Vorwort   2

1.  Überlegungen und Beweggründe  4

1.1.  Erfahrungen aus der eigenen unterrichtlichen Praxis  5

1.1.1.  Das Newton-Verfahren in einem Kurs der Jahrgangsstufe 11  5

1.1.2.  Unterrichtserfahrungen mit Computern als Medium  7

1.2.  Unterricht mit dem Computer  8

1.2.1.  Einflüsse des Computers  10

1.2.2.  Tabellenkalkulation als ein Werkzeug für den Unterricht  11

2.  Einordnung in den unterrichtlichen Ablauf  14

2.1.  Vorhergehende Unterrichtsschritte  14

2.2.  Einsatz der Datei „Newton.xls“ im Untterricht  15

2.3.  Der anschließende Unterricht  15

3.  Die Excel-Arbeitsmappe „Newton.xls“  16

3.1.  Technische Voraussetzungen  16

3.2.  Grundideen bei der Entwicklung von „Newton.xls“  16

3.3.  Arbeiten mit „Newton.xls“  17

3.3.1.  Der erste Start  17

3.3.2.  Die Einführung  18

3.3.3.  Mathematisierung und Hinführung zum Näherungsverfahren  19

3.3.4.  Geometrische Grundlagen  19

3.3.5.  Mathematisierung der Geometrie  20

3.3.6.  Interaktive Nullstellenuntersuchung von Funktionen  21

3.4.  Das Hauptmodul „Untersuchung.xls“  22

3.4.1.  Eingabemaske für Funktion und Startwert x 0  23

3.4.2.  Ausgabetabelle für die Ergebnisse des Newton-Verfahrens  23

3.4.3.  Koordinatensystem und Formatierung der Achsen  25

Fazit   28

Abbildungsverzeichnis   29

Literaturverzeichnis   30

Anhang   32

Vorwort

Das Thema „Visualisierung des Newton-Verfahrens mittels Computers zur Unterstützung eines tieferen Verständnisses iterativer Verfahren“ der vorliegenden Arbeit ist aus meiner unterrichtlichen Praxis in einem Mathematik-Kurs der Jahrgangsstufe 11 am Heinrich-Heine-Gymnasium, Bottrop, erwachsen.

In diesem Kurs, der mir im Bereich meines bedarfsdeckenden Unterrichtes zugeteilt war, unterrichtete ich im zweiten Halbjahr des Schuljahres 2001/02 u. a. eine Unterrichtsreihe zum Thema der Kurvendiskussion im Bereich der Analysis, wozu auch das Ermitteln von Nullstellen ganzrationaler (Polynom-) Funktionen gehörte.

Hier wurden die unterschiedlichen Methoden wie z.B. Substitution, Polynomdivision usw. eingeführt und eingeübt. Die anschließende Einführung und Herleitung des Newton-Verfahrens als Verfahren zur iterativen Bestimmung von Nullstellen bei Funktionen, die sich nicht mit Hilfe der bereits bekannten Methoden auf ihre Nullstellen hin untersuchen lassen, verlief derart, dass zusammen mit den Schülerinnen und Schülern ¹ die geometrischen Hintergründe an der Tafel bzw. auf Folien erarbeitet wurden.

Hieraus wurde dann die Rekursionsformel des Newton-Verfahrens hergeleitet. Bei der Korrektur der sich an diese Unterrichtsreihe anschließenden Klausur stellte ich jedoch fest, dass die SuS zwar problemlos die Rekursionsformel behalten hatten und diese auch anwenden konnten, jedoch fehlte den meisten jegliches Verständnis für die geometrische Anschauung bzw. die geometrischen Zusammenhänge.

Aus diesem Grunde suchte ich nach einer Methode, den SuS die hinter dem iterativen Newton-Verfahren stehenden geometrischen Zusammenhänge näher zu bringen.

¹ im Folgenden wird die Abkürzung SuS verwendet.

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Hier scheint mir die Visualisierung des Verfahrens mittels Computers als eine erfolgversprechende Methode.

Aus eigenen unterrichtlichen Erfahrungen im angeleiteten Unterricht in einem Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 in der Stochastik erwuchs diese Idee: In diesem Kurs unterrichtete ich Teilgebiete der Stochastik unter Zuhilfenahme des Computers, wobei großer Wert auf das selbstständige Arbeiten der SuS in Kleingruppen an einem PC lag.

Hierbei stellte ich einen großen Motivationsschub bei den SuS fest, was mich letztlich dazu bewegte, eine interaktive Arbeitsoberfläche zum Thema „Newton-Verfahren“ mit Hilfe des Microsoft-Programms EXCEL zu erstellen.

Die Behandlung gerade des Newton-Verfahrens ist meiner Ansicht nach hier besonders gewinnbringend, da es sich zum einen um ein iteratives bzw. rekursives Verfahren handelt, welches Vergleichsmöglichkeiten ähnlicher Verfahren im weitern Verlauf des Mathematikunterrichtes ermöglicht. Weiterhin handelt es sich bei der Nullstellenproblematik, welche mit Hilfe des Newton-Verfahrens bearbeitet wird, um einen zentralen Knotenpunkt innerhalb der Mathematik, an den unterschiedliche Teilaspekte angrenzen.

Diese Arbeit stellt im Folgenden die Überlegungen und Beweggründe vor, die

letztlich zur Entwicklung der Excel-Arbeitsmappe ² „Newton.xls“ geführt haben. Dabei werde ich meine Entscheidung zur Umsetzung des Newton-Verfahrens auf dem Computer und die dadurch erhofften Erkenntnis- und Verständniszuwächse bei den SuS sowohl durch zahlreiche Ansichten und Forderungen von Pädagogen und Wissenschaftlern sowie durch Untersuchungsergebnisse stützen und untermauern.

Es folgt eine Einordnung der Arbeit mit der vorliegenden Excel-Datei in den Unterrichtsablauf.

Im weiteren Verlauf werden dann die Möglichkeiten zur Arbeit mit dieser Arbeitsmappe erläutert.

² Datei einer Tabellenkalkulation mit mehreren Arbeitsblättern

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Im Vordergrund dieser Arbeit stehen hierbei besonders die Lehrfunktionen Innovieren, Organisieren und Unterrichten.

Auf dem beiliegenden Datenträger sind die Dateien „Newton.xls“ und „Untersuchung.xls“ vorhanden.

[Anm. d. Autors: Die Dateien können kostenlos unter newton@dirk-patzelt.de angefordert werden]

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1. Überlegungen und Beweggründe

1.1. Erfahrungen aus der eigenen unterrichtlichen Praxis

1.1.1. Das Newton-Verfahren in einem Kurs der Jahrgangsstufe 11

Im zweiten Halbjahr des Schuljahres 2001/2002 unterrichtete ich im Rahmen meines bedarfsdeckenden Unterrichtes einen Mathematik-Kurs der Jahrgangsstufe 11 am Heinrich-Heine-Gymnasium in Bottrop. Wie auch schon in anderen Teilbereichen der Analysis stellte ich bei den SuS auch bei der Behandlung des Newton-Verfahrens folgende Schwäche fest: Zwar konnten sie die am Ende der Unterrichtsreihe erarbeitete Rekursionsformel des Verfahrens wiedergeben und anwenden, aber es fehlte die geometrische Anschauung und das Verständnis, obwohl auch dies bei der Hinführung zur Rekursionsformel von mir einen besonderen Stellenwert innerhalb des Unterrichts erhielt:

So wurden zusammen mit den SuS sowohl an der Tafel wie aber auch mit Hilfe von Folien und Arbeitsblättern die Schritte der Konstruktion durchgeführt und eingeübt:

Durch wiederholtes Vorgehen erkannten die SuS, dass sie sich mit jedem

weiteren Schritt immer weiter an die eingezeichnete Nullstelle x ^* annäherten. Aus dieser zeichnerischen Lösung erwuchs in den Schülern der Wunsch, diese Nullstelle auch rechnerisch ermitteln zu können. Hierzu wurde ebenfalls in Zusammenarbeit und unter Mitwirkung der SuS folgender Algorithmus, analog zu dem der zeichnerischen Lösung, aufgestellt:

Aus diesem Algorithmus wurde dann in Zusammenarbeit die Rekursionsformel des Newton-Verfahrens

hergeleitet.

In der sich an diese Unterrichtsreihe anschließenden Klausur stellte ich dann u. a. folgende Aufgabe:

Beschreibe kurz (aber ausreichend ausführlich) die Vorgehensweise und die geometrische Anschauung beim Newton-Verfahren (Skizze!). Erwartet wurde hier eine Skizze, welche die vollständige Konstruktion des Näherungswertes x 1 ausgehend vom Startwert x 0 aufweist sowie eine kurze Beschreibung des ersten oder zweiten Algorithmus in eigenen Worten und ggf. die Rekursionsformel.

Allerdings stellte ich bei der Korrektur der Klausur fest, dass das Verständnis für die geometrische Konstruktion, welche zum Newton-Verfahren führt, bei einem Großteil der SuS nicht vorhanden war. Es traten Antworten auf wie z. B.:

„Ich erhalte den nächsten Wert, indem ich f(x) durch f´(x) teile und das Ergebnis von x abziehe.“

Es wurde also nur die Vorgehensweise beim Anwenden der Rekursionsformel beschrieben, nicht jedoch der geometrische Hintergrund. Zeichnungen und Skizzen fehlten bei fast allen SuS.

Dies ließ mich vermuten, dass die SuS nur die Rezeptologie, also die reine Formel, auswendig gelernt hatten, wo hingegen ihnen aber das Verständnis für die Vorgehensweise bei diesem iterativen Verfahren fehlte. Ein Phänomen, das auch BAPTIST herausstellt:

„Im gegenwärtigen Mathematikunterricht befasst man sich zu sehr mit Formeln und Rechnungen, die von den Schülerinnen und Schülern oft ohne jede

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Einsicht angewandt bzw. durchgeführt werden. Ein zentrales Problem ist die Tatsache, dass viele gar nicht verstehen, was sie tun!“ [BAPTIST, S. 10] Dieses stellte ich auch bei anderen Themen innerhalb des Mathematikunterrichts in diesem Kurs fest:

Obwohl ich häufig versuchte, den SuS neue Inhalte anschaulich und offen sowie praxisnah zu vermitteln, warteten sie eigentlich nur auf eine Formel die sie benutzen könnten.

Folglich suchte ich nach einer Möglichkeit, den Unterricht dahingehend zu verbessern, den Schülern ein tieferes und besseres Verständnis der grundliegenden geometrischen Anschauung des Newton-Verfahrens zu vermitteln.

1.1.2. Unterrichtserfahrungen mit Computern als Medium

Erste Erfahrungen beim Unterrichten mit Computern in der Mathematik machte ich in einem Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 im angeleiteten Unterricht. Hier benutzte ich die Tabellenkalkulation EXCEL, um ein Berechnungsblatt für den Satz von Bernoulli zu entwickeln;

den SuS sollten lästige Berechnungen „per Hand“ (Taschenrechner) abgenommen werden. Sie sollten sich vielmehr auf die richtige Aufstellung des Zufallsexperiments konzentrieren können und nicht z.B. durch das Durchsuchen von Tabellen für den Binomialkoeffizienten abgelenkt werden. Die SuS arbeiteten dabei in Kleingruppen mit bis zu 4 Personen an einem PC. Hierbei stellte ich fest, dass die SuS ein größeres Interesse und Engagement an den Tag legten als im bisherigen Unterricht. Selbst eine Gruppe von Schülerinnen, die sonst Mathematik offen als ihr „Hassfach“ bezeichnen, waren mit Eifer und Interesse dabei, als sie die Stochastikaufgaben mit Hilfe des Computers lösen sollten.

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Insgesamt wurde in den einzelnen Gruppen diskutiert und sich gegenseitig geholfen; Vermutungen wurden geäußert und auch nach Diskussionen einsichtig revidiert.

Allein durch die Verwendung des Mediums Computer schien die Arbeitsbereitschaft und Diskussionsfreudigkeit zu steigen.

In einer späteren Unterhaltung äußerten einige SuS, dass ihnen die Arbeit mit dem PC sehr viel Spaß gemacht habe. So etwas hätten sie im Mathematikunterricht bisher noch nicht gemacht. Man solle doch öfter den Computer im Unterricht verwenden.

Diese Erfahrungen und Äußerungen brachten mich auf die Idee, auch das Newton-Verfahren auf dem Computer zu visualisieren und umzusetzen, um das Verständnis der Schüler zu vertiefen und zu fördern.

1.2. Unterricht mit dem Computer

Ist der Computer überhaupt ein gewinnbringendes Medium, so dass der Einsatz im Mathematikunterricht gerechtfertigt wäre?

In diesem Punkt sind sich Pädagogen und Wissenschaftler weitgehend einig. So sieht beispielsweise HEUGL folgendes Motiv für die Auseinandersetzung mit dem Computer als Unterrichtsmedium:

„Der computerunterstützte Unterricht bewirkt wesentliche Veränderungen auch bei den unverzichtbaren Grundkompetenzen. Zwei wichtige Beobachtungen bestärken uns in unserer Ansicht: Eine Verschiebung der Aktivitäten vom Ausführen zum Planen und ein deutlich stärker schülerzentrierter, experimenteller Unterricht.“ [HEUGL, S. 5]

In seinem Bericht über Konsequenzen aus der CAS ³ -Nutzung in Österreich stellt er die positiven Einflüsse des Systems auf die verschiedenen

³ Computer-Algebra-Systeme

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mathematischen Kompetenzen wie z. B. Modellfindungs- und Äquivalenzerkennungskompetenz dar.

Aber gerade in der Förderung der Visualisierungskompetenz sieht er eine besondere Aufgabe der Mathematik in der heutigen Zeit: „Im Zeitalter der Kommunikationstechnologie muss sich die Mathematik einer weiteren Aufgabe vermehrt stellen: Wir sind ständig konfrontiert mit einer Fülle graphischer Darstellungen [...]. Sie kompetent und verantwortungsbewusst zu interpretieren und zu nutzen ist ein wichtiges Lernziel der Mathematik.“ [HEUGL, S. 13]

Selbst die GDM ⁴ sieht u. a. aufgrund der Ergebnisse aus PISA die Neuen Technologien als eines von vier Hauptproblemfeldern an, in denen dringender Handlungsbedarf besteht.

„Das Arbeiten mit neuen Technologien ist fast zwangsläufig ein individualisierter Unterricht, in dem Partnerarbeit und Teamarbeit eine wichtige Rolle spielen. Der Umgang mit neuen Technologien entlastet von schematischen kalkülhaften Rechnungen und gibt Zeit und Raum für kreative Überlegungen und alternative Lösungsmöglichkeiten. [...] Der Computereinsatz kann zu einem Katalysator für eine neue Unterrichtskultur werden.“ [GDM] Auch BARZEL sieht den Computereinsatz in folgenden Punkten als „von außerordentlicher Bedeutung für den Mathematikunterricht“ [BARZEL, S. 174]

Weiterhin ist es aus ihrer Sicht alleine schon aus den heutigen Gegebenheiten sinnvoll, den Computer als Unterrichtsmedium zu nutzen, da einerseits die Vorkenntnisse der SuS in Sachen Computer und der Umgang mit diesem immer weiter zunehmen, andererseits aber auch Eltern und Schüler selbst den Wunsch äußern mit dem Computer zu lernen und zu arbeiten.

⁴ Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

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