Inhalt

Seite   

A  Grundbegriffe der Prozentrechnung  

   5

1  Der Prozentbegriff  5

2  Berechnung des Prozentwertes  7

3  Berechnung des Prozentsatzes  9

4  Berechnung des Grundwertes  11

5  Vermischte Übungen  13

B  Veränderung des Grundwertes  

   15

1  Prozentuale Zunahmen  15

2  Prozentuale Abnahmen  17

3  Kombinierte prozentuale Zu- und Abnahmen  19

4  Vermischte Übungen  21

C  Grundbegriffe der Zinsrechnung  

   23

1  Zinsrechnung als Anwendung der Prozentrechnung  23

2  Berechnung der Jahreszinsen  25

3  Berechnung des Jahreszinssatzes  27

4  Berechnung des Kapitals  29

5  Vermischte Übungen  31

D  Unterjährige Verzinsung  

   33

1  Berechnung der Monatszinsen  33

2  Berechnung der Tageszinsen  35

3  Berechnung des Jahreszinssatzes  37

4  Berechnung des Kapitals  39

5  Vermischte Übungen  41

2011  Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite  3

E Mehrjährige Verzinsung 42

F Zinseszinsen 49

G Tests 71

1 Rechenregeln zu Brüchen 73 2 Rechenregeln zu Dezimalbrüchen 78

6 Umformungen von Gleichungen 86

a) 20 = 35 100 = 35% oder 20 = 0,35 = 35% = 350% 0 7 7

b) In einer Klassenarbeit schreiben von 30 Schülerinnen und Schülern 9 eine sehr gute Arbeit. Wie viel Prozent sind das? 30 = 3 10 = 30 100 = 30% 9

c) 40 = 225 1000 = 225% 0 oder 40 = 0,225 = 225% 0 = 22,5% 9 9

1. Zeichne ein Rechteck mit 100 Rechenkästchen. Färbe es wie beschrieben und gib an, wie viel Prozent des Rechtecks ungefärbt bleiben.

a) 12% rot b) 48% grün, 27% blau c) 25 rot d) 14% grün, 0,15 blau 17

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 5

2. Wie viel Prozent des Kreuzworträtselschemas können mit Buchstaben

ausgefüllt werden? Welcher Anteil der Fläche bleibt frei?

a) b) 12 von 30 c) 0,123 11

²⁵ d) e) f ) ^{30 3} 0, 016

72 7

4. Schreibe zunächst als vollständig gekürzten und gegebenenfalls gemischten Bruch und anschließend als Dezimalbruch.

a) 24%

d) 0,032%

5. Ordne der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge.

a) 6% ; 2 3 ; 0,66 ; 6,6% ; 1 6 ; 66%

b) 0,003 ; 0,3 % ; 0,03% ; 1 3 % ; 1 30 ; 3

100

a) Gib jeweils den Volumenanteil eines Würfels am nächstgrößteren Würfel als Bruch, Dezimalbruch und in Prozent an. b) Gib jeweils den Volumenanteil eines jeden Würfels am Quader als Bruch, Dezimalbruch und in Prozent an. c) Welchen prozentualen Volumenanteil haben alle Würfel zusammen am Quader?

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 6

Gegeben: Grundwert G = 120 kg ; Prozentsatz p% = 4,5%

Gesucht: Prozentwert P

4,5 100 = 120 kg ⋅ 0,045 = 5,4 kg P = 120 kg ⋅ 4,5% = 120 kg ⋅ Lösung:

Tipp: Rechne mit dem Taschenrechner ganz einfach ohne Prozenttaste: 1 2 0 x 0 . 0 4 5 =

8. Berechne den Prozentwert.

a) 6% von 720 €

c) 37% von 29,5 m e) 0,9% von 16,5 l 9. Berechne die zugehörigen Prozentwerte und fülle die leeren Felder

aus. Runde gegebenenfalls Eurobeträge auf c.

10. Auf die Rechnungsbeträge in der Kopfzeile werden die darunter

angegebenen Mehrwertsteuerbeträge erhoben. Der aktuelle Mehrwertsteuersatz beträgt 19%. Überprüfe, ob der jeweilige Mehrwertsteuerbetrag stimmt.

und wird in 340-g-Dosen verkauft, die Sorte „Löwenmarke“ mit einem Fettgehalt von 3,5% kann man in 200-g-Tüten kaufen. Wie viel Fett enthalten zwei Dosen Glücksblatt und drei Tüten Löwenmarke zusammen?

12. Die Stufe 7 einer Schule hat vier Klassen, deren Schülerzahlen sich

folgendermaßen verteilen:

7a: 32 7b: 28 7c: 30 7d: 26

Die 7a hat 56 1 4 % Mädchen, die 7b 75% Jungen, die 7c 80% Mädchen

und die 7d 50% Jungen. Wie viele Mädchen und wie viele Jungen hat die Klassenstufe 7?

13. Für die Museumsexkursion einer Schulklasse fallen Gesamtkosten von

450 € an. Diese teilen sich wie folgt auf.

Sonstige

Ausgaben 42%

a) Berechne jeweils die Höhe der drei Ausgabenarten. b) Berechne für jeden Kreisausschnitt den Mittelpunktswinkel. c) Zeichne ein neues Kreisdiagramm nach obigem Muster für den Fall, dass sich die Ausgaben für den Eintritt auf 40% erhöhen und die sonstigen Ausgaben wiederum doppelt so hoch sein sollen wie die Fahrtkosten. Gib auch die jeweiligen Werte an.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 8

Gegeben: Prozentwert P = 32,4 m ; Grundwert G = 135 m

Gesucht: Prozentsatz p%

Lösung: p% = 32,4 m : 135 m = 0,24 = 24%

14. Berechne den Prozentsatz.

a) 126 € von 840 € c) 15,4 dm von 38,5 m 352,8 cm ³ von 78,4 l e)

Elli und Ferdi verschiedene Fruchtsäfte. Sie verwenden unterschiedliche Mengen der Zutaten Fruchtsirup und Wasser.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 9

a)

Prozent, gegebenenfalls gerundet auf zwei Dezimalen. Fülle die letzte Spalte aus. b) Bestimme den Fruchtsirupgehalt in Prozent der Gesamtmischung für den Fall, dass alle Zutaten zusammengemixt werden, gerundet auf zwei Dezimalen.

17. Die Einwohner des Dorfes Kickingen wetten auf den Erfolg ihrer

Fußballmannschaft am nächsten Sonntag.

a) b) Stelle die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm dar.

18. Die Ergebnisse des Achtelfinales der Fußball-Weltmeisterschaft 2002

lauten wie folgt:

aus Europa, Asien, Afrika, Amerika?

b) Wie viel Prozent der Tore aus allen Achtelfinalspielen erzielten Mannschaften aus Europa, Asien, Afrika, Amerika? c) Suche nach weiteren Prozentaufgaben und versuche sie zu lösen.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 10

Gegeben: Prozentwert P = 235 l ; Prozentsatz p% = 4%

Gesucht: Grundwert G

G = 235 l : 4% = 235 l : 0,04 = 5875 l = 5,875 m ³ Lösung:

19. Berechne den Grundwert.

a) 17% entspricht 20,91 €

c) 0,025% entspricht 12 1

e) 0,3 % entspricht 15 min f) 496% entspricht 1240 l

20. Berechne die zugehörigen Grundwerte und runde sie gegebenenfalls

auf zwei Dezimalen. Fülle die leeren Felder aus.

angegebenen Mehrwertsteuerbetrags den Rechnungsbetrag ohne Mehrwertsteuer. Runde gegebenenfalls das Ergebnis auf volle Cent. a) 2000 €

d) 0,09 € 22. Berechne aufgrund des angegebenen Rechnungsbetrags mit 19%

Mehrwertsteuer den Rechnungsbetrag ohne Mehrwertsteuer.

a) 238 € b) 59,5 € c) 2,90 €

23. Die Monatsgehälter von drei Angestellten einer Firma werden zum

nächsten Monatsersten erhöht. Frau Krause erhält 6,5% mehr, das sind 159,25 €, Herr Müller 5,5% mehr, das sind 121 € und Herr Meier 4% mehr, das sind 110,40 €.

a) Wie viel hat jeder der drei Angestellten vorher monatlich verdient? b) Wie viel wird jeder zum nächsten Monatsersten monatlich verdienen?

Grundwert).

a) In einem Loseimer mit 750 Losen sind 600 Nieten. b) Von den 30 Kindern einer Schulklasse sind 60% Mädchen. c) Leon kauft sich eine Handy-Karte für 15 €. Damit gibt er 3,75% seiner Ersparnisse aus. d) Bei einem Wettbewerb erreicht Nicola 32 von 80 möglichen Punkten. e) Timo erhält beim Kauf eines MP3-Players 18% Preisnachlass (Rabatt), nämlich 27 €. f) Ein Mischwald mit 9600 Bäumen besteht zu 48% aus Fichten.

28. Ein Computer, der ursprünglich 999 € kostete, wird nun mit 33% Rabatt angeboten. Bei Barzahlung gewährt der Händler auf den reduzierten Preis nochmal 2% Skonto (Rabatt bei sofortiger Zahlung). Wie viel kostet der Computer

a) nach Gewährung des Rabatts, b) nach Rabatt- und Skontoabzug.

29. Ein Finanzbeamter erhält monatliche Bruttobezüge in Höhe von 3600 €

und zahlt hiervon 22% Lohnsteuer. Darüberhinaus werden ihm an Kirchensteuer 9% der Lohnsteuer und als Solidaritätszuschlag nochmals 5,5% der Lohnsteuer abgezogen. Zusätzlich wird monatlich ein fester Betrag von 120 € als Rate für einen Sparvertrag direkt vom Bruttogehalt einbehalten. Berechne

a) den Lohnsteuerbetrag,

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 13

b) den Kirchensteuerbetrag,

c) den Solidaritätszuschlag,

d) die monatliche Rate in Prozent der Bruttobezüge,

e) die monatliche Rate in Prozent der Nettobezüge (Bruttobezüge abzüglich Lohnsteuer, Kirchensteuer und Solidaritätszuschlag).

an. (Quelle: Ausländer Zentralregister, Köln, aktualisiert am 20.12.2004)

a) männlich, b) weiblich, c) für jeden ausländischen Staat.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 14

1. Erhöhe

a) 12,3 km um 45%,

c) 92,63 € um 72%, 2. Fülle in jeder der beiden Tabellen die leeren Ergebnisfelder aus.

Runde gegebenenfalls auf zwei Dezimalen.

a)

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 15

b)

3. Am 1. März 2004 wurden ein 2 m hoher Baum und ein gleich hoher

Strauch in einen Garten eingepflanzt. Der Baum wächst jedes Jahr um 1% seiner Vorjahreshöhe, der Strauch jedes Jahr um 1% seiner ursprünglichen Pflanzhöhe. Vergleiche die Höhen beider Gewächse am 1. März 2014.

4. Formuliere selbst Fragestellungen, die zu der jeweiligen Aufgabe

passen, und bestimme dann die gesuchten Größen.

a) Ein Armreif, der heute noch 124 € kostet, soll am Anfang des nächsten Jahres um 8,5% teurer werden. b) Der Preis für 1 l Diesel stieg von 98,9 c auf 102,9 c. c) Paul war vor einem Jahr 1,62 m groß und ist heute 4 cm größer. d) In einem italienischen Restaurant kostet eine Pizza Mozzarella 4,50 € und eine Pizza Siciliano 5,60 €. Beide Pizza-Sorten werden zu Beginn der nächsten Woche um 1 € teurer. e) Julias Meerschweinchen wiegt heute 575 g, einen Monat später bringt es 0,695 kg auf die Waage.

5. Patrick ist heute 12 Jahre alt, sein Vater 25 Jahre älter. Um wie viel Prozent ist Patricks Vater älter als sein Sohn, und zwar

a) heute,

c) in 20 Jahren, e) Vergleiche die prozentualen Altersunterschiede. Was fällt dir auf?

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 16

6. Vermindere

a) 23,4 m² um 35%,

c) 40,16 € um 3,3%, 7. Fülle in jeder der beiden Tabellen die leeren Ergebnisfelder aus.

Runde gegebenenfalls auf zwei Dezimalen.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 17

8. Zwei Spezialfahrzeuge bremsen zu Testzwecken bei einer

Geschwindigkeit von 50 km/h ab. Fahrzeug A wird pro Sekunde um 50%, Fahrzeug B pro Sekunde um 60% langsamer, jeweils im Vergleich zur momentanen Geschwindigkeit. Berechne die Geschwindigkeit beider Fahrzeuge nach 5 Sekunden in m/s.

9. Formuliere selbst Fragestellungen, die zu der jeweiligen Aufgabe

passen, und bestimme dann die gesuchten Größen..

a) Jahreszeitlich bedingt fällt der Preis für eine Schlangengurke von ursprünglich 99 c um 12,5%. b) Nach dem Hochwasser sank der Pegelstand eines Flusses vom Höchststand 9,98 m auf 7,32 m. c) Hakan hat von seinen 18 € Taschengeld 4,99 € für den Kauf einer Musik-CD ausgegeben. d) Vor einem halben Jahr wog Caroline 45 kg und Dennis 50 kg. Beide haben inzwischen 2 kg abgenommen.

10. [Illustriert: Die Mutter sagt: „Ich bin jetzt 32.“; die Tochter antwortet:

„Dann bin ich genau 20 Jahre jünger.“]

Um wie viel Prozent ist Alexandra jünger als ihre Mutter, und zwar

a) heute,

c) in 20 Jahren, e) Vergleiche die prozentualen Altersunterschiede. Was fällt dir auf?

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 18

( ) ( )

⋅ + ⋅ + ^{p p} . G 1 1 1 2

100 100

( ) ( )

⋅ − ⋅ − ^{p p} . G 1 1 1 2

100 100

( ) ( )

⋅ + ⋅ − ^{p p} . G 1 1 1 2

100 100

( ) ( )

⋅ − ⋅ + ^{p p} . G 1 1 1 2

100 100

a) Ein 75 kg schwerer Mann nimmt erst 3% und dann nochmal 4% zu. 75 kg ⋅ 1,03 ⋅ 1,04 = 80,34 kg

b) Auf eine 800 € teure Ware wird nach 15% Rabatt 2% Skonto gewährt. 800 € ⋅ 0,85 ⋅ 1,02 = 693,60 €

c) Die Bevölkerung eines Landes mit 12000000 Einwohnern wächst innerhalb eines Jahrzehnts zunächst um 9%, nimmt im nächsten Jahrzehnt aber wieder um 9% ab. 12000000 ⋅ 1,09 ⋅ 0,91 = 11902800

d) Auf 200 € wird nach Gewährung von 20% Rabatt 19% Mehrwertsteuer erhoben. 200 € ⋅ 0,8 ⋅ 1,19 = 190,40 €

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 19

11. a) Erhöhe 43,2 m³ zuerst um 11% und dann um 8%. b) Vermindere 2,64 € zunächst um 25% und danach um 50%. c) Erhöhe erst 7,6 hl um 4,8% und vermindere dann um 3,9%. d) Vermindere 345,6 km um 16,2% und erhöhe danach um 67,1%.

12. Berechne den neuen Grundwert, wenn ein Betrag von 760 € zweimal

(viermal) hintereinander um jeweils 12%

erhoben und schließlich Skonto abgezogen. Fülle die leeren Ergebnisfelder aus und runde auf zwei Dezimalen.

14. Ein Radfahrer startet sein persönliches Trainingsprogramm um 8.00

Uhr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 18 km/h. Alle 10 Minuten fährt er mit einer anderen konstanten Geschwindigkeit weiter.

Hinweis: (A) steht für Abnahme, (Z) für Zunahme. Allmähliches Bremsen oder Beschleunigen bei Geschwindigkeitsänderungen sollen der Einfachheit halber unberücksichtigt bleiben.

Berechne seine Geschwindigkeit zwischen 9.00 Uhr und 9.10 Uhr, gerundet auf zwei Dezimalen.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 20

15. a) Bestimme die prozentuale Abnahme von 1,20 € auf 96 c. b) Bestimme die prozentuale Zunahme von 1,80 kg auf 0,00244 t. c) Berechne den Endpreis einschließlich 19% Mehrwertsteuer für einen Warenwert von 60 €. d) Auf eine 800 € teure Ware wird 15% Rabatt gewährt. Berechne den Verkaufspreis.

16. Um wie viel Prozent sind

a) 98 €, 271 €, 635 €, 3749 € mehr bzw. weniger als 522 €, b) 23 dm, 2,15 m, 12 cm, 34 mm kürzer bzw. länger als 0,00168 km, c) 0,005 t, 4,877 kg, 931 g, 654321 mg leichter bzw. schwerer als 2,4 kg, d) 490 s, 15 min, 3 4 h, 1 6 d kürzer bzw. länger als 1 2 h?

17. a) Vor einem Jahr kostete ein Grundstück 12100 €. Inzwischen sind die Grundstückspreise um 10% gestiegen. Wie teuer ist das Grundstück heute? b) Wegen einer Geschäftsaufgabe setzt ein Teppichhändler alle Teppichpreise um 45% herab. Wie viel kostet ein Teppich, der vorher 2149 € (10999,90 €) kostete? c) Die Mitgliederzahl einer Partei schrumpfte innerhalb eines Jahres von 64300 auf 56800. Wie viel Prozent beträgt der Rückgang?

18. Formuliere selbst Fragestellungen, die zu der jeweiligen Aufgabe

passen, und bestimme dann die gesuchten Größen.

a) Eine Digitalkamera wird als Auslaufmodell angeboten und von 399 € auf 159 € reduziert. b) Wegen hoher Nachfrage wird der Kaufpreis für eine antike Münze von 735 € auf 855 € erhöht.

19. Zum 12. Geburtstag erhöhen Rebeccas Eltern das monatliche

Taschengeld ihrer Tochter um 11,5 %, das sind 1,61 €. Bestimme die Höhe des früheren und jetzigen Taschengeldes.

20. Ein Pullover, der bisher 79 € kostete, wird zunächst um 8% teuer.

Wegen deutlich zurückgehender Nachfrage soll der neue Preis jedoch

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 21

in Kürze wieder um denselben Prozentsatz gesenkt werden.

a) Berechne den Preis nach der Erhöhung. b) Berechne den Preis nach der neuerlichen Senkung. c) Vergleiche die Ergebnisse von a) und b) miteinander. Was fällt auf?

21. Gemäß den Forderungen des Betriebsrates plant eine Firma in den

neuen Bundesländern, die Löhne ihrer Mitarbeiter dem Lohnniveau ihrer Muttergesellschaft in den alten Bundesländern schrittweise anzupassen. Ein Arbeiter mit einem jetzigen Monatslohn (2011) von 2150 € soll im Jahr 2012 eine Erhöhung von 2% und dann nacheinander in den vier Folgejahren Erhöhungen von 3%, 4%, 5% und 6% erhalten.

a) Wie hoch wird der Monatslohn des Arbeiters im Jahr 2017 sein? b) Um wie viel Prozent wird der Monatslohn in 2017 gegenüber dem jetzigen Monatslohn angestiegen sein?

22. Das Rennradmodell „Straßenblitz“ wird in zwei verschiedenen

Geschäften angeboten. Geschäft A verlangt 900 € zuzüglich 19% Mehrwertsteuer und gewährt danach 20% Rabatt. Geschäft B zeichnet das Rad mit 990 € aus, jedoch einschließlich 19% Mehrwertsteuer und mit anschließendem Rabatt von 15%. Bei Barzahlung wird hierauf noch 2% Skonto gewährt. Untersuche, welches Angebot bei Barzahlung günstiger ist.

23. Ein Kleid, das zunächst 9% teurer, schließlich aber wieder um 12%

billiger wurde, kostet jetzt 142 €.

a) Wie viel kostete das Kleid vor der Preiserhöhung? b) Um wie viel Prozent hat sich der jetzige Preis des Kleides gegenüber dem ursprünglichen Preis aus a) geändert? c) Um wie viel Prozent unterscheidet sich der ursprüngliche Preis des Kleides aus a) gegenüber dem jetzigen Preis?

24. Ein Würfel A hat die Kantenlänge 8 cm und ein Würfel B eine um 15%

längere Kante als Würfel A. Um wie viel Prozent ist

a) das Volumen von B größer als das Volumen von A, b) das Volumen von A kleiner als das Volumen von B, c) die Oberfläche von B größer als die Oberfläche von A, d) die Oberfläche von A kleiner als die Oberfläche von B?

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 22

1. Verwandle in einen Zinssatz.

a) 15,25 € Zinsen von 610 € b) 137 € Zinsen von 1712,50 € c) 48 c Zinsen von 12 € d) 0,47 c Zinsen von 9,40 €

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 23

2. Schreibe den Zinssatz als vollständig gekürzten Bruch.

a) 2,7%

d) 0,023%

Vergleiche und prüfe das Angebot der Eltern.

Gegeben: Kapital K = 820 € ; Zinssatz p% = 2,25%

Gesucht: Jahreszinsen Z

^2,25 Z = 820 € ⋅ 2,25% = 820 € ⋅ 100 = 820 € ⋅ 0,0225 = 18,45 € Lösung:

Tipp: Rechne mit dem Taschenrechner ganz einfach ohne Prozenttaste: 8 2 0 x 0 . 0 2 2 5 =

5. Berechne die Jahreszinsen.

a) 8% von 940 €

c) 4% von 38,30 € e) 0,75% von 27,50 € 6. Berechne die zugehörigen Jahreszinsen und fülle die leeren Felder

aus.

7. Auf die Kapitalbeträge in der Kopfzeile werden die darunter

angegebenen Zinsen gezahlt. Der Zinssatz beträgt 3%. Überprüfe, ob der jeweilige Zinsbetrag stimmt.

8. Frau Wagner kauft Sparbriefe für 4500 €, die nach einem Jahr 4%

Zinsen bringen, während ihr Mann 6000 € auf einem Sparkonto mit 3,75% Zinsen ebenfalls für ein Jahr anlegt. Über welchen Zinsbetrag kann Familie Wagner nach Ablauf eines Jahres verfügen?

9. Die Altdorfer Vereinsbank und die Neustädter Sparkasse werben mit

Kreditangeboten über 15000 €, während die Schönfelder Kreditanstalt und die Reichenburger Volksbank ihren Kunden Darlehen über 20000 € anbieten, jeweils für ein Jahr. Prüfe, welches Angebot günstiger ist.

10. Für den Bau eines Hauses möchte Familie Steinbach eine Hypothek

(das ist ein Baudarlehen) in Höhe von 90000 € aufnehmen, die sie nach einem Jahr zurückzahlen will. Ihre Hausbank berechnet hierfür 6% Zinsen. Die örtliche Sparkasse bietet der Familie zwei Kredite an, einen ersten über 60000 € zu 5% und anderen über die restlichen 30000 € zu 7,75%.

Rechne aus, welche der beiden Institute das günstigere Angebot macht.

© 2011 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach Seite 26