INHALTSVERZEICHNIS

1.  Einleitung  1

2.  Didaktisch orientierte Sachanalyse.  2

2.1.  Schriftliche Verfahren  2

2.2.  Die Division  3

2.3.  Das Normalverfahren der schriftlichen Division  4

2.4.  Verschiedene Schreib- und Sprechweisen  6

2.5.  Wichtige Vorkenntnisse und Voraussetzungen  8

2.6.  Typische Fehler und Schwierigkeiten  9

2.7.  Die schriftliche Division in den Bildungsstandards und  

S.   11

3.  Umsetzung in den Lehrbüchern  14

3.1.  Rechenwege  14

3.2.  Zahlenbuch  16

3.3.  Nußknacker  17

4.  Didaktische Analyse  20

5.  Methodische Umsetzung  22

S.   22

S.   26

6.  Feinplanung  31

S.   31

S   33

7. Fazit S. 35

8. Literaturverzeichnis.. S. 36

Anhang S. I

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1. EINLEITUNG

Das letzte große Thema im Bereich Arithmetik des Mathematikunterrichtes in der Grundschule ist die schriftliche Division. Nachdem die Schüler alle vier Rechenarten sicher mündlich und halbschriftlich beherrschen, lernen sie am Ende der vierten Klasse nun auch noch das letzte schriftliche Verfahren das der Division kennen.

Diese Bachelorarbeit stellt eine ausführliche Planung zweier Unterrichtsstunden zum

werden alle fachlichen Informationen, die der Lehrer für die Durchführung dieser Unterrichtseinheit benötigt, in der didaktisch orientierten Sachanalyse beschrieben und erklärt. Es wird unter anderem erläutert, was die Division ist, welche Rechenschritte für das Normalverfahren wichtig sind und welche typischen Fehler bei Schülern auftreten könnten. In einem letzten Punkt der Sachanalyse wird der Bezug zu den Bildungsstandards und den Lehrplänen beschrieben. Hierbei wird besonders auf den Thüringer Lehrplan eingegangen, um im nächsten Gliederungspunkt der Arbeit beschreiben zu können, wie dieser Lehrplan in drei verschiedenen Unterrichtswerken umgesetzt wurde.

Warum die schriftliche Division überhaupt in der Grundschule speziell in der vierten Klasse unterrichtet werden sollte, wird im nächsten Punkt, der didaktischen Analyse, erläutert. Im Anschluss an diese didaktische Analyse werden die beiden von mir geplanten Stunden erläutert und methodisch begründet. Die genaue Planung der Stunden in Tabellenform bildet dann den letzten Punkt der Arbeit, bevor diese mit einem kurzen Fazit beendet wird. Im Anhang der Arbeit befinden sich neben allen selbstgestalteten Arbeitsblättern unter anderem auch die geplanten Tafelbilder und gestellten Rechenaufgaben.

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2. DIDAKTISCH ORIENTIERTE SACHANALYSE

2.1. Schriftliche Rechenverfahren

Die schriftlichen Rechenverfahren stellen eines von insgesamt vier Rechenverfahren für die Grundrechenarten im Mathematikunterricht dar. Neben dem Kopfrechnen bilden das halbschriftliche Rechnen und das Rechnen mit Hilfsmitteln so zum Beispiel mit Computern oder Taschenrechnern die restlichen drei Verfahren. Während das Beherrschen der schriftlichen Verfahren früher aus der traditionellen rde, sieht man es

heute eher als nur eine Methode unter vielen (vgl. Höhtker/Selter, 1998, S.19) an.

Im Vergleich zum mündlichen oder halbschriftlichen Rechnen, wird beim schriftlichen Rechnen stellengerecht nur mit Ziffern und nicht mehr mit ganzen Zahlen gerechnet. Für das Errechnen des Ergebnisses gibt es genau vorgeschriebene Regeln. Teilweise sind neben den einzelnen Rechenschritten auch die Notationsform oder die Sprechweise geregelt. Im Zusammenhang mit diesen Konventionen spricht man dann vom Normalverfahren. Für das schriftliche Rechnen werden also Algorithmen

Elementaranweisungen, die den Lösungsweg eines Problems exakt und vollständig 007, S.204). Das heißt, es gibt eine begrenzte Anzahl

an Rechenschritten, die in ihrer Abfolge genau vorgeschrieben sind und an deren Ende das Ergebnis garantiert vollständig ermittelt werden kann.

Wie jedes andere Rechenverfahren, weist auch das schriftliche Rechnen Vor- und Nachteile beziehungsweise Stärken und Schwächen auf ¹ . Zu den Vorteilen zählt zum einen die große Anwendbarkeit. Ist der Algorithmus einmal verinnerlicht, so kann er für jede beliebige Aufgabe angewandt und durchgeführt werden. Komplexe Aufgaben können durch die Kleinschrittigkeit in leichtere Teilaufgaben zerlegt und so das Rechnen vereinfacht werden. So ist zur Lösung der Teilschritte meist nur das Beherrschen des Kleinen 1+1 oder des Kleinen 1x1 nötig. Da die schriftlichen Rechenverfahren in engem Zusammenhang mit den

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¹ Im Folgenden beziehe ich mich auf die genannten Stärken und Schwächen aus: Padberg, 2007, S.204-207.

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halbschriftlichen Verfahren stehen, fördern sie gleichzeitig das Verständnis für das dezimale Stellenwertsystem. Das Ausführen des eingeübten Algorithmus bietet bei Sachaufgaben außerdem die Möglichkeit, sich auf die Sachsituation zu konzentrieren. Das Gedächtnis wird entlastet und durch die immer gleiche Abfolge wird eine leichte Überprüfbarkeit des Ergebnisses gewährleistet und ein Gefühl von Rechensicherheit übermittelt, welches den Lernerfolg zusätzlich steigern kann.

Dieses ständige und immer gleiche Ausführen des Algorithmus bringt aber auch einige Gefahren und Nachteile mit sich. Eben dadurch, dass die Abfolge der einzelnen Teilschritte - richtig ausgeführt - immer zum korrekten Ergebnis führt, kann es schnell passieren, dass der Blick für das Ganze verloren wird. Die errechneten Ergebnisse werden meist blind akzeptiert. Ein mechanisches Ausführen der Schritte ist auch ohne Einsicht in das Verfahren und die mathematischen Zusammenhänge möglich. Das kann zu kognitiver Passivität führen, was bedeutet, dass nicht mehr nachgedacht, sondern nur noch automatisiert ausgeführt wird. Der einfache Ablauf mit garantiert richtigem Ergebnis kann schnell dazu führen, dass das Verfahren ständig angewandt wird auch in Rechensituationen, die mit anderen Methoden ebenso leicht oder sogar leichter gelöst werden könnten.

2.2. Die Division

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten. Umgangssprachlich wird das

Multiplikation definiert (vgl. Radatz/Schipper, 1983, S.80):

Die Zahl a als die Zahl, die geteilt wird, heißt Dividend und die Zahl b, durch die geteilt wird, nennt man Divisor. Der Divisor muss verschieden von Null sein, denn eine Division durch Null ist nicht eindeutig definiert. Der Term a : b heißt Quotient und somit ist x der Wert des Quotienten. Die Division natürlicher Zahlen geht nicht immer auf; das heißt, dass beim Dividieren natürlicher Zahlen auch Reste entstehen können. Im Vergleich zu anderen Grundrechenaufgaben ist bei der Division nur das

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Distributivgesetz anwendbar. Der Dividend kann in mehrere Teildividenden zerlegt werden:

Das Kommutativgesetz ist nicht anwendbar, da man Dividend und Divisor nicht vertauschen kann (8 : 2 2 : 8). Auch die Anwendung des Assoziativgesetzes ist bei der Division nicht möglich, denn es lassen sich nicht beliebig Klammern setzten, wie es zum Beispiel bei der Addition der Fall ist.

Eine Besonderheit der Division ist, dass es zwei verschiedene Grundvorstellungen gibt ² : Das Aufteilen und das Verteilen. So ist es ein Unterschied, ob Spielkarten aufgeteilt oder verteilt werden. Beim Aufteilen wird eine gegebene Menge in gleichmächtige Teilmengen zerlegt. Die Anzahl der Elemente je Teilmengen ist gegeben und die Anzahl der Teilmengen wird gesucht (Beispiel: 32 Spielkarten werden aufgeteilt. Jeder Spieler soll vier Karten bekommen. Wie viele Spieler können mitspielen?). Beim Verteilen wird die gegebene Menge ebenfalls in gleichmächtige Teilmengen zerlegt, allerdings ist nun die Anzahl der Teilmengen gegeben und die Anzahl der Elemente je Teilmengen gesucht (Beispiel: 32 Spielkarten werden verteilt. Vier Kinder wollen mit den Karten spielen. Wie viele Karten bekommt jedes Kind?). In diesem Zusammenhang kann man die Division auch als wiederholte Subtraktion verstehen, denn beim Ver- und Aufteilen von Spielkarten wird von der gegebenen Menge immer wieder eine Teilmenge wiederholt abgezogen.

2.3. Das Normalverfahren der schriftlichen Division

Die schriftliche Division wird aufgrund ihrer Komplexität meist als das schwierigste

S. 118). Es ist sehr komplex und beinhaltet viele Teilschritte, die im Folgenden anhand eines Beispiels (22451 : 7) erklärt werden sollen ³ .

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² Auch in diesem Abschnitt beziehe ich mich wieder auf die Ausführungen von: Padberg, 2007, S. 142-144.

³ vgl. hierzu: Schipper / Dröge / Ebeling, 2000, S.114-115.

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Überschlag: 21 000 : 7 = 3 000 Rechnung: 22 451 : 7 = 3 207 Rest 2

Kontrolle:

Der erste Schritt des Normalverfahrens ist der Überschlag. Durch ihn wird das Ergebnis vor der Rechnung abgeschätzt und es wird angezeigt, wie viele Stellen der Quotient besitzt. Anschließend muss der erste Teildividend ermittelt werden. Da im Beispiel die erste Ziffer kleiner als der Divisor ist, ist der erste Teildividend zweistellig hier die 22. Die erste Rechnung lautet demnach 22 : 7. Im nächsten Schritt muss der erste Wert des Quotienten geschätzt werden. Dies ist gerade bei sehr großen Zahlen einer der schwierigsten Schritte des Verfahrens. Da beim schriftlichen Dividieren in der Grundschule meist nur Aufgaben mit einstelligem Divisor zu lösen sind, ist dieser Schritt mit Hilfe des Kleinen 1x1 für die Kinder noch recht einfach zu lösen. Für diesen Teilschritt sind zudem zwei verschiedene Sprechweisen

nächsten Kapitel wird ausführlicher auf diese verschiedenen Sprechweisen eingegangen. Nachdem nun der erste Wert des Quotienten ermittelt ist, folgt der

multipliziert und unter den ersten ermittelten Teildividend geschrieben. Hier im Beispiel wird also die 21 (3 · 7) unter die zuvor ermittelte 22 geschrieben. Im Anschluss daran folgt der nächste Schritt: die Subtraktion. Es muss die Differenz der

Zwischen diesem und dem nächsten Schritt empfiehlt es sich, einen Zwischenschritt einzuschieben die Zwischenkontrolle. Es soll kontrolliert werden, ob die eben ermittelte Differenz kleiner als der Divisor ist. Dieser Schritt stellt sicher, dass der erste Wert des Quotienten richtig geschätzt wurde. Im Unterschied zur halbschriftlichen Division muss bei der schriftlichen Division immer der größtmögliche

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Teildividend ermittelt werden und durch die Zwischenkontrolle wird genau das überprüft. Ist die ermittelte Differenz größer als der Divisor, wurde die erste Ziffer des Quotienten nicht richtig geschätzt. Es wurde nicht der größtmögliche Teildividend gefunden und die Rechnung muss korrigiert werden. Ist die Differenz kleiner als der

nächten Ziffer. Im hier benannten Beispiel ist die nächste Ziffer nach der 22 die 4. Sie geschrieben. Nun

ergibt sich ein neuer Teildividend und das Verfahren wird ab Schritt drei wiederholt. Dies geschieht solange, bis die Einerstelle des Dividenden verarbeitet ist. Wenn die im letzten Durchgang ermittelte Differenz verschieden von Null ist (hier im Beispiel Das so

ermittelte Endergebnis kann durch eine einfache Probe überprüft werden. Da die Division, wie oben schon beschrieben, die Umkehrung der Multiplikation ist, stellt die Probe eine einfache Multiplikationsaufgabe dar. Das Ergebnis wird mit dem Divisor multipliziert, der eventuelle Rest wird noch dazu addiert und dann sollte, bei richtig durchgeführter Rechnung, der Dividend der Divisionsaufgabe als Ergebnis herauskommen.

2.4. Verschiedene Schreib- und Sprechweisen

beziehungsweise des Abschätzens der nächsten Ziffer des Quotienten zwei verschiedene Sprechweisen möglich. Dies ist auf die beiden weiter oben schon erläuterten Grundvorstellungen der Division zurückzuführen: das Aufteilen und das Verteilen. Beim Aufteilen entspricht der Quotient einem Operator ist der

Größe n 12m langes Brett wird in 3 gleichgroße Teile

Sprechweise des Enthaltenseins und werden eher im Sinne der Multiplikation gelöst gesetzt entsprechen die

).

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(vgl. Franke, 1998/2, S.26), da hier lediglich einfache Divisionsaufgaben zu lösen

Aufgaben mit zwei- oder mehrstelligen Divisoren können im Sinne des Teilens kaum noch gelöst werden. Es bietet sich also an, die Sprechweise des Enthaltenseins zu

man dieselben drei Argumente für die Sprechweise des Enthaltenseins wie im

S.116f.).

Als erstes Argument wird die Fortsetzbarkeit aufgeführt. Da die Sprechweise des Teilens bei Aufgaben mit zwei- oder mehrstelligen Divisoren nicht mehr praktikabel ist und dann die Sprechweise des Enthaltenseins angewendet wird, empfiehlt es sich, diese von Anfang an zu verwenden, um sich später nicht umgewöhnen zu müssen. Das zweite Argument ist die Vermeidung von Fehlern in der Sprechweise. Durch die verkürzte Sprechweise bei Aufgaben mit Rest kommt es schnell zu Das Weglassen des Restes verkürzt zwar die

Sprechweise, macht die Aussage insgesamt aber falsch und kann dazu führen, dass sich diese falschen Rechenaufgaben bei den Kindern einprägen. Das letzte Argument für die Sprechweise des Enthaltenseins ist, dass sie eine Hilfe für schwächere Schüler darstellt. Das Kleine 1x1 wird von den meisten Schülern eher beherrscht als das Kleine 1:1 und somit ist das Lösen der Aufgabe durch die multiplikative Sicht des Enthaltenseins für viele Schüler einfacher.

Gerster beschreibt in seinem Artikel (vgl. Gerster, 1994, S.80) noch eine weitere mögliche Sprechweise. Für die Beispielaufgabe 5 : 4 bietet er folgende Sprechweise

(vgl. ebd.).

Während die Sprechweise des Normalverfahrens nicht vorgeschrieben ist, findet man im Gegensatz dazu eine normierte Notationsform beziehungsweise Schreibweise. Im oben beschriebenen Normalverfahren ist das die sogenannte Restschreibweise. Gegen diese Restschreibweise gibt es allerdings auch einige wenige Kritikpunkte. In