass positive und negative Innovationen die gleichen Auswikungen auf Volatilität haben, da das Modell in Abhängigkeit der quadrierten Innovationen modelliert ist. In der Praxis ist jedoch wohl bekannt, dass der Preis unterschiedliche Reaktion auf positive und negative Innovationen hat. x Das Modell bietet lediglich eine mechanische Methode an, um das Verhalten der bedingten Varianz zu beschreiben. Keine konkreten Ursachen werden angegeben. 6

Zu erwähnen ist auch, dass die Wahl der passenden Ordnung q, d.h. die Anzahl der quadrierten vergangenen Werte der Innovationen , = 1, … , , problematisch ist. Je höher die Ordnung q ist, desto mehr Parameter müssen geschätzt werden. Für viele Anwendungen ist jedoch der Einsatz der hohen Ordnung q erforderlich, weil zurückliegende Werte der Innovationen einen umso geringeren Einfluss auf die aktuelle bedingte Varianz haben sollten, je weiter sie zurückliegen. Dieses hat nachteilige Auswirkung auf die Schätzung des Modells. Um dieses Problem zu beseitigen, wurde eine Verallgemeinerung des ARCH-Modells weiterentwickelt. 7

2.2 GARCH-Modellspezifikadion

2.2.1 Definition

Bollerslev (1986) hat das generalisierte ARCH-Modell (GARCH(q, p)-Modell) vorgestellt, indem er die Funktion der bedingten Varianz ℎ erweitert:

Um die Nichtnegativität der bedingten Varianz zu gewährleisten, müssen die Parameter die Bedingungen > 0, ≥ 0 und ≥ 0 für alle j = 1,..., q und k = 1,..., p erfüllen. 8

Daneben ist die Bedingung ∑ + ∑ < 1 nötig für die Varianzstationarität, d.h

die unbedingte Varianz hat einen langfristigen Mittelwert, während die bedingte Varianz sich zeitlich verändert. 9

⁶ Vgl. Tsay 2005, S. 106

⁷ Vgl. Olker 2004, S. 73-74

⁸ Vgl. Bollerslev 1986, S. 308-310

⁹ Vgl. Tsay 2005, S. 114

- 6 -In der Praxis findet das GARCH(1,1)-Model am häufigsten Anwendung und führt zu einer guten Anpassung an viele empirische Marktzeitreihen. Modelle mit größeren Ordnungen als GARCH(2,1) oder GARCH(1,2) werden nur selten eingesetzt. ¹⁰ Durch einen genauen Einblick in das GARCH(1,1)-Modell wird erkenntlich, dass bei großer bzw. unendlicher Ordnung q ARCH(q)-Modell ähnliche Eigenschaften wie GARCH-Modell haben, oder das GARCH-Modell als ARCH(∞)-Modell aufgefasst werden kann. Das GARCH(1,1) Modell ist wie folgt formuliert: + + ℎ , (2.2.2)

wobei die Parameter die Bedingung der Nichtnegativität > 0, , , ≥ 0 sowie der Varianzstationarität + < 1 erfüllen. Aus der Umformulierung anhand eines rekursiven Prozesses resultiert dann:

Somit wird es darauf hingewiesen, dass das ARCH(∞)-Modell das GARCH(1,1)-Modell ausdrücklich repräsentiert. ¹¹ GARCH-Modell hat daher auch einen deutlichen Vorteil im Vergleich mit dem ARCH-Modell, da es wesentlich flexibler modelliert werden kann, was bei der Beschreibung der bedingten Varianz behilflich ist, die Parameteranzahl zu reduzieren. Daneben lassen sich die Finanzmarktdaten durch das ARCH-Modell kleiner Ordnung nicht ausreichend beschrieben, im Gegensatz zu GARCH-Modellen, die in den meisten Fällen ein deutlich besseres Ergebnis liefern können. 12

2.2.2 Schwächen des GARCH-Modells und erweiterte Modelle

Allerdings sind beim GARCH-Modell einige Probleme zu berücksichtigen, die auch beim ARCH-Modell anzutreffen sind. Die hauptsächliche Schwäche des Modells ist die Symmetrie der Volatilität im Bezug auf positive und negative Innovationen. ¹³ Nelson (1991) schlug daher ein wichtiges Modell vor, das sogenannte Exponential-GARCH-

¹⁰ Vgl. Bera/Higgins 1993,S. 317

¹¹ Vgl. Hassler 2007, S. 97

¹² Vgl. Lütkepohl 1997, S. 75

¹³ Vgl. Tsay 2005, S. 116

- 7 -Modell (EGARCH), welches asymmetrische Effekte in der Formel der bedingten Varianz berücksichtigt. Die Nichtnegativitätsbedingung entfällt auch im EGARCH-Modell, weil die bedingte Varianz in der Logarithmusformel dargestellt ist.

wobei

Dieser Logarithmus der bedingten Varianz ist eine asymmetrische Funktion, die in Abhängigkeit von z t linear ist. Wenn z t > 0 hat sie eine Steigung ( + ) und wenn z t < 0 hat sie eine Steigung ( − ), daher haben negative oder positive Innovationen einen unterschiedlichen Einfluss auf die bedingte Varianz. ¹⁴ Ähnlich wie beim EGARCH-Modell wird der asymmetrische Effekt auch beim Threshold-GARCH-Modell (TGARCH) berücksichtigt. Das Modell wurde von Glosten, Jagannathan und Runkle (1993) und Zakoian (1994) vorgestellt und die formale Darstellung ist wie folgt:

wobei ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 sind. Die Funktion ist gleich 0 für eine positive Innovation ( > 0) und 1 für eine negative Innovation ( < 0). Falls signifikant größe als 0 ist, weist die negative Innovation einen noch stärkeren Einfluss auf die bedingte Varianz auf. 15

Ein Spezielfall des GARCH(1,1)-Modells ist das Intergrated GARCH-Modell (IGARCH), das von Bollerslev und Engle (1986) vorgetellt wird. Dieses Modell gestaltet eine Persistenz von Innovation. Gilt für die Parameter + + = 1 in einem GARCH(1,1), bedeutet es dann ein IGARCH(1,1). Geschrieben wird das IGARCH(1,1) wie folgt

(2.2.7)

Dieses Modell ist das in RiskMetrics benutzte Volatilitätsmodell, welches ein Verfahren für die Berechung des Value-at-Risks ist. 16

¹⁴ Vgl. Arouri/Jawadi/Nguyen 2010, S. 130

¹⁵ Vgl. Bhar/Hamori 2005, S. 72

¹⁶ Vgl. Tsay 2005, S. 123

- 8 - 2.2.3Anwendungsbeispiel für das GARCH-Modell

Im Folgenden wird ein Beispiel des GARCH(1,1)-Modells gegeben, um den gesamten Modellierungsprozess von Vorschätzung, Parameterschätzung bis zur Volatilitätsprognose zu veranschaulichen. Verwendet werden die täglichen Schlusskurse des DAX (Deutscher Aktienindex) sowie deren Rendite in der Zeitperiode vom 02.01.1991 bis zum 30.12.1997.

Nun wird die Autokorrelation (ACF) der Renditen sowie der quadratierten Renditen dargestellt, um die lineare Abhängigkeit zu überprüfen.