„Eine  erfreuliche Fiktion“  

Inhaltsverzeichnis

Seite   

1.  Einführung der komplexen Zahlen  2

1.1  Historischer Abriss  2

1.2  Arithmetik der komplexe Zahlen  2

2.  Geometrie der komplexen Zahlen  4

2.1  Gaußsche Zahlenebene  4

2.2  Geometrische Darstellung der Addition und Multiplikation  4

3.  EDV mit komplexen Zahlen  7

4.  Komplexe Multiplikation, Division und Abbildung der Ebene  7

4.1  Multiplikation  7

4.2  Division  9

4.3  Multiplikation am Einheitskreis  10

5.  Inversionen und Riemannsche Sphäre  11

5.1  Inversion  11

5.2  Riemannsche Sphäre  12

5.3  Stereographische Projektion  12

6.  Reflektion  15

7.  Literaturverzeichnis  16

1. Einführung der komplexen Zahlen

1.1 Historischer Abriss

Die Anfänge der komplexen Zahlen liegen im 16. Jahrhundert und führen auf den italienischen Mathematiker Girolamo Cardano zurück. Er erhielt seine mathematische Ausbildung von seinem Vater, der an den Universitäten von Pavia und Mailand Geometrie unterrichtete.

Sein erworbenes Wissen befähigte ihn, sich dem Studium von kubischen Gleichungen zu widmen. Bei seiner Arbeit, Methoden zur expliziten Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades zu finden, stieß er auf Gleichungen mit negativen Quadratwurzeln. Diese konnte er aber mit den bis dahin bekannten algebraischen Regeln nicht lösen. Darauf hin entwickelte er eine neue Art der Arithmetik, die der komplexen Zahlen, mit denen er Gleichungen wie x² + 1 = 0 lösen konnte. Cardano war damit vermutlich der erste Mathematiker, der den Begriff der komplexen Zahlen einführte und sogar erste Berechnungen mit ihnen vornahm. Seine Kollegen arbeiteten zur damaligen Zeit ausschließlich mit den geometrischen Größen Länge, Flächeninhalt und Volumen, sodass sich ihre Berechnungen auf den Zahlenbereich größer Null beschränkten.

Von der Renaissance bis hin zum frühen 20. Jahrhundert galten die komplexen Zahlen als mystisches Konzept. Erst im Jahre 1916 wurden die komplexen Zahlen von Margaret Silcock, der Tante von David Mumford, einem der Autoren von „Indra’s pearls“, als eine „erfreuliche Fiktion“ beschrieben und gaben dem Ganzen einen positiveren Klang. Bis heute spricht man von „imaginären Zahlen“. Sie bestehen jedoch längst nicht mehr nur in unserer Vorstellung, sondern gehören für Mathematiker, Physiker und Ingenieure zum festen Handwerk.

1.2 Arithmetik der komplexe Zahlen

Cardanos Erkenntnisse liefern uns folgende Ergebnisse: Zunächst wird eine neue Zahl i mit der Eigenschaft i² + 1 = 0 definiert. Mit Hilfe der Rechenoperationen der reellen Zahlen folgt:

2

Die Multiplikation von i mit einer reellen Zahl b ergibt ib. Die Addition der neuen Zahl ib zu einer reellen Zahl a liefert a + ib. Dabei wird a Realteil und b Imaginärteil genannt. Damit diese zusammengesetzte Zahl jedoch als Einheit betrachtet wird, werden komplexe Zahlen häufig mit der Variablen z bezeichnet.

Das „Wunder“ der komplexen Zahlen besteht darin, dass nach der Einführung der komplexen Zahlen schon das Hauptwerk vollbracht ist. Wie sich zeigt, lassen sich die Regeln der Arithmetik auf komplexe Zahlen übertragen.

Addition: (a + ib) + (c + id) = a + c + ib + id = (a + c) + i (b + d)

Subtraktion: (a + ib) - (c + id) = (a - c) + i (b - d)

Multiplikation: (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = ac + i (ad + bc) - bd = (ac - bd) + i (ad + bc)

Bei der Division hilft die komplex konjugierte Zahl. Zu a + ib wäre das a - ib.

Division:

=

=

2. Geometrie der komplexen Zahlen

2.1 Gaußsche Zahlenebene

Trotz der positiven Bezeichnung „eine erfreuliche Fiktion“ wurde das „Imaginäre“ oder „Unwirkliche“ dieser Zahlen erst beseitigt, nachdem es Carl Friedrich Gauß gelungen war, eine geometrische Darstellung dieser Zahlen als Punkte in der Ebene (R²) zu entwickeln. Dabei werden auf der ursprünglichen x-Achse der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil abgetragen.

Darüber hinaus liefert die Welt der komplexen Zahlen eine elegante und tiefgründige Verbindung zwischen der Geometrie, der Algebra und der Analysis, wie es David Mumford beschreibt.

2.2 Geometrische Darstellung der Addition und Multiplikation

Im Bereich der Geometrie sind die komplexen Zahlen und ihre Operationen anschaulich in der Gaußschen Zahlenebene mit kartesischen Koordinaten darstellbar. So lässt sich die Addition komplexer Zahlen mit Hilfe der Vektoraddition graphisch festhalten:

4